Investigación_Operaciones_Clase_01.pptx

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Dr. Carlos Pérez Méndez

Doctorado en Manufactura Avanzada , CIATEQ A.C
Maestría en Electrónica y Telecomunicaciones, UAG.
Ingeniería en Electrónica, ITSC.
Correo electrónico: cperezm.inelectra@gmail.com

Materia: Instrumentación electrónica
Objetivo: El alumno comprenderá los procesos y
procedimientos que intervienen en las operaciones de una
empresa, sus aplicaciones y el tipo de decisiones que
realizan.

Ejercicios y tareas
• Personales.
• Tareas copiadas de otros serán anuladas y ameritan sanción.
• La fecha de entrega se acordará al momento de su asignación.
• Portada
• Encabezado en cada pagina con el nombre del alumno, materia,
grupo, nombre del trabajo y número de página.

• Tareas y ejercicios en formatos PDF, DOC & DOCX
u otro si así se indica en su asignación.
• Si se incluyen códigos fuente o simulaciones, incluir las
instrucciones de compilación o ejecución y capturas de
pantalla de muestra del funcionamiento.
• En el caso de tareas y ejercicios con varios archivos
comprimirlos en un único archivo en formato ZIP, RAR, TAR,
JAR o GZIP, sin contraseña.
• Códigos, scripts, gráficos, archivos auxiliares
• Documentados (Nombre del alumno, versión, sinopsis del archivo)
• En el caso de código el nombre de las variables deberá ser
adecuado y entendible (En español)
• Documentación de funciones y partes importantes de los códigos
según el objetivo del programa y la teoría vista en clase.

Practicas
• Equipos de 3 a 4 integrantes.
• Las práctica se plantean en clases y se entregan una sesión de
laboratorio acordada, la fecha de entrega del reporte vía Web
se dará una vez entregada la práctica.
• Las simulaciones, programas y diagramas siempre deberán de
estar documentados antes de entregar la práctica.
• Practicas copiadas de otros equipos o grupos serán anuladas y
ameritan sanción.
20
La calificación de la sesión de laboratorio es
la máxima alcanzable con un reporte
correcto, si el reporte no cumple con lo
establecido o es deficiente esta disminuirá.

Formato de los reportes de practica
• Portada (*Fotografía del equipo)
• Introducción
• Planteamiento del problema
• Diseño y funcionamiento de la solución (Descripción de la abstracción del
problema y su solución, apoyándose de diagramas y figuras en un lenguaje
claro)
• Implementación de la solución (Según la solución diseñada como se
implemento en el lenguaje de programación)
• Funcionamiento (Resumen de verificación de la solución, pruebas y resultados
de salida *Pantallazos *Tablas *Graficos *Fotografías)
• Errores detectados (Si existe algún error detectado, el cuál no fue posible
resolver o se desconoce el motivo y solo ocurre con ciertas condiciones es
necesario describirlo)
• Posibles mejoras (Describir posibles disminuciones de código en la
implementación o otras posibles soluciones)
• Conclusiones (Por cada integrante del equipo)
• Anexo (Códigos fuente *con colores e instrucciones de compilación)
• Bibliografía
21

¿QuéseenvíaporlapáginaWebenunapráctica?
• En un solo archivo (ZIP, RAR, TAR, JAR o GZIP)
• Archivo de observaciones*
• Reporte (DOC, DOCX o PDF)
• Códigos fuente (.C, .H, etc.)
• Código documentado: Titulo, descripción, fecha, versión, autor.
• (Funciones y Algoritmos: ¿Qué hace?, ¿Cómo lo hace?, ¿Qué
recibe?, ¿Qué devuelve?, ¿Causa de errores?).
• OBSERVACIONES
• *NO enviar ejecutables o archivos innecesarios, las instrucciones
de compilación van en el anexo del reporte. (Enviar los archivos
necesarios para la generación de ejecutables)
8

Bibliografía
 Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos Winston, W.
Cengage learning 2004
 Investigación de operaciones Muñoz, R. V. McGraw-Hill
interamericana 2011
 Introducción a la investigación de operaciones Hillier, F. S. McGraw-
Hill interamericana 2010
24

1. Introducción a la investigación de operaciones
1. Definición.
2. Aplicaciones
3. Características
2. Programación lineal
1. Formulación de modelos de programación línea
2. Solución gráfica de modelos lineales con dos variables
3. Método Simplex
1. Esencia del método simplex.
2. Métodos simplex en forma tabular
3. Método de dos fases
4. Método Simplex revisado
5. Casos especiales
Temario

4. Teoría de la dualidad
1. Formulación del problema Dual
2. Relación primal Dual
3. Interpretación económica Dual
4. Condiciones Khun Tuker
5. Dual Simplex
6. Análisis de sensibilidad
5. Transporte y asignación
1. Definición del problema del transporte
2. Método de aproximación de Vogel
3. Método Modi
4. Procedimiento de Optimización
5. Problema de asignación

INVESTIGACION DE OPERACIONES
PROF.: Dr. Carlos Pérez Méndez

Definición:
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos sistemas
con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de acción; esto
mediante el modelamiento matemático de los problemas en estudio.

• Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida o
Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados
para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también
incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos
procesos.
• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta.
• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de CÓMO,
DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s Procesos

Entidades
que Entran
Entidades
que Salen
Reglas de
Operación
(Controles)
Sistema
Recursos
Actividades
Sistemas v/s Procesos

• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del
mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo
trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de
relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un
Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión
de cómo el sistema se comporta.
Modelos

Clasificación de los modelos
Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:
•Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el
tiempo.
•Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a
través del tiempo.
•Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas
maneras.
•Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible,
construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa
realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).
•Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el
sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de
ecuaciones).
•Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables
intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

•Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las
variables intervinientes son continuas.
•Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las
variables varían en forma discontinua.
•Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es
única y siempre la misma.
•Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual
no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un
determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución
probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una
distribución equiprobable dentro del intervalo).

•Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no
pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo:
•El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza
dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan
gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema
continuo por un modelo discreto.

•La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <=
x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin
embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas
x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el
método de Monte Carlo, es igual a:
•En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema
determinístico.

El azar en computadora es pseudo azar:
•Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una
distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos
estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema
real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
•En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo
pseudoazar (determinístico).

Clasificación de los modelos según la I.O.
Modelo Matemático
Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de relaciones
matemáticas y supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por ende
tiene una solución optima.
Modelo de Simulación
Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo
dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo entrega soluciones
aproximadas.
Modelo Heurístico
Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada, dada
una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de búsqueda. Este
tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.

Tópicos relacionados
•Análisis Estadístico
•Simulación
•Programación Lineal
•Sistema de Redes
•Líneas de Espera
•Problemas de Inventario
•Programación No - Lineal
•Programación Dinámica
•Programación Entera
•Teoría de Decisiones
•Teoría de Juegos

El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.
•Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los
problemas.
•Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la
creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.

Etapas para puesta en práctica
1. Definición del problema:
• Alternativas de decisión (vars. de decisión).
• El objetivo de estudio (Función Objetivo).
• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo:
• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión,
la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo:
• Uso de algoritmos de optimización.
• Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo:
• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema
estudiado?
5. Puesta en práctica:
• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.

PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMULACION MATEMATICA
METODO GRAFICO METODO ALGEBRAICO
(SIMPLEX)
PROBLEMA GENERAL
PROBLEMAS DE TRANSPORTE PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN
PROBLEMAS ESPECIALES
PROGRAMACION LINEAL

Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En
palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten,
de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L.
•Proporcionalidad
•Aditividad
•Divisibilidad
•Certidumbre
•Objetivo único
•No negatividad

Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS
Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas.
Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos
minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en
empaque.
Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en
Control de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en
Empaque disponibles cada día.
Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.
La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad
total.

Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.

Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y  300
R2) 2X + Y  400
R3) X + 2Y  400
R4) X , Y  0

EJERCICIO PROPUESTO
El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que pueden
utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria de estas
máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear procesar al
menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por radiografía son $4 para la
máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas radiografías por día debe procesar cada
máquina para minimizar costos?
Se pide:
Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y las
variables de decisión.

Solución:
Formulación
Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día}
X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día}
Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}
R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80.
R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100.
R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día.
R4) No Negatividad.

F.Objetivo
M IN { C = 4X + 3Y }
Sujeto a :
R1) X  80
R2) Y  100
R3) X + Y  150
R4) X , Y  0

PROBLEMA DE LA DIETA
La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El
alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones.
Costo
US$/lb
Maíz 0.09 0.02 0.30
Similla Soya 0.60 0.06 0.90
A. ganado Fibra
Proteinas
libra componente por libra de alimento ganado

Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos un 30%
de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el costo mínimo diario
de la mezcla de alimento.
¿….?

Solución:
Formulación
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}
X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}
Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día
R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%
R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.
R4) No Negatividad.

F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y  800
R2) 0.09X + 0.6Y  0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y  0.05(X + Y)
R4) X , Y  0

Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y  800
R2) 0.21X - 0.30Y  0
R3)0.03 X - 0.01Y  0
R4) X , Y  0

PROBLEMA DE TRANSPORTE
Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la compañía
DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales. Cada mes se requiere
de una lista de requerimientos de cada almacén y se conocen, tambien las capacidacdes
de producción de las plantas. Ademas se conoce el costo de transporte de cada planta a
cada almacén. El problema es determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes
de manera que minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos
de transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades
embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70, 90 y 180
respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de Marzo son: 50, 80,
70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se muestran en la tabla siguiente:

Se pide:
Formular como un PPL.
Planta
1 2 3 4
1 19 30 50 10
2 70 30 40 60
3 40 8 70 20
Almacén

Paso 4.1: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
Min{C=19X11+70X21+40X31+30X12+30X22+8X32+50X13+40X23+70X33+10X14+60X24+20X34}
Sujeto a :
R1) X11+X12+X13+X14  70
R2) X21+X22+X23+X24  90
R3) X31+X32+X33+X34  180
R4) X11+X21+X31  50
R5) X12+X22+X32  80
R6) X13+X23+X33  70
R7) X14+X24+X34  140
R8) Xij  0  i , j

8
Modelo General de PL
Definición de variables:
Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n
Función objetivo:
Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn
Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn  =  b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn  =  b2
· .
· .
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn  =  bi
· .
· .
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn  =  bm
Condiciones de signo para variables: toda xj  0
m = # total de restricciones,
n = # de variables de decisión (originales)
Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.

8
Métodos de Resolución
Método Gráfico
Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en
la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la
combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)
Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se
desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo
cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

8
GRAFICO
Maximize Z = 400X + 800 X
Where
Z = the monthly profit from Max and Multimax
X = the number of Max produced each month
X = the number of Multimax produced each month
1 2
1
2
3X + 5X 5,000 Fab
X + 4X 3,000 Assy
X ,X 0 Nonnegativity
1 2
1 2
1 2



Sujeto a:
R1)
R2)
R3)

10
Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
A B
C
0,0
Fab
X1 X2
0 1,000
1,666.7 0
Assy
X1 X2
0 750
3,000 0
X1
R1
R2

Solución:
Formulación
Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes}
Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}
i = 1,2,3 / j = 1,2,3,4
R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70
R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50
R8) No Negatividad.

11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Fab
X1 X2
0 1,000
1,666.7 0
Assy
X1 X2
0 750
3,000 0
R1
R2
Gráficar las restricciones

11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Fab
X1 X2
0 1,000
1,666.7 0
Assy
X1 X2
0 750
3,000 0
R1
R2
Obtener la RSF
RSF

11
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Método de Resolución:
RSF
Premisa: el punto
optimo siempre se
encuentra en uno de
los vértices de la
RSF.

13
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo: Alternativas
Alternativa 1
Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la RSF,
luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que maximice (o
minimice) dicha función.
Alternativa 2
Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del gráfico), luego
la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la optimización. El ultimo
punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a la solución optima.

13
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo(1)
Z=320.000

14
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Optimal Point
Encontrar el Punto Optimo (2)

15
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
3X + 5X 5,000 Fab
X + 4X 3,000 Assy
1 2
1 2


El punto optimo (B) se encuentra
en la intersección de las dos rectas
3X +12X 9,000 Assy
3X + 5X 5,000 Fab
7X 4,000
X = 571.43, or 571 Multimax
X =
5000 - 5(571)
3
715 Max
1 2
1 2
2
2
1




Encontrar el Punto Optimo (3)

16
RESULTADOS
Max Z = 400X + 800 X
Z = 400(715) + 800 (571)
Z = $286,000 + $456,800 =
1 2
$742,800
X1=715
X2=571
Z =742,800.

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar su lado
izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del recurso que
excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de especificaciones.
En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa el requerimiento mínimo
del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho ( cuanto falta para cumplir con lo
pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera al
comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables artificiales en la
función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de maximizar es ‘ M’ y para el
caso de minimizar es ‘+ M’.

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
2º Cambios de variables
a.- Variables no restringidas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s
Cambio de variable
Xi = Ui – Vi
Ui …. Parte positiva de Xi
Vi …. Parte negativa de Xi
Ej.
X1 + X2 ≤ 24
X1 ≥ 0, X2 s.r.s
Luego X2 = U2 – V2
F.E.
X1 + U2 – V2 + h1 = 24

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Variables negativas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0
Cambio de variable
Yi = – Xi Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40
X1 ≥ 0, X2 ≤ 0
Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2
F.E.
X1 - Y2 + h1 = 40

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)
S/A
R1) X1+2X2+4X3 ≥ 30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40
R3) X1 + X2 + X3 ≤ 70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0
Cambios de variable:
Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar
Z* + 15 U1 - 15 V1 - 10 Y2 - 20 X3 + M t1 + M t2 = 0
U1 - V1 - 2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30
5 U1 - 5 V1 - 25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40
U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular
BASE Z U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1
SOLUCION
z 1 15 -15 -10 -20 0 M M 0 0
t1 0 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30
t2 0 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40
h1 0 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1
SOLUCION
z 15 -15 -10 -20 0 0 0 0 0
M 0 0 0 0 0 1 1 0 0
t1 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30
t2 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40
h1 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70

8
ALGEBRAICO
Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá encontrar la
(s) solución (es) del PPL.
Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas entren y
salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen como condiciones de
optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no básica que
tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen arbritariamente. Se
llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la F.O. de las variables básicas
son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable de salida
es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los “lados derecho” y los
coeficientes de la columna entrante.

8
ALGEBRAICO
Pasos del Simplex:
Paso 0 : determinar la solución factible inicial.
Paso 1 : seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.
Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2 : seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3 : determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de
Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.

8
ALGEBRAICO
EJEMPLO
Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3
S/A
2x1 + x2  30
3x1 + 2x2 + x3  25
x2 + 2x3  20
x1 , x2 , x3  0

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
BASE
X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0
h1 2 1 0 1 0 0 30
h2 3 2 1 0 1 0 25
h3 0 1 2 0 0 1 20

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
BASE
X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
BASE
X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___
PIVOTE

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z 0 2 0 0 7/3 4/3 85
h1 0 0 0 1 -2/3 1/3 20
X1 1 1/2 0 0 1/3 -1/6 5
h3 0 1/2 1 0 0 1/2 10
¡Optimo!

8
ALGEBRAICO SIMPLEX
SOLUCIÓN
z 85
X1 5
X2 0
X3 0
h1 20
h2 0
h3 10

8
DUAL SIMPLEX
Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto provoca que
se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como “Metodo Dual Simplex”, el cual
funciona de la siguiente manera:
Condicion de Factibilidad:
La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas negativo, si
todas las variables basicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la
solucion factible - optima.
Condicion de Optimalidad:
La variable entrante se escoge de la manera siguiente:
Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los coeficientes de la
fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes positivos o ceros. La
variable que entra es la que posee la razon mas pequeña si el problema es de
minimizacion. Si todos los denominadores son cero o positivos el problema no
tiene solucion factible.

8
EJEMPLO
MIN (Z = 2X1 + X2)
S/A
R1) 3X1+X2 ≥ 3
R2) 4X1+3X2 ≥ 6
R3) X1 + 2X2 ≤ 3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0
Forma Estándar:
DUAL SIMPLEX

8
Forma Estándar
Z + -2 X1 - X2 = 0
-3 X1 - X2 + r1 = -3
-4 X1 - 3 X2 + r2 = -6
X1 + 2 X2 + h1 = 3
DUAL SIMPLEX

8
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
DUAL SIMPLEX

8
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Sale mas
negativa
DUAL SIMPLEX

8
RAZON 2/4 1/3 0 0 0
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
DUAL SIMPLEX

8
RAZON 2/4 1/3 0 0 0
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2 -1 0 0 0 0
r1 -3 -1 1 0 0 -3
r2 -4 -3 0 1 0 -6
h1 1 2 0 0 1 3
Entra razon mas pequeña
DUAL SIMPLEX

8
Gauss Jordan
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
DUAL SIMPLEX

8
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
DUAL SIMPLEX

8
RAZON 2/5 0 0 1 0
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
DUAL SIMPLEX

8
RAZON 2/5 0 0 1 0
BASE
X1 X2 r1 r2 h1
SOLUCION
z -2/3 0 0 -1/3 0 2
r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1
Pivote
DUAL SIMPLEX

8
Gauss Jordan
BASE
X1 X2 R1 r2 h1
SOLUCION
Z 0 0 -2/5 -1/5 0 12/5
X1 1 1 -3/5 1/5 0 3/5
X2 0 0 4/5 -3/5 0 6/5
h1 0 0 -1 1 1 0
Optimo – Factible!!!
DUAL SIMPLEX

8
Solución:
BASE SOLUCION
Z 12/5
X1 3/5
X2 6/5
r1 0
r2 0
h1 0
DUAL SIMPLEX

8
Ejercicio Propuesto
MIN (Z = 5X1 + 4X2 + 8X3)
S/A
R1) X1+2X2+X3 ≥ 15
R2) 2X1+X2+X3 ≥ 10
R3) X1 + X2 +X3 ≤ 20
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0
DUAL SIMPLEX

Concepto - Historia
1
Los Problemas de la Inv. de Oper.
2
La Toma de Decisiones
3
Modelos de Inv. de Oper.
4
Descripción
Prog. Matemática optimización
5
Metodología - Consideraciones
6

Conjunto de procedimientos, técnicos y
científicos, en la aplicación de problemas
relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a
fin de que se produzcan soluciones que mejor
sirvan a los objetivos de toda la organización.
Concepto de Investigación de Operaciones
Características:
Enfoque de sistemas
Uso de equipo interdisciplinario
Adaptación del método científico
Historia de la Investigación de Operaciones
1780 La Rev. Industrial- Cambio en las estructuras organizaciones - crecimiento
1914 La 1era Guerra mundial- maniobras eficaces para disminuir perdidas
1910 Demanda telefónica – con el equipo automático – Líneas de espera
1941 2da Guerra mundial- Inv. Oper. en Inglaterra – Análisis de Oper. en EEUU
1945 Después 2da Guerra mundial- aplicado a la reconstrucción de fábricas
1945 eco. G. J Stigler plantea un problema de programación lineal
1947 George B. Dantzing (creador de la PL) y Marshall Wood, Morton y Murray plantearon
la base del método simplex para resolver ecuaciones lineales
Desde1947 Von Neuman y Trucker, de la Teoría de juegos

•Se aplica por primera vez en 1780
Antecedentes:
•Matemáticas: Modelos lineales
Farkas, Minkowski (s.XIX)
•Estadística: Fenómenos de espera Erlang,
Markov (años 20)
•Economía:
Quesnay (s.XVIII),
Walras (s.XIX),
Von Neumann (años 20)
Una breve historia
La I.O. básicamente tiene tres características: enfoque de sistemas, el uso de
equipo interdisciplinario y la adaptación del método científico

•Durante la II Guerra Mundial 1941, la Fuerza
Aérea Británica formó el primer grupo de
investigación operacional, para resolver
problemas de organización militar,
despliegue de radares, manejo de
operaciones de bombardeo, colocación de
minas.
•La Fuerza Armada Estadounidense formó un
grupo similar, 5 de los cuales ganaron el
Premio Nóbel.
Una breve historia

Después de la II Guerra Mundial 1945, las
Empresas reconocieron el valor de aplicar
las técnicas en:
-Refinerías de petróleo,
-Distribución de productos,
-Planeación y control de la producción,
-Estudio de mercado y Planeación de
Inversiones.
Actualmente, sigue habiendo un gran
desarrollo, sobre todo en el campo de la
Inteligencia Artificial
Una breve historia
La revolución industrial significó un cambio en las estructuras de las organizaciones, a
raíz de esto presentaron un notable crecimiento en cuanto a la complejidad de sus
relaciones.

Sigue el desarrollo debido a la competitividad
industrial y al progreso teórico.
RAND (Dantzig)
Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)
Carnegie Institute of Technology (Charnes,
Cooper)
El gran desarrollo de los ordenadores
aumentó de la capacidad de almacenamiento
de datos.
Incremento de la velocidad de resolución de
los problemas.
George B. Dantzig
Una breve historia

99
Apoyar a la toma de decisiones sistemas
complejos.
Estudiar la asignación óptima de recursos
escasos a determinada actividad.
Evaluar el rendimiento de un sistema con objeto
de mejorarlo.
Obtener información cuantitativa.
Mejorar procedimientos tradicionales a través de
las opiniones de expertos y reglas simples.
Lograr flexibilidad y bajo costo.
Medir la incertidumbre.
Objetivo de la investigación de operaciones

LOS PROBLEMAS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Al interior de la organización se pueden clasifican por:
•La influencia que puedan tener los factores no controlables
•La determinación de los resultados de una decisión
•La cantidad de información que se tiene para controlar dichos factores
Se usa en tres tipos de problemas:
•Determinísticos
•Estocásticos (con riesgo)
•Bajo incertidumbre
1- Determinísticos- Aquellos en los que cada
alternativa del ¿? tiene una solución, c/u
con diferente eficacia.
2- Estocásticos- Aquellos en los que cada
alternativa del ¿? tiene varias soluciones, se
ignora la probabilidad de que ocurra esta
solución.
3- Bajo incertidumbre- Aquellos en los que
cada alternativa del ¿? tiene varias
soluciones, se ignora la probabilidad de que
ocurra esta solución. (híbridos:
determinísticos o probabilísticos)
Modelos:
Programación Lineal
Programación Dinámica
Optimización de redes
Control de Inventarios
Teoría de Colas
Simulación de sistemas
Pronósticos
Problemas de Inventarios
PERT - CPM

Proceso de toma de decisiones
MATEMATICA
APLICADA
Estadística, Informática,
Mat. Financiera,
Investigación de
Operaciones
MATEMATICA
PURA
TOMA DE
DECISIONES
ACERTADAS
Éxito
Fracaso
RAPIDEZ
PRECISION
GRANDES VOLUMENES
INFORMACION
DATOS
Es un proceso: observa y determina, necesidad de resolver y definir, formular un
objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, generar alternativas de solución,
evaluar y seleccionar la que parece mejor
CUALITATIVO CUANTITATIVO
ESTRATÉGICAS OPERACIONALES

MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Es representar el ¿? que enfrenta una organiz. a través de un modelo matemático
Es representar el ¿? en función de interrogantes planteadas, una realidad puede tener
diversos modelos.
El modelo captura determinados aspecto de la realidad que intenta representar.
El modelo puede no ser apropiado en una aplicación en particular porque no captura los
elementos correctos de la realidad.
El modelo es útil si depende de la realidad que intenta representar.
EL MODELO MATEMÁTICO
Es una ecuación, desigualdad o sistema de ecuaciones que siendo un modelo,
representa determinados aspectos de una realidad.
Será útil, si es una representación válida del rendimiento del sistema; con técnicas
analíticas adecuadas y la solución obtenida a partir del modelo, sea también una
solución para el problema del sistema en estudio.
Criterio para medir el sistema, llamado medida del rendimiento o medida de efectividad.
Generalmente son costos o utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales se
define en términos de costo/beneficio.

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS
Según su
forma de su
representación
Descriptivos
Icónicos o físicos
Simbólicos
Tipo procedimiento
Según su
estructura
Determinísticos
Estocásticos
Lineales
No lineales
Estático
Dinámico
Continuos
Discreto
Los datos del
problema
Determinísticos
Probabilísticos
Clasificación Básica
Determinísticos
Según
restricciones
Irrestrictos
restringidos
Según función
objetivo
Lineal
No lineal
Según las
variables
Continua
Entera o
discreta
Probabilísticos
Teoría de colas
Simulación
Beneficios de la aplicación de Modelos
La mejor manera de lograr un objetivo, asignar recursos escasos.
Una forma de evaluar el impacto de un cambio propuesto, ensayo.
Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima. Con preguntas de
sensibilidad.
Un procedimiento para lograr beneficiar a la organización.

DEFINICION
DEL PROBLEMA
RESOLUCION
MODELO
DESARROLLO
MODELO
¿VALIDA?
IMPLEMENTACION
SI
MODELO
MODIFICADO
NO
Metodología de la Investigación operativa

I) Ident. de las variables
Xij = # de consultores que
viajan del origen i al destino j
II) Ident. de la FO
Max
540X11+300X12+420X13+
500X21+330X22+330X23+
520X31+310X32+350X33
III) Ident.de las
restricciones
X11+X12+X13 ≤ 2
X21+X22+X23 ≤ 1
X31+X32+X33 ≤ 4
X11+X21+X31 = 3
X12+X22+X32 = 2
X13+X23+X33 = 1
Xij ≥ 0 ; entero
Desarrollo de un modelo matemático
Paso1.-Identificar las variables de decisión
¿Sobre qué tengo control?
¿Qué es lo que hay que decidir?
¿Cuál sería una respuesta válida?
Paso 2.- Identificar la función objetivo
¿Qué pretendemos conseguir?
¿qué me interesaría más?
Paso 3.- Identificar las restricciones o
factores que limitan la decisión, recursos
disponibles(humanos, máquinas, material)
fechas límite, naturaleza de las variables (no
negatividad, enteras, binarias).
Estructura Básica de un Modelo Matemático

Métodos de Solución de Problemas: Clasificación
Óptimos
Programación Lineal
Programación Entera
Programación Binaria
Programación Mixta
Programación Dual
Programación no lineal
Heurísticos No óptimos - Aceptables
Software SOLVER, LINDO, LINGO
Programación Matemática u optimización
Se entiende por óptimo, lo recomendable, lo mejor
Sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que
logra mayor ganancia, mayor producción o felicidad, la que logra menor
costo, desperdicio o malestar.
Implica utilizar eficientemente recursos: dinero, tiempo, máquina, personal,
existencias, etc.
El objetivo es determinar asignaciones óptimas de recursos limitados, para
determinar la meta del que toma la decisión, maximizar o minimizar; es
encontrar la mejor solución frente a múltiples alternativas.

CONCEPTOS BÁSICOS
SISTEMA
MODELO
VARIABLE DE
DECISIÓN
FUNCIÓN
OBJETIVO
LIMITACIÓN O
RESTRICCIÓN
DATOS/ PARÁMETROS
INCONTROLABLES
VALIDACIÓN DE LA
SOLUCIÓN
Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma eficaz
Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez más complejos

Metodología de la Investigación operativa
Primer Paso RECONOCER LA NECESIDAD Las personas que toman decisiones aceptan
que se deben tomar medidas para cambiar o mejorar alguna situación. Crea un
ambiente de construcción.
Segundo Paso FORMULAR EL PROBLEMA Expresa explícitamente y sin ambigüedades,
características del problema. Variables, parámetros, restricciones, criterios o funciones
objetivos.
Tercer Paso CONSTRUIR EL MODELO Construir una replica o representación del
problema, o sea el modelo matemático que capture la esencia de la realidad.
Cuarto Paso RECOLECTAR DATOS Para procesarlos en el modelo. Criterio con datos
orientados a la decisión que se quiere tomar.
Quinto Paso RESOLVER EL MODELO Encontrar aquellos valores para las variables
controlables que den resultados óptimos.
Sexto Paso VALIDAR EL MODELO Análisis de sensibilidad, para la validación de la
solución. Seleccionando la mejor alternativa y grado de estabilidad
Séptimo Paso INTERPRETAR LOS RESULTADOS Las implicaciones a través de una crítica
a los objetivos o criterios a la luz de los resultados del modelo.
Octavo Paso TOMAR LA DECISIÓN ponerla en práctica y controlar.
OPTIMIZACIÓN

Consideraciones al Aplicar la I. O.
Beneficios.-
•Posibilidad de tener mejores decisiones
•Mejora de coordinación entre múltiples componentes.
•Mejora el control del sistema de procedimientos
•Optimización de los sistemas
Riegos.-
Manipular los problemas para que se ajusten a los modelos
matemáticos.
Limitaciones.-
•Frecuentemente se hacen simplificaciones del problema
original.
•Los modelos solo consideran un objetivo.
•Existe la tendencia a no considerar todas las restricciones
en un problema
•Análisis de costo-beneficio limitado, motivados por la
implantación de un modelo.

Definición del problema
Factores problemáticos
Datos incompletos, conflictivos, difusos
Diferencias de opinión
Presupuestos o tiempos limitados
Cuestiones políticas
El decisor no tiene una idea firme de lo que quiere realmente.
Plan de trabajo:
Observar y ser consciente de las realidades políticas
Decidir qué se quiere realmente
Identificar las restricciones
Búsqueda de información continua.
Es comprender y describir en términos precisos, el problema que la organización
enfrenta.
Hay que recoger información relevante
Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
Un problema no se formula sino se define.

Es resolver el modelo usando una técnica adecuada, es decir obtener
valores numéricos para la variable de decisión.
Es determinar los valores de las variables de decisión de modo que la
solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones
Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos.En esta parte se usa
el Software LINDO, que puede resolver modelos de hasta 200,000 variables
y 50,000 restricciones.
Resolución del modelo
Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada,
creación o heurísticos.
Paso 2.- Generar las soluciones del modelo usando
programas de ordenador, hojas de cálculo.
Paso 3.- Comprobar/validar los resultados
Probar la solución en el entorno real
Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el
modelo, comprobar exactitud, revisar restricciones.
Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad. Analizar
adaptaciones en la solución propuesta frente a
posibles cambios.
Verificación y validación:
Eliminación de errores
Comprobación de que el modelo se adapta
a la realidad
Interpretación y análisis
Robustez de la solución óptima obtenida:
Análisis de sensibilidad
Detección de soluciones cuasi-óptimas
atractivas
Implementación de resultados
Sistema de ayuda y mantenimiento
Documentación
Formación de usuarios

La I.O. busca la experticia humana
•Desempeño correcto y rápido dentro de un
dominio específico.
•Capacidad para justificar un resultado y
explicar el proceso de razonamiento.
•Capacidad para aprender de la experiencia.
•Capacidad para resolver casos únicos
basándose en principios, modelos,
experiencias, casos o reglas.
•Capacidad para razonar bajo condiciones de
incertidumbre e información incompleta y
aplicar su sentido común o conocimiento
general.

GRACIAS
113
Donde quiera que usted vea un negocio exitoso,
alguien ha tomado una decisión valiente.
SEAMOS DUEÑOS DE NUESTRO PROPIO
DESTINO

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