progresiones

1. P R OG R ESI Ó N A R I T MÉT I CA Y G E O M ÉT RI CA
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCION DE MATEMATICAS
PROFESORA: BACHILLER:
CORASPE MIERIS, Milagros PINTO, Joselin. 23.818.436
MATURIN; NOVIEMBRE, 2017

2. PROGRESIONES
En matemáticas una progresión es una
sucesión de números entre los cuales hay una ley
de formación constante. Se distinguen dos tipos:
Progresión aritmética
Progresión Geométrica

3. Progresión Aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión
de números reales, tales que, a partir del primer
término cada término se obtiene sumando
algebraicamente al término anterior una cantidad
constante llamada razón de la progresión. Los
términos de la progresión aritmética se anotan así:
a1; a2; a3; a4; a5; …..an

4. Término general o término enésimo de una
progresión aritmética
an = a1 + (n – 1). r
En donde: a1 es el primer término
an es el último término
n es el número de términos
r es la razón de la progresión.
Observación: a1, an y r puede ser cualquier
número real pero n siempre tiene que ser un
número entero y positivo.

5. Despejes:
an = a1 + (n – 1). r
a1 = a n - ( n – 1).
r
n = a n - a1 + 1
r
r = a n - a1
n – 1

6. Ejercicio 1:
Forma cada una de las siguientes progresiones
aritméticas:
a) a1 = 2/3 y r= - 1/3
b) a1 = -3a + 4b y r= a + b
Solución:
En cada caso, a cada término lo multiplicamos
por la razón para formar el término siguiente:

7. a) a1 = 2/3 y r= - 1/3
a1 = 2/3
a2 = a1 + r 2/3 + ( -1/3) = 1/3
a3 = a2 + r 1/3 - 1/3) = 0
a4 = a3 + r o - 1/3) = -1/3
Respuesta: 2/3; 1/3; 0; -1/3

8. b)
a1 = -3a + 4b y r= a + b
a1 = -3a + 4b
a2 = a1 + r = -3a + 4b + a + b = - 2a +
5b
a3 = a2 + r = - 2a + 5b + a + b = - a +
6b
a4 = a3 + r = - - a + 6b + a + b = 7b
Respuesta: -3a + 4b; -2a + 5b; -a +
6b; 7b

9. Ejercicio 2
Resuelve los siguientes problemas de progresión
aritmética
Los ahorros mensuales de Adolfo son: El primer
mes ahorró Bs 500, y al cabo de cuatro meses tiene
ahorrado Bs. 4-400. Calcular la cantidad ahorrada
durante cada mes.

10.  Datos: S4 = ( a1+ an). n
a1 = 500 2
n = 4 S4 = (500 + an). 4
S4 = 4.400 2
4.400 = (500 + a2). 4
2
an = 1700
Luego reemplazamos “r” en la fórmular = a n - a1
n – 1
r = 1700 - 500 r= 400
4 - 1
a2 = 500 + 400 = 900
a3 = 900 + 400 = 1300
Luego; Adolfo ahorró Bs 900 el 2° mes; Bs 1300 el 3° mes y Bs 1700
el 4° mes.
Total ahorrado por Adolfo:
500 + 900 + 1300 + 1700 ¨4-400Bs

11. Progresiones Geométricas:
Una progresión geométrica es una sucesión
de números reales, tales que, a partir del primer
término cada término se obtiene multiplicando el
anterior por una cantidad constante llamada razón
de la progresión. Los términos de la progresión
aritmética se anotan así:
a1; a2; a3; a4; a5; …

12. Término general o término enésimo de
una progresión geométrica
an = a1 . r n – 1
En donde: a1 es el primer término
an es el último término
n es el número de términos
r es la razón de la progresión.
Observación: a1 y an puede ser cualquier número
real pero r no puede valer ni cero ni uno n siempre
tiene que ser un número entero y positivo.

13. Despejes:
 Nota: El despeje de n corresponde al campo de los
logaritmos y es:
n = loga n - loga1 + 1
log r

14. Relación entre dos términos cualquiera de una
progresión geométrica.
En las progresiones geométricas siempre se
cumple, que un término cualquiera es igual a otro
por la razón elevada a la diferencia de los subíndices.
a10 = a4. r 10 – 4
a10 = a4. r 6
En general: ap = aq. r p – q

15. Término central de una
progresión geométrica
Cuando el número de términos de una
progresión geométrica es impar, hay un término
central que es igual a la raíz cuadrada del producto
de los términos extremos.
ac= V a1 . an
En donde: a1 es el primer término
an es el último término
ac es el término central

16. Despejes:
ac= V a1 . an
a1 = a c
2
an
an = a c
2
a1

17. Suma de los términos de una
progresión geométrica
S = a n . r - a1
r – 1
En donde: S es la suma de los términos de la
progresión.
a1 es el primer término
an es el último término
r es la razón

18. Despejes:
S = a n . (rn - a1)
r – 1
an = S( r – 1)
+a1
r
a1 = an . r - S( r –
1)
r = S – a1
S – an

19. Ejercicio 1.
Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo
que, al final de cada mes, sólo le queda la mitad de lo que
había al inicio. Si al comenzar el año se tenían 100 gramos
de dicha sustancia. ¿ Cuántos gramos quedarán luego de
seis meses?
a1 = 100 gramos; n= 6 y r= ½ ; a6= ?
a6= 100 . (1/2)6-1
a6= 100 . (1/2)5
a6= 25/8 = 3125
Luego a mitad del año quedan 3125 gramos de sustancia radiactiva.

20. Ejercicio 2
Una mujer ahorró Bs 1280 en junio, y de ahí en
adelante sólo ha podido ahorrar la mitad de lo que
ahorro en el mes anterior. ¿Cuánto ha ahorrado en el
noveno mes y de cuánto es su ahorro?
Datos: Fórmula:
a1 = 1280 an = a1. r n-1
a9 = ? a9 = 1280 . (1/2)6-1
r = ½ a9 = 1280 . (1/2)5
n = 6 a9 = 40 Dinero ahorrado en el noveno mes-

21. Bibliografía
 ALVAREZ; Ramón. (2013) Matemática 1°
Educación Media Diversificada
 NAVARRO, Enrique. (1985) Curso Propedéutico.
Caracas, Venezuela