4. Gráfica de una sucesión
Usted trabaja en un supermercado
y le piden que ponga las chinas en
forma de una piramide cuadrada con
diez capas.
1. Escribe la regla que determina
el número de chinas en cada capa.
2. Haga un dibujo que represente
la sucesión.
EJEMPLO
Introducción a las Sucesiones
5. El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas
de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.
n 1 2 3
an 1 = 12 4 = 2 2 9 = 32
Podemos observar que an = n
2
Solución
Introducción a las Sucesiones
6. Uso de Fórmulas de Sumatorias
¿Cuántas chinas habrá en una piramide cuadrada de diez capas
de altura?
EJEMPLO
Introducción a las Sucesiones
7. Usa las Fórmula de Sumas
Sabemos del ejemplo anterior que el enésimo
término de la sucesión es an = n2
, donde n = 1, 2,
3, . . . , 10.10
n= 1
n2
= 12
+ 22
+ + 102. . .
10(11)(21)
=
6
= 385
Habrán 385 chinas en la piramide.
=
6
10(10 + 1)(2 • 10 + 1)
EJEMPLO
Solución
Introducción a las Sucesiones
8. Ejemplo: Encontrar el término enésimo de
{an} ={0, ¾, 1, 15/16 , ¾ , 35/64 ,…}
• Hay dos términos iguales en distinta posición, las fracciones
pueden estar simplificadas, hay que hallar las equivalentes.
• a3 = 1, también puede estar simplificada.
• a1 = 0 debe ser cero el numerador pero no el denominador
el numerador tiene la forma np–1 con p N.
– Para n–1 los numeradores serían: 0, 1, 2, 3,… NO coinciden.
– Para n2–1 los numeradores serían: 0, 3, 8, 15, 24, 35,… no
se cumple para el 3º y 5º términos, que pueden están
simplificados.
• Si para n = 3, a3 = 8 la fracción equivalente debería ser 8/8 = 1.
Razonando de manera parecida para n = 5 surge a5 = 24/32 = 3/4
• Con estas fracciones, el denominador parece ser 2n.
• Y así: an =
n
2
2
1n
Introducción a las Sucesiones
9. PROGRESIÓN
CLASES DE PROGRESIONES:
a) Progresión Aritmética:
• Es aquella progresión donde los términos siguientes
se obtienen sumando un misma número real al
término anterior.
b) Progresión Geométrica:
• Es aquella progresión donde los términos siguientes
se obtienen multiplicando una misma cantidad real
al término anterior.
Es una sucesión, donde los términos siguientes se obtienen
sumando o multiplicando, un número real llamado razón, a un
término anterior.
11. Progresión Aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números
llamados términos, en la que cualquier término es el
resultado de sumar al anterior una cantidad constante
(positiva o negativa), llamada diferencia común y se
calcula como:
Un término n menos el que le antecede
1nn aad
12. Progresión Aritmética
• Para calcular el enésimo término de cualquier
progresión aritmética utilizamos:
• Donde:
• an = último término
• n = número de términos
• a1 = primer término
• d = la diferencia común
dnaan )1(1
13. Progresión Aritmética
Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
El primer termino es (a1) es 4.
La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
El número de términos (n) es 6.
Primer termino: a1 = 4
Segundo termino: a1 + d = 4 + 4 = 8
Tercer termino: a1 + 2d = 4 + 2(4) = 12
Cuarto termino: a1 + 3d = 4 + 3(4) = 16
Quinto termino: a1 + 4d = 4 + 4(4) = 20
Sexto termino: a1 + 5d = 4 + 5(4) = 24
14. Progresión Aritmética
• Además la suma de los n primeros términos de este tipo de
sucesiones se puede calcular como:
• Donde:
• S = es la suma de los n términos
• an = último término
• n = número de términos
• a1 = primer término
• d = la diferencia común
2
)(a1n
S
+ an
17. Si el tercer término de una progresión aritmética es –50 y la diferencia es 6,
¿cuáles son los diez primeros términos de la progresión? Escribe el término
general.
___ , ___ , –50 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , …
Hay que ir sumando 6 para obtener los términos siguientes
–50 + 6 = –44
–44
–44 + 6 = –38
–38
–38 + 6 = –32
–32
–32 + 6 = –26
–26
–26 + 6 = –20
–20
–20 + 6 = –14
–14
–14 + 6 = –8
–8
Hay que ir restando 6 para obtener los términos anteriores
–50 – 6 = –56
–56
–56 – 6 = –62
–62
Término general: an = a1 + (n–1)d
an = –62 + (n–1)6
an = –62 + 6n – 6
an = –68 + 6n
18. Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 15 y que el
décimo es 36, obtén los diez primeros números que forman la progresión.
¿Cuál es el término general de esta progresión?
___ , ___ , ___ , 15 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 36 , …
Hay que calcular la diferencia:
Como se conocen a4 y a10 podemos escribir a10 = a4 + (10 – 4)d
36 = 15 + (10 – 4)d
36 = 15 + 6d
36 – 15 = 6d
21 = 6d
21/6 = d
3´5 = d
A partir del número 15 vamos sumando 3´5 y completando la progresión.
18´5 22 25´5 29 32´5
Los primeros términos se obtienen a partir del 15 restando 3´5.
11´584´5
Término general: an = a1 + (n–1)d
an = 4´5 + (n–1)3´5
an = 4´5 + 3´5n – 3´5
an = 1 + 3´5n
19. En una progresión aritmética el cuarto término es 11 y el noveno 31. Calcula
la suma de los 150 primeros términos de la progresión.
a4 = 11
a9 = 31
a9 = a4 + (9 – 4)d
31 = 11 + 5d
31 – 11 = 5d
20 = 5d
20/5 = d
4 = d
Primero se calcula d:
a4 = a1 + (4 – 1)d
11 = a1 + 3·4
11 = a1 + 12
11 – 12 = a1
-1 = a1
Ahora se calcula a1:
a150 = a1 + (150 – 1)d
a150 = –1 + 149·4
a150 = –1 + 596
a150 = 595
Ahora se calcula a150:
Ya se puede calcular la suma: S150 = ––––––––––––
(a1 + a150)·150
2
= ––––––––––––
(–1 + 595)·150
2
S150 = –––––––
594·150
2
= ––––––
89100
2
= 44550
20. ¿Cuántos números se han sumado de una progresión aritmética si el
resultado ha sido 855, el primero era 8 y el último 30?
Sn = –––––––––
(a1 + an)·n
2
855 = –––––––––
(8 + 30)·n
2
855 = ––––
38·n
2
––––– = n
1710
38
45 = n
Sn = 855
a1 = 8
an = 30
855·2 = 38·n
1710 = 38·n
22. 22
Progresión Geométrica
• Es una sucesión de números llamados
términos, de tal forma que cada uno de ellos,
después del primero, se obtiene multiplicando
el termino anterior por una cantidad constante
(entero o fracción, positivo o
negativo) llamada razón común.
1n
n
a
ar
23. 23
Progresión Geométrica
• 6/3, 12/3, 24/3….
• La razón común es r = 2 dado que:
• 6/3 * 2 = 12/3
• 12/3 * 2 = 24/3
• Los elementos de una progresión geométrica son:
• a1 = primer término
• r = la razón común
• an = último término o enésimo termino
• n = número de términos
24. 24
Progresión Geométrica
• Para calcular el enésimo término tenemos:
• Donde :
• a1 = primer término
• r = la razón común
• an = último término o enésimo termino
• n = número de términos
1
1. n
n raa
25. 25
Progresión Geométrica
• La suma de los n primeros términos se podría
calcular como:
• Cuando r = 1
r - a1an
S
r 1
27. Escribe los seis primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que
la razón es 2 y que el tercer término es 12. ¿Cuál es el término general?
___ , ___ , 12 , ___ , ___ , ___ , …
Hay que ir multiplicando por 2 para obtener los términos siguientes
12 · 2 = 24
24
24 · 2 = 48
48
48 · 2 = 96
96
Hay que ir dividiendo por 2 para obtener los términos anteriores
12 : 2 = 6
6
6 : 2 = 3
3
Término general: an = a1 · r
n–1
an = 3 · 2n–1
an = 3 · –––
2
n
21
an = –– · 2
n3
2
an = 1´5 · 2
n
28. Sabiendo que el segundo término de una progresión geométrica es 36864 y que
el quinto es 15552, encuentra los nueve primeros términos de la progresión.
¿Cuál es el término general?
_____ , 36864 , _____ , _____ , 15552 , _____ , _____ , _____ , ______ , …
Hay que calcular la razón:
Como se conocen a2 y a5 podemos escribir a5 = a2 · r
5 – 2
15552 = 36864 · r
3
––––– = r
315552
36864
0´421875 = r
3
3
0´421875 = r
0´75 = r
A partir del número 36864 vamos multiplicando por 0´75 y completando la
progresión.
27648 20736 11664 8748 6561
El primer término se obtienen a partir del 36864 dividiendo por 0´75.
49152 4920´75
Término general: an = a1 · r
n – 1
an = 49152 · 0´75
n – 1
an = 49152 · –––––
0´75
n
0´75
1
an = ––––– · 0´75
n49152
0´75
an = 65536 · 0´75n
29. Averigua cuánto suman los veinticinco primeros términos de una progresión
geométrica sabiendo que el primer término es 5 y que el cuarto es 40.
a1 = 5
a4 = 40 a4 = a1 · r
4 – 1
40 = 5 · r
3
Primero se calcula r:
–– = r
340
5
8 = r
3
3
8 = r
2 = r
Ahora se calcula a25:
a25 = a1 · r
25 – 1
a25 = 5 · 2
24
a25 = 5 · 16777216
a25 = 83886080
Ya se puede calcular la suma: S25 = –––––––––
a25 · r – a1
r – 1
= ––––––––––––––
83886080 · 2 – 5
2 – 1
S25 = –––––––––––––
167772160 – 5
1
= 167772155
30. Suma todos los términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer
término es 21 y que el tercer término es 3´36.
a1 = 21
a3 = 3´36 a3 = a1 · r
3 – 1
3´36 = 21 · r
2
Primero se calcula r:
–––– = r
23´36
21
0´16 = r
2
0´16 = r
0´4 = r
Ahora se calcula la suma:
S∞ = ––––
a1
1 – r
S∞ = ––––––
21
1 – 0´4
= ––––
21
0´6
= 35
