Heurística de la afinación musical - Estudio psicoacústico y estadístico de la audición

HEURÍSTICA DE LA AFINACIÓN MUSICAL
ESTUDIO PSICOACÚSTICO Y ESTADÍSTICO
DE LA AUDICIÓN
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Presentado por Bartłomiej Kokot
Dirigido por D. Juan Jesús Yelo Cano
IES Floridablanca (Murcia), 2013-2015

Imagen de la portada: J. M. PÁRRAGA, detalle del mural en el vestíbulo del IES Floridablanca.

Error funesto es decir que hay que comprender la música para
gozar de ella. La música no se hace ni debe jamás hacerse para
que se comprenda, sino para que se sienta.
MANUEL DE FALLA

5
ÍNDICE GENERAL DE CONTENIDOS
Resumen..................................................................................................................................... 8
1. Introducción: notas históricas y antecedentes ...................................................................... 11
2. Prolegómenos....................................................................................................................... 14
2.1. Sonido, tono, nota.......................................................................................................... 14
2.2. Intervalo......................................................................................................................... 15
2.3. Consonancia y disonancia ............................................................................................. 18
2.4. Sistema de afinación, escala, tonalidad ......................................................................... 18
3. Planteamiento del problema y objetivos .............................................................................. 23
4. Metodología ......................................................................................................................... 24
5. Sistema alternativo de afinación .......................................................................................... 25
5.1. Fundamento teórico ....................................................................................................... 25
5.2. Escala diatónica ............................................................................................................. 26
5.3. Escala cromática............................................................................................................ 27
6. Teclado electrónico .............................................................................................................. 28
6.1. Planteamiento y funcionamiento ................................................................................... 29
6.2. Materiales ...................................................................................................................... 29
6.3. Documentación gráfica.................................................................................................. 30
7. Encuesta ............................................................................................................................... 32
7.1. Objetivos y diseño de la encuesta.................................................................................. 32
7.2. Estructura de la encuesta ............................................................................................... 33
7.3. Resultados obtenidos ..................................................................................................... 33
8. Conclusiones ........................................................................................................................ 36
9. Futuras líneas de investigación ............................................................................................ 37
10. Apéndices........................................................................................................................... 39
10.1. Apéndice I.................................................................................................................... 39
10.2. Apéndice II................................................................................................................... 40
10.3. Apéndice III.................................................................................................................. 41
10.4. Apéndice IV.................................................................................................................. 44
11. Agradecimientos................................................................................................................. 47
12. Referencias bibliográficas.................................................................................................. 48

Bartłomiej Kokot ‒ Heurística de la afinación musical
6

7
ÍNDICE DE FIGURAS Y GRÁFICOS
Fig. 1.— F. GAFFURIO (1492) Theorica musica. Milán. .......................................................... 13
FIG. 2.— Intervalos de quinta y cuarta en una octava.............................................................. 16
FIG. 3.— Círculo de quintas y la quinta del lobo. (Ibáñez Barrachina, 2008: 97) ................... 21
Fig. 4.— Intervalos entre tonos y semitonos consecutivos, tomando como tónica DO. .......... 28
FIG. 6.— Esquema de montaje del teclado. ............................................................................. 30
FIG. 5.— Esquema de funcionamiento del teclado. ................................................................ 30
FIG. 7.— Montaje del prototipo en placa protoboard............................................................... 31
GRÁFICO 1.— ¿Oyes alguna diferencia entre las dos melodías?.............................................. 35
GRÁFICO 2.— ¿Alguna de las dos suena mejor?...................................................................... 35

8
RESUMEN
Cada uno de los métodos para seleccionar los sonidos que utiliza la música de entre
todos los sonidos posibles constituye un sistema de afinación. Se trata de dividir la octava en
cierto número de sonidos de frecuencia preestablecida, las notas musicales. No obstante, de-
bido a las características peculiares del sonido, es imposible crear una escala perfecta, en la
que todos los intervalos y acordes sean completamente puros.
En el presente estudio se propone una escala basada en la teoría de las proporciones re-
lativa a la consonancia. Cada una de las doce notas de una octava guardaría una relación exac-
ta de frecuencia respecto a la tónica. Se trata de una escala muy similar al sistema de Aristó-
genes, pero que presenta ciertas ventajas a la hora de su aplicación en la vida real.
En el marco del presente estudio se ha puesto en práctica este sistema de afinación al-
ternativo construyendo un teclado electrónico con la plataforma ARDUINO™. Además, se ha
estudiado su eficacia mediante una encuesta a más de 170 personas, llegando a la conclusión
de que, pese a sus imprecisiones, el sistema de afinación más acertado es el temperamento
igual de doce notas, que es el que se usa actualmente en todo el mundo, por la facilidad de
transposición y de aplicación en instrumentos de afinación fija que presenta.
La motivación de este trabajo ha sido la afición del autor por la música, y el interés por
la relación que existe entre esta y las matemáticas y la física. Al igual que Richart (2013),
pienso que arte y ciencia no son en absoluto disciplinas opuestas, sino mutuamente comple-
mentarias; por eso en este trabajo se trata de contemplar la música desde estas dos perspecti-
vas diferentes y así obtener una visión más amplia de la cuestión.
Palabras clave: afinación, teclado electrónico, musicología, sistema de afinación,
temperamento

Resumen
9
ABSTRACT
The sounds used by music selection methods are known as tuning systems. The aim is
to divide the musical octave in a certain number of pre-established frequency sounds, called
musical notes. However, due to the particular sound features, it is impossible to construct a
perfect scale in which all the intervals and chords are completely pure.
In the present research, an alternative tuning system is put forward. It is based on the
consonance ratios theory. Each note would keep an exact frequency proportion regarding to
the tonic. It is similar to Aristoxenus system, but it has some advantages when it is time to its
application in the real life.
As a part of this study I have put this alternative tuning system into practice building
and programming an digital audio frequency generator with the ARDUINO™ platform. Finally,
I have studied the effectiveness of this system, by conducting a survey to more than 170 peo-
ple. The conclusion is that the most comfortable and accurate tuning system is the equal tem-
perament, although its small lack of precision.
Key words: electronic audio frequency generator, musicology, tuning system, temper-
ament, tuning

10

1. Introducción: notas históricas y antecedentes
11
1. INTRODUCCIÓN: NOTAS HISTÓRICAS Y ANTECEDENTES
La música en la antigua Grecia y en el Imperio romano se basaba exclusivamente en la
melodía, se ignoraba por completo la polifonía y, en general, la armonía en el sentido mo-
derno de la palabra1
(Comotti, 1991: 13). Aunque los textos musicales antiguos que han so-
brevivido hasta nuestros días son muy escasos y fragmentarios, sí disponemos de bastantes
obras de carácter teórico. En efecto, el interés de los griegos y de los romanos por el fenó-
meno musical se centraba sobre todo en el punto de vista acústico y matemático (ibídem: 3-4).
Concretamente, se le atribuye a Pitágoras de Samos2
(s. VI a.C.) y a la escuela pitagórica el
mérito de los primeros estudios acerca de la consonancia y la disonancia entre diferentes so-
nidos. Según algunos de los biógrafos de Pitágoras, este escuchó casualmente cómo el sonido
de diferentes martillos sobre el yunque de un herrero eran eufónicos. Otras fuentes cuentan
que adquirió estos conocimientos durante sus viajes por Babilonia y Egipto (Tomasini, 2003:
15).
Los pitagóricos consideraban que todo el Universo se rige por relaciones matemáticas,
desde el movimiento de los cuerpos celestes hasta la música que, de hecho, asumió una rele-
vancia especial en esta escuela filosófica (Fubini, 2012: 59; «Pitágoras» en Navarro, 1996).
En cuanto a esta última disciplina, Pitágoras llegó a una acertada conclusión, gracias a sus
experimentos con el monocordio: cuanto más sencillos son los números que expresan la rela-
ción entre las frecuencias de dos sonidos, más pura es la consonancia entre ellos (Steinhaus,
1986: 40). Esta teoría fue corroborada con el tiempo una y otra vez por otros científicos e in-
telectuales, como, por ejemplo, Galileo Galilei (1976: 202), y es uno de los fundamentos del
presente estudio.
Los pitagóricos consideraban perfectos solo los tres intervalos formados por los cuatro
primeros números naturales: la octava, la quinta y la cuarta (Peralta, 2011: 72). La escala
1
«El concepto de armonía resulta central en la especulación de los pitagóricos, pero resulta ser un concepto
musical solo por analogía o extensión, ya que su significado original era, sobre todo, metafísico. La armonía es
concebida por los pitagóricos como unificación de contrarios». (Fubini, 2012: 59)
2
De Pitágoras sólo se han conservado las biografías, legendarias y escritas ochocientos años después de su
muerte, de Porfirio y Jámblico. Los pitagóricos atribuyeron todos los descubrimientos de su escuela a su maestro
legendario, pero es imposible corroborar la existencia histórica de Pitágoras (Tomasini, 2003: 15; cf. «Pitágoras»
en Navarro, 1996).

12
pitagórica, basada en estas tres relaciones, presentaba, sin embargo, ciertos problemas a la
hora de su aplicación en la práctica.
Aristógenes (o Aristoxenos) de Tarento (354-300 a.C.) fue un filósofo y músico grie-
go, discípulo de Aristóteles. Criticó la visión pitagórica de los intervalos como simples rela-
ciones numéricas, para él los intervalos eran entes musicales puras ligadas a la experiencia
auditiva (Bélis, 2001; Michels, 2003: 175). Propuso un sistema de afinación basado en la serie
armónica, que recibe su nombre (Calvo, 2002: 205). Este sistema, a diferencia del pitagórico,
aparte de los tres intervalos fundamentales, incorpora también el de tercera (Peralta, 2011:
77).
Durante toda la Edad Media, el sistema de afinación usado en Europa fue el de
Pitágoras. Ya en la Edad Moderna, Gioseffo Zarlino (1517-1590), maestro de la capilla de
San Marcos de Venecia y el teórico musical más destacado del Renacimiento («Zarlino,
Gioseffo» en Honneger, 1993) fue uno de los que pretendieron mejorar el sistema pitagórico.
Basándose en los fundamentos aritméticos de los pitagóricos y en experimentos acústicos,
demostró la concordancia perfecta de los seis primeros armónicos («Zarlino, Gioseffo» en
Ballabriga, 1991) y llegó así a las mismas conclusiones que Aristógenes (Calvo, 2002: 205).
Aunque el temperamento igual fue sistematizado ya en 1577 por Francisco de Salinas
(1513-1590) (Ramstrum, 1998), tradicionalmente se le atribuye a Johann Sebastian Bach
(1685-1750) el consolidar este sistema con su obra El clave bien temperado3
(1722). En esta
obra se reúnen 48 preludios y fugas, en todas las tonalidades mayores y menores de la escala
cromática (Ibáñez, 2008: 105; cf. Tomasini, 2003: 24). En realidad, Bach no hacía referencia
al temperamento igual de doce notas usado hoy en día, sino al de Werckmeister o de 1/4 de
coma (Liern, 2009: 117). En los siglos XVII y XVIII se usaban también algunos sistemas seme-
jantes a este, como el de 1/3 de coma, el de 1/6 de coma o el de 1/7 de coma (ibídem).
Pero lo que sí es cierto es que El clave bien temperado puso fin a las discrepancias que
existían entre los teóricos musicales acerca de cómo cerrar el círculo de quintas. El problema
era cada vez más serio, pues cada vez se usaban agrupaciones instrumentales más numerosas.
Además, la facilidad de transposición fue adquiriendo importancia debido al auge de los
instrumentos de teclado, cuya afinación es demasiado delicada para modificarse en curso de la
ejecución («Temperamento» en De Candé, 2002). Bach defendió uno de los temperamentos
3
Título original: Das wohltemperierte Klavier.

1. Introducción: notas históricas y antecedentes
13
que circulaban en Alemania, pero no se limitó a dar una demostración teórica, sino que con su
obra propuso una demostración constructiva (Liern, 2009: 117).
También vale la pena mencionar el microtonalismo como una técnica alternativa al
problema de las escalas. Ya desde la antigüedad se había empleado en músicas como la hindú
o la árabe (Calvo, 2002: 237), pero en Europa esta idea surgió hacia el siglo XVI. Fue
defendida por algunos teóricos, sin embargo no fue hasta mediados del siglo XIX cuando el
microtonalismo perdió su carácter puramente teórico (Ibáñez, 2008: 134). Fue el compositor y
musicólogo checo Alois Hába (1893-1973) quien consolidó su uso, fue autor de numerosas
piezas en tercios, cuartos, quintos y sextos de tono, aparte de obras teóricas («Hába, Alois» en
Gwinn, 1989; «Hába, Alois» en Isaacs et al., 1986). A lo largo del siglo XX fueron muchos los
músicos que experimentaron con las composiciones microtonales, como Béla Bartók, Julián
Carrillo, Igor Markevitch, Ivan Vishnegradski o Pierre Boulez (Ibáñez, 2008: 134). En la
segunda mitad del mismo siglo el microtonalismo se convirtió en una corriente importante de
composición, acentuada por la aparición de los instrumentos electrónicos y digitales (ibídem;
Keislar, 1988).
En resumen, han sido muchos los que han intentado solucionar el dilema de la escala
perfecta, personajes de la ciencia y de la música desde los más grandes, como Euclides,
Christiaan Huygens, Leibniz u Euler, hasta los que son menos conocidos, como Hugo
Steinhaus (Steinhaus, 1986: 41) u otros citados anteriormente. El problema ha existido
prácticamente desde la aparición de la teoría musical y la cuestión sigue abierta.
Actualmente, el sistema de afinación usado prácticamente en todo el mundo es el
temperamento justo de doce notas (Arbonés, 2010: 30; «Temperamento» en Isaacs, 1986).
Fig. 1.— F. GAFFURIO (1492) Theorica musica. Milán.

14
2. PROLEGÓMENOS
Para evitar ambigüedades e interpretaciones incorrectas del presente estudio, así como
hacer su contenido más claro y comprensible, a continuación se definen y explican algunos de
los conceptos relacionados con el tema.
2.1. Sonido, tono, nota
«Subjetivamente, el sonido es la sensación que experimenta el órgano del oído debido
a la vibración de algún cuerpo. Objetivamente, es el movimiento ondulatorio longitudinal que
da lugar a dicha sensación». (Gisbert et al., 2009: 69) El sonido se caracteriza por cuatro pro-
piedades fundamentales4
: la altura (cuya característica subjetiva se denomina tono), la inten-
sidad (que está relacionada con la sonoridad), el timbre y la duración (Valls, 1984: 16-21). En
este trabajo, la propiedad que se va a manejar sobre todo es la altura, que viene determinada
por la frecuencia del armónico principal de un sonido dado.
Tradicionalmente, en acústica musical, se denomina sonido a «toda sensación agrada-
ble producida por movimientos vibratorios de altura definida y procedencia fácil de estable-
cer» (Calvo, 2002: 84). Todas las demás manifestaciones sonoras se clasificarían como ruido.
Esta definición puede establecerse de forma más objetiva teniendo en cuenta la ley de Fourier
(Ibáñez, 2008: 81):
Esta ley es aplicable a la vasta mayoría de los instrumentos musicales, excluyendo los
de percusión, los placófonos y los mebranófonos (González, 2004: 8; Ibáñez, 2008: 81).
Por lo tanto, un tono «natural», consta de una suma de vibraciones sinusoidales, que se
funden en un todo. Cada una de estas vibraciones constituye lo que se denomina un armónico,
sobretono, tono parcial o componente (Michels, 2003: 17; cf. Gisbert et al., 2009: 81). El ar-
mónico más grave es el fundamental o básico (González, 2004: 8). De los diferentes armóni-
4
También existen otras propiedades como el volumen o el brillo, pero que son de menor importancia y no son
objeto del presente estudio (Ibáñez Barrachina, 2008: 80).
Ley de Fourier: Un movimiento vibratorio cualquiera, de período 𝑇 y frecuencia 𝑓, es
siempre expresable como una suma de movimientos armónicos simples cuyos períodos
son 𝑇, 𝑇 2⁄ , 𝑇 3⁄ , 𝑇 4⁄ , etc. y frecuencias 𝑓, 2𝑓, 3𝑓, 4𝑓, etc. (Calvo, 2002: 31)

2. Prolegómenos
15
cos que hay presentes en un sonido y de sus intensidades relativas dependerá el timbre. Un
tono «puro», una vibración sinusoidal aislada, solo puede ser generado electrónicamente o
con un diapasón (Gisbert et al., 2009: 81; Michels, 2003: 81).
El término tono también se usa para referirse simplemente a un sonido constante o a la
frecuencia de su armónico principal (Ibáñez, 2008: 77). En un contexto más musical, el tér-
mino tono puede referirse al intervalo de segunda mayor (Drabkin, 2001).
Una nota musical es un sonido afinado, es decir, aquel que está admitido por el siste-
ma de afinación usado (Ibáñez, 2008: 77). En el presente trabajo se indica la octava a la que
pertenece una nota con el número correspondiente colocado como subíndice a continuación
del nombre de la nota, siempre tomando como referencia LA4
5
.
Se denominan notas enarmónicas aquellas que, por pertenecer a tonalidades distintas,
se diferencian en su nombre y en su notación musical, aunque sus frecuencias sean muy simi-
lares o, en algunos casos6
, incluso iguales (Fernández, 2010; «Enarmonía» en Valls, 1994).
2.2. Intervalo
«Subjetivamente, el intervalo es la diferencia de altura de dos notas. Físicamente, es la
proporción entre sus frecuencias». («Intervalos» en De Candé, 2002) El intervalo armónico es
aquel que se da entre dos notas interpretadas simultáneamente, en cambio el melódico es el
que se da entre dos notas consecutivas (Lindley et al., 2001).
En este estudio se va a emplear el modo más común de expresión matemática de un
intervalo, mediante una fracción que representa la razón de las frecuencias de las dos notas
(«Intervalos» en De Candé, 2002). Esto se debe a que el oído humano, al escuchar dos soni-
dos al mismo tiempo o consecutivamente, lo que aprecia, aparte de la diferencia de sus fre-
cuencias, son los factores de proporcionalidad entre las mismas. La división de la escala en
notas musicales, por tanto, no es una progresión aritmética, sino geométrica (Peralta, 2003:
442). Así, por ejemplo, si la frecuencia de LA4 es de 440 Hz, la de LA5 será de 880 Hz, la de
LA6, de 1760 Hz, y así consecutivamente.
5
Actualmente, por conveniencia el diapasón normal LA4 está fijado en 440 Hz a 20 ºC y el margen de error no
debe exceder 0,5 Hz (ISO, 2011; cf. Károlyi, 1999: 17; Michels, 2003: 17).
6
Como, por ejemplo, en el sistema temperado.

16
Cuando hablamos de «sumar», «añadir» o «restar» un determinado intervalo a una
nota, en realidad nos estamos refiriendo a multiplicar o dividir su frecuencia por la fracción
correspondiente al intervalo en cuestión. Por ejemplo, se sabe que MI5 es la quinta justa de
LA4. Si la frecuencia de LA4 es de 440 Hz, la de MI5 será de
3
2
∙ 440 Hz = 660 Hz.
Se dice que dos intervalos son complementarios cuando se complementan mutuamente
para formar una octava (Michels, 2003: 85). Matemáticamente, el complementario de un in-
tervalo
f2
f1
es 2 ÷
f2
f1
= 2 ∙
f1
f2
: se trata de restar a la octava el intervalo dado.
Por ejemplo, los intervalos de quinta y cuarta justas son complementarios. La quinta
de DO1 es SOL1, y la cuarta de SOL1 es DO2. De forma analítica:
3
2
∙
4
3
= 2. También se puede
demostrar que la cuarta es el intervalo por inversión de la quinta, porque 2 ÷
3
2
=
2 ∙ 2
3
=
4
3
.
A continuación se detallan los intervalos musicales más importantes (Calvo, 2002:
198-199; Michels, 2003: 85; Steinhaus, 1986: 41):
FIG. 2.— Intervalos de quinta y cuarta en una octava. (Realización propia)

2. Prolegómenos
17
 Prima o unísono: proporción de frecuencias 1 1⁄ . Más que una consonancia, se trata de
una equisonancia. Es un intervalo más bien poco práctico, relaciona dos sonidos con la
misma frecuencia.
 Octava justa: proporción de frecuencias 2 1⁄ . Se considera la consonancia perfecta por
excelencia (cf. Landart, 2004). Un tono de frecuencia doble (2f) que de otra (f) da la
sensación de ser el mismo sonido, pero más agudo. Se dice que la diferencia entre es-
tos dos sonidos es de una octava. Como vamos a ver a continuación, la determinación
de las frecuencias de las diferentes notas de una escala se obtiene por partición de este
intervalo cerrado [f, 2f].
 Quinta justa: proporción de frecuencias 3 2⁄ . Como veremos más adelante, es la base
de la escala pitagórica. Es el intervalo complementario de cuarta y el que se da entre la
tónica y la dominante. Se considera como consonancia perfecta.
 Cuarta justa: proporción de frecuencias 4 3⁄ . Es el complementario de quinta. Es el in-
tervalo que se da entre la tónica y la subdominante. Se considera como consonancia
perfecta.
 Tercera mayor: proporción de frecuencias 5 4⁄ . Es el complementario de sexta mayor.
Es el intervalo que se da entre la tónica y la mediante. Se considera como consonancia
imperfecta.
 Tercera menor: proporción de frecuencias 6 5⁄ . Es el complementario de sexta menor.
Se considera como consonancia imperfecta.
 Sexta mayor: proporción de frecuencias 5 3⁄ . Es el complementario de tercera mayor.
Es el intervalo que se da entre la tónica y la superdominante. Se considera como con-
sonancia imperfecta.
 Sexta menor: proporción de frecuencias 8 5⁄ . Es el complementario de tercera menor.
 Segunda mayor (o tono mayor o grande): proporción de frecuencia 9 8⁄ . Es el interva-
lo que se da entre la tónica y la supertónica. Se considera como disonancia.
 Tono pequeño: proporción de frecuencias 10 9⁄ . Se considera como disonancia.
 Segunda menor (o semitono diatónico): proporción de frecuencias 16 15⁄ . Se conside-
ra como disonancia.
 Séptima menor: proporción de frecuencia 16 9⁄ . Se considera como disonancia.
 Séptima mayor: proporción de frecuencia 15 8⁄ . Es el intervalo que se da entre la tóni-
ca y la sensible. Se considera como disonancia.

18
2.3. Consonancia y disonancia
El concepto de consonancia es muy confuso, y es complicado dar una definición gené-
rica y concreta del mismo. Además, «nunca será una definición absoluta, ya que todo cuanto
pueda decirse a este respecto tiene una validez relativa y solo para determinadas épocas de la
historia musical» («Consonancia» en Navarro, 1996). Lo que sí es seguro, es que la conso-
nancia está íntimamente relacionada con el ámbito de la psicología, más concretamente, con
la psicología de la audición. Algunos intervalos se perciben como eufónicos, caracterizados
por un alto grado de fusión, calma y distensión (consonantes), y otros como colmados de ten-
siones, fricción y acritud (disonantes) (Michels, 2003: 21).
A lo largo de la historia han ido surgiendo diferentes teorías7
, pero la más difundida y
aceptada actualmente es la teoría de las proporciones (también llamada teorema de Tyndall),
que fue propuesta por primera vez por Pitágoras. Es la que se va a adoptar en el presente estu-
dio.
2.4. Sistema de afinación, escala, tonalidad
Cada uno de los métodos usados para elegir los sonidos utilizados por la música cons-
tituye un sistema de afinación (Ibáñez, 2008: 77). Solo la altura resulta determinante para la
elección y el ordenamiento de los sonidos (Michels, 2003: 85). La determinación de las fre-
cuencias de las diferentes notas de una escala se obtiene por partición de la octava, o, en otros
términos, eligiendo puntos del intervalo cerrado [1, 2] (Peralta, 2003: 443; Ibáñez, 2008: 77).
Los sistemas de afinación se clasifican en afinaciones y temperamentos. Mientras que
las afinaciones se basan en las relaciones de números racionales y, por tanto, sus intervalos
7
En contraposición a la teoría de la proporción, destacan la teoría de la afinidad sonora de Helmholtz (cuantos
más armónicos compartan dos tonos, más consonante es el intervalo), la teoría de la fusión de tonos de Stumpf
(dos tonos son tanto más consonantes, cuanto mayor sea el número de oyentes no instruidos que lo sienten como
si fuese uno solo), la teoría de los tonos parciales auditivos y residuales y la teoría de la estabilidad (Michels,
2003: 21; Károlyi, 1999: 95; «Estabilidad» en Valls, 1994). Según otros autores, no existe relación alguna entre
la consonancia y cualquier estudio cuantitativo (Eximeno, 1978: 129-137).
Teoría de la proporción: Cuanto más simple es la relación de las frecuencias de dos tonos,
más consonante será el intervalo que forman (Calvo, 2002: 198; cf. Michels, 2003: 21).

2. Prolegómenos
19
son justos, en los temperamentos aparece algún número irracional, con lo cual algunos inter-
valos serán «templados» o aproximados (Ibáñez, 2008: 78).
El material sonoro en la cultura occidental se organiza en 7 u 8 octavas (de conformi-
dad con el ámbito de la audición), de 12 semitonos cada una. Esta división de la octava en 12
sonidos, llamados también grados, constituye la escala material. Esta escala material se vuelve
a subdividir, determinando así el género; en el sistema temperado distinguimos cuatro géneros
fundamentales (Michels, 2003: 86):
 Escala pentatónica o pentáfona: escala de 5 sonidos, desprovista de semitonos, con
tres tonos enteros y dos terceras menores.
 Escala por tonos: escala de 6 sonidos, desprovista de semitonos, con 5 tonos enteros.
 Escala diatónica: escala de 7 sonidos, con 5 tonos enteros y 2 semitonos. En el siglo
XI, Guido d’Arezzo adoptó para nombrar las notas de la escala diatónica una serie de
sílabas que aparecen en el Himno a san Juan Bautista: UT, RE, MI, FA, SOL, LA, SI.
Posteriormente se sustituyó UT por DO (Arbonés, 2010: 21; «Escala» en De Candé,
2002). Las notas de la escala diatónica en relación a la tónica se denominan (en orden
ascendente): tónica, supertónica, mediante, subdominante, dominante,
superdominante, subtónica (o sensible si está a medio tono de la tónica) (Károlyi,
1999: 56).
 Escala cromática: tiene 12 semitonos. Es idéntica a la escala material.
El término tonalidad hace referencia a la escala mayor o menor construida a partir de
una determinada nota fundamental o tónica, que es su centro tonal, y hacia la cual tienden las
demás notas de la escala. La tonalidad toma el nombre de la tónica (Károlyi, 1999: 61;
Rodríguez, 2013).
La transposición es el proceso de escribir o ejecutar una pieza musical en una
tonalidad distinta a la original con el fin de facilitar su interpretación. Para ello se modifican
las alturas de las notas, manteniendo los inetrvalos («Transposición» en De Candé, 2002). La
modulación es también un cambio de tonalidad, pero que se realiza por voluntad del
compositor en curso de la obra («Modulación», ibídem).

20
Los sitemas de afinación microtonales son aquellos que tienen más de doce notas en
cada octava. En estos sistemas existen, por tanto, intervalos más pequeños que el semitono
(Keislar, 1988: 1).
A lo largo de la historia han ido surgiendo diferentes sistemas de afinación. Entre los
más importantes destacan el sistema de Pitágoras, el de Holder, el de Aristógenes, el tempera-
do de Werckmeister y el temperado igual, que exponen a continuación.
Sistema pitagórico
Pitágoras comprobó con el monocordio que al acortar una cuerda un medio, un tercio o
un cuarto de su longitud total y haciéndola sonar, se obtenían intervalos consonantes respecto
a la cuerda original. Estos eran los únicos intervalos considerados por los pitagóricos (la octa-
va, la quinta y la cuarta) y en ellos se basa su sistema. Para obtener las frecuencias de las no-
tas, se suman sucesivamente quintas, a partir de la tónica, restando después las octavas nece-
sarias para no salir del intervalo [f, 2f], es decir, de la primera octava. De esta forma se
obtiene una escala en la que existe solo un tipo de tono (9 8⁄ ) y dos tipos de semitonos: el
diatónico (256 243⁄ ) y el cromático (2187 2048⁄ ). Al ser este último más grande que el
primero, las notas enarmónicas en este sistema son diferentes (Ibáñez, 2008: 96).
El mayor inconveniente de una escala de tal forma es la llamada quinta del lobo. Pues-
to que no existen números enteros n y m tales que 2n
= 3m
, nunca se llega a alcanzar la octava
de la nota de partida (Arbonés, 2010: 24-25; Arenzana et al., 1998: 28). Con otras palabras,
doce quintas justas no son iguales a siete octavas; la diferencia entre ellas es la llamada coma
pitagórica, cuyo valor es igual también a la diferencia entre un semitono cromático y otro dia-
tónico (Calvo, 2002: 218):
Coma =
2187
2048
÷
256
243
=
312
219 =
531 441
524 288
≈ 1,013643265 ( 1 )
Para neutralizar este error, se considera la última quinta del círculo de quintas algo
menor que las demás, es la llamada quinta del lobo.
Otra desventaja de este sistema es que da lugar a pulsaciones entre los armónicos de
distintos sonidos, debido a que no está perfectamente afinado respecto a la serie armónica
(Calvo, 2002: 219-220).

2. Prolegómenos
21
Sistema de Holder
El sistema de Holder es un temperamento que surgió como adaptación del sistema pi-
tagórico. Consiste en dividir la octava en 53 partes iguales, denominadas comas, con las que
se van construyendo los intervalos. De esta forma, el tono contiene 9 comas, el semitono cro-
mático, 5 y el diatónico, 4 (Calvo, 2002: 221). Aunque se basa en intervalos más pequeños
que el semitono, no se trata de un sistema microtonal, pues no se contempla la posibilidad de
utilizar dichos intervalos aislados.
El resultado es, a efectos prácticos, una escala igual a la pitagórica, solo que el error de
la quinta del lobo se reparte entre todas las notas (Ibáñez, 2008: 106).
Sistema de Aristógenes
El sistema de Aristógenes8
, consiste en elegir los sonidos de la escala diatónica de ma-
nera que cada uno de ellos guarde una proporción justa respecto a la tónica. Los intervalos
son, por tanto, los siguientes (Calvo, 2002: 205-206):
 Supertónica: 9 8⁄
 Mediante: 5 4⁄
 Subdominante: 4 3⁄
 Dominante: 3 2⁄
 Superdominante: 5 3⁄
 Sensible: 15 8⁄
8
Llamado también de Zarlino, natural, de justa entonación, de los físicos o de los geómetras (Calvo, 2002: 205;
Peralta, 2011: 77).
FIG. 3.— Círculo de quintas y la quinta del lobo. (Ibáñez Barrachina, 2008: 97)

22
En efecto, en el sistema de Aristógenes se obtienen dos clases de tonos: el grande
(9 8⁄ ) y el pequeño (10 9⁄ ). Por lo que a los semitonos respecta, se consiguen tres tipos distin-
tos: el cromático (25 24⁄ ), el diatónico de tono grande (27 25⁄ ) y el diatónico de tono pequeño
(16 15⁄ ) (ibídem: 206-208).
Sus principales inconvenientes están ligados con la imposibilidad de llevarlo a la prác-
tica en instrumentos de afinación fija. Por un lado, las frecuencias de las notas dependen de la
tonalidad y, por otro, existen tres tipos distintos de semitonos.
Sistema de Werckmeister
En el sistema temperado de Werckmeister, o de 1/4 de coma, el círculo de quintas se
cierra acortando 1 4⁄ de coma las quintas DO - SOL, SOL - RE, RE - LA, SI - FA#
(cf. Liern,
2009: 117). El valor de estas quintas sería:
3
2
÷
1
4
de coma =
3
2
÷ √
312
219
4
=
3 ∙ 24 √234
2 ∙ 33 =
8 √8
4
9
≈ 1,49492696 ( 2 )
Temperamento igual
El temperamento igual o justo de doce notas consiste en dividir la octava en 12 semi-
tonos iguales entre sí. La razón entre dos semitonos consecutivos es, por tanto, √2
12
. De este
modo, se evita el problema de la quinta del lobo, pues la coma pitagórica se reparte entre to-
das las quintas. Además, todos los intervalos son idénticos, pero ninguno de ellos (salvo la
octava) es puro, sino que son todos aproximados (Arbonés, 2010: 30; Arenzana et al., 1998:
28). Por ejemplo, la quinta justa en el sistema temperado sería igual a:
√2712
≈ 1,498307077 < 1,5 =
3
2
( 3 )
Por lo tanto, el error relativo respecto al valor ideal de este intervalo sería de, aproxi-
madamente, 0,11%. Es un error sumamente pequeño, y el oído humano parece tolerarlo bas-
tante bien. Además, la facilidad de transposición y de aplicación en instrumentos de afinación
fija que presenta lo hace un sistema muy cómodo y versátil. No obstante, la invariabilidad del
sistema, sea cual sea el centro tonal, es visto por algunos como una «pérdida de diversidad»,
pese a su evidente ventaja práctica (Arbonés, 2010: 30).

3. Planteamiento del problema y objetivos
23
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS
Existen muchos más sistemas de afinación, que han ido surgiendo a lo largo de la his-
toria en todo el mundo, pero ninguno de ellos se libra de algún tipo de sutil imprecisión (Ar-
bonés, 2010: 28-29). La cuestión no es baladí, tengamos presente la importancia que tiene la
música para el ser humano y su abundancia en la vida cotidiana: la música se considera como
el arte que más emociones despierta (Levitin, 2008).
Aunque ciertamente este problema no ha impedido a los grandes compositores escribir
sus obras maestras que siguen gozando de popularidad en todo el mundo, el objetivo principal
de este estudio es proponer una solución constructiva. Los objetivos, por orden decreciente de
importancia, son los que siguen:
1. Establecer las bases teóricas de un sistema de afinación alternativo que, al menos a ni-
vel teórico, podría ser una solución para el dilema de la escala ideal.
2. Dar un ejemplo práctico de aplicación de dicho sistema construyendo un prototipo de
teclado electrónico.
3. Estudiar su eficacia desde el punto de vista psicoacústico y estadístico mediante una
encuesta.

24
4. METODOLOGÍA
En el presente trabajo se propone un sistema de afinación alternativo, que consiste en
construir la escala cromática caracterizada por las relaciones exactas entre las diferentes notas
que la constituyen, buscando la consonancia ideal de los intervalos.
Una vez establecidos los fundamentos teóricos de tal sistema, se ha puesto en práctica,
construyendo y programando un teclado electrónico. Finalmente, se ha analizado los resulta-
dos realizando una encuesta, para comprobar si la diferencia entre el sistema de afinación
propuesto y el sistema temperado es perceptible y si, en caso afirmativo, resulta más agrada-
ble.
Todas las tablas, gráficas y cálculos matemáticos han sido realizadas por el autor con
la hoja de cálculo de EXCEL®
. La encuesta ha sido diseñada y realizada en red, por medio de
GOOGLE FORMS. Para generar las melodías empleadas en la encuesta se ha usado el programa
gratuito AUDACITY® 9
, y para ponerlas a disposición de los encuestados se han publicado co-
mo vídeos en YOUTUBE. La difusión de la encuesta se ha hecho por medio de correo electró-
nico. Todos estos recursos son fácilmente accesibles para la inmensa mayoría de usuarios de
ordenadores que disponen de la plataforma WINDOWS®
, LINUX®
o MACINTOSH®
.
En cuanto al teclado electrónico, tanto la placa computadora como el entorno de desa-
rrollo empleados pertenecen a la plataforma abierta ARDUINO™. Los esquemas de montaje en
placa protoboard y el plano del circuito del teclado se han diseñado con el programa libre
FRITZING™ 10
.
Con el objeto de poder recoger todos los materiales de interés relacionados con el tra-
bajo, sobre todo los informáticos, se ha creado un portal en la red (con la tecnología de
GOOGLE SITES) que se puede acceder a través del siguiente enlace:
sites.google.com/site/heuristicadelaafinacionmusical
9
Este programa puede obtenerse gratuitamente en el portal de la red audacity.sourceforge.net.
10
Este programa puede obtenerse gratuitamente en el portal de la red fritzing.org/download.

5. Sistema alternativo de afinación
25
5. SISTEMA ALTERNATIVO DE AFINACIÓN
5.1. Fundamento teórico
Si tenemos en cuenta que la consonancia viene dada por la relación numérica entre dos
sonidos, parece lógico que solo algún tipo de afinación podría proporcionar a la música unos
intervalos de consonancia perfecta. Los temperamentos quedan excluidos, pues por definición
se basan en los números irracionales. Lo más fácil e intuitivo, por tanto, sería plantear un sis-
tema de afinación en el cual la frecuencia de cada nota de la escala cromática se obtendría
multiplicando una frecuencia de referencia por la fracción correspondiente a la distancia a este
tono de referencia. Aquí nos encontramos con una primera dificultad. Al construir una escala
de este modo, todos los tonos guardarían una relación de consonancia o disonancia deseada
únicamente con respecto a la nota de referencia.
Por lo tanto, las frecuencias de las diferentes notas dependerían de la tonalidad en la
que se interpreta una pieza. En instrumentos de afinación libre, como el violín, esto no supon-
dría realmente un problema, pero sí resultaría problemático en instrumentos de afinación fija,
como el piano, o incluso imposible en instrumentos tales como los de viento o los placófonos,
que no se pueden afinar (cf. Montero, 2012). La aplicación más cómoda de dicho sistema se-
ría en un sintetizador o, simplemente, en un teclado electrónico que permitiría el cambio de
tonalidad con solo pulsar un botón. Es lo que se ha hecho en el marco del presente estudio.
Para evitar los problemas y complicaciones que supone el sistema de Aristógenes, y
buscando la máxima comodidad a nivel práctico de su aplicación en un teclado electrónico, se
asignará un intervalo a cada una de las doce notas de una octava. En realidad, se trata de una
adaptación de la escala de Aristógenes, la principal diferencia radica en la determinación de
los semitonos.
Así, partiendo de la tónica, las sucesivas notas de la escala cromática en orden ascen-
dente guardarían estas proporciones con aquella:
Grado I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII
Razón 1 16
15⁄ 9
8⁄ 6
5⁄ 5
4⁄ 4
3⁄ 7
5⁄ 3
2⁄ 8
5⁄ 5
3⁄ 16
9⁄ 15
8⁄ 2
Obsérvese que la escala es simétrica en cuanto a la distribución de los intervalos. Es
ecir, el intervalo del 1er
grado es complementario del 13º (1 ∙ 2 = 2); el 2º es complementario

26
del 12º (
16
15
∙
15
8
= 2), el 3º lo es del 11º y así consecutivamente. La única excepción a esta regla
es el 7º grado, que se encuentra justo en el medio.
Este intervalo es el más problemático. Por ejemplo, en la tonalidad de DO mayor, esta
nota sería FA#
. Idealmente, la distancia que la separa del DO por debajo y del DO por arriba
debería ser la misma, para mantener la simetría. Como la proporción de frecuencia entre am-
bos DO es 2, la relación entre DO y FA#
tendría que ser:
x2
= 2 ⇒ x = √2 ≈ 1,414213562 ( 4 )
Volvemos a encontrarnos con los números irracionales, cuyo uso iría en contra de los princi-
pios del sistema, por tanto se adoptará la fracción teóricamente consonante más próxima:
7 5⁄ = 1,4.
5.2. Escala diatónica
De la forma descrita anteriormente, se obtiene la misma escala diatónica que en el sis-
tema de Aristógenes (Calvo, 2002: 206):
 1º - 3º grado =
9
8
 3º - 5º grado = 1º - 5º grado menos 1º - 3º grado =
5
4
÷
9
8
=
10
9
4
3
÷
5
4
=
16
15
3
2
÷
4
3
=
9
8
5
3
÷
3
2
=
10
9
15
8
÷
5
3
=
9
8
 12º - 13º grado = 1º - 13º grado menos 1º - 12º grado = 2 ÷
15
8
=
16
15
Se tiene así un tono grande (9 8⁄ ), un tono pequeño (10 9⁄ ) y un semitono diatónico
(16 15⁄ ). No existen intervalos consecutivos iguales, y en cada tritono hay tonos grandes y
tonos pequeños.

5. Sistema alternativo de afinación
27
5.3. Escala cromática
A continuación, se hallan los semitonos restantes con el fin de determinar todos los
intervalos entre notas consecutivas.
 1º - 2º grado =
16
15
= 1,06̂
9
8
÷
16
15
=
135
128
= 1,0546875
6
5
÷
9
8
=
16
15
= 1,06̂
5
4
÷
6
5
=
25
24
= 1,0416̂
7
5
÷
4
3
=
21
20
= 1,05
3
2
÷
7
5
=
15
14
=1,0714265̅̅̅̅̅̅̅̅̅
8
5
÷
3
2
=
16
15
= 1,06̂
5
3
÷
8
5
=
25
24
= 1,0416̂
16
9
÷
5
3
=
16
15
= 1,06̂
15
8
÷
16
9
=
135
128
= 1,0546875
 12º - 13º grado = 1º - 12º grado menos 1º -12º grado = 2 ÷
15
8
=
16
15
= 1,06̂
Como se puede observar, los intervalos de semitono también son «simétricos» dentro
de la escala, a excepción de los dos semitonos centrales, por las razones ya expuestas.
De este modo se obtienen cinco tipos distintos de semitono (16 15⁄ , 135 128⁄ , 25 24⁄ ,
21 20⁄ , 15 14⁄ ). En este caso, esto no supone un problema, puesto que su distribución es fija e
invariable, al contrario de lo que sucede en el sistema de Aristógenes.
En los Apéndices I y II se pueden consultar tablas con los valores absolutos de frecuen-
cia de las distintas notas en función de la tonalidad, con LA4 afinado a 440 Hz.

28
Fig. 4.— Intervalos entre tonos y semitonos consecutivos, tomando como tónica DO. (Realización pro-
pia)

6. Teclado electrónico
29
6. TECLADO ELECTRÓNICO
6.1. Planteamiento y funcionamiento
Uno de las principales desventajas del sistema de afinación propuesto en este estudio
es su limitación a instrumentos de afinación libre. Con objeto de dar un ejemplo práctico de
aplicación de este sistema, se ha construido y programado un prototipo de teclado electrónico
que permite la interpretación de melodías en las tonalidades de DO y de RE.
El instrumento consta de un teclado con 13 teclas, es decir, una octava, que comienza
en Do4 y termina en Do5. El cambio de tonalidad es lo suficientemente sencillo como para
poder ser efectuado incluso en curso de la interpretación, puesto que se realiza con un inte-
rruptor. Para evitar confusiones, el teclado dispone de dos ledes, de los cuales se ilumina uno
u otro en función de la tonalidad seleccionada. El volumen del altavoz puede ser regulado
gracias a un potenciómetro.
En el Apéndice IV puede consultarse el código del programa usado. También se ha pu-
blicado en YOUTUBE un vídeo11
que muestra el funcionamiento de un prototipo del teclado.
6.2. Materiales
Los componentes eléctricos y electrónicos empleados son los que siguen:
 Placa Arduino Uno rev. 3 (ATmega328)
 Altavoz de 8 Ω y 0,25 W en el pin 13
 13 pulsadores normalmente abiertos en los pines de 2 a 12, A0 y A1
 Interruptor en el pin A2
 Dos ledes de 5 mm, rojo en A3 y verde en A4
 14 resistores fijos de 1 kΩ ± 5%
 Potenciómetro de 2,2 kΩ
11
El enlace de dicho vídeo es el que sigue: www.youtube.com/watch?v=L0clal-48aM&feature=youtu.be.

30
6.3. Documentación gráfica
FIG. 6.— Esquema de funcionamiento del teclado. (Realización propia)
FIG. 5.— Esquema de montaje del teclado. (Realización propia)

6. Teclado electrónico
31
FIG. 7.— Montaje del prototipo en placa protoboard. (Realización propia)

32
7. ENCUESTA
7.1. Objetivos y diseño de la encuesta12
La realización de una encuesta es de vital importancia para el presente estudio, pues
permite estudiar la eficacia del sistema de afinación propuesto. Se trata de averiguar si la dife-
rencia respecto al sistema temperado es perceptible y si, en caso afirmativo, es realmente más
agradable para el oído. Para eso es importante hacer una distinción entre los encuestados ins-
truidos y no instruidos en este tema, es decir, discriminar las personas que han recibido una
educación musical media o avanzada.
Aprovechando la ocasión, también se ha seguido una línea de investigación correla-
cionada, para estudiar la precisión del oído humano. Se trata de averiguar si es posible dife-
renciar dos tonalidades con notas fundamentales enarmónicas, aplicando el sistema de afina-
ción pitagórico.
Las melodías que son objeto de la encuesta se ponen a disposición de los encuestados
como dos vídeos publicados en internet. En el primero, se incluyen dos interpretaciones de la
conocida melodía del último movimiento de la novena sinfonía de Beethoven. Mientras que
en la primera se usa el sistema temperado, en la segunda se emplea el sistema de afinación
propuesto en el presente estudio. En el segundo vídeo también se incluye dos veces la misma
melodía, pero mientras la primera se interpreta en FA#
, en la segunda se interpreta en SOL♭
,
aplicando el sistema de Pitágoras13
, que en el sistema temperado serían exactamente iguales.
Obviamente, los encuestados ignoran todas estas informaciones.
12
La encuesta está disponible en: docs.google.com/forms/d/1DCinUE9IyPu-nJPyzASVEOWtS6-FRItity2eqC6U
UxI/viewform.
13
La diferencia de altura entre las dos sería, por tanto, de una coma pitagórica.

7. Encuesta
33
7.2. Estructura de la encuesta
1. Datos generales del sujeto.
1.1. ¿Te gusta escuchar música? El objetivo de esta pregunta es puramente psicológi-
co, se pretende inspirar confianza al encuestado.
1.2. ¿Has recibido instrucción musical, aparte de la de la enseñanza obligatoria? Con
esta pregunta, al igual que con las dos siguientes, se averigua la relación del en-
cuestado con la música.
1.3. ¿Crees que tienes un «buen oído»?
1.4. ¿Tocas algún instrumento musical?
2. Vídeo 1.
2.1. ¿Aprecias alguna diferencia entre ellas? En caso negativo se salta directamente al
segundo vídeo.
2.2. En caso afirmativo, ¿alguna de las dos suena mejor, o más agradable?
3. Vídeo 2.
3.1. ¿Aprecias alguna diferencia entre ellas?
3.2. En caso afirmativo, ¿alguna de las dos suena mejor, o más agradable?
No se ha limitado ni el tiempo para realizar la encuesta ni el número de veces de re-
producción de los vídeos. También cabe destacar que el formulario se ha realizado en español,
polaco e inglés, pero no se ha discriminado los resultados en función del idioma, consideran-
do que la música es un lenguaje universal. Tampoco se ha tenido en cuenta el sexo ni la edad
de los encuestados.
7.3. Resultados obtenidos
Se han registrado en total 173 respuestas, entre el 1 y el 29 de abril de 2014.
A la gran mayoría de los encuestados (92%) le agrada escuchar música. La quinta par-
te de los encuestados (20%) afirma haber recibido clases de música, mientras que más de dos
tercios (72%) no las ha recibido. Casi la mitad (48%) considera que tiene un buen oído, más
de la cuarta parte (28%) cree que tiene un oído poco desarrollado y casi la cuarta parte (24%)

34
duda. Por lo que a las habilidades musicales respecta, poco más de la cuarta parte (26%) afir-
ma saber tocar algún instrumento, otros tantos (28%) tocan un poco solo algún instrumento y
el resto (48%) no toca ninguno.
Más de la mitad de los encuestados (54%) aprecia la diferencia entre las dos grabacio-
nes del primer vídeo y el 37% no la aprecia. De las personas que sí oyen la diferencia o están
dudosas, el 42% considera que la segunda melodía resulta más agradable, lo cual representa
un 19% del total. El 30% considera que es la primera la que suena mejor y el 19% piensa que
las dos suenan igual de bien.
En el segundo vídeo, el porcentaje de encuestados que oyen la diferencia entre las dos
melodías se reduce a 39%, mientras que poco más de la mitad (52%) no la aprecia. De las
personas que sí oyen la diferencia o están dudosas, un tercio (33%) considera que la primera
melodía es más agradable, más de otro tercio (34%) considera que es la segunda la que suena
mejor y un grupo reducido de personas (13%) piensa que las dos grabaciones suenan igual de
bien.
Para poder establecer una relación entre las respuestas a las preguntas de la primera
parte con las de la segunda y de la tercera, y presentar los datos de forma clara y ordenada, se
ha construido una tabla (vid. Apéndice III) que recoge todos estos datos. Los archivos con to-
dos los resultados y los diagramas de sectores de los porcentajes pueden consultarse en el
apartado Encuesta del portal en la red del trabajo.
Analizándolos, se observan algunas tendencias interesantes. En el segundo vídeo, el
porcentaje de encuestados que han sido capaces de diferenciar las dos tonalidades es mucho
menor que en el primer caso. Pero también merece la pena destacar que las respuestas de las
personas que consideran tener un buen oído o tocar algún instrumento musical cumplen más
las expectativas que, por ejemplo, las de las personas instruidas. Curiosamente, también las
respuestas de las personas que no han recibido clases de música son más «acertadas» que las
de las personas instruidas en el primer vídeo. En el segundo son prácticamente iguales. Tal y
como era de esperar, la mayoría de las personas que han sido capaces de percibir la diferencia
del segundo vídeo también lo han sido en el primero. Por último, la mayoría (73%) de las per-
sonas que perciben la diferencia entre las dos interpretaciones del segundo vídeo y piensan
que ambas suenan igual de bien (que es lo correcto a nivel teórico) también oyen la diferencia
del primer vídeo. Pero mientras que el 56% considera que de este último suena mejor la pri-

7. Encuesta
35
mera interpretación, el 44% encuentra las dos melodías del segundo vídeo igual de agrada-
bles.
Sí No No sé
GRÁFICO 1.— ¿Oyes alguna diferencia entre las dos melodías?
Pregunta del primer vídeo, en el que se compara el sistema temperado con el alternativo.
Sí: temp. Sí: afin. No No sé
GRÁFICO 2.— ¿Alguna de las dos suena mejor?
Pregunta hecha solo a las personas que habían respondido «Sí» o «No sé» en la pregunta anterior. Las perso-
nas que consideran más agradable el sistema de afinación alternativo («Sí: afin.») es el 42%, que representa el
19% del total.

36
8. CONCLUSIONES
En las respuestas de la encuesta es difícil percibir una tendencia general clara, y los
resultados no confirman la teoría. Solo una pequeña porción de los encuestados ha encontrado
más agradable la melodía basada en el sistema de afinación alternativo propuesto en el pre-
sente estudio, al contrario de lo que se esperaba. El hecho de que las personas sin una educa-
ción musical sólida hayan obtenido, por lo general, unos resultados «mejores» que las perso-
nas que sí han estudiado música no hace sino confirmar las palabras de Manuel de Falla.
Además, resulta que la coma pitagórica ligada con la quinta del lobo es una imprecisión muy
sutil, aunque no imperceptible.
Las conclusiones, en relación a los objetivos, son los siguientes:
1. Es posible construir un sistema de afinación coherente desde el punto de vista mate-
mático y que permite obtener intervalos perfectamente consonantes.
2. Este sistema es únicamente aplicable a un instrumento digital.
3. Las imprecisiones del sistema temperado son muy sutiles.
La conclusión final es que el temperamento igual de doce notas empleado en la cultura
occidental es la mejor solución al dilema de las escalas. Es el sistema más cómodo y, al fin y
al cabo, las imprecisiones de las relaciones de frecuencia originadas por los números irracio-
nales resultan a efectos prácticos inaudibles, por tanto no suponen un problema real. No obs-
tante, otros sistemas de afinación, como el propuesto, el de Aristógenes o el de Pitágoras, po-
drían usarse ocasionalmente, por ejemplo, en la producción electrónica y digital de música.

9. Futuras líneas de investigación
37
9. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
El estudio del sonido, tanto de su faceta científica como de la artística, abarca numero-
sas disciplinas del conocimiento (matemáticas, física, musicología, etc.) y eso hace que sea
particularmente enriquecedor, envolvente e interesante. Entre otras líneas de investigación
relacionadas destacan las siguientes:
 Psicoacústica. Sin duda el tema más apasionante, aunque tiene más que ver con la psi-
cología que con la musicología o física de las ondas. ¿Por qué determinados sonidos o
melodías son capaces de transmitir emociones tan diversas y tan fuertes?
 Afinación a 440 Hz. ¿Hay alguna razón por la que en la cultura occidental se afine LA4
a 440 Hz? ¿Será verdad que existen otras afinaciones más «armoniosas con el ser hu-
mano y con el planeta»? (cf. Arbonés, 2010: 16; Narejos, 2013)
 Desarrollo de la encuesta. Habría sido interesante clasificar los resultados de la en-
cuesta en función de la edad de los encuestados, para poder analizar así la evolución
de la capacidad de audición humana a lo largo de la vida. Además, sería muy intere-
sante hacer un estudio similar usando polfonías (por ejemplo acordes) en lugar de me-
lodías, para comprobar si la simultaneidad de los sonidos influye en su percepción.
 Evolución a lo largo de la historia de los sistemas de afinación. Se trataría de un estu-
dio cuyo objeto sería comparar, desde el punto de vista histórico, los diferentes siste-
mas empleados en los diferentes lugares del mundo y su evolución.
 Relación entre la altura y la intensidad. En el presente trabajo se ha tratado la afina-
ción de forma completamente independiente de la intensidad sonora, aunque hay una
relación clara entre ambas características (Ibáñez, 2008: 292).
 Estudio del timbre. El análisis del timbre de los sonidos es uno de los aspectos de la
acústica más complejos y problemáticos, puesto que su estudio supone dificultades
técnicas y conceptuales (ibídem).

38

10. Apéndices
39
10. APÉNDICES
10.1. Apéndice I
Nota
Frecuencia (Hz)
Tónica II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII
La4 440 469,33 495,00 528,00 550,00 586,67 616,00 660,00 704,00 733,33 782,22 825,00 880,00
La#/Sib 469,333 500,62 528,00 563,20 586,67 625,78 657,07 704,00 750,93 782,22 834,37 880,00 938,67
Si 495 528,00 556,88 594,00 618,75 660,00 693,00 742,50 792,00 825,00 880,00 928,13 990,00
Do 528 563,20 594,00 633,60 660,00 704,00 739,20 792,00 844,80 880,00 938,67 990,00 1056,00
Do#/Reb 550 586,67 618,75 660,00 687,50 733,33 770,00 825,00 880,00 916,67 977,78 1031,25 1100,00
Re 586,667 625,78 660,00 704,00 733,33 782,22 821,33 880,00 938,67 977,78 1042,96 1100,00 1173,33
Re#/Mib 616 657,07 693,00 739,20 770,00 821,33 862,40 924,00 985,60 1026,67 1095,11 1155,00 1232,00
Mi 660 704,00 742,50 792,00 825,00 880,00 924,00 990,00 1056,00 1100,00 1173,33 1237,50 1320,00
Fa 704 750,93 792,00 844,80 880,00 938,67 985,60 1056,00 1126,40 1173,33 1251,56 1320,00 1408,00
Fa#/Solb 733,3 782,22 825,00 880,00 916,67 977,78 1026,67 1100,00 1173,33 1222,22 1303,70 1375,00 1466,67
Sol 782,222 834,37 880,00 938,67 977,78 1042,96 1095,11 1173,33 1251,56 1303,70 1390,62 1466,67 1564,44
Sol#/Lab 825 880,00 928,13 990,00 1031,25 1100,00 1155,00 1237,50 1320,00 1375,00 1466,67 1546,88 1650,00
TABLA 1.— Frecuencias absolutas (expresadas en hercios) de las notas de una octava a partir de la nota tónica según el sistema propuesto en el presente estudio, afinación
LA4 a 440 Hz.

40
10.2. Apéndice II
Tonalidad
Frecuencia (Hz)
Do4 Do#/Reb Re Re#/Mib Mi Fa Fa#/Solb Sol Sol#/Lab La La#/Sib Si Do5
La 264,00 275,00 293,33 314,29 330,00 352,00 366,67 391,11 412,50 440,00 469,33 495,00 528,00
La#/Sib 264,00 281,60 293,33 312,89 335,24 352,00 375,47 391,11 417,19 440,00 469,33 500,62 528,00
Si 264,00 278,44 297,00 309,38 330,00 346,50 371,25 396,00 412,50 440,00 464,06 495,00 528,00
Do 264,00 281,60 297,00 316,80 330,00 352,00 369,60 396,00 422,40 440,00 469,33 495,00 528,00
Do#/Reb 257,81 275,00 293,33 309,38 330,00 343,75 366,67 385,00 412,50 440,00 458,33 488,89 515,63
Re 260,74 275,00 293,33 312,89 330,00 352,00 366,67 391,11 410,67 440,00 469,33 488,89 521,48
Re#/Mib 261,90 279,37 294,64 314,29 335,24 353,57 377,14 392,86 419,05 440,00 471,43 502,86 523,81
Mi 264,00 275,00 293,33 309,38 330,00 352,00 371,25 396,00 412,50 440,00 462,00 495,00 528,00
Fa 264,00 281,60 293,33 312,89 330,00 352,00 375,47 396,00 422,40 440,00 469,33 492,80 528,00
Fa#/Solb 260,74 275,00 293,33 305,56 325,93 343,75 366,67 391,11 412,50 440,00 458,33 488,89 521,48
Sol 260,74 279,37 293,33 312,89 325,93 347,65 366,67 391,11 417,19 440,00 469,33 488,89 521,48
Sol#/Lab 257,81 275,00 294,64 309,38 330,00 343,75 366,67 386,72 412,50 440,00 464,06 495,00 515,63
TABLA 2.— Frecuencias absolutas (expresadas en hercios) de las notas de la octava comprendida entre DO4 y DO5, afinación LA4 a 440 Hz. Los valores en negrita son las
tónicas.

10. Apéndices
41
10.3. Apéndice III
Leyenda:
 Todos: la totalidad de los encuestados.
 Instruidos: personas que han recibido, al menos un poco, clases de música.
 No instruidos: personas que no han recibido clases de música.
 Buen oído: personas que consideran tener un buen oído.
 Mal oído: personas que no consideran tener un buen oído.
 Instrumento: personas que tocan algún instrumento, al menos un poco.
 No instrumento: personas que no tocan ningún instrumento.
 1. diferencia: personas que distinguen entre las dos melodías del primer vídeo, o están
dudosas.
 1. no diferencia: personas que no distinguen entre las dos melodías del primer vídeo.
 1. mejor 1ª: personas que consideran más consonante la primera melodía del primer
vídeo.
 1. mejor 2ª: personas que consideran más consonante la segunda melodía del primer
vídeo.
 1. Iguales: personas que consideran igual de consonantes las dos melodías del primer
vídeo.
 2. diferencia: personas que distinguen entre las dos melodías del segundo vídeo.
 Ídem para el segundo vídeo.
Por ejemplo, si queremos saber qué porcentaje de las personas que saben tocar algún
instrumento consideran tener un buen oído, miramos la celda común de la columna «Instru-
mento» y de la fila «¿Crees que tienes un buen oído? ‒ Sí». Averiguamos así que dicho por-
centaje es del 65%.

42
Pregunta Todos
Instrui-
dos
No ins-
truidos
Buen
oído
Mal
oído
Instru-
mento
No ins-
trumento
1. Dife-
rencia
¿Has recibido clases
de música?
Sí 20 71 0 27 18 29 8 18
No 72 0 100 62 76 59 89 73
Un poco solo 8 29 0 11 6 12 4 8
¿Crees que tienes un
buen oído?
Sí 48 65 42 100 0 65 28 50
No 28 26 29 0 100 16 43 26
No sé 24 9 29 0 0 19 29 24
¿Sabes tocar algún
instruemento?
Sí 26 48 17 39 16 48 0 30
No 46 19 56 27 69 0 100 41
Un poco solo 28 33 27 35 14 52 0 28
Vídeo 1 ¿Oyes alguna
diferencia?
Sí 54 54 54 60 43 58 49 86
No 37 40 37 35 43 33 43 0
No sé 9 6 10 6 14 9 8 14
Vídeo 1 ¿Alguna de
las dos suena mejor?
Sí: la primera 30 35 43 47 43 38 49 42
Sí: la segunda 43 40 29 33 21 34 24 30
No 19 20 19 18 18 22 16 19
No sé 8 5 10 2 18 6 11 8
Vídeo 2 ¿Oyes alguna
diferencia?
Sí 39 41 38 48 24 49 26 43
No 52 47 52 49 57 44 61 45
No sé 9 12 10 4 18 6 13 12
Vídeo 2 ¿Alguna de
las dos suena mejor?
Sí: la primera 33 33 33 37 13 48 23 30
Sí: la segunda 38 38 37 47 46 40 37 35
No 13 18 12 7 17 13 13 15
No sé 16 12 18 9 25 9 27 20
TABLA 3.— Desarrollo de los resultados de la encuesta. Porcentajes de las respuestas marcadas en función de
las demás respuestas de los encuestados.

10. Apéndices
43
1. No
diferen-
cia
1. Me-
jor 1ª
1. Mejor
2ª
1. Iguales
2. Diferen-
cia
2. No dife-
rencia
2. Mejor
1ª
2. Me-
jor 2ª
2. Igua-
les
22 17 21 18 22 18 19 25 27
71 74 70 73 72 73 74 69 64
8 9 9 9 6 10 7 6 9
45 57 55 45 52 45 59 63 27
32 26 18 27 25 31 11 25 36
23 17 27 27 23 24 30 13 36
20 22 42 36 35 19 33 47 18
52 48 33 32 36 54 26 34 36
28 30 24 32 29 27 41 19 45
0 96 88 51 59 49 63 59 73
100 0 0 0 28 46 33 34 18
0 4 12 9 13 4 4 6 9
- 100 0 0 38 47 50 29 56
- 0 100 0 27 35 22 48 0
- 0 0 100 13 16 28 14 44
- 0 0 0 13 2 0 10 0
31 41 42 55 85 0 96 97 73
65 50 52 36 0 100 0 0 0
5 9 6 9 15 0 4 3 27
39 39 25 36 33 - 100 0 0
48 26 63 21 39 - 0 100 0
9 22 0 36 13 - 0 0 100
4 13 13 7 16 - 0 0 0

44
10.4. Apéndice IV
A continuación, se incluye el código del programa usado en el teclado electrónico. El
programa completo, con todos sus comentarios, está disponible en el apartado Teclado elec-
trónico del portal en la red del trabajo. El tamaño binario del sketch es de 4542.
float semitono = 1.06667 // declaración de los valores de los intervalos
float tono = 1.125;
float terceraMenor = 1.2;
float terceraMayor = 1.25;
float cuarta = 1.33333;
float cuartaAumentada = 1.4;
float quinta = 1.5;
float sextaMenor = 1.6;
float sextaMayor = 1.66667;
float septimaMenor = 1.77778;
float septimaMayor = 1.875;
float octava = 2;
int DO = 264; // declaración del valor de frecuencia de las tónicas
float RE = 293.33333;
int altavoz = 13; // pines de salida
int ledRojo = 17;
int ledVerde = 18;
int escala = 16; // pines de entrada
int tecla01 = 2;
int tecla02 = 3;
int tecla03 = 4;
int tecla04 = 5;
int tecla05 = 6;
int tecla06 = 7;
int tecla07 = 8;
int tecla08 = 9;
int tecla09 = 10;
int tecla10 = 11;
int tecla11 = 12;

10. Apéndices
45
int tecla12 = 14;
int tecla13 = 15;
void setup() { // función principal
pinMode(altavoz,OUTPUT); // configuración de las salidas
pinMode(ledRojo,OUTPUT);
pinMode(ledVerde,OUTPUT);
pinMode(escala,INPUT); // configuración de las entradas
pinMode(tecla01,INPUT);
}
void loop() { // función cíclica
if (digitalRead(escala)==1) { // escala de Do
digitalWrite(ledRojo,0);
digitalWrite(ledVerde,1);
if (digitalRead(tecla01)==1) tone(altavoz, DO);
else if (digitalRead(tecla02)==1) tone(altavoz, DO*semitono);
else if (digitalRead(tecla03)==1) tone(altavoz, DO*tono);
else if (digitalRead(tecla04)==1) tone(altavoz, DO*terceraMenor);
else if (digitalRead(tecla05)==1) tone(altavoz, DO*terceraMayor);
else if (digitalRead(tecla06)==1) tone(altavoz, DO*cuarta);

46
else if (digitalRead(tecla07)==1) tone(altavoz, DO*cuartaAumentada);
else if (digitalRead(tecla08)==1) tone(altavoz, DO*quinta);
else if (digitalRead(tecla09)==1) tone(altavoz, DO*sextaMenor);
else if (digitalRead(tecla10)==1) tone(altavoz, DO*sextaMayor);
else if (digitalRead(tecla11)==1) tone(altavoz, DO*septimaMenor);
else if (digitalRead(tecla12)==1) tone(altavoz, DO*septimaMayor);
else if (digitalRead(tecla13)==1) tone(altavoz, DO*octava);
else noTone(altavoz);
}
else { // escala de Re
digitalWrite(ledRojo,1);
digitalWrite(ledVerde,0);
if (digitalRead(tecla01)==1) tone(altavoz, RE*(septimaMenor/2));
else if (digitalRead(tecla02)==1) tone(altavoz, RE*(septimaMayor/2));
else if (digitalRead(tecla03)==1) tone(altavoz, RE);
else if (digitalRead(tecla04)==1) tone(altavoz, RE*semitono);
else if (digitalRead(tecla05)==1) tone(altavoz, RE*tono);
else if (digitalRead(tecla06)==1) tone(altavoz, RE*terceraMenor);
else if (digitalRead(tecla07)==1) tone(altavoz, RE*terceraMayor);
else if (digitalRead(tecla08)==1) tone(altavoz, RE*cuarta);
else if (digitalRead(tecla09)==1) tone(altavoz, RE*cuartaAumentada);
else if (digitalRead(tecla10)==1) tone(altavoz, RE*quinta);
else if (digitalRead(tecla11)==1) tone(altavoz, RE*sextaMenor);
else if (digitalRead(tecla12)==1) tone(altavoz, RE*sextaMayor);
else if (digitalRead(tecla13)==1) tone(altavoz, RE*septimaMenor);
else noTone(altavoz);
}
}

11. Agradecimientos
47
11. AGRADECIMIENTOS
Una vez acabado el trabajo, lo único que me queda por hacer es expresar una vez más
mi profundo agradecimiento, en esta ocasión por escrito, a todas las personas gracias a las
cuales me ha sido posible llevar a cabo este estudio.
En primer lugar, debo dar las gracias a mis padres. He contado siempre con su respal-
do, han sido los que me han apoyado en todo momento y puesto los medios para la realización
de este trabajo.
A continuación, agradezco la ayuda de mi antiguo profesor de música, Juan Jesús Ye-
lo, que ha demostrado un verdadero interés por el éxito de la investigación y no ha dudado en
asesorarme con su larga experiencia y conocimientos en el ámbito de la musicología, sacrifi-
cando a menudo su tiempo libre.
La revisión de la redacción del trabajo y su corrección es mérito de uno de los mejores
lingüistas del mundo y mi buen amigo, Paco Campillo. También debo dar las gracias a mi
profesora de lengua castellana, Mª Dolores Muñoz.
Asimismo me reconozco obligado al Departamento de Tecnología de mi instituto, en
particular a Pedro Saura y a Pepe Valverde, pues gracias a ellos mis colegas tecnólogos y yo
tuvimos la oportunidad de iniciarnos en el mundo de ARDUINO. Además, fue Pedro quien me
facilitó parte de los materiales necesarios para la construcción del primer prototipo del teclado
y me ayudó en su programación.
Finalmente, pero no por eso de menor importancia, agradezco de todo corazón la ayu-
da desinteresada de todas las personas que, de una manera o de otra, han contribuido en la
realización de este trabajo: Vicente Cotanda, la tita Ana, Santiago Orellana, Salvador Oliva-
res, Antonio López, Iván Moreno, Dr. Juan Suardíaz, Dr. Sebastián Martín Balbuena, Dr. Ra-
fael Richart y todos aquellos que han tenido la amabilidad de sacrificar un rato libre para re-
llenar la encuesta.
A todas estas personas y a cada una en particular, mil gracias.

48
12. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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