Cinematica de un punto material 2017-i

CINEMATICA DE UNA PARTICULA
M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO 2017-I

CINEMATICA DE UNA PARTICULA
CINEMATICA:
0. INTRODUCCION:
- Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que
lo producen, también se puede considerar como la Geometría del
movimiento.
- Describe como varia la velocidad y la aceleración de un cuerpo con
el tiempo y con sus cambios de posición.
El movimiento de una partícula es entendido como “el cambio de
posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo”, el cual
debe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitirá
definir su posición en cualquier instante, .
MOVIMIENTO:
)(trr



MOVIMIENTO:
x
y
z
0
S
P
o
P
x
y
z
0
S
P
o
P
x
y
z
0
P
r

x
y
z
0
P
r

x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
x
y
z
0
P(x,y,z)
x
z
y
1º Por medio de una Ecuación Horaria: 2º Por medio de un Vector Posición:
3º Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:
S = f (t)
)(trr


x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
r

a. Posición ( ) y desplazamiento ( )
Fig 01. Trayectoria que sigue una partícula
La partícula, en cierto instante, se hallará
en la posición P, definida por:
kzjyixrP


rd

PQ rrrd


La diferencia de posición de la partícula en dos
instantes recibe el nombre de desplazamiento
de dicha partícula, la cual se halla en P en el
instante “t” y en Q en el instante “t + Δt”, el
desplazamiento viene dado por:
rd

OQr /
OPr /


1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION
v

b. velocidad ( ) y aceleración ( )
La velocidad de una partícula es, por
definición, la variación de posición por unidad
de tiempo:
rr
dt
d
v 
 )(
a

La aceleración de una partícula es, por
definición, la variación por unidad de tiempo de
la velocidad.
kvjvivv zyx


kzjyixv








La dirección de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del
desplazamiento.
El módulo de la velocidad recibe el nombre de rapidez o celeridad.
vv
dt
d
a 
 )(
kajaiaa zyx


kzjyixa









a. Posición y desplazamiento
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

b. Velocidad media ( ):v

Dt
P(x,t)
P’(x+Dx , t+Dt)
Dx
x
t
X
tO
q
of
of
tt
xx
t
x
v



D
D
 tang
x
t
q 
D
D
Matemáticamente: Gráficamente:

c. Velocidad instantànea ( ):v

Dt
P
P’
Dx
x
t
X
tO
q
P’’
P’’’
Matemáticamente:
ó

t
t
o
o
vdtxx )(tvv ;
t
x
vv
t
m
t D
D

DD 00
limlim
dt
dx
x
dt
d
v  )(
Tenemos:

d. Aceleraciòn media : a
a
v
t
v v
t t
f o
f o
 


D
D
e. Aceleraciòn instantànea : a
dt
dv
t
v
aa
tt

D
D

DD 00
limlim
v v a dto
t
t
o
   . a a t ( );
Tenemos:

2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):
Ejemplo 01.-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones

2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):
x
0 t
x v t ato
 
1
2
2
to = 0
v
0 t
v = vo + a t
vo
to = 0
a = constante
a
0 t
Ejemplo 02.-

Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que
camina horizontalmente (en una dimensión, sobre el eje x). Según dicha
información, a) graficar su velocidad y aceleración en función del tiempo;
b) hacer un estudio del movimiento.
2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):

Ejemplo 04.- En el gráfico adjunto, se muestra como varía la velocidad en
función del tiempo para un cuerpo que se mueve en línea recta (eje +X). Si en el
instante t = 0 s, el móvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la
posición en t = 5 s, b) realizar los gráficos de x-t y a-t, para el movimiento del
cuerpo.

Ejemplo 05.- En el gráfico, se muestra la dependencia de la aceleración en función
del tiempo para una partícula que se mueve en línea recta. Se pide: a) analizar el
tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la
posición y velocidad que alcance dicha partícula a los 50 segundos después de
haber iniciado del reposo.

Ejemplo 06.- Un móvil se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado
decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m
entre sí. Determine el desplazamiento “x” del móvil durante los 2 s que preceden
la llegada a “B”.

Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleración constante.
Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleración del rodil A,
cuando el B está a 3 m del origen y la aceleración de B es de 6 m/s2.

A

v
D

r
X
0 Y
X
Z
A/
s
Ds

r /
r
t
t/
kzjyixtrr

 )(
Posición:
kzjyixtrr

''')('' 
Velocidad Media  mv

Velocidad:
t
r
vm
D
D



ó v
x
t
i
y
t
j
z
t
k  
D
D
D
D
D
D
  
Velocidad Instantánea  

v
t
r
vv
t
m
t D
D

DD


00
limlim
r
dt
rd
v 



kzjyixk
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v








D

r
v/
v//
v///
A
A’
A’’
A’’’

v
T
3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL
3.1. Coordenadas Rectangulares:

P
Q
z
0
x
y
Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

D
Pa

Qa

curva
FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilíneo
P
Q
z
0
x
y
Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

D
Pa

Qa

curva
P
Q
z
0
x
y
Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

D
Pa

Qa

curva
FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en
el movimiento curvilíneo
 ma

Aceleración Media
Aceleración:
t
v
am
D
D



k
t
v
j
t
v
i
t
v
a zyx
m

D
D

D
D

D
D

Aceleración Instantánea  a

t
v
aa
t
m
t D
D

DD


00
limlim
r
dt
vd
a 



kzjyixk
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a zyx










3.1. Coordenadas Rectangulares:

3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones
Ejemplo 08.- Una partícula se mueve en el plano OXY; un observador
colocado en O sabe que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma
explícita de la trayectoria, b) La expresión del vector de posición, velocidad y
aceleración, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d) Los valores del
vector de posición y velocidad para t = 0 s. e) Distancia de la partícula al
observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el vector velocidad media
entre t = 0 s y t = 3 s.

Ejemplo 09.- Una partícula se mueve respecto a un sistema referencial
XYZ, llevando aceleraciones de (3t2, 6t, 0) pies/s2. Si inicialmente
está en la posición (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s,
respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posición y la velocidad
de dicha partícula.

Ejemplo 10.- La bola es lanzada desde la torre con velocidad de 20
pies/s como se muestra. Determinar: a) las coordenadas (x,y) del
punto en que la bola toca la pendiente, b) la rapidez con que la bola
toca el suelo, el radio de curvatura en el punto más elevado de su
trayectoria .

Ejemplo 11.- El perno P situado en el extremo de la varilla
telescópica se desliza a lo largo de la trayectoria parabólica y2 = 40x,
donde x e y se miden en milímetros. La coordenada y de P varia con
el tiempo t, según y = 4t2+6t (mm). Cuando y = 30 mm, calcule: a) el
vector de velocidad de P , b) el vector aceleración de P.

3.2. Aceleración en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:
NT aaa


 
dt
ud
vu
dt
dv
dt
uvd
dt
vd
a T
T
T





NT u
v
u
dt
dv
a


2

dt
dv
aT 

2
v
aN 
22
NT aaa 
Módulos:
2/3
2
2
2
1
dx
yd
dx
dy
















rr
r




3
Radio de Curvatura:
ó
PO
z
0
x
y

Ta
P

Na

a

S
o
Tangente
Normal
curv
a

Ejemplo Nº 10.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de
20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su
trayectoria a los 2 segundos después de ser lanzado dicho objeto.
3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones

Ejemplo Nº 10.-

Ejemplo Nº 11.- Una caja se desliza por una guía que tiene forma de hipérbola.
Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a
razón de 0,5 m/s2. Determine la aceleración y el radio de curvatura en dicha
posición.

Ejemplo Nº 12.- Una partícula se mueve en el plano xy y sus coordenadas están
dadas por , . Encuentre: a) la ecuación de la
trayectoria en la que se mueve la partícula su desplazamiento y graficarlo, b) para
cuando 0,25 segundos, la posición, velocidad, la aceleración y el radio de curvatura.
(Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos, y que la
cantidad angular t está expresada en radianes).
  ttx cos2   tsenty 

Ejemplo Nº 12.-

Ejemplo Nº 13.- Un tobogán viaja por una curva que puede ser
aproximadamente la parábola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su
aceleración cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y está
incrementándose a razón de ./3 2
smvA 

3.3. Coordenadas Polares:
0 x
y
q
ru

Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu

P q
r

-x
-y
0 x
y
q
ru

Eje Radial
(+)
curva
x
y
Eje Transversal
(+)
qu

P q
r

-x
-y
   jseniur

qq  cos
jisenu

)(cos)( qqq 
 
dt
ud
ru
dt
dr
ur
dt
d
dt
rd
v r
rr





q
q
u
dt
d
ru
dt
dr
v r


    qq ururv r




 qqurur
dt
d
dt
vd
a r





    qqqq urrurra r



 22
Aceleración:
Velocidad:
Vectores unitarios:
Posición:
rurr



Ejemplo Nº 14.- El tubo doblado que lleva agua, de sección transversal uniforme,
gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante .
Si la velocidad del agua en la porción AB del tubo es 400 mm/s (constante),
determine la magnitud de la velocidad y aceleración de una partícula de agua
inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C.
3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones
min/140revq

Ejemplo Nº 15.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula está definido
en coordenadas polares por y
donde r esta dado en cm, θ está en radianes y t en segundo. En el instante en
que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleración y el radio
de curvatura de la trayectoria.
ttr 5833.0 3
 2
3.0 tq

Ejemplo Nº 16.- La rotación de la barra OA se define por ,
donde t se expresa en segundos. El collarín B se desliza a lo largo de la barra
de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s,
determine: a) su velocidad, b) su aceleración total y c) su aceleración relativa a
la barra.
  radtt 2
34
2
1
 q
mttr 32
9,025,1 

Ejemplo Nº 17.- Una barra ranurada, que gira alrededor de un pinto fijo A según e
indica, lleva un punto material P a lo largo de una guía circular. La velocidad
angular de la barra es de 25 rad/s en sentido horario y su aceleración angular es de
20 rad/s2 en sentido antihorario. Si todas las superficies son lisas, determinar la
velocidad y aceleración del punto material cuando θ = 60º.

Ejemplo Nº 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como
resultado de la velocidad angular constante , conduce a la
partícula P por una breve distancia sobre la guía espiral r = 0,4q (m),
donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleración de
la partícula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,
r = 0,5 m.
 srad /3q

Ejemplo Nº 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio
OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular
constante encuentre la velocidad de P cuando .
srad /2q º60q
.

0
x
y
q
Ru

Trayectoria
qu

P
r

z
Y
X
Z
R

Zu

0
x
y
q
Ru

Trayectoria
qu

P
r

z
Y
X
Z
R

Zu

ZR uZuRr


jseniuR

)()(cos qq 
 ZR uZuR
dt
d
dt
rd
v




      ZR uZuRuRv

 qq
 ZR uZuRuR
dt
d
dt
vd
a



 qq
    ZR uZuRRuRRa

 qqqq 22
Velocidad:
Aceleracón:
Posición:
Donde:
3.4. Coordenadas Cilíndricas:

Ejemplo Nº 19.- Una partícula se mueve a lo largo de una espiral descrita en
coordenadas cilíndricas por R = 0,4 m y z = -0,2θ m, donde θ se expresa en
radianes. Se sabe que en cierto instante, y .
Determinar las magnitudes de la velocidad y aceleración en dicho instante
que tiene la partícula.
3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:
srad /7.6q 2
/12 sradq

Ejemplo Nº 20.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hélice :
que baja 6 m en cada revolución completa.
Para un automóvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,
se pide:
a. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 0º
b. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 90º
c. Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando
θ = 90º
 msenr qq 315)( 
 srad /3,0q

Ejemplo 21.- El caudal de agua de un aspersor ordinario es 25 L/s inicialmente y
está programado para incrementarse de forma continua hasta 50 L/s. La
superficie de salida de las boquillas es de 1,86 mm2. Determine, el área de jardín
que regará dicho aspersor, si su velocidad angular es de 2 rad/s. .

Ejemplo 22.- Un automóvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con
celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hélice de diámetro 36 m y paso
de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el módulo de la
velocidad y aceleración del auto cuando desciende por la rampa.

P
Z
0
X
Y
q

A
qu

ru

u

r

P
Z
0
X
Y
q

A
qu

ru

u

r

kjsensenisenur

)(cos)()cos( qq 
ksenjseniu

)()(cos)cos(cos qqq 
jisenu

)(cos)( qqq 
Vectores unitarios:
rurr


 
 
  q

q

usenr
ur
urv r







 
 
  q

qqq
q
q
usenrrsenr
usenrrr
usenrrra r







cos22
cos2 2
222
Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:

3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:
Ejemplo 23.- La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min.
Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razón
constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando
ϕ = 30º.

Ejemplo Nº 24.- El radar, esta siguiendo a un avión en pleno vuelo. En el instante
representado, la posición de éste viene dada por R=19500 m, θ=110º y Φ=60º.
Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:
Para este instante, determinar:
a. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (R,Φ,θ).
b. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que
el eje z corresponda al eje Φ = 0º y el eje x corresponda al eje Φ = 90º y θ = 0º
c. Determinar los módulos de la velocidad y aceleración del avión.
 smR /5,85  2
/5,4 smR   sradx /100,9 3
q  26
/100,20 sradx 
q
 26
/100,80 sradx 
 sradx /105,2 3

3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:

Vectores unitarios:
rurr


Posición:
Velocidad:
Aceleración:
3.5. Coordenadas Esféricas:

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