El análisis numérico es una rama de las matemáticas que desarrolla algoritmos para resolver problemas aritméticos y simular procesos complejos, considerando errores en los cálculos. Se presentan conceptos como error absoluto, error relativo y las fuentes de error como truncamiento y redondeo, junto a su impacto en la precisión de los resultados. Además, se discuten cálculos estables e inestables, donde pequeñas variaciones en datos de entrada pueden afectar enormemente las salidas, resaltando la importancia de una buena condición del problema.

1. JHONNATHAN JAEN
CI: 20016783
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
Análisis Numérico y
Teoría de Errores

2. ANÁLISIS NUMÉRICO
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de
las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de
números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos del mundo real.
Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos
puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del
algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el
estudio de errores en los cálculos.

3. NÚMERO MÁQUINA
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base
2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de
base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona
con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

4. ERROR ABSOLUTO
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor
calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";debido a que la
ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una
colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.
Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error equivale a (0.6-0.613), que es
- 0.013 (algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error absoluto es |0.6-
0.613|, que es 0.013.

5. ERROR RELATIVO
Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error
absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).
Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un
metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir la
distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será 1/100 (1%)
para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más
calidad la segunda medida.

6. COTAS DE ERROR
Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar
controlado o acotado de manera que:
Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente. Al
redondear, podemos dar una cota del error absoluto de la siguiente manera:
donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo. Y una cota
del error relativo:

7. FUENTES BÁSICAS DE ERRORES
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo.
El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se
representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es
necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo
las sumas y restas dentro de una PC).
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula
matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea
para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso
donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno
finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

8. ERROR DE REDONDEO
Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos despues del punto decimal, se
ajusta a un numero especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome en
cuenta.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un
número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se
agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5,
simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

9. ERROR DE TRUNCAMIENTO
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya
que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de
términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se
supone es exacta).
En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a
la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se
asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

10. ERROR DE TRUNCAMIENTO
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y,
que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales.
Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los
dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

11. ERROR DE SUMA Y RESTA
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora.
Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como
estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema
del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones
aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una
precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida
al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
Sean: x ± Dx y z ± Dz
x + z = (x + z) ± (Dx + Dz)
x – z = (x – z) ± (Dx + Dz)

12. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción entre los
procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de
problema bien condicionado o mal condicionado.
Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna
de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los resultados.
Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden
dar lugar a grandes cambios en las respuestas.

13. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de
entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores
de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable
cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas
posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los
errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que
un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin
importar con qué precisión se realicen los cálculos.

14. !!!GRACIAS!!!