Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Leonardo Medina– C.I. V – 26200477
Junio del 2016
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVOS A DISTANCIA
(SAIA) – CABUDARE
Análisis Numérico
Sección: SAIA B
Prof. : Domingo Méndez

2. El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas,
intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones
con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que
resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene el mismo determinante que
la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los coeficientes diagonales de la
matriz.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1.- MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

3. Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote;
si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar
serias ”dudas” sobre la respuesta final.
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el
sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta
esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
A . X = B

4. Ejemplo.
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA
Solución:
Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)
Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:

5. Que nos da el sistema equivalente:
De donde, 𝑥2 =
2
3
; sustituimos arriba y obtenemos:
El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas que se usen.

6. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Para calcular este error se tomó el valor verdarero de 𝑥1 =
1
3
Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2

7. Que nos da el sistema equivalente:
De donde obtenemos, 𝑥2 =
2
3
; sustituyendo arriba y nos da:
Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados en la
siguiente tabla:

8. En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía drásticamente como en la
solución anterior.
Así, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos para hacer
ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento para hacer ceros (el cual
recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote) como el elemento mayor en valor
absoluto de entre todos los candidatos.
A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminación Gaussiana, nos dá
el llamado método de eliminación Gaussiana con pivoteo (parcial).

9. El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales
en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del
método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por
remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es
un método computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la
misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
2.- MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.

10. Ejemplo.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Asumamos por simplicidad que por medio del método de Gauss hemos llegado a la matriz:
1 2 − 1 2 0
0 2 0 1 1
0 0 − 3 3 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
La cual corresponde al sistema de ecuaciones
𝑥1 + 2𝑥2 - 𝑥3 + 2𝑥4 = 0
2𝑥2 + + 𝑥4 = 1
- 3𝑥3 + 3𝑥4 = 2

11. Podemos utilizar el primer elemento diferente de 0 de izquierda a derecha de
la segunda fila, 2, como pivote, logrando la matriz:
Y luego el primer elemento diferente de cero de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr
que cada pivote sea el único elemento diferente de cero de la columna.
Lo cual es equivalente a lograr que la incógnita respectiva del sistema de ecuaciones aparezca
en una sola de las ecuaciones (nos referimos a los coeficientes que fueron utilizados como pivotes
en el método de Gauss).

12. Llegando a:
Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por –3, obtenemos:
Hemos llegado a la forma de Gauss Jordan y por lo tanto al sistema de ecuaciones
equivalente:

13. Del cual se deduce fácilmente que la variable x 4 se puede tomar como variable
independiente y que por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Este
método denominado método de Gauss Jordan, en el cual los pivotes se convierten a 1, en
alguna parte del proceso y se utilizan para lograr ceros en toda la columna, excepto en el
punto pivote requiere cálculos adicionales y a no ser que sea indispensable llegar a ésta
forma por alguna razón especial, se utiliza poco por la razón citada.

14. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
3.- DESCOMPOSICIÓN LU.
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe
su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el
producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
A = L . U

15. De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
=
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de
la matriz A correspondientes, se obtiene:

16. De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b
Definiendo a:
U X = Y
podemos escribir:
L Y = b

17. Resolviendo para Y, encontramos:
El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los
valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b".
En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de
"x", obteniendo:
La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando
una forma modificada del método de eliminación de Gauss.

18. Ejemplo.
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:
=
Las matrices de factores L y U de A son:
L = U =

19. El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los
elementos del vector auxiliar Y:
=
Donde

20. El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X,
por sustitución regresiva:
=
De donde se obtiene:
Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes,
sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de
eliminación gausiana.