Geometría y serie de fibonacci

1. La geometría de la serie de Fibonacci y el número de oro.
(Asdrúbal Araya Chavarría)
Introducción.
La serie de Fibonacci y el número dorado son temas que despiertan gran
curiosidad e interés entre los matemáticos, y en los investigadores de otras ramas.
Quizás parte de este interés se deba al misterio de saber el por qué tal serie (y la razón
dorada) se manifiesta en muchos fenómenos observables en la naturaleza. Tales
fenómenos han sido observados en la anatomía humana y animal, en la forma de
animales acuáticos, en el crecimiento de las plantas y en la estructura de sus flores y
frutos. También han sido observados en las construcciones de civilizaciones antiguas y
en el formato de muchas creaciones del ser humano de la modernidad.
En el siguiente ensayo se explorarán algunos de los conceptos importantes para
entender la serie de Fibonacci y la razón aurea, y en forma breve la matemática
involucrada necesaria para entender tales conceptos, así como algunos de las
personas relevantes en su descubrimiento. Se tratará la geometría de la serie de
Fibonacci en una, dos y tres dimensiones, así como también se mencionarán y
comentarán brevemente algunas de los fenómenos y aplicaciones en donde se observa
la presencia de tal serie.
Desarrollo.
Según Garg y Garg (2013), la serie de Fibonacci fue descubierta por el
matemático Leonardo Pisano Bogollo, a quien se le apodaba Fibonacci. Este
matemático italiano vivió de 1170 a 1250 d.c. y fue quien introdujo el sistema indo-
arábigo en Europa en el 1202 con su libro Liber Abaci, libro en el cual también introdujo
la serie de Fibonacci.
La serie de Fibonacci consiste en una secuencia numérica en el cual cada
término es la suma de los anteriores dos, comenzando con los primeros números 1 y 1

2. (o bien 0 y 1). Así tal, los primeros 10 números de esta serie son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55 y 89, la serie es recursiva, esto quiere decir que los elementos iniciales de la
serie son conocidos y mediante una operación se deducen los siguientes elementos a
partir de los anteriores.
Recursivamente la serie de Fibonacci se define de la siguiente manera:
Fn = Fn-1 + Fn-2, con F1 = 1 y F2 = 1
La serie de Fibonacci, aplicando recursividad tiene dos sentidos, así como se
presenta en la siguiente figura:
El número de oro, razón dorada o también llamada razón aurea (φ) viene
relacionada directamente de la serie de Fibonacci, ya que esta es la razón del enésimo
más 1 término con el enésimo término. Y cuando n tiende a infinito entonces el valor de
φ es
1+√5
2
. Este resultado fue obtenido por primera vez por Johannes Kepler
(Tanackov, pág. 641, 2011).
φ = lim 𝑛→∞
𝐹 𝑛+1
𝐹 𝑛
=
1+√5
2
.
La razón aurea, también puede obtenerse geométricamente de la siguiente
manera. Si nos damos una línea en donde a es b como a + b es a b, entonces
obtendríamos que φ =
𝑎
𝑏
= 1+√5
2
.
𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 φ =
𝑎
𝑏
=
1 + √5
2

3. La anterior demostración se da en una dimensión. También se puede trabajar
en dos dimensiones y obtener el rectángulo dorado.
Si se hace
𝑎2
𝑎𝑏
=
𝑎2+𝑎𝑏
𝑎2 , se factorizan las “a” se llega a la
misma ecuación y por lo tanto a la mismas solución para φ.
Análogamente se obtiene lo mismo para el volumen, lo que se denomina la
columna dorada.
Analizando el rectángulo dorado, se puede
observar que se pueden construir rectángulos
recursivos con áreas que sigan la serie de Fibonacci.
Así tal,
212
21∗13
=
212+21∗13
212 , nótese que 21 = 13 + 8,
que 13 = 8 + 5, …
Otro aspecto geométrico interesante de la
serie de Fibonacci es la espiral de Fibonacci. La cual
se obtiene cuando se trazan arcos circulares entre los
extremos opuestos de los cuadrados.
La serie de Fibonacci y la razón dorada es de interés matemático y científico ya
que se hace manifiestan tanto en fenómenos naturales como en sociales.
Según Garg y Garg (2013) en la biología de las
plantas, se puede observar como las flores de los
girasoles siguen un patrón de Fibonacci. Se pueden
contar 21 espirales hacia un lado y 34 hacia el otro,
ambas son términos de la serie de Fibonacci. Lo
mismo ocurre con la piña y el fruto de los pinos, los
a
a b
Rectángulo dorado. Tomada
de Wikipedia.
Espiral de Fibonacci. Tomada
de Wikipedia.

4. cuales usualmente tienen 8 espirales de un lado y 13
hacia el otro. En el crecimiento de los animales
también se da, por ejemplo en los nautilos, al hacer un
corte transversal y medir las distancias entre dos de
las líneas de la espiral la razón que se da es
aproximada a φ.
También se argumenta que la razón dorada
está presente en la anotomía humana, esto ya que las
mediciones que se realizan entre algunas longitudes
de huesos y su razón se aproxima a φ. En la figura se
observa las mediciones de los falanges de los dedos,
las cuales según la unidad utilizada, las falanges
siguen la serie de Fibonacci (Garg-Garg, 2013).
Según Birch Fett (pag. 174, 2006), la razón dorada también puede encontrarse
en la molécula del ADN, pues una molécula de ADN mide 34 angstroms de longitud y
21 de ancho, lo cuales son números de la serie de Fibonacci. Dice también que en la
molécula de ADN la mayor separación entre las hélices que la conforman es de 21
angstroms y la menor separación es de 13, también términos de la serie de Fibonacci.
Según Fett (pág. 174, 2006), también existe una relación entre lo que los
humanos perciben como hermoso y la razón aurea manifiesta en la anatomía. En su
artículo este investigador expone que una cabeza humana percibida como hermosa
forma un rectángulo dorado, que la boca y nariz pueden ser ubicados en secciones de
este rectángulo que guarden una razón aurea también, menciona además que muchos
cirujanos plásticos siguen la razón aurea a la hora de buscar la belleza en sus cirugías.
También se argumenta que la razón aurea está presente en las figuras que
construyen las civilizaciones a la hora de buscar la belleza de sus construcciones, ya
sea consciente o inconscientemente. Según Fett (pág. 168, 2006) el edificio griego
conocido como el Partenón, así como muchos otros guardan las proporciones del
rectángulo dorado. También argumenta que pinturas tales como la “Ognissanti

5. Madonna” del italiano Giotto di Bondone, entre otras, guardan las proporciones de un
rectángulo dorado. El mismo Fett argumenta que pinturas como la Mona Lisa de
Leonardo Da Vinci, entre otras cuatro, guardan proporciones áureas. Lo anterior, lo
exponen muchos investigadores que evidencian el hecho de que existen lazos
inconscientes entre la razón dorada y la percepción de belleza. Según Kelly (2004), los
egipcios también muestran construcciones que evidencian el uso de la razón dorado,
en particular la pirámide de Keops.
También se argumenta que esta razón está presente en la naturaleza porque es
la forma más eficiente de llevarse a cabo el crecimiento de sistemas dinámicos, como
los seres vivos. Sin embargo esta aseveración la había leído, mas no recuerdo la
fuente.
Dado que actualmente se cree, que existe una relación entre la percepción de
belleza y la razón dorada, tales dimensiones son utilizadas en las construcciones, la
arquitectura, el arte, la fotografía, etc., y se investigan aplicaciones para la misma.
Conclusiones.
La serie de Fibonacci es una serie por sí misma interesante matemáticamente,
fue introducida por Leonardo Pissano, y fue estudiada también por Kepler. Sin
embargo, esta serie despierta un interés adicional por aparentemente presentarse en la
naturaleza, y a nivel sicológico en el ser humano, ya que parece haber evidencia que
liga la percepción que tiene éste de la belleza con la razón dorada.
De lo investigado en este trabajo acerca de la serie de Fibonacci en la
naturaleza, y de lo expuesto como evidencia del ligamen entre la belleza y la razón
dorada, parece haber evidencia que prueba tales relaciones, sin embargo siempre me
quedan dudas al respecto. Tales dudas pueden ser el resultado de mi ignorancia y de
lo poco que relativamente investigué. Considero se debe investigar bien en qué
circunstancias verdaderamente se expresa la razón dorada en la naturaleza, ya que si
bien está presente en algunos fenómenos puede ser que no está presente en otros, y
se quiera incurrir en la generalización de una creencia sin en realidad haber sido más
exhaustivos. De igual manera con la relación entre la belleza y la razón dorada, se

6. considera que debo investigar más. En síntesis, en lo particular me resulta interesante
lo presentado por los diferentes investigadores que encontré, sin embargo con el fin de
hacer una conclusión entre si existen o no las relaciones mencionadas, considero que
mi investigación debe continuar, talvez con mayor tiempo y mayores recursos
didácticos a los que se tuvo acceso.
Línea de tiempo.
Bibliografía
Fett, Birch. 2006. "An In-depth Investigation of the Divine Ratio." Montana Mathematics
Enthusiast 3, no. 2: 157-175. Academic Search Complete, EBSCOhost (accessed
March 29, 2015).
Pirámide de
Keops.
Terminada en
2540 AC
Tiene proporciones
doradas
Partenón.
Terminado
438 AC. Tiene
Proporciones
doradas
Leonardo Pissano.
Presenta la serie
de Fibonacci.
Libro Liber Abaci
1202 DC
Johannes Kepler
Presenta la razón
dorada como
un límite. Alrede-
dor de 1600 DC.
Leonardo
Da Vinci.
La Mona Lisa
presenta razones
aureas. 1517 DC.
Siglo XXI
Se investiga la presencia
de la razón dorada en la
naturaleza y la percepción
de la belleza

7. Kelly, P. R. (2004). FOR YOUR information. Mathematics Teacher, 98(3), 206-207.
Patrice Foutakis (2014). Did the Greeks Build According to the Golden Ratio? .
Cambridge Archaeological Journal, 24, pp 71-86.
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media (28/3/2015).
Rectángulo dorado. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/ Fibonacci_number#/
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Garg, M., Garg, P., & Kumar, R. (2013). Ratio by Using Coefficients of Fibonacci
Sequence. International Journal Of Mathematical Combinatorics, 396-103.
Tanackov, I., Tepić, J., & Kostelac, M. (2011). THE GOLDEN RATIO IN
PROBABLISTIC AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE. Tehnicki Vjesnik / Technical
Gazette, 18(4), 641-647.