La rueda cuadrada rueda sin deslizar a lo largo de una serie de catenarias invertidas contiguas, formando una trayectoria en forma de catenaria. Se demuestra que la ecuación que describe la trayectoria de la rueda cuadrada es la ecuación de una catenaria. Además, se establece la relación entre la velocidad del centro de masas de la rueda y su velocidad angular, la cual depende del ángulo α formado por uno de los lados de la rueda y la horizontal.

1. La Rueda Cuadrada
Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de rodar de un disco, una esfera o un aro.
Vamos a considerar el caso paradójico de una rueda cuadrada que rueda sin deslizar a
lo largo de un camino formado por serie de catenarias invertidas contiguas.
Ecuación de la catenaria
Supongamos una rueda cuadrada de lado 2a, cuyo centro de masa se mueve a lo largo
de una trayectoria horizontal y permanece justo encima del punto de contacto entre
uno de los lados de la rueda y el camino.
El triángulo isósceles ABE representa un octante del
cuadrado. Como vemos en la figura AE=a, y AB=
.
Inicialmente la esquina B del rectángulo está situada
en el origen, al moverse rodando sin deslizar la
longitud BC será igual a la longitud del arco OC. Por
otra parte, el punto C será tal que la longitud
AC+CD=AB se mantendrá constante durante todo el
movimiento, es decir, el centro del rectángulo
describe una trayectoria que es una recta horizontal.
Si la ordenada del punto C es y y el ángulo que forma el lado BE con la horizontal
es α, la relación AC+CD=AB se escribe

2. Recordando la interpretación geométrica de la derivada,
la tangente del ángulo α es
Aplicamos la conocida relación 1+tan2
α=sec2
α, obtenemos
Hacemos la sustitución
La ecuación diferencial está lista para ser integrada
La condición inicial es que la curva ha de pasar por el origen x=0, y=0 con lo que se
determina la constante de integración k.
o bien,
Deshaciendo el cambio, se llega a la ecuación de una catenaria

3. A medida que el cuadrado rueda sin deslizar gira 90º y retorna a la configuración
inicial, excepto una traslación d. Esta traslación se determina haciendo y=0 en la
ecuación de la catenaria, y se obtiene d=2ka.
El vértice de la catenaria se encuentra en el punto simétrico x=ka y vale
Relación entre la velocidad del c.m. y la velocidad angular de
rotación
Como la distancia entre el punto de contacto C y el centro de la rueda A no es
constante la conocida relación v=ω·r deja de ser válida. Para obtener la nueva relación
entre v y ωprocedemos del siguiente modo:
Si tomamos como sentido positivo de ω el de las agujas del reloj, nos fijaremos
que α disminuye a medida que la rueda se mueve:
• En el comienzo de la catenaria x=0 donde α=+π/4
• En el medio x=ka (en el vértice) donde α=0
• En el extremo de la catenaria x=2ka donde α=-π/4
Empleamos la regla de la cadena
Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente a la catenaria en el
punto x es
Derivamos y respecto de x en la ecuación de la catenaria

4. Derivamos tanα con respecto de x
Teniendo en cuenta que
Nos queda
Finalmente
ωa=v·cosα