Definición y teoremas de la matriz inversa y subespacios

1. ALGEBRA LINEAL
INTEGRANTES:
• Mallqui Adriano, Diana
• Noya Parado, Kevin Roy
• Rosales Rosado, Nilson
• Santillan Guevara Milagros Paola

2. 10.- INVERSA DE UNA MATRIZ
• DEFINICIÓN: Si A es una matriz n×n, la inversa de A es
una matriz A con la propiedad que:
AA =In =A A.
Si tal A existe, entonces se dice que A es invertible.
Notación: Si A es invertible, su inversa se denotará por A.
Teorema: Si A es invertible, entonces su inversa es única.
-1
-1
-1 -1
-1

3. PROPIEDADES
Teorema: Sea A una matriz invertible. Entonces
1. La matriz A es invertible y (A ) =A.
2. Si c es un escalar diferente de cero, entonces cA es invertible y (cA)
=1/c A .
3. Si B es otra matriz invertible del mismo tamaño de A, entonces AB es
invertible y (AB) =B A .
4. La matriz AT es invertible y (AT) =(A )T.
5. Para todo entero no negativo k:Ak es invertible y (Ak) =(A )k.
-1 -1 -1
-1
-1
-1 -1-1
-1 -1
-1 -1

4. Teorema:
Podemos determinar cuando una matriz es invertible utilizando el
siguiente teorema.
Sea A una matriz n×n. Si B es una matriz n×n tal que
AB=In o BA=In
,entonces AA es invertible y A =B.
Teorema:
Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si det(A)≠0. Además
si A es invertible, entonces:
det(A )=1/det(A)
-1
-1

5. Teorema:
Si A es una matriz invertible de n×n, entonces el sistema de
ecuaciones lineales dado por AX=b tiene una solución única dada
por:
X=A b
-1

6. METODO DE GAUSS-JORDAN
[A|In] … [In|A ]
-1
Podemos calcular la inversa de una matriz invertible A siguiendo los siguientes
pasos:
1. Aplique eliminación de Gauss-Jordan al sistema [A∣I] para llevarlo a un sistema
reducido de la forma [R∣B]
2. R=I, entonces la matriz A es invertible y B=A
3. Si R≠I, entonces A no es invertible.
-1

7. Ejemplo
Calcular A (si existe) para: A=
-1 1 0 1
-1 1 1
0 1 0
1 0 1
-1 1 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
R2+R1 1 0 1
0 1 2
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 0 1
R2 R3
1 0 1
0 1 0
0 1 2
1 0 0
0 0 1
1 1 0
-1
[A|In] … [In|A ]
R3 - R2
1 0 0
0 0 1
1 1 -1
1 0 1
0 1 0
0 0 2
1/2R3
1 0 0
0 0 1
1/2 1/2 -1/2
1 0 1
0 1 0
0 0 1
R1 - R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/2 -1/2 1/2
0 0 1
1/2 1/2 -1/2

8. SUBESPACIOS DE 𝑹 𝒏

9. Recodemos que un conjunto S es subespacio de 𝑅 𝑛 si satisfice las
siguientes propiedades.
1. El vector 0 pertenece a S.
2. S es cerrado bajo la suma, es decir, si u, v pertenece a S, entonces
u +𝑣 también pertenece a S.
3. S es cerrado bajo el producto por escalar, es decir, si u pertenece a
S y c es un escalar, entonces cu también pertenece a S.
SUBESPACIOS

10. SUBESPACIOS EN 𝑅2
El conjunto 𝑆0 = { 0 } es un ejemplo de subespacio en 𝑅2.
y
𝑆0 x

11. Si v = [ 𝑎
𝑏
]es un vector no nulo, entonces
𝑆1 = gen{v} es un ejemplo de subespacio de 𝑅2
.
y
𝑆1
v
x

12. El conjunto 𝑆2 = 𝑅2
es un ejemplo de subespacio
en 𝑅2
.
y
𝑆2
x

13. Los únicos subespacios de 𝑅2
son:
✘Origen.
✘Rectas que pasan por el origen.
✘Todo R.

14. El conjunto 𝑆0 = {o} es un ejemplo de subespacio en 𝑅3
.
z
𝑆0
y
x

15. Su v =
𝑎
𝑏
𝑐
es un vector no nulo, entonces 𝑆1 - gen{v} es un ejemplo de subespacio de 𝑅3
.
z
v 𝑆1
y
x

16. SUBESPACIOS DE 𝑅3
Si u=
𝑎
𝑏
𝑐
y v =
𝑑
𝑒
𝑓
son dos vectores linealnente independientes, entonces 𝑆2 - gen{u, v} es un
ejemplo de subespacio de 𝑅3
.
z 𝑆2
u
v y
x

17. El conjunto 𝑆3 - 𝑅3 es un ejemplo de subespacio en 𝑅3.
z 𝑆3
y
x

18. Los únicos subespacios de 𝑅3 son:
Origen.
• Rectas que pasan por el origen.
• Planos que pasan por el origen.
• Todo 𝑅3
.

19. De manera análoga, los únicos subespacios de 𝑅4 son:
Origen.
• Rectas que pasan por el origen.
• Planos que pasan por el origen.
• Hiperplanos que pasan por el origen (objetos parecidos a 𝑅3
que viven en 𝑅4 .
• Todo 𝑅4
.

20. Ejemplo.-
Demostrar que W = {
𝑥
𝑦
𝑧
€ 𝑅3/ x – 2y + z = 0} , es subespacio de 𝑅3.
Solucion:
1).- si tenemos x = 0, y = 0, z = 0
x – 2y + z = 0 – 2(0) + 0 = 0
y por lo tanto
0
0
0
€W

21. 2).- veamos que W es cerrado bajo la suma
supongamos que u =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
y v =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
pertenecen a W
por lo tanto 𝑥1- 2𝑦1+ 𝑧1= 0 …….1
𝑥2- 2𝑦2+ 𝑧2= 0 ………2

22. U + v =
𝑥1 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2
𝑧1 + 𝑧2
(𝑥1 + 𝑥2) – 2(𝑦1 + 𝑦2) + (𝑧1 + 𝑧2) =
(𝑥1 - 2𝑦1 +𝑧1) + (𝑥2 - 2𝑦2 +𝑧2)
0 + 0 = 0

23. 3).- Veamos que W es cerrado bajo el producto por escalar.
Sea C € IR y supongamos que u =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
€ W
Como u € W, entonces 𝑥1- 2𝑦1+ 𝑧1= 0 ….1
Cu =
𝑐𝑥1
𝑐𝑦1
𝑐𝑧1
𝑐𝑥1- 2(𝑐𝑦1)+ 𝑧𝑐1 = c(𝑥1- 2𝑦1+ 𝑧1) = c(0) = 0
0
Esto demuestra que cu € W