El documento presenta el método de elementos finitos aplicado a problemas de teoría electromagnética. Brevemente describe la historia del método de elementos finitos y sus principales formulaciones como el método de Ritz y el método de Galerkin. Luego explica la aplicación del método de elementos finitos para resolver problemas unidimensionales y bidimensionales de teoría electromagnética mediante discretización del dominio, aproximación por elementos finitos y ensamblaje de la solución.

1. El presente documento formó parte de la exposición que obtuvo el segundo puesto
en el INTERCON 2001, llevado a cabo en la Universidad de Piura. (PERU)
Método De Elementos Finitos
Aplicados a Problemas de Teoría
Electromagnética
Alumno:
Abelardo Tomás Jara Berrocal
Asesor:
MSc. Miguel Delgado León
Universidad Nacional De Ingeniería
http://fiee.uni.edu.pe

2. Método De Elementos Finitos
Aplicados a Problemas De Teoría
Electromagnética
Abelardo Tomás Jara Berrocal
Universidad Nacional De Ingeniería
Asesor: MSc. Miguel Delgado León
INTERCON 2001
Universidad de Piura

3. Contenido
♦ Introducción
♦ Historia del método de elementos finitos
♦ Formulación del Método de Elementos
finitos.
♦ Aplicaciones y ejemplos
♦ Observaciones y conclusiones

4. A. Introducción
♦ La ecuación diferencial que nos interesa es:
fΔΦ = donde:
Δ es el operador diferencial,
Φ
es la función excitación yf
es la función desconocida.
♦ El método de elementos finitos es una técnica
numérica para obtener la solución aproximada de:
f
yyxx
yx =Φ+
∂
Φ∂
∂
∂
−
∂
Φ∂
∂
∂
− βαα )()(
Donde (x,y) ∈ S, que es la región de interés.

5. B. Historia del MEF
♦ El método de elementos finitos no es nuevo. Su
desarrollo y éxito se expande con el creciente
desempeño de las computadoras digitales.
♦ Los geómetras antiguos ya habían empleado los
“elementos finitos” para determinar un valor
aproximado de . Arquímedes usó ideas
similares para determinar el área de figuras planas.
Este hecho dio una premisa para el desarrollo del
cálculo integral por Newton y Leibniz dos mil
años después.
π

6. B. Historia del MEF
(continuación)
♦ Walter Ritz (1878–1909), físico suizo fue el
primero en formalizar el método de elementos
finitos. Él propuso que las frecuencias de las
líneas espectrales de los átomos podían ser
expresadas por diferencias entre un relativamente
pequeño número de “elementos”.
♦ Ritz desarrolló la formulación matemática del
MEF, con base en el cálculo variacional. El
método de Ritz es también conocido como
variacional o formulación clásica.

7. B. Historia del MEF
(continuación)
♦ La incorporación del cálculo matricial al método
de elementos finitos fue propuesta por el ingeniero
ruso Boris G. Gallerkin (1871-1945).
♦ Gallerkin publicó sus primeros trabajos en base al
método clásico durante su prisión en 1906 por
orden del zar en la Rusia prerevolucionaria. En
muchos textos rusos el método de elementos
finitos de Gallerkin se conoce como método de
Bubnov-Gallerkin. Él publicó un trabajo usando
esta idea en 1915. El método también fue
atribuído a Bubnov en 1913.

8. B. Historia del MEF
(continuación)
♦ La aplicabilidad del método de elementos finitos
fue detenida por lo extenso de los cálculos
necesarios para resolver un sistema de un
considerable número de elementos finitos.
♦ El desarrollo de los computadores digitales
durante la década de 1950, permitió la aplicación
del método de elementos finitos a la solución de
ecuaciones diferenciales.

9. B. Historia del MEF
(continuación)
♦ El uso moderno de los elementos finitos inició en
el campo de ingeniería de estructuras en 1950,
para que luego los conceptos básicos fueran
reconocidos de amplia aplicabilidad y prontamente
empleados en muchas otras áreas. El subsecuente
desarrollo ha sido vertiginoso y ahora el método
está bien establecido dentro de varias disciplinas
científicas.

10. B. Historia del MEF
(continuación)
♦ Recientemente en adición a las formulaciones de
Ritz y Gallerkin, otros métodos han venido a
emplearse. Los más conocidos son el método de
los mínimos cuadrados y un método conocido
como método directo, método de balance global o
método de Oden.

11. C. Formulación del método de
Elementos Finitos
Como hemos indicado, existen cuatro
formulaciones del MEF, todas orientadas a la
solución de la ecuación diferencial:
(1)
♦ Formulación variacional o de Ritz
♦ Formulación matricial o de Gallerkin
♦ Formulación de mínimos cuadrados
♦ Formulación global o de Oden
fΔΦ =

12. 1. Método variacional de Ritz
♦ Resolver (1) equivale a encontrar tal que hace
mínimo el siguiente funcional:
Φ
>Φ<−>Φ<−>Φ∆Φ<=Φ ,
2
1
,
2
1
,
2
1
)( ffF
Donde:
∫>=< dSuvvu *
,
Es el producto interno y v* es el complejo
conjugado.
La formulación de Ritz arroja la solución
analítica (exacta) de para una acertada
suposición de su forma funcional (polinomio,
suma de cosenos, etc).
Φ

13. 1. Demostración del método de
Ritz
Ejemplo: Encontrar el potencial escalar
entre dos planos infinitos paralelos localizados en
X=0 con la condición de frontera = 0 voltios y
en X=1, = 1 voltio.
El espacio entre ambos planos contiene una carga
eléctrica cuya densidad de carga es:
Φ
Φ
Φ
)1()( 0 +−= XX ερ

14. 1. Solución convencional (sin
elementos finitos)
♦ El espacio entre planos paralelos está gobernado
por la ecuación de Poisson:
con condiciones de frontera:
(0)=0 y (1)=1
Resolviendo la solución analítica resulta:
12
2
0
2
+=
Φ
=>
−
=Φ∇ X
dX
d
ε
ρ
Φ Φ
XXXX
3
1
2
1
6
1
)( 23
++=Φ
(3)

15. 1. Solución vía método de Ritz
♦ Desarrollando el funcional se tiene:
Suponemos soluciones del tipo:
(6) ó
(7)
Elegimos (6) y aplicamos condiciones de frontera:
(8)
∫∫ Φ++
Φ
=Φ
1
0
1
0
2
)1()(
2
1
)( dXXdX
dX
d
F
2
321 XAXAA ++=Φ
3
4
2
321 XAXAXAA +++=Φ
2
22 )1( XAXA −+=Φ
(5)

16. 1. Solución vía Método de Ritz
(continuación)
♦ Reemplazando (8) en (5):
El mínimo del funcional equivale a encontrar la
solución del problema:
Reemplazando en (8):
)215(
12
1 2
22 AAF +−= (9)
4
1
0 2
2
==>= A
dA
dF
2
4
3
4
1
)( XXX +=Φ

17. 1. Comparación de resultados
♦ Se presenta a continuación las gráficas en MatLab
de la solución exacta y la obtenida vía Ritz.
t=0:0.001:1;
%solución
analítica
x=t.*t.*t./6+t.*
t./2+t./3;
%solución vía
Ritz
y=3*t.*t./4+t./4
;
plot(t,x,t,y);

18. 2. Método de Gallerkin
♦ El método matricial de Gallerkin se basa en el
método variacional de Ritz.
♦ El procedimiento básico es el siguiente:
I. Discretización del dominio
II. Aproximación por elementos finitos
III. Ensamblamiento.

19. 2. Método de Gallerkin
I. Discretización del dominio
♦ La región donde interesa la solución se divide en
un número determinado de elementos.
♦ Dependiendo si el problema es en una, dos o tres
dimensiones la región puede dividirse en
segmentos, triángulos, rectángulos o
paralelipípedos.
♦ Los vértices de cada elementos se denominan
nodos.

20. 2. Método de Gallerkin
I. Discretización del dominio
En una dimensión:
3 nodos
2 elementos
En dos dimensiones:
3 nodos
1 elemento

21. 2. Método de Gallerkin
II. Aproximación por elementos
finitos
♦ En toda la región y por tanto en cada elemento
rige la ecuación diferencial o integral.
♦ Se obtiene el funcional variacional de Ritz en cada
elemento.
♦ Se aproxima la solución en cada elemento por un
polinomial que luego se reemplaza en el funcional
de Ritz.

22. 2. Método de Gallerkin
III. Ensamblamiento
♦ Se obtiene el funcional total de Ritz y se encuentra
el mínimo.
♦ El mínimo del funcional corresponde a la solución
del problema.

23. 2. Método de Gallerkin
(Continuación)
♦ Dependiendo si se trabaja en una, dos o tres
dimensiones la forma de los elementos finitos
es diferente.
♦ A continuación analizaremos el método de
Gallerkin:
I. MEF en una dimensión
– MEF en dos dimensiones

24. I. MEF en una dimensión
♦ El problema con valores en la frontera está
definido por la ecuación diferencial (11):
donde es la función desconocida y y
son parámetros asociados a las propiedades
físicas del dominio y f es la función excitación o
fuente.
Ecuaciones particulares de ella son la ecuación de
Laplace, Poisson y Helmholtz.
],0[)( LXf
dX
d
dX
d
∈=Φ+
Φ−
βα
Φ α
β

25. • MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Supongamos que las condiciones de frontera son:
Donde p, y q son parámetros conocidos. La
ecuación (12) es conocida como de primera clase
o Dirichlet y (13) es conocida como de tercera
clase. Si = 0, se tiene condición de segunda
clase o Newmann.
q
dX
d
yp
LX =Φ+
Φ
=Φ
=][
)0(
γα
γ
γ
(12)
(13)

26. • MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ El funcional de Ritz para (11) es:
♦ El primer paso del MEF es el proceso de
discretización. Para ello, se toman segmentos de
recta entre X=0 y X=L
♦ El segundo paso del MEF es seleccionar funciones
de interpolación y por simplicidad se emplean
funciones lineales. En cada elemento, se puede
aproximar por:
♦ Donde ae y be son constantes a determinar.
∫ ∫ Φ−Φ+Φ−Φ+
Φ
=Φ
L L
qdXfdX
dX
d
F
0 0
222
]
2
[))((
2
1
)(
γ
βα
XbaX eee
+=Φ )( (14)

27. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Cuando (14) se evalúa en cada nodo se obtienen
dos ecuaciones:
♦ De (15) y (16) se despeja ae y be , luego
reemplazando en (14) se obtiene:
♦ Donde N1
e y N2
e se llaman funciones de
ponderación o base de interpolación y están dadas
por:
eeee
eeee
Xba
Xba
22
11
+=Φ
+=Φ (15)
(16)
∑=
Φ=Φ
2
1
)()(
j
e
j
e
j
e
XNX (17)

28. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Las funciones base son:
♦ El primer paso del MEF es formular el sistema de
ecuaciones:
♦ Por simplicidad consideramos la condición de
Newmann homogénea ( = q = 0).
e
e
e
e
e
e
l
XX
N
l
XX
N 1
2
2
1
−
=
−
= (18)
∑=
=
Φ∂
∂
=
Φ∂
∂
=
Φ∂
∂ N
e
e
e
e
e
FFF
1
0}{}{ (19)
γ

29. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Por lo tanto, el funcional del elemento será (20):
♦ Reemplazando en (19):
♦ Que en forma matricial se puede escribir en la
forma:
∫ ∫ Φ−Φ+
∂
Φ∂
=Φ
e
e
e
e
X
X
X
X
eeee
dXfdX
X
F
2
1
2
1
])()([
2
1
)( 22
βα
∫∑ ∫ −+Φ=
Φ∂
∂
=
e
e
e
e
X
X
e
i
e
j
e
i
j
e
j
X
X
e
ie
je
i
e
fdXNdXNN
dX
dN
dX
dNF 2
1
2
1
)(
2
1
βα
}0{][][][}{ 121222 =−Φ=
Φ∂
∂
x
e
x
e
x
e
e
i
e
bK
F
(21)

30. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ El sistema de ecuaciones local que gobierna
al elemento es:
♦ Donde:
y,






=





Φ
Φ






e
e
e
e
ee
ee
b
b
KK
KK
2
1
2
1
2221
1211
dXNN
dX
dN
dX
dN
K e
j
e
i
e
j
X
X
e
ie
ij
e
e
)(
2
1
βα += ∫
∫=
e
e
X
X
e
i
e
i fdXNb
2
1
(23)
(24)

31. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ [Ke] es la matriz de coeficientes elementales y si
y son constantes se pueden aproximar a una
constante dentro de cada elemento:
α β
3
2211
e
e
e
e
ee l
l
KK β
α
+==
6
2112
e
e
e
e
ee l
l
KK β
α
+−==
2
21
e
eee l
fbb ==
(25)
(26)
(27)

32. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Ensamblamiento de los elementos:
Las matrices Ke elementales son ensambladas en
una matriz global.
♦ Para lograr el ensamblamiento, cada matriz Ke se
superpone con la del elemento vecino pues ambas
comparten un nodo global
♦ Ejemplo: Si nuestra discretización hubiese
generado 3 elementos y 4 nodos, como se aprecia
en la figura:

33. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ La matriz K global sería:
♦ Nótese que las matrices globales en elementos
finitos tienen muchos ceros, a este tipo de matrices
se les llama matrices Sparsa.
♦ En general:














+
+
=












Φ
Φ
Φ
Φ














+
+
3
2
2
2
3
1
2
1
1
2
1
1
4
3
2
1
3
22
3
21
3
12
3
11
2
22
2
21
2
12
2
11
1
22
1
21
1
12
1
11
00
0
0
00
b
bb
bb
b
KK
KKKK
KKKK
KK
[
[
[ ]
]
]
][]][[ ggg bK =Φ

34. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Condiciones de frontera:
♦ Condición de Dirichlet:
También conocida como condicición esencial.
La condición de frontera es aplicada
directamente al primer valor nodal.
La incorporación de esta condición de frontera
reemplaza la primera fila del sistema de
ecuaciones , esto es:
pb
KyK
g
gg
=
==
)1(
0)2,1(1)1,1(
p=Φ=Φ 1)0(
][]][[ ggg bK =Φ

35. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Condición de Newman:
También es llamada condición de flujo.
La condición de frontera:
mantiene el valor de desconocido,
pero modifica el valor de los elementos de las
matrices [Kg] y [bg].
q
dX
d
LX =Φ+
Φ
=][ γα
nL Φ=Φ )(

36. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Condición de Newman (continuación):
La modificación de los elementos de [Kg] y
[bg] es como sigue:
Se puede apreciar que los elementos Kg(n,n) y
bg(n) calculados primero por las ecuaciones de
Ritz son incrementados por las constantes
presentes en la condición de Newman para este
nodo.
qbnb
KnnK
ne
g
ne
g
+=
+=
2
22
)(
),( γ

37. I. MEF en una dimensión
(Continuación)
♦ Los filas del sistema de ecuaciones:
que no son modificadas por las condiciones de
frontera se denominan condiciones naturales de
frontera.
♦ En general se puede tener numerosas condiciones
de frontera que deben ser incorporadas al sistema
de ecuaciones . Sin embargo, para el
cálculo de la solución, se debe aplicar al menos
una condición de Dirichlet al problema.
][]][[ ggg bK =Φ
][]][[ ggg bK =Φ

38. II. MEF en dos dimensiones
♦ La ecuación diferencial que nos interesa es:
♦ Donde , y son parámetros asociados a
propiedades físicas del dominio y f es la función
fuente o excitación. es la función desconocida.
♦ Cuando = 0 y se dice que es la ecuación
de Poisson.
f
yyxx
yx =Φ+
∂
Φ∂
∂
∂
−
∂
Φ∂
∂
∂
− βαα )()(
Donde (x,y) ∈ S, que es la región de interés.
xα yα β
Φ
β 0≠f

39. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ En dos dimensiones, las condiciones de frontera
son de dos tipos:
♦ Condición de Dirichlet
♦ Condición de tercer orden:
Por simplicidad se analizará el caso cuando:
p=Φ Sobre la curva S1.
qny
Y
x
X
yx =Φ+•
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
γαα ˆ)ˆˆ(
Sobre la curva S2.
0== qγ Condición de Newman.

40. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ La frontera de la región S gobernada por la
ecuación diferencial es la curva L=S1+S2.
♦ Formulación Variacional en dos dimensiones:
♦ Análisis de elementos finitos:
♦ El primer paso es la discretización de la región
por medio de triángulos.
Se tomará como ejemplo una pequeña región
dividida en cuatro elementos triangulares.
∫∫∫∫ Φ−Φ+
Φ
+
Φ
=Φ
SS
yx dSfdS
dX
d
dY
d
F ))()((
2
1
)( 222
βαα

41. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
Nodo global 4
(Numeración
global)
Nodo local 1 del
elemento 4
(Numeración local)

42. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ Se debe buscar una relación entre la numeración
local y la global. Por ello se define una matriz [n],
con una cantidad de filas igual al número de
elementos y de columnas igual a tres.
♦ Ejemplo:

43. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ Si Nd es el número de nodos y Ne el número de
elementos; los siguientes datos son necesarios en
la formulación del método de elementos finitos:
♦ X(i), Y(i) (i=1, 2, 3, ..., Nd), las coordenadas de
los nodos.
♦ Valores de , , y f para cada elemento.
♦ Los valores de p para los nodos residentes en S1.
yαxα β

44. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ Interpolación elemental: Se asume una variación
lineal de sobre la región S.
ycxbayx eeee
++=Φ ),(
Φ
eeeeee
eeeeee
eeeeee
ycxbayx
ycxbayx
ycxbayx
333
222
111
),(
),(
),(
++=Φ
++=Φ
++=Φ
Los potenciales en cada
nodo deben cumplir con la
relación.

45. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ El problema consiste en solucionar ae, be y ce:
♦ De acuerdo al método de Gallerkin, el valor de
sobre la región elemental e se puede estimar
como:
donde es una función base.
),,(
),,(
),,(
e
i
e
i
e
i
ee
e
i
e
i
e
i
ee
e
i
e
i
e
i
ee
yxcc
yxbb
yxaa
Φ=
Φ=
Φ=
∑=
Φ=Φ
3
1
),(),(
j
e
j
e
j
e
yxNyx
),( yxNe
j

46. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ El valor de las funciones base es:
donde:
y es el área del triángulo e.
3,2,1)(
2
1
),( =++
∆
= jycxbayxN e
j
e
j
e
je
e
j
eeeeeeeeeee
eeeeeeeeeee
eeeeeeeeeee
xxcyybxyyxa
xxcyybxyyxa
xxcyybxyyxa
12321321213
31213213132
23132132321
−=−=−=
−=−=−=
−=−=−=
e
∆

47. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ El área del triángulo e está dada por la siguiente
expresión.
♦ El variacional de Ritz en cada elemento será:
ee
ee
ee
e
yx
yx
yx
33
22
11
1
1
1
2
1
=∆
∫∫∫∫ Φ−Φ+
Φ
+
Φ
=Φ
ee
S
e
S
e
e
y
e
x
ee
dSfdS
dX
d
dY
d
F ))()()((
2
1
)( 222
βαα

48. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ Se aplica derivada con el fin de calcular el mínimo
del funcional (i=1, 2 ó 3):
♦ Que en forma matricial se puede escribir en la
forma:
∫∑ ∫ −+Φ=
Φ∂
∂
=
e
e
e
e
X
X
e
i
e
j
e
i
j
e
j
X
X
e
ie
je
i
e
fdXNdXNN
dX
dN
dX
dNF 2
1
2
1
)(
3
1
βα
}0{][][][}{ 131333 =−Φ=
Φ∂
∂
x
e
x
e
x
e
e
i
e
bK
F

49. II. MEF en dos dimensiones
(Continuación)
♦ Análogamente al caso unidimensional, se forma
un sistema de ecuaciones local:
♦ Los valores de los elementos de la matriz [Ke] se
deben calcular para cada elemento.
♦ El proceso de Ensamblamiento e Incorporación de
condiciones de frontera es similar al caso
unidimensional.










=










Φ
Φ
Φ










e
e
e
e
e
e
eee
eee
eee
b
b
b
KKK
KKK
KKK
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211

50. D. Aplicaciones del MEF
Entre las diversas aplicaciones del MEF podemos
citar:
♦ Estructuras de naves espaciales, automóviles y
embarcaciones.
♦ Puentes de acero y concreto reforzado.
♦ Diseño de plásticos.
♦ Mécanica de fracturas, de suelos y fluidos
viscosos.
♦ Campos electromagnéticos y acústicos.
♦ Flujos de plasma y en reactores nucleares.

51. D. Aplicaciones del MEF
♦ El presente proyecto está orientado al desarrollo
de programas de aplicación del método de
elementos finitos a distintos casos de interés para
la Teoría Electromagnética.
♦ El código fuente de los programas ha sido
desarrollado en MatLab, gracias a que esta
herramienta dispone de algoritmos eficientes para
manipulación de matrices.

52. D. Aplicaciones del MEF
♦ EN UNA DIMENSIÓN:
Se implementó un programa general de
elementos finitos para solución numérica de
problemas con valores en la frontera en una
dimensión. Se ha utilizado el lenguaje de
programación de MatLab.
La estructura de este programa es como sigue:

53. D. Aplicaciones del MEF
(Una dimensión)
♦ Se definió una función para solución de
ecuaciones diferenciales con condiciones de
frontera.
♦ Esta función tiene la siguiente sintaxis:
phi=fine1d(alfa,beta,f,l,p,g,q)
♦ Donde los argumentos son los parámetros de la
ecuación diferencial:
-[alfa*phi’]’+beta*phi=f 0<x<L
Con condiciones de frontera:
phi(0)=p y
alpha*phi’+g*phi=q en x=L.

54. D. Aplicaciones del MEF
(Una dimensión)
♦ La función phi=fine1d((alfa,beta,f,l,p,g,q) puede
ser incorporada a cualquier programa de MatLab
donde se requiera la solución de la ecuación
diferencial propuesta mediante el MEF.
♦ Ejemplo 1: Para demostrar su aplicabilidad, esta
función fue incorporada a un programa con el fin
de calcular la solución de la ecuación diferencial:
-phi’’(x)=x
Con condiciones de frontera:
phi(0)=2 y phi’(1)=3

55. D. Aplicaciones del MEF
(Una dimensión)
♦ Dichas condiciones equivalen a introducir los
siguientes parámetros:
Alfa = 1, Beta = 0, P = 2, G = 0 y Q = 3.
♦ La solución exacta de la ecuación diferencial es:
phi(x)=-x^3/6+3.5x+2
♦ Se efectúo pruebas para tres diferentes
discretizaciones (tres, cien y mil elementos).
♦ Los resultados gráficos se muestran a
continuación.

56. D. Solución de phi’’(x)=-x
(Para tres elementos finitos)
Gráfica real
Potencial en
nodo 2

57. D. Solución de phi’’(x)=-x
(Para cien elementos finitos)
Gráfica real

58. D. Solución de phi’’(x)=-x
(Para mil elementos finitos)
Gráfica real

59. D. Error máximo en porcentaje
para 3, 100 y 1000 elementos.

60. D. Aplicaciones del MEF
♦ EN DOS DIMENSIONES: Se desarrolló un
programa en MatLab para análisis de ecuaciones
diferenciales en dos dimensiones mediante
elementos finitos triangulares.
♦ Este programa fue incorporado como subrutina
dentro de otros programas orientados a análisis
de casos particulares.
♦ El programa requiere de cuatro archivos de
entrada que son listados a continuación:

61. D. Aplicaciones del MEF
(Dos dimensiones)
♦ Nen.- Este archivo contiene el número de nodos y
el número de elementos utilizados para formar
elementos finitos triangulares.
♦ Enl.- Este archivo contiene un listado de todos los
elementos, los tres nodos que lo limitan así como
el número de los tres elementos adyacentes a él.
♦ Bx.- Como no toda la región está hecha del mismo
material, este archivo contiene las definiciones de
cajas o secciones rectangulares de diferente
permitividad eléctrica o magnética.
♦ Coo.-Este archivo contiene un listado de los nodos
con sus respectivas coordenadas X e Y.

62. D. Aplicaciones del MEF
(Dos dimensiones)
♦ Ejemplo de archivo Nen.-
473 880
Lo que indica que se ha usado en la discretización
473 nodos y 880 elementos.
♦ Ejemplo de archivo Enl.-
1 26 1 283 0 499 500
2 2 27 283 3 500 499
Lo que indica que el elemento 1 está limitado por
los nodos globales 26, 1 y 283 y es adyacente a los
elementos 0, 499 y 500.

63. D. Aplicaciones del MEF
(Dos dimensiones)
♦ Ejemplo de archivo Coo.-
1 0.0 0.0
2 5.0 0.0
Lo que indica que el nodo global 1 se encuentra en
las coordenadas X=0 e Y=0.
♦ Estos cuatro archivos pueden ser generados
manualmente por el usuario. Sin embargo, para
aumentar la exactitud, se utilizó el programa
generador de mallas HM.
♦ Se presenta como ejemplo tres programas de
aplicación:

64. D. Aplicaciones del MEF
(Dos dimensiones)
♦ Ejemplo 1: Determinación de la distribución del
potencial y el campo eléctrico en una microcinta
donde el voltaje en la cinta es 10 voltios y en el
conductor externo 0 voltios.

65. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Mediante el programa de generación de mallas
HM, se procedió a discretizar la región en la
siguiente forma:
♦ Después de generados los archivos de datos, se
procedió a ejecutar el programa elaborado en
MatLab. Los resultados obtenidos fueron:

66. D. Aplicaciones Del MEF-2D.

67. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Ejemplo 2: Determinar la distribución de
potencial y campo eléctrico para el siguiente
capacitor de placas paralelas con dieléctrico.

68. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Mediante el programa de generación de mallas
HM, se procedió a discretizar la región en la
siguiente forma:
♦ Después de generados los archivos de datos, se
procedió a ejecutar el programa elaborado en
MatLab. Los resultados obtenidos fueron:

69. D. Aplicaciones Del MEF-2D.

70. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Ejemplo 3: Determinar la distribución de
potencial y el campo eléctrico en la siguiente cable
formado por dos conductores concéntricos de
sección transversal cuadrada.

71. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Mediante el programa de generación de mallas
HM, se procedió a discretizar la región en la
siguiente forma:

72. D. Aplicaciones Del MEF-2D.
♦ Después de generados los archivos de datos, se
procedió a ejecutar el programa elaborado en
MatLab. Los resultados obtenidos fueron:

73. E. Observaciones Y
Conclusiones
♦ Se puede apreciar que los resultados obtenidos
mediante el MEF para los casos de una y dos
dimensiones concuerdan con los resultados
expuestos en bibliografía calificada sobre estos
temas.
♦ El error en el ejemplo mostrado en una
dimensión entre la solución por el MEF y la
solución analítica es de orden menor al 0.1%
para sólo tres elementos, lo que demuestra la
gran exactitud del método.

74. E. Observaciones y Conclusiones
♦ La velocidad de los programas implementados
podría ser mejorada si para el proceso de
inversión de matrices se utilizara algoritmos de
inversión de matrices Sparsa (de muchos ceros).
♦ El autor de este proyecto sugiere la enseñanza
del Método de Elementos Finitos en las
especialidades de Ingeniería Electrónica,
Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Civil, dada su
notable aplicabilidad en los cálculos requeridos
en estas carreras.
Piura, 8 de agosto del 2001
Abelardo Tomás Jara Berrocal
Universidad Nacional de Ingeniería
IEEE Student Member 40363137