Este documento presenta el análisis por elementos finitos de una barra sometida a una carga y deformación térmica. Se discretiza la barra en elementos y se calculan las matrices de rigidez global y carga. Esto permite resolver el sistema y obtener los desplazamientos nodales. Con estos resultados se calculan los esfuerzos en cada nodo. El resumen concluye que la deformación térmica causa un cambio considerable en la deformación de la barra en comparación con la deformación sin influencia térmica.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA
MECÁNICA
TRACCIÓN CON DEFORMACIÓN TÉRMICA
 CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
 SECCIÓN: “B”
 INTEGRANTE:
Tesen Atencia, Walter Junior
20090091E


 FECHA: 25/09/2013
 PROFESOR: Ing. Edwin Abregú
2013-2

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ÍNDICE
Enunciado del Problema....................................................................3
Preproceso.........................................................................................4
Proceso………………………..............................................................4
Solución…….......................................................................................5
Ecuaciones de Rigidez y Contorno.....................................................6
Conclusiones................................................................................... 7
Bibliografía....................................................................................... 7

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CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
Prob: Considere una barra conuna sección transversal que soporta una carga P,como se
muestra en la figura. La barra se fija en un extremo y lleva la carga P en el otro.Designamos el
ancho de la barra en la parte superior como w1, y la parte inferior como w2, el espesor como t
y la longitud por L. El modúlo de elasticidad de la barra se denota por E. Considerequehay
un incremento de 110°C. Se pide determinar cuántose desviará la barra en varios puntos de
su longitud cuando se somete a la carga P.
Datos:
*w1=2 in=50.8 mm
*w2=1 in=25.4 mm
*t=0.125 in=3.175 mm
*L=10 in=254 mm
*E=10.4x106 lb/in2=7311.2 N/mm2
*P=1000 lb= 4445 N
*T=110 °C

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PREPROCESO
- Discretizando el dominio de solución en elementos finitos.
PROCESO
Con el fin de obtener los valores numéricos de los desplazamientos nodales, se utilizan los
valores al comienzo mencionados, completándose la siguiente tabla:
T=110 °C

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La variación del área de la sección transversal de la barra en la dirección “y” puede ser
expresado por:
𝐴( 𝑦) = (𝑤1 + (
𝑤2 − 𝑤1
𝐿
) 𝑦) 𝑡 = (50.8 +
25.4 − 50.8
254
× 𝑦) (3.175)
𝐴( 𝑦) = 161.29 − 0.3175𝑦
Con esto, podemos hallar la seccióntransversal en cada nodo, que serían las siguientes:
A1=161.29 mm2
A2=141.129 mm2
A3=120.968 mm2
A4=100.806 mm2
A5=80.645 mm2
Luego, hallamos los k para cada elemento con la ecuación:
𝐾𝑒𝑞 =
( 𝐴𝑖+1 + 𝐴𝑖) 𝐸
2𝑙
𝐾1 =
( 𝐴2+𝐴1) 𝐸
2𝑙
= 17409.809N/mm
𝐾2 =
( 𝐴3+𝐴2) 𝐸
2𝑙
= 15088.532N/mm
𝐾3 =
( 𝐴4+𝐴3) 𝐸
2𝑙
= 12767.197N/mm
𝐾4 =
( 𝐴5+𝐴4) 𝐸
2𝑙
= 10445.862N/mm
Y la matriz elemental sería:
[K](1)=[K1 -K1;-K1 K1] y asísucesivamente.
Juntando todas las matrices elementales se obtiene la matriz global de rigidez:
Analizando en cada elemento para hallar el vectorde carga:
𝐹1
1
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)1
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)1 + 𝑅1 = −28622.1 + 𝑅1 𝑁
𝐹2
1
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)1
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)1 = 28622.105 𝑁
𝐹2
2
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)2
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)2 = −24805.822 𝑁

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𝐹3
2
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)2
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)2 = 24805.822 𝑁
𝐹3
3
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)3
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)3 = −20989.54 𝑁
𝐹4
3
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)3
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)3 = 20989.54 𝑁
𝐹4
4
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)4
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)4 = −17173.267 𝑁
𝐹5
4
=
𝛾 × ( 𝐴 × 𝑙)4
2
− ( 𝐸 × 𝐴 × 𝛼 × ∆𝑇)4 = 17173.267 + 4445 𝑁
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
𝐹1 = 𝐹1
1
= −28622.1 + 𝑅1 𝑁
𝐹2 = 𝐹2
1
+ 𝐹2
2
= 3816.273 𝑁
𝐹3 = 𝐹3
2
+ 𝐹3
3
= 3816.292 𝑁
𝐹4 = 𝐹4
3
+ 𝐹4
4
= 2816.273 𝑁
𝐹5 = 𝐹5
4
= 21618.267 𝑁
ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
Se determina por:
𝐹𝑖 = 𝐾𝑖𝑗 × 𝑄𝑗
Obteniendose los valores de los desplazamientos:
Q1 = 0 mm
Q2 = 0.19377 mm
Q3 = 0.39181 mm
Q4 = 0.59568 mm
Q5 = 0.80801 mm
Resolviendo el sistema de ecuaciones se halla el vector Qi y para obtener el valor de R1 lo
hallamos de la siguiente submatriz.

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[−28622.1 + 𝑅1] =× [17409.809 −17409.809 0 0 0] ×
[
0
𝑄2
𝑄3
𝑄4
𝑄5]
𝑅1 = 25248.60 𝑁
Para hallar los esfuerzos resolvemos la siguiente ecuación:
𝜎𝑒 = (
𝐸
𝑙
)
𝑒
× [−1 1] × [
𝑄𝑖
𝑄𝑖+1
] − ( 𝐸 × 𝛼) 𝑒 × ∆𝑇
Resolviendo para cada nodo se halla los siguientes valores:
𝜎1 = 29.50
𝑁
𝑚𝑚2
𝜎2 = 34.32
𝑁
𝑚𝑚2
𝜎3 = 40.90
𝑁
𝑚𝑚2
𝜎4 = 50.46
𝑁
𝑚𝑚2

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CONCLUSIONES
 Como se puede observar los cambios en la deformación térmica de la barra es
considerable comparado con la deformación que hay sin influencia de la temperatura.

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BIBLIOGRAFÍA
- INTRODUCCIÓNAL ESTUDIODELELEMENTOFINITOENINGENIERÍA,TirupathiR.
Chandrupatla, Ashok D. Belegundu, Pearson Educación, 1999
- FINITE ELEMENTANALYSISTHEORY ANDAPPLICATIONWITHANSYS, Saeed
Moaveni, 1999 by Prentice-Hall, Inc.

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PROGRAMA EN MATLAB
clc
%constantes
format long;
E = 71722.73752;
f=7850*9.81*(10^-9);
t=3.175;
x=11*(10^-6);
%condicion de contorno
contorno=[1];
n=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la primera parte (n) :');
m=input ('Ingrese el Nº de elementos finitos de la segunda parte (m) :');
dt=input('Ingrese la variacion de temperatura:');
%calculo de numero de nodos
nnodos=[1:n+m+1];
%calculo del vector L
L=[(127/n).*ones(1,n),(127/m).*ones(1,m)]
%calculo del vector H
HN1=[1000-250/n:-500/n:500+250/n];
HN2=[500-250/m:-500/m:0+250/m];
h=[HN1,HN2]
%calculo del vector P
P=zeros(1,n+m+1);
P(n+1)=4449.73752;
%calculo del vector h
A=t.*h;
%Calculo del vector fuerza masica
pesoe=f*0.5.*A.*L;
pesoglobal=[pesoe,0]+[0,pesoe];
%calculo del vector fuerzapor deformacion termica
dtele=(x*dt*E).*A;
dtglobal=-[dtele,0]+[0,dtele];
%calculo de vector fuerza total
F=pesoglobal+P+dtglobal;
%Calculo de la matriz de rigidez
kele=E.*A./L;
disp('La matriz de Rigidez es : ')
kglobal=diag([kele,0]+[0,kele])-diag(kele,1)-diag(kele,-1)
%resolucion de la ecuacion matricial [F]=[K].[Q]
%introduccion de las condiciones de contorno
ncon=setdiff(nnodos,contorno);
KM=kglobal(ncon,ncon);
FM=F(ncon);
QM=inv(KM)*(FM)';
%calculo de los dezplazamientos
Q=zeros(size(nnodos,2),1);
Q(ncon)=QM;
R=kglobal*Q-F'; %Matriz de Reacciones
disp('La matriz de desplazamiento en mm es :' );
disp(Q)
disp('La fuerza (N) punto de apoyo es : ')
disp(R(1))
%calculo de esfuerzos

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disp('La matriz de Esfuerzos en N/mm2 es : ' )
esf=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dt