El documento presenta conceptos sobre ritmos de cambio en matemáticas. Explica que el ritmo de cambio (derivada) de una variable con respecto al tiempo es su velocidad cuando la variable mide distancia. Incluye ejemplos de problemas de variables relacionadas y pasos para resolverlos. Finalmente, propone ejercicios sobre ritmos de cambio aplicados a áreas, volúmenes, distancias y otros conceptos.

1. Proyecto : Reingeniería Pedagógica en la didáctica de la enseñanza de las MatemáticasGuía Nº 609Tema : Ritmos de cambioMatemático : Emmy NoetherLogro: Comprender y resolver problemas que involucran razones de cambio Materiales didácticos :<br />Ritmos de Cambio<br />Los conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones, se aplican también a funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces, dy/dt se llama: razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una distancia, dy/dt se llama velocidad. <br />Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: La razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles, después de pasar por un punto específico P, etc... <br />Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero, en la mayoría de los casos, la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio. <br />Estos problemas donde intervienen derivadas de variables relacionadas entre si, se llaman: problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines y es típico en ellos que: <br />i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema; <br />ii.Se conocen los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado; <br />iii.Se pide hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.<br />Las variables que intervienen en un problema dado, pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas las derivadas de estas variables. <br />De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de problemas los siguientes pasos: <br />1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura que se traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. <br />2. Determinar cuales son las variables que intervienen en el problema y representarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc... <br />3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables que intervienen en el problema. <br />4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. <br />5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despejar las variables o derivadas que interesan.<br /> <br />Ejercicios PropuestosMatematico 1.La base de un triangulo aumenta a razón de 4 cm/seg., mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/seg. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm , y la altura 12 cm.?2.Una bola de hielo esta rodando por una montaña de hielo. En un instante , el volumen esta aumentando a un ritmo de 25 m3/min . Si el radio de la bola de hielo en ese momento es de 10 metros determine la rapidez con que cree el radio.3.Si el radio de una esfera metálica se contrae con el frio a razón de 0.01 cm/seg. Determinar la rapidez con que varia el volumen de la esfera cuando el radio sea de 10 cms4.Si el área de una esfera metálica se expande con el calor a razón de 0.01 cm2/seg. Determinar la rapidez con que aumenta el radio de la esfera cuando el radio sea de 10 cms5.Si el volumen de una esfera metálica se expande con el calor a razón de 0.01 cm3/seg. Determinar la rapidez con que aumenta el radio de la esfera cuando el radio sea de 10 cms 6.Dos aviones A1 y A2 , parten del aeropuerto y siguen rutas que forman un ángulo de 90°. Con que rapidez varia la distancia entre ellos en el instante en que x = 5 kms y Y = 10 kms . El avión A1 vuela a 100 km/hr y el avión A2 vuela a 150 km/hr. Emmy Noether<br />El rincón literario El rincón del matemáticoFabulaEl pato y la serpienteTomás de Iriarte A orillas de un estanque, diciendo estaba un pato: «¿A qué animal dio el cielo los dones que me ha dado? Soy de agua, tierra y aire: cuando de andar me canso, si se me antoja, vuelo; si se me antoja, nado». Una serpiente astuta, que le estaba escuchando, le llamó con un silbo y le dijo «¡Seó guapo! no hay que echar tantas plantas; pues ni anda como el gamo, ni vuela como el sacre, ni nada como el barbo; y así, tenga sabido que lo importante y raro no es entender de todo, sino ser diestro en algo». Curiosidad con el numero 111 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111=123456789 87654321<br />“Cualquier mago les dirá que los científicos son las personas más fáciles de engañar del mundo[...]. En sus laboratorios, el instrumental es exactamente lo que parece. No hay espejos ocultos, ni compartimentos secretos, ni imanes escondidos[...]. El pensamiento de un científico es racional, se basa en toda una vida de experiencia con un mundo racional. Pero los métodos del mago son irracionales y totalmente ajenos a la experiencia del científico.”Martin Gardner<br />Proyecto : Reingeniería Pedagógica en la didáctica de la enseñanza de las MatemáticasTaller-Laboratorio Nº 609Tema : Ritmos de cambioMatemático : Emmy NoetherLogro : Comprende y resuelve problemas que involucran razones de cambioMateriales didácticos :<br />Conocimientos <br />1. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio y de altura h, le está entrando agua a razón de 25 litros por minuto. El depósito tiene una capacidad de 20000 litros.<br />a) Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.<br />b) Cuanto tiempo tarda en llenarse <br />c) Cuando se han llenado los 3/4 del depósito, cuantos litros contiene<br />d) Cuando han transcurrido 10 minutos, cuantos litros hay en el depósito<br />e) Cuando falta 1/5 para llenarse el deposito, cuanto tiempo ha trascurrido<br />f) Cual es la altura del depósito<br />g) Si se ha llenado la cuarta parte del deposito, que altura alcanza el agua<br />h) Si el depósito se vaciara a una rapidez de 50 litros por minuto, cuanto tiempo tardaría en vaciarse<br /> 2. Un bus se mueve según la ecuación de movimiento Y = 10 e (t + sen t) , siendo “y” la distancia en kilómetros y “t” el tiempo en horas. El bus hace el recorrido entre la Ceja y Medellín con una distancia de 45 kilómetros y ha salido del parque a las 8 de la mañana con 35 pasajeros. Su capacidad es de 42 pasajeros.<br />Recordar que la velocidad es la primera derivada.<br />a) Desde las 8:15 hasta las 8: 25, cuantos kilómetros ha recorrido el bus 2.37 kilómetros<br />b) Cuando el bus lleva 3/4 de hora de recorrido que distancia le falta para llegar a Medellín 23.55 km<br />c) Al cabo de media hora, que velocidad observa el conductor observa en el velocímetro 24.94 kim/h<br />d) Durante el recorrido, cada 15 minutos se subían al bus 3 pasajeros y se bajan 2 . Si el viaje duró 1 hora y 45 minutos ,con cuantos pasajeros llego el bus a Medellín 41 pasajeros<br />e) Al salir el bus del parque de la Ceja, los pasajeros que faltaban para completar el cupo a que porcentaje equivalían 16.66 %<br />f)A las 8:20 am el bus debe estar en el kilómetro 14 del recorrido para registrarse en el puesto de control. Alcanza a llegar a tiempo? Justifique si <br />3. El área de un circulo de radio r esta creciendo con una rapidez de 20 cm2 por minuto. <br />a) A que rapidez esta creciendo el radio cuando este es de 10 cms <br />b) Si el radio crece con una rapidez de 2 cm / min , cuanto vale el radio en ese instante <br />c) Al cabo de 2 minutos cuanto vale el área del círculo <br />d) Si cada cm2 de área tiene un costo de $10 , cuando el radio es de 100 cms , cual es el costo del área <br />e) Cuando el área es de 100 , cual es el perímetro de la circunferencia <br />f) Si los 2/5 del área del circulo equivalen a 40 , cual es el área total<br />g) Si el radio del circulo crece a razón de 5 cm/min , a que rapidez crece el diámetro<br />h) Cuando el área del circulo es de 600 cm2 , cuanto tiempo ha trascurrido <br />Pensamiento Aritmético <br />4. Una sierra en un aserradero corta largos troncos, de 16 m de longitud, en troncos cortos, de 2 m. de longitud. Si cada corte se hace en dos minutos, Cuánto tiempo se necesitará para que la sierra produzca los ocho troncos cortos a partir de un tronco largo.<br />5. Un bidón lleno de queroseno pesa 8 Kg. Se derrama la mitad del queroseno, después de lo cual bidón y contenido pesan 4 Kg. y medio. Determinar el peso del bidón vacío.<br />6. Un pasajero al llegar a la mitad de su viaje cae dormido. Cuando despierta, aún tiene que recorrer la mitad de la distancia que ha hecho mientras dormía ¿Qué parte del total del camino ha estado durmiendo?<br />7. Diez ciruelas pesan tanto como tres albaricoques y un mango. Seis ciruelas y un albaricoque pesan lo mismo que un mango. ¿Cuántas ciruelas equilibrarían una balanza que tiene en un lado un mango.<br />8. Tres amigos coinciden en un restaurante. Comentan que todos van habitualmente. Uno de ellos va cada 5 días, otro cada 6 y el otro cada 9. ¿al cabo de cuántos días volverán a encontrarse?.<br />Pensamiento Espacial<br />9.Que figura corresponde al desarrollo a. b. c. d. 10.Que figura corresponde al desarrolloa. b. c. d<br />\"
La victoria mas grande e importante es conquistarse a uno mismo.\"
- Platón<br />