Musica y mates

“La música es la aritmética de
los sonidos, como la óptica es
la geometría de la luz.”

Claude Debussy

“……Como los pitagóricos veían que las
propiedades y relaciones de la armonía
musical están determinadas por los números
y que todas las cosas están también
conformadas según los números y que estos
son lo primero en toda la naturaleza,
pensaron que las relaciones de los números
son las relaciones de todas las cosas y que
el cielo entero es armonía y número….. ”
Aristóteles

Origen de la Música
 El término "música" proviene del griego
"musiké" (de las musas). Por eso la
paternidad de la música, tal como se la
conoce actualmente, es atribuida a los
griegos. En la mitología griega, las musas
eran nueve y tenían la misión de proteger
las artes y las ciencias en los juegos
griegos.
 Para el hombre primitivo había dos señales
que evidenciaban la separación entre vida y
muerte. El movimiento y el sonido. Los ritos
de vida y muerte se desarrollan en esta
doble clave. Danza y canto se funden como
símbolos de la vida. Quietud y silencio
como símbolos de la muerte.
 El hombre primitivo encontraba música en
la naturaleza y en su propia voz. También
aprendió a valerse de rudimentarios objetos
(huesos, cañas, troncos, conchas) para
producir nuevos sonidos

 Hay constancia de que hace unos 50 siglos en
Sumeria ya contaban con instrumentos de percusión y
cuerda (liras y arpas). Los cantos cultos eran más
bien lamentaciones sobre textos poéticos.
 En Egipto (siglo XX a.C.) la voz humana era
considerada como el instrumento más poderoso para
llegar hasta las fuerzas del mundo invisible. Lo mismo
sucedía en la India. Mientras que en la India incluso
hoy se mantiene esta idea, en Egipto, por influencia
mesopotámica, la música adquiere en los siguientes
siglos un carácter profundo, concebida como
expresión de emociones humanas.
 Hacia el siglo X a.C., en Asiria, la música profana
adquiere mayor relieve gracias a las grandes fiestas
colectivas.

 Es muy probable que hacia el siglo VI a.C.,
en Mesopotamia, ya conocieran las
relaciones numéricas entre longitudes de
cuerdas. Estas proporciones, 1:1 (unísono),
1:2 (octava), 2:3 (quinta), y 3:4 (cuarta), y
sus implicaciones armónicas fueron
estudiadas por Pitágoras (siglo IV a.C.) y
llevadas a Grecia, desde donde se
extendería la teoría musical por Europa.

 En la antigua Grecia la música abarcaba también la poesía y la
danza. Tanto la danza como el atletismo se sabe que tenían su
acompañamiento musical en tiempos de Homero.
 Hacia principios del siglo V a.C., Atenas se convirtió en el centro
principal de poetas-músicos que crearon un estilo clásico, que
tuvo su expresión más importante en el ditirambo.
 El ditirambo se originó en el culto a Dionisos (Baco). Las obras -
tragedias y comedias- eran esencialmente piezas músico-
dramáticas. La poesía, la música y la danza se combinaban y las
piezas eran representadas en los anfiteatros por cantores-
actores-danzadores.
 La poesía era modulada y acentuada por sílabas, e interpretada
indistintamente en prosa común, recitado y canto. La melodía
estaba condicionada, en parte, por los acentos de la letra, es
decir, por la melodía inherente a la letra, y el ritmo musical se
basaba en el número de sílabas. Es dudoso que hubiese
diferencia real entre los ritmos musicales y los metros poéticos.

Pitágoras y la Música
 Pitágoras fue el primero en  La concepción pitagórica de
relacionar la música con las la filosofía como curación
del alma, que tiene como
matemáticas uniéndolas ciencias auxiliares a las
mediante el concepto de matemáticas y a la música,
Harmonia . dio lugar a la meloterapia o
 En el sentido pitagórico se psicoterapia.
establecía un paralelismo
entre los intervalos acústicos
considerados como base de
la música y las distancias que
nos separan de los planetas.
 Aristóteles dice que los
pitagóricos afirmaban que "la
tonalidad del universo era
harmonia y número".
Ver mas

El Monocordio
 Pitágoras construyó el monocordio (una
cuerda tensada, sobre la que se podía
deslizar un puente y cuyo efecto era
acortar la cuerda). Al pulsar la cuerda se
producía un sonido.
 A este sonido base, Pitágoras llamó
tono. Al sonido resultante al colocar el
puente en la posición 9/12, llamó cuarta
(diatesserón); al producido al colocar el
puente en la posición 8/12 llamó quinta
(diapente) y al producido al colocar el
puente en la posición 6/12 llamó octava
(diapasón).
 Los Intervalos Pitagóricos tienen como
valores: Octava (2/1), Quinta (3/2),
Cuarta (4/3

Relaciones Numéricas en el Monocordio
En el monocordio de Pitágoras los números 12, 9, 8 y
6 están relacionados.
 9 es la media aritmética de 12 y 6. 8 es la media
armónica entre 12 y 6. 12/9 = 8/6.
 Media aritmética: m = (a + b)/2.
Media armónica: 1/h = 1/2(1/a + 1/b).
Media geométrica: g/a = b/g
 Se cumple que a/m = h/b.
También se cumple g/m = h/g.
 Los sonidos que se producían cuando el puente
estaba en otras posiciones no eran agradables
(armónicos).

Escala Musical
 Podemos considerar a Pitágoras el
descubridor de la escala musical.
 Do = 1
Re = 9/8
Mi = 81/64
Fa = 4/3
Sol = 3/2
La = 27/16
Si = 243/128
Do = 2
 Para los pitagóricos 'todo es número'.

Propiedades que comparten
Música y Matemáticas

De donde Salieron las
Notas Musicales
 Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos, una cuerda
vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc.
 La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o cantidad de
veces que vibra por segundo, lo que se llama frecuencia.
 Cuanto más oscilaciones por segundo tenga la frecuencia, más aguda o "alta" será
la nota musical. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es
simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo.
 En la música es amuy importante la relación que existe entre la frecuencia de los
distintos sonidos, a esta relación se le llama intervalo.
 Para entender como es la relación entre las notas musicales y como se definieron
estas a través de los años, vamos a establecer una primera nota fundamental o
estándar que será la nota de La central que tiene una frecuencia de 440 oscilaciones
por segundo.
 Recordaremos que aunque el oído humano puede llegar a captar frecuencias entre
los 20hz hasta 20.000hz, la frecuencia de las notas musicales llega solamente a los
4.500hz. Teniendo en cuenta que el oído humano pude diferenciar sonidos con 1hz
de diferencia, bien podríamos tener unas 4000 notas en nuestra escala musical, pero
solo tenemos una 88 notas en un piano y casi no hay mas que eso.
 Aquí podemos ver un dibujo con un fragmento de las teclas del piano con el nombre
que reproduce su nota musical, además se encuentra la frecuencia que produce esa
nota musical. *
 En este di-bujo se pueden ver gru-pos de 7 teclas blancas y 5 teclas negras. Cada
octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical
entre esas teclas se llama octava. Basicamente la frecuencia de cada tecla de la
octava que sigue es el doble de la misma tecla de la octava anterio, también la
frecuencia de la misma nota de la octava anteriór es la mitad.
 La anterior = 220hz
 La central = 440hz
 La siguiente = 880hz

Escala natural
 Todos los sonidos generados por la naturaleza, inclusive los generados por la
vibración de cualquier elemento como puede se una cuerda de una guitarra,
también el aire que pasa dentro de los tubos de un instrumento de viento,
además de la frecuencia principal que generan, producen otras frecuencias,
generalmente con volumen mas bajo, a estas otras frecuencias se les llaman
armónicos y notablemente ellas guardan una relación matemática con el so-nido
princi-pal, esta relación es el doble de la frecuen-cia del sonido principal, el triple,
cuatro veces la frecuencia del sonido principal, etc..De acuerdo a cuales de estas
frecuencias aparecen, mas el volumen de cada una de las mismas, mas cuando
aparecen y desaparecen a través del tiempo provocan el sonido característico del
instrumento lo que se llama timbre y que es único para cada instrumento
musical.Casualmente el oído humano junto con el cerebro tiene una construcción
tal que al escuchar juntas estas frecuencias matemáticamente dispuestas
reconoce como agradable.Tomando como base la frecuencia 55Hz (que en la
escala musical es el LA mas grave del piano) y a esta frecuencia la multiplicamos
por 2 luego por 3 y así sucesivamente obtendremos distintas frecuencias, que
además son distintas notas musicales.A estas frecuencias las colocaremos en

una grilla y asignaremos su equivalente nota musical. *
 Observamos que la primer octava tiene solo una nota que tiene la frecuencia
55hz, la segunda octava tiene dos notas con las frecuencias 110hz y 165hz, la
tercera octava cuatro notas con las frecuencias 220hz, 275hz, 330hz y 385hz, y la
cuarta octava tiene ocho frecuencias o sea ocho notas, y aquí estamos frente a
una octava completa natural.
 La serie ordenada de esta manera se conoce como escala. La escala que
acabamos de construir se conoce como escala natural.
 La distancia musical entre la nota principal (La 55hz) y la segunda nota (La
110hz) se llama octava.
 La distancia musical entre la segunda nota (La 110 hz) y la tercera nota (Mi
165hz) se llama quinta.
 La distancia entre la tercer nota (Mi 165hz) y la cuarta nota (La 220hz), se llama
cuarta.
 La distancia entre la cuarta nota(La 220hz) y la quinta nota(Do 275hz), se llama
tercera.
 Estos son distancias o intervalos fundamentales en la música.

Escala diatónica
 Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonido
muy agradable. Dentro de la quinta, se encuentra un sonido más
formando, la llamada tercera en que las frecuencias se relacionan
como 4:5:6. Este triplete se llama armonía. Al descubrir la armonía, los
músicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera que
toda la escala musical fue compuesta de armonías continuas, como
esta y siempre guardando la relación 4/5 y 5/6, o sea La 440 / 5 x 6
= 528 donde se generaba la nota Do, una tercera superior a La, por
otro lado La 440 / 5 x 4 = 352 donde se generaba la nota Fa, una
tercera inferior a La. Calculando hasta completar todas las notas
 obtenemos nuevamente las 7 notas de la escala natural. *

 Vamos a construir una octava dividiendo o multiplicando estos valores
básicos, y luego calcular la distancias entre las notas vecinas: *

Escala diatónica
 Si tomamos esta escala y medimos la distancia que existe entre sus
frecuencias nos daremos cuenta que se generan tres fracciones 8/9, 9/10 y
15/16.
 La distancia de 9/8 es un tono y la distancia de 10/9 que está muy cerca de 9/8
también será un tono, y la distancia de 16/15 es aproximadamente igual a una
mitad del tono, y se llama semitono.
 La serie de tonos (T) y semitonos (S): T-T-S-T-T-T-S, donde el semitono es el
tercer intervalo, se llama tonalidad mayor. Para construir una tonalidad
menor tenemos que iniciar esta secuencia desde la nota A: T-S-T-T-S-T-T.
Aquí el semitono es el segundo. La diferencia entre estas tonalidades ya había
sido descubierta por los músicos antiguos: la misma melodía tocada en
tonalidades diferentes (mayor o menor), tiene un carácter diferente, lo que
permite expresar sentimientos mediante la variación de la tonalidad de la
música. Las canciones que usan una tonalidad mayor son alegres y vivaces,
mientras que las que usan una tonalidad menor son tristes y melancólicas.
 Otra vez, podemos escoger como base para construir una tonalidad, cualquiera
de las 12 notas, 24 tonalidades diferentes en total. Estas tonalidades llevan el
nombre de la nota principal y la palabra "mayor" o "menor", por ejemplo, «Do
mayor» o C, «La menor» o Am, etc

Escala cromática
 Al descubrir las tonalidades, los músicos
antiguos quisieron tener la posibilidad de
pasar libremente entre ellas. Evidentemente,
para hacerlo, se necesita construir escalas
mayores y menores comenzando con cada
una de las siete notas que tenemos. Los
resultados de esos cálculos están
presentados en la siguiente tabla: *

Escala cromática
 Esta tabla tiene 25 sonidos diferentes, ¡18 nuevos! Y no es todo, porque cada
uno de esos nuevos sonidos puede engendrar su propia escala, tanto mayor
como menor - ¡la octava al final va a tener cerca de 100 notas! Sería
sumamente difícil tocar un instrumento de tantas teclas.
 Entonces los griegos antiguos hicieron un compromiso: introducir notas "extra"
sólo donde el intervalo entre las notas vecinas sea un tono entero (C-D, D-E, F-
G, G-A, A-B), de manera que la distancia mínima dentro de una octava sea
igual a un semitono. Como resultado de esto, las notas adicionales obtenidas
ocupan las posiciones donde se encuentran las teclas negras del piano.
 Recordemos al famoso matemático y filósofo griego Pitágoras, quien fue a la
vez un buen músico. Esa combinación de talentos le permitió descubrir la
escala natural, los principios básicos de la acústica musical y construir un
sistema sintónico que ha existido por más de 2,000 años.
 Pitágoras propuso derivar todas las 12 notas de puras quintas. Vamos a
empezar otra vez con la nota La4 que tiene la frecuencia de 440Hz, pasar
quinta-a-quinta 6 veces arriba, sucesivamente multiplicando la frecuencia por
3/2, y 6 quintas abajo, dividiendo por 3/2: (ver Tabla 6) *

Escala cromática
 La primera y la última nota de esa escala es la misma nota D#, aúnque de diferentes
octavas, la D#8 está a siete octavas arriba de la D#1. Aquí surge un problema: en esta
escala no es posible pasar directamente de D#1 a D#8 octava-a-octava (multiplicando por
2 la frecuencia). ¡Las 7 octavas NO son iguales a las 12 quintas! Esta discrepancia (que es
igual a (3/2)12 : 27 = 1.013643 aproximadamente, o sea, 0.2346 de semitono) lleva el
nombre de coma pitagoreana. Si queremos preservar pura la quinta, tenemos que
cambiar la octava, que es una distancia aún más fundamental en la música. ¿Qué
haremos entonces?
 La última reforma musical fue inspirada por un organista alemán, Andreas Werckmeister, a
fines del siglo XVII. Él propuso hacer todos los semitonos iguales. El problema planteado
así tiene una única solución: la distancia musical entre cada una de las notas vecinas debe
ser igual a la raíz doceava de 2, o sea, 21/12. Este sistema por lo general se denomina
sintonización bien temperada o temperamento igual. La escala de 12 semitonos
iguales se llama escala cromática. Cada semitono a su vez se divide en 100 partes
iguales que se llaman centavos de semitono. El temperamento asimismo altera la quinta,
que llega a ser un poco más corta, y modifica también las demás distancias naturales,
quedando pura únicamente la octava. Las ventajas obtenidas son evidentes: ahora se
puede pasar libremente entre tonalidades, y de esta manera, se logró eliminar la coma
pitagoreana. Por esta época Juan Sebastián Bach escribió El Clave Bien Temperado obra
que actualmente todos los estudiantes de piano están obligados a aprender.

Escala cromática
 Finalmente vamos a comparar la escala natural, la escala pitagoreana y la
escala cromática:*

 Para calcular la frecuencia de cada nota en la escala cromática, dada su
escala (a cuantas teclas está de la nota La 440), se usa la siguiente
fórmula:
 Fi = 440 * 2i/12
 Aquí i es la escala o la distancia de la nota de La 440. Si es negativa, la
tecla está a la izquierda. Ejemplo: la frecuencia de la nota Do (que está a 9
teclas a la izquierda) es:
 440 * 2-9/12 = 261.63 Finalmente si nos hacemos la pregunta del título ¿De
donde salieron las notas musicales? Podríamos decir de la naturaleza, de
la propia creación de Dios. &

 Primera propiedad: La Matemática y la Música son ambas
lenguajes universales
Aprovechando esta universalidad, en 1817 el francés François
Sudre creó el idioma artificial solresol, que también servía como
lenguaje para sordomudos. Así, "sol-la-si" (tres tonos
ascendentes) significa subir. "Fa-la" significa bueno, mientras
que "la-fa", significa malo.
 Segunda propiedad: La teoría física de las ondas juega un
papel fundamental en nuestra percepción de la música. Y esta
teoría puede ser analizable matemáticamente.
 Tercera propiedad: Nos la recuerda Bertrand Russell "...el
matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo
de belleza ordenada."

Círculo de Quintas
 Tono base: f.
 Quinta: (3/2)f.
 Quinta de la quinta (3/2)²f.
 etc…
 ¿Hasta cuando? Hasta cerrar en octava:

m
3 n
f 2 f
2

Calculo del número de notas en la escala

 La ecuación anterior se puede rescribir como
3m = 2n+m ,donde m representa el número de notas
en la escala .Transformando y despejando a m se
obtienen los siguientes valores de la tabla :
log (3) /log(2) = (n+ m )/m

1,58496250072116 1 1 1 1,00000000000000
1,70951129135146 1 2 1 2,00000000000000
1,40942083965321 1 3 2 1,50000000000000
2,44247459618086 2 8 5 1,60000000000000
2,26001675267080 2 19 12 1,58333333333333
3,84590604154676 3 65 41 1,58536585365854
1,18216439046998 1 84 53 1,58490566037736
5,48954709216229 5 485 306 1,58496732026144
2,04270440170134 2 1054 665 1,58496240601504

 Observando la tabla anterior se concluye que
tienen que haber 12 notas en la escala, ya
que :
 5 son muy pocas, resulta en música aburrida
(escala penta tónica, música oriental).
 41 notas son demasiadas, ni un pulpo podría
tocar el piano.

 Hemos visto que el deseo de recorrer el
circulo de quintas y el de cerrar la escala en
la octava son irreconciliables. El mejor
compromiso es la escala de 12 notas.
 Sin embargo, no hemos discutido como
vamos a corregir la escala de 12 notas para
que cierre en la octava. ¿Ponemos toda la
corrección en la ultima nota? ¿Cómo
hacemos?

 Durante siglos, matemáticos y músicos han
propuesto muchas soluciones a este
problema. Una de ellas se llama la escala
bien atemperada, y Bach le dedico a esta
solución en el clavecín una serie de
composiciones: El clavecín bien atemperado.
 La solución moderna es la escala equi-
atemperada.
 La escala moderna permite transposiciones
arbitrarias, sin que cambie el temperamento
de la composición.

La Proporción Áurea y la Música

 Si deseamos que la parte menor
sea a la parte mayor como esta al
todo, la proporción que buscamos
es necesariamente la razón áurea.
 La proporción áurea se encuentra
en la música en la construcción de
los instrumentos,en la composición
de las melodías

Composición de Melodías

 En varias sonatas para piano de Mozart, la
proporción entre el desarrollo del tema y su
introducción es la más cercana posible a la
razón áurea.
 Tampoco se sabe si fue consciente de
ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven
distribuye el famoso tema siguiendo la
sección áurea.

Ecuaciones y Música

Mediante un computador y ecuaciones matemáticas se
pueden obtener diferentes notas musicales
,combinando tonos . Ecuaciones tales como y = 4 ·
sen(x/2) · cos (4x), y = x · sen (x). Etc , conllevan a
generar música en formatos Wav, Midi (Musical
Instrument Data Interface) , Mp3 , etc .Estas
ecuaciones generan graficos tales como :
En este campo el matemático Iannis Xenakis es
considerado padre de la música automática y
matemática

Como se obtienen las Notas Musicales
 El embrujo de las matemáticas comenzó cuando Pitágoras
adivinó que existe una relación entre la longitud de las cuerdas
de una lira y los acordes fundamentales de la música. "Por
ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo
usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación
2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente
(re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes
mantengan, respecto de la original, las relaciones
do re mi fa sol la si do
264 297 330 352 396 440 495 528
1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1
 De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se
obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de do
a fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás."

Modelos Matemáticos

 En general, la onda de presión sonora se
puede representar por una función t s(t)
donde t es el parámetro tiempo.
 En el caso particular de una tonalidad pura,
podríamos escribir s(t) = Asen(2 f t) donde A
y f son parámetros físicos que determinan el
diseño de la tonalidad, denominados,
respectivamente, amplitud y frecuencia de la
onda sonora.

Frecuencias y Notas
 Los sonidos musicales son producidos por algunos
procesos físicos que tienen un carácter periódico - una
cuerda vibrando, al aire en el interior de un instrumento
de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos,
estos procesos pueden ser descritos con un mismo
modelo matemático.. Cuanto más oscilaciones da en un
período de tiempo, más alta será la frecuencia del
sonido producido, y más aguda o "alta" será la nota
musical resultante.
 La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que
es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por
segundo.
 Se puede definir un etalón, o sea, una nota estándard,
de la cual podemos derivar todas las otras notas. La
distancia musical que separa alguna nota de la del
etalón, se denomona escala .

El pentagrama: una escala logarítmica
 Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama
utilizado en occidente para escribir música, pues,
como se ve en el gráfico, la diferencia en la altura
del sonido es proporcional al logaritmo de la
frecuencia (de un do grave al do siguiente más
agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la
sucesión de frecuencias de las notas do están en
progresión geométrica).

¿Qué es la Música de los Planetas?

 ¿Qué es la Música de los Planetas?
 Es un método de composición musical basado en las
posiciones planetarias para cualquier coordenada espacio-
temporal terrestre, herramienta útil para el autoconocimiento y
la Musicoterapia. Aplicaciones psicoterapéuticas..
 Es la traducción sonora de las fuerzas que mantienen en
equilibrio el Sistema Solar. Todo es energía, y la Geometría, el
Color y la Música son la misma cosa que sustenta el Universo.
Luz y Sonido.
 Es la partitura del Cielo para un momento y lugar,
especialmente orientado para el estudio de nacimientos de
personas, de animales o de sucesos. Dicha composición musical
es plena expresión sonora de las energías planetarias del
momento y lugar considerados, y del alma de aquello que ha
llegado al mundo en tales circunstancias.

¿Qué es la Música de los Planetas?
 Música Planetaria es:
 La traducción exacta de las posiciones y relaciones trigonométricas de los cuerpos
celestes, extraídos del mapa celeste también llamado carta astral, en sus correspondientes
sonidos, acordes y colores.
 Es la Armonía del giro del Sistema Solar, base de nuestro Tiempo (horas, días, meses,
estaciones, años, eras), que es el Reloj perfecto.
 Es la expresión sonora del signo, grado, casa, ángulo y aspectos de cada planeta de una
carta astral, que en Astromúsica corresponden, respectivamente a: nota, microafinación, stereo,
volumen, acordes, octava. (Ver "Características Técnicas")
 La Astrología, abuela de la moderna astronomía, es una de las ciencias más antiguas de la
humanidad. Se estructura según el modelo de Geometría trigonométrica de Pitágoras, al igual
que la Armonía de las notas musicales, puesto que ambas, Astrología y Armonía, se basan en la
mística del número Doce. Doce son las notas en cada octava, y doce son los signos de cada
año planetario. Los antiguos dividieron el cielo y el tiempo en doce segmentos, y la octava en
doce notas; división que sigue funcionando perfectamente tras milenios de uso. La trigonometría
sería imperfecta en sus cálculos si se basara en otras divisiones. Los aspectos planetarios, es
decir, las relaciones trigonométricas angulares entre planetas con respecto a la posición del
observador terrestre, se traducen en relaciones armoniosas, también llamadas acordes. Es
curioso observar cómo existe un paralelismo entre la interpretación tradicional de un aspecto en
la Astrología clásica, y la respuesta anímica de su correspondiente acorde musical. La Astrología
se expresa con palabras. La Astromúsica, con acordes. Ya Pitágoras, Platón, Kepler y otros
muchos sabios se refirieron a esta "Armonía de las Esferas", arte sonoro que surge como
emanación del milagroso tic-tac del Sistema Solar, reloj de relojes.
 Si el astrólogo explica el alma mediante frases, el astromúsico lo hace con acordes. La música
es en sí misma el misterioso puente que une el alma al Espíritu creador.
 Para auto conocerse, lo mejor es oírse.

La Música, la Matemática y la inteligencia

 En el siglo VI a.C., Grecia vio crecer en su seno un movimiento de espiritualidad que, con
el tiempo y de un modo más bien impreciso, recibió el nombre de orfismo. Entre las ideas
básicas que lo caracterizaron se hallaba la creencia en la preexistencia del alma y la
consideración del cuerpo como una prisión, a la que el alma se veía sometida cíclicamente
si no hacía lo necesario para escapar del círculo de reencarnaciones.
 Los pitagóricos participaban de este movimiento de espiritualidad. Vivían apartados de la
sociedad, ejercitándose en artes que les permitirían a sus almas emanciparse del mundo
terrenal. De este modo, luego de la separación del cuerpo, el alma no desearía ya volver a
encarnarse. Entre las artes practicadas por los pitagóricos se destacaban la Música y la
Matemática. Ellos entendían que ambas disciplinas relacionaban al hombre con lo eterno,
con lo más perfecto.
 Hace pocos meses se conocieron los resultados de una investigación de varios años
realizada en los Estados Unidos. Se siguió el desarrollo neuronal de dos grupos de niños:
el primer grupo (grupo de referencia) había recibido una formación normal, común, como
la que reciben todos los chicos de esa edad en ese país; el otro grupo recibió una
formación extra en Música y Matemática. La conclusión fue la siguiente: los niños del
segundo grupo tuvieron un desarrollo neuronal mayor que los del grupo de referencia.
 Es posible que no participemos de las creencias del culto órfico y que dudemos de los
resultados de algunas investigaciones, pero creo que la Música y la Matemática nos
ayudan a desarrollar una forma de inteligencia y un criterio estético. Presentadas de este
modo, las dos disciplinas serían probablemente más valoradas por docentes, alumnos y
padres.

Música, matemáticas y cerebro
 La relación entre música y matemáticas
posiblemente tenga su raíz en el propio
órgano que nos permite crear ambas: el
cerebro.
 Hoy día es posible saber qué partes del
cerebro están en funcionamiento cuando un
sujeto está realizando una actividad
determinada. Aplicando estas técnicas, los
investigadores han visto que los músicos
expertos y los matemáticos expertos usan
los mismos circuitos cerebrales, lo cual no
siempre es cierto para los aficionados.
 Esto tiene su lógica: los humanos utilizamos,
por lo general, el hemisferio cerebral
izquierdo para tareas verbales y analíticas,
mientras que utilizamos el hemisferio
derecho para tareas espaciales y visuales.
Es decir, que el primero se encarga del
análisis y la fragmentación y el derecho de
la síntesis y la unidad.

La música y las matemáticas
despiertan la materia gris
 Einstein, Mozart y Beethoven nunca supieron, pese a ser genios, que su cerebro era más
grande de lo normal, pero ahora se ha comprobado que la "materia gris" aumenta con el
entrenamiento musical y las matemáticas.
 El neurólogo alemán Gottfried Schlaug mantiene que la música desarrolla una porción del
cerebro que incluye el sistema nervioso central y se prolonga como "sustancia gris" por la
médula espinal. Así lo ha comprobado en un estudio realizado con 15 jóvenes músicos,
que recibieron adiestramiento musical desde su infancia.
 Las imágenes obtenidas, mediante técnicas de resonancia magnética, evidencian
"cambios estructurales" en las regiones sensoriales y motoras de sus cerebros, en
comparación con las de otras 15 personas sin entrenamiento musical. El doctor Schlaug
cree que el mayor desarrollo del cerebro es una respuesta a la demanda que implica el
aprendizaje musical y ha presentado los resultados de su investigación en la reunión que
celebra en Filadelfia la Academia Estadounidense de Neurología.
 Los 15 músicos profesionales cuyos cerebros han sido analizados "tenían relativamente
un mayor volumen de sustancia gris en la región motosensorial primaria izquierda y
derecha del cerebro", ha explicado el neurólogo.
 "Las diferencias son también evidentes en el cerebelo, que coordina los movimientos",
explicó Schlaug. El científico alemán ha indicado que la única explicación posible,
diferente a la que vincula la música con el mayor desarrollo del cerebro, sería considerar
que las modificaciones en el cerebro existen de modo previo y son las responsables de
que esas personas tengan tendencia al estudio de la música.

Cerebros matemáticos y
cerebros musicales
 Albert Einstein, uno de los científicos más destacados de todos los tiempos, tenía un
cerebro aparentemente normal, pero un análisis detallado del órgano reveló en 1999 que
las áreas dedicadas al aprendizaje matemático eran un 15% mayores que en el resto de
las personas.
 Einstein fue incinerado en 1955, pero su cerebro fue conservado en formol. Según se
publicó después, el cerebro de Einstein no era, en realidad, mayor de lo normal, incluso
pesaba unos 150 gramos menos de lo común. Lo sorprendente era el mayor desarrollo de
la zona dedicada a las funciones matemáticas y la gran concentración que había en ella
de un tipo de células, denominadas glias, que alimentan a las neuronas.
 La ranura o depresión que recorre el cerebro desde su parte frontal a la posterior en la
mayoría de los cerebros humanos era mucho menor en el caso del científico alemán,
quien se trasladó a vivir a Estados Unidos en 1933. Según los científicos canadienses que
investigaron su cerebro, esa peculiaridad en la depresión del cerebro pudo haber
proporcionado mayor espacio a las neuronas y mejores condiciones para establecer
conexiones entre ellas.
 Gran parte de los estudios científicos realizados sobre el cerebro indican que el
entrenamiento en cualquier función mejora no solo ése cometido, sino todos los
relacionados con esa función y las que compartan el mismo área. Tanto la música como
las matemáticas parecen ser capaces de estimular las regiones más remotas del cerebro y
de aumentar sin límite las conexiones de ese entramado mágico al que llamamos
inteligencia.

Einstein y la Música
 Eisntein decia:Si yo no hubiera sido físico, hubiera sido
músico. Pienso constantemente en la música, veo mi vida
en formas de música y obtengo el mayor goce de la vida a
través de ella.
 En su trabajo Pensamiento Científico, Einstein dice:
siempre hay que buscar el elemento poético. La
apreciación de la buena ciencia y de la buena música
demandan, en parte, procesos mentales similares. La
música, quizás llevó a Einstein a pensar que el universo lo
mismo que la física y sus leyes, son esencialmente
simples. Por que: ¿qué es más simple que cuatro cuerdas
de un violín? ¿No son esas cuerdas un breve e
infinitesimal espacio en comparación con los sonidos
capaces de producir? Y de ahí se ha creado casi toda la
música del mundo.

Matemáticas en el Pentagrama

Reflexión de la altura en la melodía


Reflexión de la altura en el acorde


Rotación de la altura en el tiempo


Traslación y reflexión de la altura en el tiempo


Reflexión con homotecia en la duración (disminución)


Traslación en el Estudio Op. 10, No. 12, de Chopin

El efecto Mozart
 La influencia de la música en el cerebro son conocidas desde hace
tiempo y, con acierto, reciben el nombre de "el efecto Mozart".
Algunos experimentos en el campo de la educación sugieren que la
enseñanza de la música ayuda a lograr un desarrollo completo del
cerebro infantil.
 El Efecto Mozart es producto de la investigación del formidable
equipo de trabajo del doctor Francis Rauscher, del doctor Gordon L.
Shaw y de sus colegas de la Universidad de California en Irvine.
 Estos investigadores estudiaron la conexión que existe entre la
música y el aprendizaje. Su trabajo se inserta en una creciente línea
de investigaciones sobre el desarrollo del cerebro humano, que
demuestran que los niños nacen con 100 billones de neuronas o
células nerviosas desconectadas o sueltas.
 El efecto Mozart posibilita :
 Desarrollo de habilidades para la lectura y escritura
 · Desarrollo del lenguaje verbal
 · Desarrollo de habilidades matemáticas
 · Desarrollo de capacidad de recordar y memorizar

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Efecto Mozart Música Recomendada

 Volumen 1
Estirando la Mente
Música para Inteligencia y Aprendizaje
 Volumen 2
Sanar el Cuerpo
Música para descanso y relajación
 Volumen 3
Despertar el Espíritu Creativo
Música para Creatividad e Imaginación
 Volumen 4 (doble)
Enfoque y Claridad
Música para realización de proyectos
 Volumen 5
Relajación y olvidar los Problemas Música para descanso
profundo y rejuvenecimiento
 Volumen 6
Mañana y Tarde
Música para Yoga, antiestrés masaje y meditación

Musicoterapia
 El efecto Mozart articulado a gran numero de
melodías que producen el mismo efecto de la
música de Mozart contribuyen a potenciar
el hemisferio cerebral derecho, logrando
un equilibrio energético , alivio sanador
, mejoramiento de la concentración y la
creatividad y el razonamiento matemático

Farmacia Musical

 • Con sólo escuchar Cantos Gregorianos bien grabados entre 30 y 60 minutos al día,
puede hacer que la magia del sonido proporcione su energía al cerebro, lo cual lo
convierte en un "Fantástico Alimento Enérgico". Además, hay otra cualidad como
tónico cerebral de los Cantos Gregorianos. Esta cualidad es el hecho de que los
cantos gregorianos tiene ritmo pero no tiempo; al escucharlos se tiene la sensación
de que nadie se detiene nunca para respirar. Esto resulta benéfico para el que
escucha porque funciona como un tipo de "Yoga Respiratorio" que lo lleva a un
estado de tranquilidad con respiraciones lentas y reparadoras. En efecto, al
escuchar cantos gregorianos usted entrena su propio ritmo de respiración (Ritmo
cardiaco) para seguir el paso relajante y sereno implícito en la música.
 • Música Romántica. Subraya la expresión y el sentimiento, invocando a menudo
temas de individualismo racionalismo o misticismo. Lo mejor es utilizarla para
mejorar la compasión, la compatibilidad y el amor. Schubert, Schumann,
Tchaikovsky, Chopin y Liszt, son ejemplos de esta música.
 • Jazz, Blues, Soul, Calipso y Reggae. Músicas y danza que son parte de la expresiva
herencia africana, pueden inspirar y levantar el ánimo, al liberar una profunda alegría
y tristeza, transmitir ironía e inteligencia y confirmar nuestra común humanidad.
 • Rock. Puede agitar pasiones, estimular a un activo movimiento, liberar tensiones.
enmascarar el dolor, y reducir los efectos de sonidos fuertes y desagradables en el
medio ambiente. Esta música puede también crear tensión, desconcierto, estrés, así
como dolor en el cuerpo, cuando no estamos de animo para divertirnos
enérgicamente.
 • Música religiosa y sagrada. Nos ancla en el momento presente, llevándonos a un
sentimiento de profunda paz y conciencia espiritual. Puede también ser
notablemente útil para ayudarnos a trascender y liberar nuestro dolor.

Melodías con Matemática

Son muchas las melodías que están compuestas
con base en las matemáticas . Como ejemplo de
ello veamos las siguientes

La quinta sinfonía de Beethoven
 1770-1827.Nació en Alemania
 Tradicionalmente los trabajos de
Beethoven se agrupan en períodos
"Tempranos, Medios y Posteriores".
Los trabajos tempranos, se remontan
aproximadamente hasta
1802, mostrando un progresivo control
del estilo clásico superior de Haydn y
Mozart. Los estudios formales de
Beethoven en contrapunto(con Haydhn
y Johann Albrectsberger), comenzando
en 1792, y su estudio privado de la
mejor música del
tiempo, particularmente las sinfonías de
Haydn, mejoró su trato de ambas
formas y textura. Durante este periodo
el escribio primeramente para piano y
para conjuntos de cámara dominador
por el piano.

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Traslación melódica en el Estudio Op.
10, No. 12, de Chopin
 Nació en Polonia.

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Traslación melódica en las oberturas de
Gioachino Antonio Rossini

 1792 - 1868 .Nació en
 Las oberturas de Rossini son un ejemplo
de traslación melódica. Las frases se
repiten, cada vez con más intensidad
(crescendo), provocando la expectativa de
continuación. El climax se alcanza
rompiendo la traslación.
 La combinación de simetría y asimetría es
el principio básico
de la música, pues sólo así se puede
conjugar unidad y libertad. La repetición es
probablemente el procedimiento más
usado en música.
 La repetición constante puede causar un
efecto hipnótico. También puede provocar
una adaptación del oído, como cuando
dejamos de percibir el sonido de una
lámpara fluorescente

Homotecia en la duración, Sonata
para piano Op. 90, Beethoven

Fragmento palíndromo de la Sonata nº
4 para violín y piano, de Haydn

Reflexión desplazada en la gigantesca Sonata
Hammerklavier Op. 106, de Beethoven

En su obra Musikalisches Würfelspiel (Juego de
dados musical) K516f, de 1787, Mozart compone
esta obra con base en el lanzamiento de dados

 1756-1791 .Nació en
Australia .

Canon del Cangrejo de Bach
 1685-1750 .
 El canon es una forma musical en la que las distintas partes se
incorporan sucesivamente repitiendo la melodía de la voz
principal. Lo sorprendente del Canon del Cangrejo de Johann
Sebastian Bach es que el acompañamiento repite exactamente
lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se
puede ver perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo
repite lo escrito en el de arriba pero invertido en el tiempo. Es
decir , una melodía interpretada marcha atrás se sirve de
acompañamiento a sí misma.
 Eli Maor escribio respecto de Bach y Escher que "ambos fueron
matemáticos experimentales del más alto rango".
 Y esto es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas
consecuencias las posibilidades de la simetría.

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Segunda sinfonía de Górecki, "Copernicana"

 En 1973 se conmemoró el 500 aniversario del
nacimiento del astrónomo polaco Nicolás
Copérnico, en cuyo honor el compositor Henryk
Górecki escribió su segunda sinfonía, llamada por
este motivo “Copernicana”.
 su obra, en sus dos movimientos nos hablan con
lenguajes muy distintos. En el primero, una música
inhumana, implacable y despiadada parece
describir un universo dominado por las tinieblas. Sin
embargo, en el segundo, parece que la luz lo
inunda todo poco a poco, como si el conocimiento
hubiese disipado la oscuridad y colocado las cosas
en su sitio.

Bartók
 Bartók usó la serie
Fibonacci para crear su
"escala Fibonacci". En
su obra Música para
instrumentos de
cuerda, percusión y
celesta, un análisis de
su fuga nos muestra la
aparición de la serie (y
de la razón áurea).

Metástasis de Iannis Xenakis

 1922-2001. Nació en Rumania y
se nacionalizo como Frances.
 Compositor de música clásica
Considerado padre de la música
automática y matemática.
 El año 1954 fue el año en el que
terminó "Metastaseis" y empezó a
identificarse como compositor
serio. Además de composiciones
instrumentales empezó a trabajar
en música concreta. Intentó
contactar con Pierre Schaeffer
para que le invitase al estudio,
pero éste rechaza su invitación.
Conoce la música de Varese y
pronto se siente identificado con
ella.

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Música Estocástica
 La música estocástica surgió como una reacción al serialismo
integral o al ultrarracionalismo que tenía como abanderados a
compositores como Pierre Boulez, Messiaen o Luigi dalla
Piccola. La música estocástica intenta escapar de cualquier
determinismo, esta gobernada por las leyes de la probabilidad.
Xenakis encuentra tres puntos de inflexión para componer
música estocástica: Primero: el intentar reproducir sonidos y
estructuras propias de la naturaleza, es decir, del mundo que
nos envuelve; “ la música es el arte que, antes que las demás
artes, ha creado un puente entre el ente abstracto y su
materialización sensible”. Segundo: El hombre siempre ha
intentado determinar la naturaleza del mundo mediante reglas
universales que rigiesen todos los acontecimientos; el uso de
estas reglas se hace necesario a la hora de componer música.
Xenakis acudió a las leyes de Poisson y Gauss, Tercero: sólo la
subjetividad y la intencionalidad del autor pueden medir el valor
de una obra.

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Las proporciones musicales
en la catedral de Chartres
 El diseño geométrico de la
catedral de Chartres se basa
en las proporciones
correspondientes a las
consonancias perfectas y el
intervalo de tono.
 Esta geometría tendría su
fundamento filosófico y
teológico en la cosmología
musical del Timeo de Platón,
comentada por Calcidio, e
interpretada cristianamente
por los pensadores de la
escuela de Chartres del siglo
XII.

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Génesis Música- Matemáticas
 La música cambia su textura y  Por la mezcla entre lo terrenal y lo
carácter según el lugar y la época. celestial, lo esotérico y lo práctico,
Puede ser cristalina o densa, lo universal y lo particular, ambas
sentimental o explosiva. disciplinas han tenido un poder
 las matemáticas son directas, místico desde la Antigüedad
nunca alteran su carácter  Tanto el matemático como el
 La música se crea a partir de algo músico se encuentran ocupados
físico, instrumentos de todo tipo resolviendo problemas o
de materiales la producen componiendo o interpretando,
 Las matemáticas son, sobre todo, enseñando a alumnos sin
abstracciones que no necesitan ni detenerse a pensar que ambos
siquiera papel y lápiz están entregados a disciplinas
 La música está cargada de que son paradigmas de lo
emociones, es alegre o triste, abstracto.
suave o agresiva, puede ser  la música afecta al escucha y las
espiritual, estética, religiosa pero matemáticas tienen múltiples
no podemos hablar de un teorema aplicaciones prácticas.
“triste” o de una demostración
“agresiva”.

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Tetracordios y géneros
 Para entender el término género dentro del contexto de la
música griega, debemos saber que su grupo interválico
básico que era el tetracordio, es decir, un grupo de cuatro
notas, de las cuales la más aguda y la más grave se hallan a
una distancia de una cuarta justa.
 Las dos notas extremas del tetracordio, al estar formadas por
un intervalo que siempre podía cantarse correctamente
afinado, se consideraban fijas, mientras que las notas
interiores eran móviles.
 El tratado musical más antiguo que existe, la Arm¶onica de
Aristógeno (330 años antes de Cristo) presenta un sistema
melódico altamente desarrollado, organizado mediante
tetracordios de tres tipos o géneros principales: enarmónico,
cromático y diatónico.

Los Modos

 Los modos musicales, dice Aristóteles, difieren
esencialmente uno de otro, y quienes los oyen se
sienten diferentemente afectados por cada uno de
ellos.
 Algunos de ellos vuelven serios a los hombres,
otros debilitan la mente, otros producen un estado
de ánimo moderado y estable.
 La teoría más antigua sostiene, que un modo era,
en la música griega, similar, en esencia a un modo
en la música medieval; seguía un determinado
esquema tonos y semitonos en la escala de la
octava con un centro tonal definido.

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Los Pitagóricos
 Pitágoras estudió la naturaleza de los sonidos musicales. La
música griega existía mucho antes, era esencialmente melódica
más que armónica y era microtonal, es decir, su escala contenía
muchos más sonidos que la escala de doce sonidos del mundo
occidental.
 Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica
entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse
cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales
de comunicación y placer, podía ser medida por medio de
razones de enteros.
 En la época de los antiguos griegos, los pitagóricos desarrollaron
una división del curriculum llamado quadrivium en donde la
música se consideraba una disciplina matemática que manejaba
relaciones de números, razones y proporciones.
 La relación entre matemáticas y música, durante el periodo
clásico, puede observarse en las obras de Euclides, Arquitas y
Nicómaco.

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La música de las
esferas
 Una antigua doctrina afirmaba que el
modelo para la creación del universo
estaba basado en el uso de las
proporciones musicales. Según esta
creencia, los cuerpos celestes producían
sonidos que al combinarse formaban la
llamada música de las esferas.
 La teoría de la música de las esferas fue
aceptada durante muchos siglos. La
apoyaron grandes pensadores y científicos:
desde Pitágoras en el siglo VI a. C. hasta
Kepler en el siglo XVII d. C, quie la
redefinio.

La música de las esferas
 Reconociendo que los planetas
giraban alrededor del Sol,
Kepler redefinó la teoría
pitagórica de la “música de las
esferas”, sugiriendo que los
planetas producían diferentes
sonidos por los diferentes
grados de velocidad a la que
giraban. Creía que si se
conocía la masa y la velocidad
de un objeto que giraba se
podría calcular su sonido
fundamental. Desarrolló
sonidos que asoció a los
planetas entonces conocidos.

El temperamento
 La escala temperada se desarrolló para resolver problemas de
afinación y llevó a una música en la que se podía modular (cambiar) de
una tonalidad a otra sin tener que cambiar la afinación de los
instrumentos.
 En el siglo xii, compositores y ejecutantes empezaron a separarse de la
tradición pitagórica creando nuevos estilos y tipos de música. Se creó
una nueva división de las ciencias, llamada escolástica divina, que no
incluía específicamente a la música. El canto monódico gregoriano
poco a poco fue evolucionando en música polifónica con diferentes
instrumentos y voces.
 El temperamento no se popularizó sino hasta 1630, cuando el padre
Mersenne formuló las invaluables reglas para afinar, usadas todavía
hoy.
 En el siglo xviii, músicos como Juan Sebastián Bach ,empezaron a
afinar sus instrumentos usando el temperamento, es decir una escala
en la que los doce sonidos fueran afinados sin diferencia entre un Fa
sostenido y un Sol bemol.
 Bach compuso El clavecín bien temperado, que consiste en 24 piezas
en las doce tonalidades, usando el modo mayor y menor de cada una
de ellas.

La Melodía
 Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de
música es la reafirmación de una secuencia de sonidos una y
otra vez, en forma variada, para evitar la monotonía y dar
carácter a la composición. Algunas de las técnicas usadas para
dar unidad a una composición, sin hacerla aburrida, están
basadas en el plano geométrico.
 Las transformaciones musicales están íntimamente relacionadas
con las transformaciones geométricas básicas. Una
transformación geométrica recoloca una figura geométrica rígida
en el plano, preservando su forma y tamaño. La forma original
no se distorsiona con la manipulación.
 Rotación, traslación y reflexión, estas transformaciones
geométricas las encontramos en la mayoría de las melodías
populares y un análisis de las obras maestras musicales nos
llevará a encontrarlas..
 La forma más sencilla de aplicar la traslación a la música es la
repetición.

La serie Fibonacci

 Los números de la llamada serie de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34........al establecerse la razón entre dos elementos
subyacentes de la serie lleva a converger al decimal 0.618..., y
sus recíprocos al decimal 1.618... La proporción de estas
razones, sea en fracción o en decimal, es considerada por
muchos como atractiva a la vista, balanceada y bella, y es
nombrada proporción (sección) áurea.
 No se sabe si el uso de la serie es intencional o, de manera
intuitiva, tal vez el compositor la usa sin saber, sólo porque se
oye bien. Por ejemplo, Beethoven no sólo la emplea en el tema
de su Quinta Sinfonía, sino además en la forma en que incluye
este tema en el transcurso de la obra, separado por un número
de compases que pertenece a la serie.
 Béla Bartók usó esta técnica para desarrollar una escala que
denominó la escala Fibonacci:

Procesos formales en Música
 La composición de obras musicales a partir de reglas y
conceptos tales como la probabilidad aplicada a juegos de
azar, modelos estadísticos, el movimiento browniano o el ruido
blanco o música estocástica, entre otros. También se puede
generar música por medio de computadoras programadas con
ciertas reglas.
 Uno de los primeros intentos data de alrededor del año
1026, cuando Guido de Arezzo desarrolló una técnica para
componer una melodía asociando sonidos a las vocales de un
texto de tal forma que la melodía variaba de acuerdo con el
contenido de vocales del texto. Abundan también los
procedimientos composicionales basados en proporciones. Un
exponente de este método fue Guillaume Dufay (1400-
1474), quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral
florentina utilizando la antes mencionada sección áurea
(1:1.618). Dufay fue de los primeros en utilizar las traslaciones
geométricas de manera deliberada.

Juego de dados de Mozart
 Mozart, en 1777, a los 21 años, describió un juego de dados que
consiste en la composición de una pequeña obra musical; un
vals de 16 compases que tituló Juego de dados musical para
escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni
saber nada de composición (K 294).
 Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados y
anotando la suma del resultado. Tenemos 11 resultados
posibles, del 2 al 12.
 Mozart diseñó dos tablas, una para la primera parte del vals y
otra para la segunda. Cada parte consta de ocho compases. Los
números romanos sobre las columnas corresponden a los ocho
compases de cada parte del vals, los números del 2 al 12 en las
hileras corresponden a la suma de los resultados, los números
en la matriz corresponden a cada uno de los 176 compases que
Mozart compuso. Hay 2 x 1114 (750 trillones) de variaciones de
este vals.

Música por Computadora
 En el siglo xx, con la aparición de la computadora, se comienza
a producir música a partir de modelos. Un ejemplo de ello es la
música de Iannis Xenakis, uno de los pocos compositores de
nuestra época no interesado en el serialismo, movimiento en
boga desde principios del siglo xx.
 Xenakis prefirió la formalización, es decir, el uso de un modelo
como base de una composición. Utilizó modelos matemáticos en
sus composiciones así como en algunas de sus obras
arquitectónicas. Prefirió sobre todo las leyes de la probabilidad:
 1.Distribución aleatoria de puntos en un plano
 2. Ley de Maxwell-Boltzmann (Pithoprakta)
 3. Restricciones mínimas (Achorripsis)
 4. Cadenas de Markov (Analogicas)
 5. Distribución de Gauss (ST/IO,Atrés)
 6.Teoría de juegos

Sonidos Matemáticos

Fractal 1 Fractal2 Fractal3

Fractal4 Fibonaci Pascal

Numeros primos Pitagorica Triangulo
Sierpinski

Pi Combinatoria Omega

Canciones Matemáticas

 Enseñar conceptos matemáticos a partir de
canciones es desmitificar la enseñanza de
las matemáticas abordándola desde
espacios lúdicos .
 Las siguientes canciones matemáticas fueron
extractadas de la pagina Web:
 www.udem.edu.mx/prepaudem/

Yo solo quiero aprender matemáticas
Yo solo quiero aprender matemáticas (2) Yo solo quiero que ustedes entiendan
La diferencia entre estos dos
Estoy ya cansada de estar batallando Para poder continuar con la explicación
Pudiendo usar formulas De los diferentes tipo de ángulos
Para comprenderlo
Usando siempre en polígonos regulares Los ángulos adyacentes son 2
ángulos que esta juntos
Con esta canción lo podrás aprender Pero no necesariamente
Y lo podrás aplicar en cualquier ocasión Tiene que sumar 180
Desde ejercicios en clases
Hasta el final del BI Los ángulos complementarios son
Los que suman 90 grados
Para sacar el ángulo interno Y los suplementarios son
Es 180 por n menos 2 aquellos que suman 180
Todo esto entre n
Recuérdalo muy bien Échale mas ganas
Y lo entenderás
Para sacar el ángulo central
Es 360 entre n Ya quiero entender las matemáticas
Recuerda que la n es El numero de lados Sacarme un 90 o mas de la cuenta
Sacarme un 100 sin esforzarme tanto
Un polígono regular
Es una figura que Tranquilos amigos que estudiare mas
Tiene todos los lados iguales
Yo solo quiero aprender matemáticas (4)
Para obtener el ángulo externo es 180
menos lo que obtuviste en el ángulo interno Recuerden que hay diferentes nombres
Y las diagonales es n menos 3 por n todo entre 2 Para cada ángulo
Los que miden entre 0 y 90 grados
Primero hablaremos del ángulo convexo Se llaman ángulos agudos
Después hablaremos del ángulo cóncavo
Tranquilos amigos Los ángulos que miden 90 grados
Todo esto lo vamos a explicar Son aquellos que son rectos
Y los que miden entre 90 y 180 grados
son ángulos obtusos
El ángulo convexo es
Aquel que su secante cruza solo dos de sus lados Los ángulos que miden 180
Mientras que el ángulo cóncavo es se llaman ángulos llanos
El que su secante cruza mas de dos de sus lados Es todo de los ángulos
Esperamos que hayan
Entendido...

“Me encanta más la geometría”
(a ritmo de La Bilirubina)
Oye me entro la duda el otro día ¡Por eso quiero geometría!
Por causa de la geometría Hay me gusta más la geometría
Que es la medida de la tierra
Y no sabía a que se aplicaba Los ángulos centrales y externos eeh
Son suplementarios con los internos
El punto, rayo, recta y semirrecta. yeah Pues juntos miden los 180 eeh
Son los conceptos nunca definidos De un polígono que siempre midaaaaaaaas
Y el plano con sus rectas paralelas oooh
Y con sus rectas perpendiculares Me gusta ya la geometría
Hay me gusta más la geometría
Oye los ángulos y descripciones Buscando la distancia en puntos
Se me dificultan un poco Hay con el teorema de Pitágoras
Porque hay muchos tipos de éstos Dentro de un plano cartesiano
El llano, recto, obtuso, agudo Hay y el punto medio de dos puntos
Con la analítica unida
Hay ángulos también correspondientes, eeeeh Hay resolviendo las soluciones
Que al mismo tiempo son también congruentes
Teniendo las dos rectas paralelas ¡eh! Me encanta más la geometría
Que ya estoy aprendiendo geometría. Hay me encanta más la geometría
Pues ya comprendo sus conceptos
Coro Hay ya los entiendo más perfecto
Me gusta ya la geometría Entonces bye asesorías
Hay me gusta más la geometría Bye bye bye asesorías
Porque ya entiendo las mediadas
Hay midiendo la circunferencia ¡Por fin entiendo geometría!
Si una línea intersecta ¡Si! ¡Entiendo bien la geometría!
Hay se llama secante la recta
Si une dos puntos la recta
Hay entonces se llama la cuerda

Me encanta más la geometría

Hay me encanta más la geometría
Con los polígonos convexos
Hay que pasan solo por dos lados
Y los polígonos cóncavos
Hay que pasan por más de dos lados

“La geometría es la rama que estudia…”
(a ritmo de He wasn’t de Avril Lavigne)

El punto medio no tiene dimensión Coro 2:
Al igual que la recta no tiene grosor La geometría es la rama que estudia
Ninguno tiene principio ni fin La medida de la tierra
El rayo es a partir del punto frontera La analítica es más exacta
El segmento si se puede medir Porque se combina con el álgebra

Coro 1: Ángulo agudo...menos de 90
La geometría es la rama que estudia Ángulo recto...no más 90
La medida de la tierra Ángulo obtuso... son más de 90
La geometría plana es con trazos Complementarios...suman 90
En un plano cartesiano Suplementarios suman 180

El plano tiene doble dimensión Coro 1:
Un eje x y otro y La geometría es la rama que estudia
Las paralelas no se interceptan La medida de la tierra
Las perpendiculares forman 90 La geometría plana es con trazos
Y las dos están en el mismo plano En un plano cartesiano

Coro 2:
La geometría es la rama que estudia
La medida de la tierra
La analítica es más exacta
Porque se combina con el álgebra

“La geometría y sus conceptos”
(a ritmo de Que sube que baja)
Que suben que bajan no los puedo parar
Conceptos geométricos me van a hacer llorar
que alguien me explique yo ya no puedo más
si así continúo yo voy a reprobar.

Esta es la geometría
que se lleva dentro de la razón.

Es la medición de tierra,
Y superficie en un plano.

Segmento de línea es una porción
Con puntos frontera y cierta medición
La recta infinita de gran prolongación
Formada por puntos sin cierta dimensión.

Es el plano cartesiano
Utilizado para graficar
Fue inventado por Descartes
Y ahora te lo quiero yo enseñar

El punto de origen esta en la intersección
De X y Y el cual es el centro
De dos dimensiones que tiene este plano
Un punto en el plano se nombra coplanal.

X, Y, Z, X, Y, Z, ...Espacio...

Los ángulos se miden según sus grados
El que mide 90 se nombra recto
De 180 se llama llano
Y de 360 se nombra completo

“Matemáticas, matemáticas, matemáticas”

Geometría es la medición de la tierra
Y la analítica es la integración del álgebra
La distancia entre dos puntos es muy, muy fácil
La raíz de equis uno menos equis dos (al cuadrado)
Más ye uno menos ye dos (al cuadrado)

Mientras que la pendiente
Es la razón entre el cambio en “y”
Y el cambio en “x”
De dos puntos en la misma recta

Cuatro tipos de líneas
Dependiendo de su pendiente
Cuando es m es mayor a cero
O menor a cero o igual a este
O es indefinida
La ecuación general de una recta
Ax+By+C= 0

“Ska-p Mate”

Vas graficando despacio, sin ganas de equivocar, equivocar CORO
Aplicando geometría, unas líneas y unos cuantos puntitos Existe otro concepto, de Descartes, ahora lo vamos a hablar, lo
Usando todos un plano, nos podemos encontrar, encontrar vamos a explicar
Con líneas paralelas, y una que otra perpendicular Agresividad! con el plano cartesiano
Han pasado 10 puntos, y el rayo se extendió Agresividad! contra los ejes x,y
El que no anda en la clase, muy poquito es lo que alcanzara a Agresividad! el origen no cambiara
captar Agresividad! contra una nueva ecuación
Pues la maestra no lo volverá a explicar
En punto de intersección, no hay un punto nada más, la ecuación es
CORO: lineal
Eh Chaval Siempre recuerda poner atención Esto existe y no lo vas a eliminar, la solución consiste en graficarrrrrr
Somos la causa de su malestar
Escribe en la libreta Y Nunca Dejes De estudiar CORO
No Chaval No Es Ley De clase, poder platicar A la maestra en general
A ti Te Dieron La Oportunidad No dejéis nunca, nunca de estudiar, mate da la fuerza
Escribe en la libreta y nunca dejes de platicar Nunca, no vas a olvidar
Muchas gracias gente del 87!!!
Existe una alternativa, y es copiar, esto tiene que cambiar,
dejemos de copiar
Seguimos...

Que le ha pasado a Pitágoras, que no dejo de pensar, de pensar
Aun no tienes los datos, por la noche te tienes que desvelar
La medida de catetos, la tenemos que sacar, y sacar
Hablamos de hipotenusa, comenzábamos nuestra resolución
Comenzábamos nuestra resolución
Suerte a todos!

IANNIS XENAKIS (1922-2001)
 Compositor griego, famoso por utilizar ideas matemáticas
en su música. Su vasta obra de compositor abarca todos los
géneros y cuenta con más de sesenta títulos algunos de los
cuales son ya clásicos de la música del siglo XX.
 Su música se ha caracterizado por este tipo de interacción
entre la música y las ideas procedentes de la física, la
arquitectura y especialmente de las matemáticas. Su
concepto de música estocástica se basa en ideas
matemáticas como la teoría de conjuntos, la lógica
simbólica y la teoría de probabilidades unidas a un
concepto de stochos o evolución hacia un estado estable
 Entre sus composiciones de los últimos años cabe citar
Polythope de Cluny, espectáculo luminoso y sonoro con
música electroacústica y rayos láser (1972); Cendrées, para
coro y orquesta (1973); Ais, para barítono, percución y
orquesta (1980), y Shaar, para orquesta de cuerdas (1982).
 Entre sus obras teóricas destacan Musiques formelles (1963) y
Musique,architecture (1971).

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Frases
 Sin música la vida sería un error Nitzche
 La música expresa aquello que no puede ser
puesto en palabras y aquello que no puede
permanecer en silencio – Victor Hugo
 Donde las palabras fallan, la música habla -Hans
Christian Andersen
 Error funesto es decir que hay que comprender la
música para gozar de ella. la música no se hace, ni
debe jamás hacerse para que se comprenda, sino
para que se sienta. Manuel De Falla
 La música constituye una revelación más alta que
ninguna filosofía Ludwig Van Beethoven

Frases
 El jarrón da forma al vacío y la música al silencio.
Georges Braque
 El arte de la música es el que más cercano se halla
de las lágrimas y los recuerdos. Oscar Wilde
 La música, cuando va acompañada de una idea
placentera, es poesía. Edgar Allan Poe
 La música es un eco del mundo invisible.
Giuseppe Mazzini
 La música es el placer que experimenta el alma
humana al contar sin ser consciente de estar
contando... Gottfried Wilhelm Leibniz

Frases
 La música es para el alma lo que la gimnasia para
el cuerpo... Platón
 La música tiene una gran importancia para acallar la
violencia. Es un paréntesis de paz dentro de la
agitación de nuestros días. Zubin Mehta
 Los músicos no se retiran, paran cuando no hay
mas música en su interior... Louis Armstrong
 No basta con oír la música, además hay que verla...
Igor Fedororovich Stravinsky
 La música debe hacer saltar fuego en el corazón del
hombre, y lágrimas de los ojos de la mujer Ludwig
Van Beethoven

Frases
 El pensamiento, cuanto más puro, tiene su número,
su medida, su música. María Zambrano Alarcón
 El que escucha música siente que su soledad, de
repente, se puebla. Robert Browning
 La música comienza donde acaba el lenguaje. Ernst
Theodor Amadeus Hoffmann
 Sólo el pedernal del espíritu humano puede
arrancar fuego de la música
 Ludwig Van Beethoven
 La música es el placer que el alma experimenta
contando sin darse cuenta de que cuenta Gottfied
W. Leibnitz

Frases
 Por la música, las pasiones gozan de ellas mismas.
Friedrich Nietzsche
 Las bandas de música son como copiar a botticelli
con brocha o tocar a mozart con un candado.
Francisco Umbral
 La música que no describa algo no es más que
ruido. Parménides De Elea
 La música excava el cielo Charles Baudelaire
 La música es una manifestación superior a toda
sabiduría de la filosofía Ludwig Van Beethoven
 La música es una cosa amplia, sin límites, sin
fronteras, sin banderas. León Gieco
 La música es la aritmética de los sonidos, como la
óptica es la geometría de la luz. Claude Debussy

Bibliografía

 http://www.filomusica.com/filo11/articulos.html
 http://www.terra.es/personal/jftjft/Historia/Biografias/Pitagoras.htm
 http://www.anarkasis.com/pitagoras/menu.htm
 http://www.elementos.buap.mx/revistas/catarev.htm
 http://www.elsemanaldigital.com/pistas.asp?idarticulo=224
 http://www.conozcasuhardware.com/quees/tsonido1.htm
 http://www.noisemusic3.tripod.com/pageartev.html
 http://www.filomusica.com/index.html
 http://www.musicagospel.com.ar/index.htm

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