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1. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones NUEVO MODELO MATEMÁTICO PARA LA CARACTERIZACIÓN DE POZOS HORIZONTALES MULTI-STAGE HIDRÁULICAMENTE FRACTURADOS EN RESERVORIOS DE SHALE GAS Limberg Tola Mayta UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA PETROLERA PROYECTO DE GRADO, 2018 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

2. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Marco Teórico Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

3. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Shale gas en Bolivia Mundo: 27. Sudamérica: 7. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

4. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Shale gas en Bolivia Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

5. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Shale gas en Bolivia Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

6. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales ¿Qué es un modelo matemático? Una descripción matemática de un sistema o fenómeno. e.g. una función de la caída de gotas de agua y las marcas que dejan sobre papel seco, el comportamiento de los ﬂuidos... Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

7. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Modelación matemática Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

16. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales PDE es la relación de una función u := (x1, . . . , xn) y sus derivadas parciales. Clasiﬁcación La ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden: A ∂2u ∂x2 + B ∂2u ∂x∂y + C ∂2u ∂y2 + D ∂u ∂x + E ∂u ∂y + Fu = 0 donde A, B, C, D, E y F son constantes reales, se dice que es: Hiperbólica si: B2 − 4AC > 0. Parabólica si: B2 − 4AC = 0. Elíptica si: B2 − 4AC < 0. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

17. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Schrodinger i¯h ∂ψ ∂t = − ¯h2 2m 2 ψ + Vψ Evolución de un electrón en el tiempo, según la función de onda. Desarrollo de la función de onda con el tiempo, a partir de la energía del sistema y de las condiciones externas que lo rodean. Función de onda esta basada en el principio de incertidumbre de Heisenberg, sabemos como evoluciona la partícula pero no sabemos su posición y velocidad al mismo tiempo solo conocemos la probabilidad de su posición y velocidad. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

18. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Schrodinger i¯h ∂ψ ∂t = − ¯h2 2m 2 ψ + Vψ Evolución de un electrón en el tiempo, según la función de onda. Desarrollo de la función de onda con el tiempo, a partir de la energía del sistema y de las condiciones externas que lo rodean. Función de onda esta basada en el principio de incertidumbre de Heisenberg, sabemos como evoluciona la partícula pero no sabemos su posición y velocidad al mismo tiempo solo conocemos la probabilidad de su posición y velocidad. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

19. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Black-Scholes ∂u ∂t − ru + rx 2 ∂u ∂x + σ2x2 2 ∂2u ∂x2 = 0 Ecuación con condición ﬁnal sin condiciones iniciales. Modela la evaluación de una opción, u representa el valor de la opción, el parámetro σ representa la volatilidad mientras que r es el interés, la variable x representa el precio. Si se conoce el valor de la opción u a tiempo ﬁnal T, el problema consiste en determinar cuál es el valor de compra de esa opción a tiempo t = 0. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

20. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Black-Scholes ∂u ∂t − ru + rx 2 ∂u ∂x + σ2x2 2 ∂2u ∂x2 = 0 Ecuación con condición ﬁnal sin condiciones iniciales. Modela la evaluación de una opción, u representa el valor de la opción, el parámetro σ representa la volatilidad mientras que r es el interés, la variable x representa el precio. Si se conoce el valor de la opción u a tiempo ﬁnal T, el problema consiste en determinar cuál es el valor de compra de esa opción a tiempo t = 0. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

21. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Navier-Stokes ∂ρ ∂t + · (ρv) = 0 (ecuaci´on de continuidad) ρ ∂v ∂t + v · v = − P + ρg + µ 2 v Siete problemas del milenio del Instituto Clay (1 MM$us): Existencia y regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes, i.e. «singularidades y turbulencia». Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

22. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Shale gas en Bolivia ¿Qué es un modelo matemático? Modelación matemática Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones en derivadas parciales Navier-Stokes ∂ρ ∂t + · (ρv) = 0 (ecuaci´on de continuidad) ρ ∂v ∂t + v · v = − P + ρg + µ 2 v Siete problemas del milenio del Instituto Clay (1 MM$us): Existencia y regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes, i.e. «singularidades y turbulencia». Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

23. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Fundamento Matemático Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

24. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Teorema de Transporte de Reynolds dBsist dt = ˆ VC ∂ ∂t (ρb) dV + ˛ SC ρb −→ v · −→ n dA donde B es una propiedad extensiva y b es su correspondiente propiedad intensiva. Para la Ecuación de conservación de masa: dBsist dt = 0 b = masa. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

25. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t 0 = ˆ VC ∂ ∂t (ρ) dV + ˛ SC ρ −→ v · −→ n dA Teorema de Gauss ˆ V −→ · −→ G dV = ˛ A −→ G · −→ n dA donde −→ G puede ser cualquier vector. Para nuestro caso: −→ G = ρ −→ v Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

26. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t 0 = ˆ VC ∂ ∂t (ρ) dV + ˛ SC ρ −→ v · −→ n dA 0 = ˆ VC ∂ ∂t (ρ) dV + −→ · ρ −→ v dV ∂ ∂t (ρ) + −→ · ρ −→ v = 0 Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂ (ρφ) ∂t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

27. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Para deducir la ecuación de conservación de masa se parte de un VC: Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

28. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t A(x)ρ(x)ν(x)∆t · · · · · · − A(x+∆x)ρ(x+∆x)ν(x+∆x)∆t · · · · · · = m(t+∆t) − m(t) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

32. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t A(x)ρ(x)ν(x)∆t · · · · · · − A(x+∆x)ρ(x+∆x)ν(x+∆x)∆t · · · · · · = m(t+∆t) − m(t) Factorizando y A = constante: −A∆t ρν(x+∆x) − ρν(x) = m(t+∆t) − m(t) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

33. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Ordenando: −A∆t ρν(x+∆x) − ρν(x) = m(t+∆t) − m(t) −A ρν(x+∆x) − ρν(x) = m(t+∆t) − m(t) ∆t Considerando: m = ρVporoso Deﬁnición de porosidad: φ = Vporoso VTotal ⇒ Vporoso = φVTotal Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

34. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t −A ρν(x+∆x) − ρν(x) = m(t+∆t) − m(t) ∆t −A ρν(x+∆x) − ρν(x) = ρφVTotal (t+∆t) − ρφVTotal (t) ∆t Sea: VTotal = A∆x Introduciendo: −A ρν(x+∆x) − ρν(x) = VTotal ρφ(t+∆t) − ρφ(t) ∆t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

35. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Introduciendo y ordenando: −A ρν(x+∆x) − ρν(x) = A∆x ρφ(t+∆t) − ρφ(t) ∆t − ρν(x+∆x) − ρν(x) ∆x = ρφ(t+∆t) − ρφ(t) ∆t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

36. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Por deﬁnición de limite: − lim ∆x→0 ρν(x+∆x) − ρν(x) ∆x = lim ∆t→0 ρφ(t+∆t) − ρφ(t) ∆t − ∂ (ρυ) ∂x = ∂ (ρφ) ∂t Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂ (ρφ) ∂t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

37. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂(ρφ) ∂t Por deﬁnición de limite: − lim ∆x→0 ρν(x+∆x) − ρν(x) ∆x = lim ∆t→0 ρφ(t+∆t) − ρφ(t) ∆t − ∂ (ρυ) ∂x = ∂ (ρφ) ∂t Ecuación de conservación de masa − · (ρυ) = ∂ (ρφ) ∂t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

38. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design La transformada de Laplace L {f (t)} = F (s) Pierre Simon de Laplace Matemático y astrónomo francés, introdujo su transformación integral en su trabajo “Théorie analytique des probabilités”. Transformada de Laplace L {f (t)} = ∞ˆ 0 e−st f (t) dt Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

39. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design La transformada de Laplace L {f (t)} = F (s) Pierre Simon de Laplace Matemático y astrónomo francés, introdujo su transformación integral en su trabajo “Théorie analytique des probabilités”. Transformada de Laplace L {f (t)} = ∞ˆ 0 e−st f (t) dt Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

40. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Desorción del gas Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

41. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Desorción del gas Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

42. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design La isoterma de Langmuir Va Irving Langmuir Ingeniero metalúrgico, físico y químico estadounidense. Premio Nobel de Química (1932) “investigaciones en la química de superﬁcie”. Ecuación de Langmuir Va = VL P P + PL Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

43. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design La isoterma de Langmuir Va Irving Langmuir Ingeniero metalúrgico, físico y químico estadounidense. Premio Nobel de Química (1932) “investigaciones en la química de superﬁcie”. Ecuación de Langmuir Va = VL P P + PL Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

44. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design La isoterma de Langmuir Va Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

45. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Efecto Klinkenberg kk Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

46. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Efecto Klinkenberg kk L. J. Klinkenberg: “The permeability of porous media to liquid and gases”. Efecto Klinkenberg kk = k 1 + b P Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

47. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Unified Fracture Design Flujo No Darcy − P = µv k + βρv2 Phillip Forchheimer, físico austriaco investigó el flujo de fluido a través de un medio poroso a alta velocidad. Flujo No Darcy − P = µv k + βρv2 Primero en observar que la ley de Darcy fallaba al describir flujos a altas velocidades. Phillip Forchheimer Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

50. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Modelos analíticos para la caracterización de reservorios homogéneos no convencionales hidráulicamente fracturados Modelo Simpliﬁcado. Modelo Trilineal. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

51. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Unified Fracture Design Modelo Simplificado Patzek et al. (2013) Ecuación de difusividad MS ∂m ∂t = α αi 2 m series de Fourier, método de separación de variables para EDP. El MS no considera: Klinkenberg y flujo no Darcy Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

52. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Modelo Trilineal Margaret L. Brown (2011) Ecuación de difusividad MTL k · 2 p = φctµ ∂p ∂t solución mediante la transformada integral de Laplace. El MTL no considera: Desorción, Klinkenberg y ﬂujo no Darcy. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

53. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

54. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) Método iterativo para pozos horizontales hidráulicamente fracturados (considerando fracturas transversales): PASO 1: Número Reynolds kf,e = kf,n 1 + NRE PASO 2: Vp Vp = Mp (h/hf ) ρprop(1−φprop) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

55. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) Método iterativo para pozos horizontales hidráulicamente fracturados (considerando fracturas transversales): PASO 1: Número Reynolds kf,e = kf,n 1 + NRE PASO 2: Vp Vp = Mp (h/hf ) ρprop(1−φprop) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

56. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 3: Encontrar Ar Ar = ye xe PASO 4: Con los valores de kf,e y Vp , calcular Np Np = 2kf,eVp kVres 1 Ar Ar ≤ 1 2kf,eVp kVres Ar Ar > 1 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

57. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 3: Encontrar Ar Ar = ye xe PASO 4: Con los valores de kf,e y Vp , calcular Np Np = 2kf,eVp kVres 1 Ar Ar ≤ 1 2kf,eVp kVres Ar Ar > 1 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

58. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 5: Con Np, se obtiene JDmax {Np, Ar} y CfD,opt {Np} CfD,opt (Np) =    1, 6 Np < 0, 1 1, 6 + e −0,583+1,48 ln(Np) 1+0,142 ln(Np) 0, 1 ≤ Np ≤ 10 Np Np > 10 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

59. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) JDmax {Np, Ar} JDmax {Np, Ar < 1} = 1 −0, 63 − 0, 5 ln (Np) + Fopt JDmax {Np, Ar = 1} =    1 0,990−0,5 ln(Np) Np ≤ 0, 1 6 π − e 0,423−0,311(Np)−0,089(Np)2 1−0,667(Np)−0,015(Np)2 Np > 0, 1 JDmax {Np, Ar > 1} = 6 π Ar Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

60. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 6: Cálculo de los valores óptimos ∀Vf = Vp/2 xf,opt = kf,eVf CfD,optkh wopt = CfD,optkVf kf,eh Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

61. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 7: Con los valores kf,e y wopt calcular sc sc = kh woptkf,e ln h 2rw − π 2 PASO 8: Dado JDmax y sc JDTH = 1 1 JDmax + sc Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

62. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 7: Con los valores kf,e y wopt calcular sc sc = kh woptkf,e ln h 2rw − π 2 PASO 8: Dado JDmax y sc JDTH = 1 1 JDmax + sc Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

63. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Unified Fracture Design Unified Fracture Design (UFD) PASO 9: La producción esperada qg = (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH PASO 10: Calculo la velocidad de flujo a condiciones de fondo de pozo, consideremos lo siguiente: Bg = 0, 0283 ZT pwf ρg = 1, 22 γg Bg Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

64. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Unified Fracture Design Unified Fracture Design (UFD) PASO 9: La producción esperada qg = (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH PASO 10: Calculo la velocidad de flujo a condiciones de fondo de pozo, consideremos lo siguiente: Bg = 0, 0283 ZT pwf ρg = 1, 22 γg Bg Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

65. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 11: La velocidad del gas en la fractura transversal se calcula con: vg = Bgqg · 1000 · 12 2 · 24 · 3600 · πrww PASO 12: Determinar el Nuevo Número Reynolds: NRE = kf,nβρgvg µg β = 108 b (kf,n)a Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

66. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 11: La velocidad del gas en la fractura transversal se calcula con: vg = Bgqg · 1000 · 12 2 · 24 · 3600 · πrww PASO 12: Determinar el Nuevo Número Reynolds: NRE = kf,nβρgvg µg β = 108 b (kf,n)a Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

67. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 13: Determinar el Error del NRE: error {NRE} = NRE(calculado) − NRE(asumido) NRE(calculado) · 100 Si: error {NRE} < 0, 01 % , se termina la iteración, de otra manera se vuelve al paso uno. En general para el NMM se busca el valor de kf,e, la permeabilidad efectiva del proppant pack, i.e. la “permeabilidad en condiciones turbulentas”. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

68. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Ecuación de conservación de masa La transformada de Laplace Efectos: Desorción, Klinkenberg, Flujo no Darcy Modelos analíticos: MS y MTL Uniﬁed Fracture Design Uniﬁed Fracture Design (UFD) PASO 13: Determinar el Error del NRE: error {NRE} = NRE(calculado) − NRE(asumido) NRE(calculado) · 100 Si: error {NRE} < 0, 01 % , se termina la iteración, de otra manera se vuelve al paso uno. En general para el NMM se busca el valor de kf,e, la permeabilidad efectiva del proppant pack, i.e. la “permeabilidad en condiciones turbulentas”. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

69. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

70. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático El NMM es la combinación de: Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

71. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático Va = VL P P + PL Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

72. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático Va = VL P P + PL kk = k 1 + b P Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

73. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático Va = VL P P + PL kk = k 1 + b P − P = µv k + βρv2 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

74. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Modelo Matemático Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

75. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Conjeturas del Modelo Matemático Flujo lineal en todo momento. Excepto en el interior de las fracturas hidráulicas (efecto Choke skin). Permeabilidad de la matriz extremadamente baja. k < 0, 1mD Altura de fractura igual a la altura de la formación. hf ≈ h Conductividad ﬁnita de la fractura hidráulica. El ﬂujo es dominado por las HF. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

79. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Conjeturas del Modelo Matemático Las fracturas hidráulicas están espaciadas a una misma distancia. HF de mismas dimensiones (xf ,wf ,hf ). flujo en el medio de las fracturas hidráulicas adyacentes. encontrar soluciones. ∃ IV zonas. efecto Klinkenberg, desorción, flujo no Darcy y flujo Darcy. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

82. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

83. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Conjeturas del Modelo Matemático Fenómenos físicos para cada zona: Zona Desorción Efecto Klinkenberg Flujo No Darcy Zona IV no no no Zona I si no no Zona II si si si Zona III no si si Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

84. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Ecuaciones de difusividad ¿La existencia de turbulencia? Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

85. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Ecuaciones de difusividad Existe ﬂujo Darcy, desorción (zonas IV, I). Primera ecuación de difusividad 2 (m (P)) = 1 α(P) ∂m (P) ∂t Existe ﬂujo no Darcy, desorción y efecto Klinkenberg (zonas II,III). Segunda ecuación de difusividad 2 (m (P)) = 1 εαk(P) ∂m (P) ∂t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

86. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Ecuaciones de difusividad Existe ﬂujo Darcy, desorción (zonas IV, I). Primera ecuación de difusividad 2 (m (P)) = 1 α(P) ∂m (P) ∂t Existe ﬂujo no Darcy, desorción y efecto Klinkenberg (zonas II,III). Segunda ecuación de difusividad 2 (m (P)) = 1 εαk(P) ∂m (P) ∂t Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

91. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Solución del NMM La solución de la presión adimensional de fondo de pozo uniﬁca las soluciones de las cuatro zonas, es decir: ZONA IV, ZONA I, ZONA II y ZONA III: mwD = π sCFID √ AFtanh √ AF Sin embargo esta incompleta dado que se debe considerar el efecto Choke skin. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

92. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Solución del NMM La solución de la presión adimensional de fondo de pozo uniﬁca las soluciones de las cuatro zonas, es decir: ZONA IV, ZONA I, ZONA II y ZONA III: mwD = π sCFID √ AFtanh √ AF Sin embargo esta incompleta dado que se debe considerar el efecto Choke skin. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

93. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Choke skin effect ﬂujo lineal ﬂujo radial Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

94. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Choke skin effect Choke skin effect sc = kh wkf,e ln h 2rw − π 2 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

95. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Solución general del NMM Transformando sc en el dominio Laplaciano e introduciendolo al NMM, tenemos la solución general del NMM, i.e.: mwD = π sCFID √ AFtanh √ AF + sc s Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

96. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM formulación de las ecuaciones de difusividad en el dominio t. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

97. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM adimencionamiento. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

98. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM aplicación: L {f (tD)} = F (sD) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

99. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM adimensional a dimensional: sD → s Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

100. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM propiedad scaling: F (sD) = 1 c F s c ∴ c := αI x2 F Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

101. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Dominio Laplaciano adimensional mwD(sD) = π sDCFID √ AFtanh √ AF + sc sD Dominio Laplaciano dimensional mwD(s) = π sCFID √ AFtanh √ AF + sc s F (sD) = 1 c F s c Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

102. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Dominio Laplaciano adimensional mwD(sD) = π sDCFID √ AFtanh √ AF + sc sD Dominio Laplaciano dimensional mwD(s) = π sCFID √ AFtanh √ AF + sc s F (sD) = 1 c F s c Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

103. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Transformada inversa: L−1 {F (s)} = f (t) Teorema de convolución: L−1 {F (s) G (s)} = f (t) ∗g (t) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

104. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Transformada inversa: L−1 {F (s)} = f (t) Teorema de convolución: L−1 {F (s) G (s)} = f (t) ∗g (t) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

105. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Teorema de convolución: L−1 {F (s) G (s)} = f (t) ∗ g (t) i.e.: f (t) ∗ g (t) = tˆ 0 f (τ) g (t − τ) dτ algoritmos numéricos de inversión: Algoritmo Gaver-Stehfest Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

106. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Teorema de convolución: L−1 {F (s) G (s)} = f (t) ∗ g (t) i.e.: f (t) ∗ g (t) = tˆ 0 f (τ) g (t − τ) dτ algoritmos numéricos de inversión: Algoritmo Gaver-Stehfest Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

107. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Forma dimensional de la solución del NMM Algoritmo Gaver-Stehfest L−1 {F (s)} = f (t) f (t) = ln 2 t N ∑ i=1 ViF ln 2 t i donde: Vi = (−1) N 2+i min(i,N/2) ∑ k=(i+1 2 ) k N 2 (2k) ! (N/2 − k)!k! (k − 1)! (i − k)! (2k − i)! Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

108. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Ajuste del UFD para el NMM Np(UFD) = 2kf k Vp x2 eh ⇒ Np(NMM) = 2kf k Vp (2xe)2 h Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

109. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conjeturas del Modelo Matemático Ecuaciones de difusividad y sus soluciones Choke skin effect y solución general Forma dimensional del NMM y Ajuste del UFD para el NMM Ajuste del UFD para el NMM Ar(UFD) = ye xe ⇒ Ar(NMM) = dFNHF 2xe Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

110. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación y Análisis de Sensibilidad Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

111. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación del NMM Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

116. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación del NMM (2,013 MMSCFD) MTL MS NMM CMG q (MMSCFD) 1,252 0,213 1,711 0,44 % Error 37,831 % 89,409 % 15,021 % 78,136 % % Credibilidad 62,169 % 10,591 % 84,979 % 21,864 % t (s) 7,837 643,369 7,753 112,320 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

118. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación del NMM (2,013 MMSCFD) NMM q (MMSCFD) 1,711 % Error 15,021 % % Credibilidad 84,979 % (2,013 MMSCFD) xF = xFopt wF = wFopt wF = wFopt xF = xFopt q (MMSCFD) 0,380 1,856 0,383 % Error 81,118 % 7,832 % 80,961 % % Credibilidad 18,882 % 92,168 % 19,039 % Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

121. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

122. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación del NMM LII = % · dHF 2 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

125. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Validación del NMM NMM da un error en referencia al caudal promedio histórico: 15,021 % a 7,832 % (en el mejor de los casos, se toma el valor optimo del ancho de la fracturas hidráulicas (pronosticado por el UFD) en lugar del ancho original). grado de credibilidad: 84,979 % a 92,168 % (mejor de los casos). Los demás modelos tienen dan un error en referencia al caudal promedio histórico: 37,831 % MTL, 89,409 % MS, 78,136 % CMG. grado de credibilidad: 62,169 % MTL, 10,591 % MS, 21,864 % CMG. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

126. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

130. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Validación del NMM Análisis de sensibilidad del NMM Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

131. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Aplicación Práctica Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

132. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Aplicación práctica Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

133. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Función ganancia G = I − C Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

134. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Función ganancia G = I − C Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

135. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C Se deduce: I = qgCgt Mscf dia $us Mscf [dias] Del UFD: qg = (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

136. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C Se deduce: I = qgCgt Mscf dia $us Mscf [dias] Del UFD: qg = (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

137. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C Se deduce: I = qgCgt =⇒ I = qgCgt I =    (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH    Cgt Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

138. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C Se deduce: I = qgCgt I =    (pres)2 − (pwf )2 kh 1424TµgZ JDTH    Cgt Simpliﬁcando, sea: δ = p2 res − p2 wf kh 1424TµgZ Cgt [$us] Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

139. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C Se deduce: I = qgCgt La expresión de ingresos: I = δJD Donde: δ = p2 res − p2 wf kh 1424TµgZ Cgt [$us] Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

140. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD I = δJD δ = p2 res − p2 wf kh 1424TµgZ Cgt [$us] JD: indice de productividad adimensional. pres, pwf : presión del reservorio y fondo de pozo (psi). k: permeabilidad del reservorio (md). h: espesor del reservorio (ft). Cg: precio del gas ($us/Mscfd). T: temperatura del reservorio (R). t: tiempo de producción (días). µg: viscosidad del gas (cp). Z: factor de compresibilidad del gas. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

141. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD I = δJD δ = p2 res − p2 wf kh 1424TµgZ Cgt JD = α VresNp Vp ⇐⇒ α = 6 π k 2kf,e Vp = βMp ⇐⇒ β = (h/hf ) ρprop(1−φprop) Vres=4x2 Fh Mp = Mp (2xF) NHF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

142. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD JD = α VresNp Vp ⇐⇒ α = 6 π k 2kf,e [ ] JD: indice de productividad adimensional. Vres: volumen del reservorio (ft3). Vp: volumen del proppant (ft3). Np: Numero Proppant. k: permeabilidad del reservorio (md). kf,e: permeabilidad efectiva del proppant pack (md). Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

143. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Vp = βMp ⇐⇒ β = (h/hf ) ρprop(1−φprop) ft3/lbm Vp: volumen del proppant (ft3). Mp: cantidad total de Proppant para el HF (lbm de proppant). h: espesor del reservorio (ft). hf : altura de la fractura hidráulica (ft). ρprop: densidad del proppatn (lbm/ft3) φprop: porosidad del proppant ( %/100). Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

144. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Vres = 4 x2 F h Mp = Mp (2xF) NHF Vres: volumen del reservorio (ft3). xF: longitud media de una HF (ft). h: espesor del reservorio (ft). NHF: numero de fracturas hidráulicas. Mp: cantidad de proppant/longitud de HF (lbm de proppant/ft). Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

145. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización Maximizar G G = −I + C C = CpMp +Cw (Lvw + Lhw) +NHF CHF [$us] Mp = Mp (2xF) NHF LHwell = NHF dF Ar = dF NHF 2xF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

146. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD C = CpMp + Cw (Lvw + Lhw) + NHF CHF Mp = Mp (2xF) NHF Cp: costo del Proppant ($us / lbm de proppant). Mp: cantidad total de Proppant para el HF (lbm de proppant). Cw: costo de la perforación ($us / ft). Lvw, Lhw: TVD y longitud del tramo horizontal del pozo (ft). NHF: numero de fracturas hidráulicas transversales. CHF: costo de completación del pozo + HF ($us/stage) o ($us/NHF). Mp: cantidad de proppant/longitud de HF (lbm de proppant/ft). xF: longitud media de una HF (ft). Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

147. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Minimizar f (x) Sujeto a: gj (x) ≤ 0 ∀j = 1, 2, . . . , J hk (x) = 0 ∀k = 1, 2, . . . , K donde: x = (x1, x2, . . . , xN) encontrar: x(N×1), u(1×J), λ(1×K) que cumplan: Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

148. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Condiciones KARUSH-KUHN-TUCKER f (x) + J ∑ j=1 uj gj (x) + K ∑ k=1 λk hk (x) = 0 Donde: gj (x) ≤ 0 ∀j = 1, 2, . . . , J hk (x) = 0 ∀k = 1, 2, . . . , K ujgj (x) = 0 ∀j = 1, 2, . . . , J uj ≥ 0 ∀j = 1, 2, . . . , J Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

149. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

150. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Ar ∝ NHF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

151. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Ar ∝ NHF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

152. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Ar ∝ NHF ⇒ Ar ≈ NHF Sin embargo: Ar ≈ dF NHF 2xe xe→xF =⇒ Ar ≈ dF NHF 2xF para el caso: Ar ≡ NHF dF = 2xF inconveniente!!! max {dF ↓ ∧ 2xF ↑} Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

153. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Ar ∝ NHF ⇒ Ar ≈ NHF Sin embargo: Ar ≈ dF NHF 2xe xe→xF =⇒ Ar ≈ dF NHF 2xF para el caso: Ar ≡ NHF dF = 2xF inconveniente!!! max {dF ↓ ∧ 2xF ↑} Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

154. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Restricciones Ar ≤ NHF 2xF ≥ dF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

155. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Maximizar G G = −I+C I = δJD JD = α VresNp Vp Vp = βMp Vres=4x2 Fh C = CpMp + Cw (Lvw + Lhw) + NHF CHF Mp = Mp (2xF) NHF LHwell = NHF dF Ar = dF NHF 2xF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

156. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Optimización del NMM utilizando las condiciones Karush-Kuhn-Tucker en función del UFD Optimización del NMM G’ (xF, NHF) + 2 ∑ j=1 uj gj (xF, NHF) = 0 Ar − NHF ≤ 0 u2 (dF − 2xF) = 0 dF − 2xF ≤ 0 u1 ≥ 0 u1 (Ar − NHF) = 0 u2 ≥ 0 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

157. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Ecuación del Número Proppant considerando restricciones económicas y de diseño Np optimizado Np = δβM’ p NHF J2 D 4xFαh δJD − CpM’ p xF NHF ∀ Ar ≤ NHF ∧ 2xF ≥ dF Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

158. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Intervalos de existencia del Numero Proppant optimizado Existencia del Np optimizado dF ≤ 2xF < 2 3δdF πCpM’ p πCpM’ px2 F 3δ < dF ≤ 2xF 200 ft ≤ [2xF]1000 ft < 1168, 070 ft 146, 586 ft < [dF]200 ft ≤ 1000 ft Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

159. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Intervalos de existencia del Numero Proppant optimizado Existencia del Np optimizado dF ≤ 2xF < 2 3δdF πCpM’ p πCpM’ px2 F 3δ < dF ≤ 2xF 200 ft ≤ [2xF]1000 ft < 1168, 070 ft 146, 586 ft < [dF]200 ft ≤ 1000 ft Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

160. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Intervalos de existencia del Numero Proppant optimizado Existencia del Np optimizado Cg > πCpMpx2 f 3ϕtdf t > πCpMpx2 f 3ϕCgdf ∀ ϕ := (p2 res−p2 wf )kh 1424TµgZ [Cg]5 $us/Mcf > 3, 664 $us/Mscf [t]10 a ˜nos > 2675, 19dias (7, 329a ˜nos) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

161. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Intervalos de existencia del Numero Proppant optimizado Existencia del Np optimizado Cg > πCpMpx2 f 3ϕtdf t > πCpMpx2 f 3ϕCgdf ∀ ϕ := (p2 res−p2 wf )kh 1424TµgZ [Cg]5 $us/Mcf > 3, 664 $us/Mscf [t]10 a ˜nos > 2675, 19dias (7, 329a ˜nos) Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

162. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Optimización del NMM Selección del mejor Proppant PROPPANTS NHF I VPN PERIODO PERIODO CUBRIR DE I INICIAL GANANCIAS MILLONES $US AÑOS AÑOS PRE-CURED RC SAND NHF30 49,697 6,451 6,436 3,564 OTTAWA SAND NHF40 49,558 16,107 4,397 5,603 BRADY SAND NHF40 49,558 9,937 5,811 4,189 Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

163. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones y Recomendaciones Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

164. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones Se desarrolló NMM más realista para pozos horizontales multi-stage hidráulicamente fracturados en formaciones de shale gas. Error de predicción de 7,882 % a 15,021 % respecto de los valores históricos, a comparación de otros modelos 17,389 % a 84,190 %. Se encontró una solución general analítica al modelo matemático, mediante el empleo de la transformada integral. Se diseñó un modelo de cuatro zonas que fueron combinadas con el ﬂujo Darcy, ﬂujo no Darcy, efecto de desorción y el efecto Klinkenberg. Se diseñó ecuaciones de difusividad para las zonas propuestas. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

168. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones Se realizó la validación del modelo matemático, encontrándose un grado de credibilidad de: 84,979 % a 92,118 % . Se realizó un análisis de sensibilidad de los principales factores inﬂuyentes en la producción de shale gas, i.e. (2xf ) incidencia: 58,051 % a 94,747 %. Se demostró que si se reduce (df ) se puede obtener un incremento en la producción de gas diaria: 22,332 % a 22,932 %. Se aplicó el NMM con valores promedios de Bolivia, utilizando datos promedios de la formación Los Monos. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

172. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones Se conoció que una propuesta para la perforación de un pozo horizontal multifracturado con fracturas hidráulicas transversales en Bolivia sería factible si y solo si se consideran los ingresos así como los costos que están implicados para todo el proyecto como restricción. Las ecuaciones para predecir los valores mínimos en referencia a NHF, xf y df son de gran ayuda para el planteamiento de un proyecto; dado que estos valores dan una restricción para el diseño y además impiden la predicción errónea e irreal por parte del NMM. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

173. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones Se conoció que una propuesta para la perforación de un pozo horizontal multifracturado con fracturas hidráulicas transversales en Bolivia sería factible si y solo si se consideran los ingresos así como los costos que están implicados para todo el proyecto como restricción. Las ecuaciones para predecir los valores mínimos en referencia a NHF, xf y df son de gran ayuda para el planteamiento de un proyecto; dado que estos valores dan una restricción para el diseño y además impiden la predicción errónea e irreal por parte del NMM. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

174. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones El valor min(df ) y max(df ) así como el min(2xf ) y max(2xf ) es un aspecto importante con ﬁnes de diseño, dado que si se escoge un valor debajo de la restricción dada, se encontraría incoherencias: Np ∈ UFD ⊂ NMM. Con un tiempo mínimo de ejecución el NMM es capaz de realizar procesos iterativos ya sea para el diseño de fracturamiento hidráulico, análisis de sensibilidad o de optimización. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

175. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Conclusiones El valor min(df ) y max(df ) así como el min(2xf ) y max(2xf ) es un aspecto importante con ﬁnes de diseño, dado que si se escoge un valor debajo de la restricción dada, se encontraría incoherencias: Np ∈ UFD ⊂ NMM. Con un tiempo mínimo de ejecución el NMM es capaz de realizar procesos iterativos ya sea para el diseño de fracturamiento hidráulico, análisis de sensibilidad o de optimización. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

176. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Recomendaciones 1 Desarrollar un software libre. 2 Se debería realizar una optimización general del NMM: optimización analítica, en el dominio laplaciano. optimización mediante algoritmos evolutivos (NSGA II). 3 Introducir efectos tectónicos que afectan a la permeabilidad de la fractura hidráulica dentro del NMM. 4 Generalizar el NMM para pozos multi-well pad. 5 Investigar el comportamiento de la ecuación de difusividad cuando se la emplea para las ecuaciones Navier-Stokes. 6 Cambiar el método de resolución del NMM: usando coordenadas cilíndricas; geometría Riemannniana. Transformada de Fourier. Usando espacios de Sobolev. Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

182. Marco Teórico Fundamento Matemático Modelo Matemático Validación y análisis de sensibilidad Aplicación práctica Conclusiones y recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Merci Beaucoup Limberg Tola Mayta Nuevo Modelo Matemático

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