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MMMAAATTTEEEMMMÁÁÁTTTIIICCCAAASSS AAAPPPLLLIIICCCAAADDDAAASSS AAA LLLAAASSS
CCCIIIEEENNNCCCIIIAAASSS SSSOOOCCCIIIAAALLLEEESSS IIIIII
CCCrrriiittteeerrriiiooosss gggeeennneeerrraaallleeesss
Con carácter general, se valorará positivamente lo siguiente:
 La exposición del razonamiento utilizado.
 La adecuada justificación de las respuestas.
 La interpretación de los conceptos y resultados básicos.
Con carácter específico, se valorará positivamente lo siguiente:
 Utilizar el lenguaje matricial y aplicar correctamente las operaciones con matrices.
 Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y hacer uso de técnicas
algebraicas para su resolución.
 Analizar e interpretar las propiedades locales y globales de funciones que describen situaciones
reales en el campo de las Ciencias Sociales.
 Resolver problemas de optimización asociados a situaciones reales en el campo de las Ciencias
Sociales utilizando el cálculo de derivadas.
 Resolver problemas de optimización sometidos a ciertas condiciones de desigualdades en el campo
de las Ciencias Sociales utilizando técnicas de la programación lineal.
 Calcular e interpretar probabilidades de sucesos aleatorios utilizando técnicas generales.
 Utilizar técnicas de Muestreo Estadístico para la selección de muestras representativas.
 Inferir conclusiones en poblaciones a partir de la información suministrada por muestras
convenientemente seleccionadas.
EEEssstttrrruuuccctttuuurrraaa yyy cccaaallliiifffiiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa ppprrruuueeebbbaaa
Se plantearán tres problemas en cada una de las dos opciones propuestas:
 Un problema del bloque de contenidos de Álgebra.
 Un problema del bloque de contenidos de Análisis.
 Un problema del bloque de contenidos de Probabilidad y Estadística.
La puntuación asignada será:
 El problema de Álgebra: de 0 a 3,5 puntos.
 El problema de Análisis: de 0 a 3 puntos.
 El problema de Probabilidad y Estadística: de 0 a 3,5 puntos.
CCCooonnnssseeejjjooosss úúútttiiillleeesss
Recuerda que un manojo de fórmulas y números no es suficiente. No hace falta que vayas explicando
las operaciones matemáticas más que con una breve reseña, y sobre todo ten en cuenta que el orden
de lectura es de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, es decir, evita el uso flechas, asteriscos y
otras llamadas, no utilices un resultado que se encuentre más adelante en el orden de lectura para
volver a una expresión que escribiste anteriormente, si es necesario vuelve a escribirla. Otro aspecto
importante es el resultado, queramos o no es la forma más objetiva que tiene el corrector para
determinar si el problema está o no bien resuelto, así que destácalo sutilmente, por ejemplo con un
subrayado, acompáñalo de sus unidades correspondientes y sobre todo evita resultados absurdos,
aunque sean el producto de tus operaciones, por ejemplo, sería ridículo un resultado como unos costes

2. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
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negativos, intervalos de confianza para proporciones que contengan límites negativos o superiores a la
unidad, probabilidades mayores que uno..
CCCooonnnttteeennniiidddooosss
El Programa completo de la asignatura esta publicado en el Decreto 86/2002 por el que se establece el
Currículo de Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Extremadura, siendo necesario impartirlo en su
totalidad. A continuación se indican los contenidos básicos de dicho Programa para las Pruebas de
Acceso a la Universidad:
Bloque de Álgebra:
 Operaciones elementales con matrices.
 Matriz inversa (máximo orden 3). Para el cálculo de la matriz inversa además del método de
Gauss, se deja a criterio de cada profesor utilizar el concepto de determinante.
 Ecuaciones y sistemas matriciales.
 Resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales (máximo tres incógnitas).
 Programación lineal bidimensional.
Bloque de Análisis:
 Concepto de límite a través de la idea intuitiva de tendencia de una función.
 Concepto de derivada.
 Problemas de optimización.
 Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas y funciones racionales sencillas a partir
de sus propiedades globales.
Bloque de Estadística y Probabilidad:
 Problemas de probabilidad condicionada (haciendo uso del concepto de probabilidad
condicionada, del teorema de la probabilidad total o de los diagramas de árbol).
 Nociones generales sobre Muestreo Estadístico en poblaciones finitas. Problemas de Muestreo
Estadístico (muestreo aleatorio simple y muestreo estratificado aleatorio con afijaciones igual o
proporcional).
 Nociones generales sobre estimación estadística. Problemas relacionados con la estimación
puntual de parámetros (media, varianza y proporción poblacionales) y con la estimación a través
de intervalos de confianza (intervalos de confianza para la media y para la proporción
poblacionales).
 Nociones generales sobre contraste de hipótesis. Como contraste de hipótesis basado en la
distribución Normal desarrollar, de manera muy intuitiva, el contraste que permite decidir si la
media poblacional es igual o no a cierto valor prefijado.
La tabla de la distribución Normal que se aconseja utilizar en aquellos problemas de inferencia
estadística en los que sea necesaria es la que se relaciona más adelante.
Los problemas, preferentemente, deberán ser contextualizados en el campo de las Ciencias Sociales y
se prestará especial atención a que el alumno interprete correctamente los conceptos y resultados
básicos.

3. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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ÚÚÚllltttiiimmmooo rrreeepppaaasssooo
A continuación, sin la pretensión de sustituir a tus apuntes y sin que valga más que como un último
repaso de los aspectos más comunes de los exámenes de Matemáticas Aplicadas donde se enfatizan
los conceptos en los que solemos dudar y los errores más corrientes a evitar, te recomendamos la
lectura de estas orientaciones, no sin dejar de recordarte que las reglas mnemotécnicas sirven sólo para
hacernos recordar, no para justificar nuestras afirmaciones:
Cálculo matricial y determinantes
 SUMA DE MATRICES: Sean A y B dos matrices del mismo orden; los elementos de la matriz C,
suma de A y B se obtienen sumando a los elementos de A los de B que ocupen la misma posición.
Ejemplo:
 DIFERENCIA DE MATRICES: Como restar es sumar el elemento opuesto (a – b = a + (-b)), para
hacer la diferencia de matrices se cambia el signo a la matriz sustraendo y se suma con la matriz
minuendo. Ejemplo:
 PRODUCTO POR UN ESCALAR: Dada una matriz A y un escalar , la matriz B = ·A se obtiene
multiplicando cada elemento de A por el escalar . Ejemplo:
 PRODUCTO DE MATRICES: Se trata de una operación A·B = C que sólo es realizable si el número
de columnas de A es igual al número de filas de B. Dada una matriz A de orden m x n y una matriz B
de orden n x p, la matriz C = A·B es de orden m x p, y cada elemento cij es el resultado del producto de
la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B. Ejemplo:














































81414
1052
1042
178695
642320
463102
189
622
430
765
430
612

















































624
212
222
178695
642320
463102
189
622
430
765
430
612






















03612
241818
6126
062
433
121
6

4. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
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 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES:
 No es conmutativo, es decir, normalmente ABBA  (si se cumpliera que ABBA  , se
diría que A y B conmutan).
 Asociativa: )()( CBACBA 
 Distributiva del producto respecto a la suma de matrices: CABACBA  )(
 Elemento neutro: AAIIA  , donde I es la matriz identidad.
 POTENCIAS DE MATRICES: AAA ·2
 , AAA ·23
 , AAA ·34
 … Si nos pidieran una potencia
n-ésima o bien una de exponente muy alto, es porque podremos encontrar una regularidad que nos
permita relacionar la forma general de sus elementos con el exponente de la matriz (no obstante
sería deseable demostrar la fórmula general comprobando que AAA nn
·1
 )
 TRANSPOSICIÓN: la matriz traspuesta de una matriz A se denota por At
y es la que resulta de
convertir las filas de A en columnas y las columnas de A en filas. Ejemplo:
 CÁLCULO DE DETERMINANTES:
 Orden 2: producto de los elementos de la diagonal principal menos producto de los elementos de
la diagonal secundaria:
cbda
dc
ba
·· 
 Orden 3: Regla de Sarrus, suma de los productos de elementos de la diagonal principal y los de
cada una de sus paralelas por el vértice opuesto correspondiente, menos suma de los productos
de elementos de la diagonal secundaria y los de cada una de sus paralelas por el vértice opuesto
correspondiente:
Una alternativa a la regla de Sarrus:
 ADJUNTOS: el adjunto de un elemento de una matriz es el producto de su signo por el determinante
que resulta de eliminar su fila y su columna. Ejemplo
A2 x 3 B3 x 2
C2 x 2





 


















277
149
16
29
38
054
132    
    2102-534Bde2columnaAde2fila
77609584Bde1columnaAde2fila
1112332Bde2columnaAde1fila
49619382Bde1columnaAde1fila
22
21
12
11




c
c
c
c
   dbifhacegdhcbfgaei
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba

   afhbdicegcdhbfgaei
ghgihg
fedfed
cbacba
ihg
fed
cba












742
916
032
A











790
413
262
t
A

5. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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La matriz adjunta (Adj(A)) es la que resulta de sustituir cada elemento por su adjunto
correspondiente.
 MATRIZ INVERSA:   t
AAdj
A
A
11

Sistemas de ecuaciones
 ECUACIONES MATRICIALES: Resuelve primero la matriz incógnita como si de una ecuación se
tratara y después realiza las operaciones al final. Recuerda que las matrices no pueden cambiar de
miembro dividiendo, utiliza la matriz inversa. Ejemplos:
BAX
BAXI
BAXAA
BXA
·
··
···
·
1
1
11







 BCX
BCX
CBX



·
2
1
·2
·2
 
 
 CBAX
CBAXI
CBAXAA
CBXA
BCXA








·
··
···
·
·
1
1
11
1
1
11
)·(
)·(·
)·())·(·(
)·(
··
··









CABX
CABIX
CABCACAX
BCAX
BCXAX
CXBAX
BIAX
BIAXI
BIAXIAIA
BXIA
BXXA
·)·3(
·)·3(·
·)·3()··3·()·3(
)··3(
·3·
1
1
11








 SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES: Primero resuelve las incógnitas por reducción y
después opera. Ejemplo:





BYX
AYX
E
E
53
2
2
1
ï
BAXEE
BAYEE


5·13:5
23·13:23
21
21
)5(
13
1
)23(
13
1
BAXBAY 
 TRANSFORMACIONES DE GAUSS: para hacer ceros por debajo de la diagonal principal, en el
primer paso hacemos los ceros de la primera columna combinando con la primera fila, en el segundo
paso los ceros de la segunda columna combinando con la segunda fila,… Ejemplo:








324
233
03
zyx
zyx
zyx
, en forma matricial:









 



























383800
2260
0131
10633100
2260
0131
43124
2331
0131
2313
12
ffff
ff












532
230
212
A   4
20
22
·1)(
23
32 

aAdj

6. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
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 DISCUSIÓN CON EL MÉTODO DE GAUSS: se aplican las transformaciones elementales hasta
llegar al sistema equivalente escalonado, entonces podemos afirmar que:
 Si hay alguna ecuación 0 = b, siendo b un número distinto de cero, el sistema es incompatible (sin
solución).
 Si ninguna ecuación es de la forma 0 = b, y el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, es sistema es compatible determinado (una solución).
 Si ninguna ecuación es de la forma 0 = b y el número de ecuaciones es menor que el número de
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).
 Si el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas, entonces habrá ecuaciones
proporcionales a otras, y deben ser eliminadas. Una vez hecho esto se nos presentará alguno de
los casos anteriores.
 En sistemas con PARÁMETROS intenta reordenarlos antes de comenzar para que los parámetros
aparezcan lo más abajo y a la derecha posible.
Programación lineal
 PASOS:
 Nombra las incógnitas: suele ser útil identificarlas en la pregunta del problema, y recuerda que
sólo son dos, x e y, si aparecen tres o más las estás equivocando por los parámetros restrictivos.
 Plantea las restricciones: recuerda que en los problemas aplicados a situaciones reales hay dos
restricciones que se suponen implícitas ( 0x , qué es la parte a la derecha del eje y, e 0y ,
que es la mitad por encima del eje x, por lo que sólo necesitaremos el primer cuadrante)
 Plantea la función objetivo.
 Representa las rectas correspondientes a las restricciones y determina la región factible (para
saber que zona sombrear sin hacer muchos cálculos puedes aplicar la regla: si la restricción es
...y sombrea la zona inferior, y si es ...y , sombrea la zona superior, cuando la restricción
sólo tiene x, que son rectas verticales, y es de la forma ...x sombrea la zona izquierda, y si es
...x , sombrea la zona derecha).
 Nombra los vértices y determina sus coordenadas (puntos donde cruzan las rectas
correspondientes).
 Sustituye las coordenadas de los vértices en la función objetivo y determina aquel que hace
óptima la solución.
Funciones
 CRITERIO DE CONTINUIDAD: normalmente se usa en funciones definidas a trozos, y para que una
función (f(x)) sea continua en un punto (x0) debe cumplirse que )()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
 

.
 CONDICIÓN DE MÁXIMO: una función tiene un máximo en un punto (x0) si se cumple que
0)( 0  xf , y 0)( 0  xf
 CONDICIÓN DE MÍNIMO: una función tiene un máximo en un punto (x0) si se cumple que
0)( 0  xf , y 0)( 0  xf
 CONDICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN: una función tiene un punto de inflexión en x0 si se cumple
que 0)( 0  xf
 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: Normalmente son problemas sobre una función que depende de
dos variables ),( yxf , sometidas a una restricción 0),( yxg , el proceso es definir f y g, despejar
una de las variables en g, sustituir en f y aplicar la condición de máximo o de mínimo, según pida el
problema.

7. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
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Probabilidad
 Definición de Laplace:
posiblescasosnº
favorablescasosnº
P
  1P   0P        BAPBPAPBAP     APAP C
 1
 Probabilidad condicionada:    
 BP
BAP
BAP

 ;          APABPBPBAPBAP ·· 
Independencia de sucesos:      BPAPBAP · , es decir,    APBAP 
 Probabilidad total:    

n
i
ii APABPBP
1
·)(
 Teorema de Bayes:    
 
   
    



 n
i
ii
kk
n
i
i
k
k
APABP
APABP
ABP
ABP
BAP
11
·
·
Estadística
 Valores típicos
MEDIA VARIANZA* DESV. ESTÁNDAR* COEF. DE VARIACIÓN
n
x
x
n
i
i
 1
 
n
xx
s
n
i
i

 1
2
2
2
ss  100·%
x
s
CV 
* Cuasivarianza y cuasidesviación estándar (típica) se calculan con n-1 en el denominador (aunque la
diferencia es nimia cuando n es muy grande)
 Intervalos de confianza
MEDIA PROPORCIÓN
n
Zx

  ·2/
n
qp
Zpp
ˆ·ˆ
·ˆ 2/
 Test de hipótesis
MEDIA H0 H1 Rechazamos H0 a un nivel α si:
0  0  2/.exp ZZ 
0  0  2/.exp ZZ 
n
x
Z

0
.exp


0  0  2/.exp ZZ 
PROPORCIÓN H0 H1 Rechazamos H0 a un nivel α si:
0pp  0pp  2/.exp ZZ 
0pp  0pp  2/.exp ZZ 
n
qp
pp
Z
00
0
.exp
·
ˆ 

0pp  0pp  2/.exp ZZ 
 ¡¡Ojo: si debemos estimar porcentajes, haz el cálculo con proporciones y luego multiplica los
resultados por 100!!