Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston utilizando Métodos de Diferencias Finitas
1. Valuación de Opciones Europeas con el Modelo de Heston
utilizando
Métodos
de
Diferencias
Finitas
David Solís
Maestría en Finanzas Cuantitativas
Examen Final de Posgrado
2. IF I CAN TAKE IT,
I CAN MAKE IT.
Louis Zamperin
5. Objetivo del Trabajo
Este trabajo tiene el objetivo de fungir como una prueba de concepto para
demostrar que hay alternativas de por lo menos igual calidad a productos
comerciales de muy alto costo y la oportunidad que representa la
implementación de algoritmos para problemas no contemplados por estos
productos.
Nuestra primera hipótesis es que se puede robustecer el método
ponderado o método θ utilizando una malla no uniforme. La segunda
hipótesis es que para la PDE de Heston, el esquema implícito de
direcciones alternadas (ADI por las siglas en inglés de alternating direction
implicit) es una mejor alternativa al método θ. La tercera hipótesis es que
para este tipo de PDEs, los métodos de diferencias finitas son una mejor
opción a una solución basada en simulación de Monte Carlo.
5
25. Representación de la Solución de PDEs
x1
t1
),( 11 txT
T=3.5
T=5.2
Diferentes curvas
son usadas para
diferentes valores de
una de las variables
independientes
Una gráfica en 3
dimensiones de la
función T(x, t)
Los ejes representan las
variables independientes.
Los valores de la función
se muestran en los
puntos de la malla.
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26. Método de Líneas
‣ Dividir el intervalo x en sub
intervalos cada uno de longitud h
‣ Dividir el intervalo t en sub
intervalos cada uno de longitud k
‣ Se usa una malla de puntos para
la solución de diferencias finitas
‣ Uij representa U(xi, tj)
‣ Se reemplazan las derivadas por
las fórmulas de diferencias
finitas
t
x
12
46. Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
25
Derivada mixta
totalmente explícita
47. Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
25
Dirección S
implícita
Derivada mixta
totalmente explícita
48. Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
25
Dirección S
implícita
Dirección v
implícita
Derivada mixta
totalmente explícita
49. Método ADI
Idea Principal - Descomponer L en 3 matrices
donde
dado
Ciertos componentes
son tratados explícita y
otros implícitamente
25
Dirección S
implícita
Dirección v
implícita
Derivada mixta
totalmente explícita
50. Método ADI
Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
26
51. Método ADI
Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
El parámetro θ controla la ponderación, de
manera similar al método ponderado. θ = 0
para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank-
Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito.
26
52. Método ADI
Esquemas
Un paso predictor hacia
adelante es seguido por
dos pasos implícitos
correctores de una sola
dirección, cuyo propósito
es estabilizar el paso
predictor.
Extensión al esquema
D o u g l a s . R e a l i z a u n
segundo paso predictor
seguido por dos pasos
correctores de una sola
dirección.
El parámetro θ controla la ponderación, de
manera similar al método ponderado. θ = 0
para el esquema explícito, θ = 0.5 para Crank-
Nicolson y θ = 1 para el esquema implícito.
26
53. Método ADI
Ejemplos de Esquemas
Extensión al esquema
Douglas. Diseñado para la
solución numérica de
e c u a c i o n e s d e
c o n v e c c i ó n - d i f u s i ó n -
reacción que surgen en
química atmosférica.
27
54. Método ADI
Ejemplos de Esquemas
Extensión al esquema
Douglas. Diseñado para la
solución numérica de
e c u a c i o n e s d e
c o n v e c c i ó n - d i f u s i ó n -
reacción que surgen en
química atmosférica.
Extensión al esquema
D o u g l a s . T i e n e m á s
libertad en la elección de θ
e n c o m p a r a c i ó n a l
esquema CS.
27
57. Diseño de las Pruebas
De acuerdo con alcance
Precisión y tiempo de CPU
29
58. Diseño de las Pruebas
Comparación con valor teórico
Precisión
29
59. Diseño de las Pruebas
Validación de varias hipótesis
Sentido práctico del método explícito
Malla uniforme vs no uniforme
Atributos superiores de métodos ADI
Evaluación de métodos de diferencias
finitas
Estabilidad
Convergencia
Precisión
Selección de método y esquema
29
60. Diseño de las Pruebas
Evaluación del método
seleccionado bajo
varios escenarios
30
61. Diseño de las Pruebas
Comparación contra otros métodos
usando como referencia el método
analítico
Precisión
Tiempo de CPU
30
62. Diseño de las Pruebas
• Los escenarios empleados fueron los utilizados por algunos
artículos donde comparan alternativas de soluciones.
• Había varias alternativas para calcular la fórmula analítica, se
evaluaron tres contra un precio teórico.
• Se buscó un método Monte Carlo explícitamente diseñado
para el modelo Heston, no se evaluaron alternativas.
• No fue un proceso lineal.
31
63. Diseño de las Pruebas
Conceptos
Convergencia. Significa que la
solución obtenida por el método de
las diferencias finitas se aproxima a
la verdadera solución cada vez que
Δt y Δx se hacen más pequeñas.
Estabilidad. Un algoritmo es estable
si los errores en cada etapa no se
magnifican a medida que el cómputo
avanza
32
64. Diseño de las Pruebas
Conceptos
Si la condición 2κθ > σ2 se mantiene,
e n t o n c e s l a t e n d e n c i a e s
suficientemente grande para el
proceso de la varianza para
garantizar valores positivos que no
llegan a cero. Esta condición se
conoce como la condición de Feller,
definida por:
• Si q ≥ 0, entonces v = 0 es
inalcanzable por el proceso de
varianza Vt
• Si q < 0, entonces v = 0 es
alcanzable por el proceso de
varianza Vt
Para las pruebas de concepto se
obtuvo el error absoluto del precio
obtenido tomando como referencia el
precio obtenido por el método
analítico. Para las pruebas de tortura
y el benchmark usamos la tasa del
error relativo definido como
33
93. Conclusiones
‣ Acerca del método ponderado
• Método iterativo con matrices dispersas.
• Contempla los esquemas explícito, implícito y Crank-Nicolson por
simple configuración del parámetro 𝜃.
• El esquema explícito tiene problemas de convergencia y estabilidad.
• Los esquemas implícito y Crank-Nicolson tienen propiedades
superiores de estabilidad.
• Ambos esquemas son prácticos cuando el número de puntos en la
malla es moderado.
• Una manera general de aumentar la eficiencia del método
ponderado es utilizando una malla no uniforme que sea más fina
alrededor del precio de ejercicio y cuando la volatilidad sea cercana
a cero.
47
94. Conclusiones
‣ Acerca de los esquemas ADI
• Método iterativo con matrices tridiagonales.
• Un esquema ADI es especificado por el esquema en sí y por el
valor del parámetro θ.
• Son una buena alternativa para resolver problemas con
condiciones de frontera y valores iniciales para dos o más
dimensiones.
• La implementación requiere resolver un sistema de ecuaciones
tridiagonal.
• Calcula resultados más precisos y requiere menos consumo de
CPU que la simulación Monte Carlo.
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101. Conclusiones
Extensiones
‣ Cálculo de varias griegas (de manera directa para Delta, Gama y Vega)
‣ Encontrar alternativas para comparar la valuación para otro tipo de
derivados (opciones exóticas) donde no hay una fórmula analítica
disponible
‣ Experimentar con PDE multidimensionales con términos derivados mixtos
• Modelo híbrido tridimensional Heston-Hull-White, una extensión al modelo Heston con tasas
de interés estocásticas
‣ Comparar los esquemas ADI contra otros esquemas de división puros
• Pasos fraccionarios o métodos localmente unidimensionales (LOD)
‣ Ampliar el método de diferencias finitas para permitir modelos más
sofisticados
• Modelo de Heston con saltos en el subyacente.
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