Clase de álgebra lineal

2. ALGORITMO DE REDUCCIÓN (O REDUCCIÓN POR FILA)
Reduce el sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas a
FORMA ESCALONADA (O TRIANGULAR) o bien determina que el sistema
no tiene solución y consiste en:
1)Intercambiar las ecuaciones de forma que X1 aparezca con un coeficiente
no nulo en la primera ecuación, es decir conseguir que a11 ≠ 0.
2)Utilizar a11 como pivote para eliminar X1 de todas las ecuaciones excepto
de la primera, efectuando la operación elemental –ai1L1 + a11Li → Li.

3. 3) Examinar cada ecuación L:
a)Si L tiene la forma 0X1 + 0X2 + ------+ 0Xn = 0, o si es un múltiplo de
otra ecuación, se puede suprimir del sistema.
b)Si L tiene la forma 0X1 + 0X2 + ------+ 0Xn = b con b ≠ 0, se debe
abandonar el algoritmo. El sistema no tiene solución.
4) Repetir los pasos 1, 2 y 3 con el subsistema formado por todas las
ecuaciones excluyendo la primera.
5) Continuar el proceso anterior hasta que el sistema esté en forma
escalonada, o hasta que se obtenga una ecuación degenerada como el
paso 3 – b).

4. EJEMPLO
a) Resolver
2X +Y – 2Z = 10 -----------L1
3X + 2Y + 2Z = 1-----------L2
5X + 4Y + 3Z = 4-----------L3
Para eliminar X de L2 y L3
efectuamos las operaciones −3𝑙1 + 2𝑙2 → 𝐿2 y −5𝐿1 + 2𝐿3 → 𝐿3
-3L1: - 6X – 3Y + 6Z = -30
2L2: 6X + 4Y +4Z = 2
L2: Y + 10Z = -28
-5L1: -10X – 5Y + 10Z = -50
2L3: 10X + 8Y + 6Z = 8
L3: 3Y + 16Z = -42
El nuevo sistema equivalente a la dada es:
2X +Y – 2Z = 10 -----------L1
Y + 10Z = -28----------L2
3Y + 16Z = -42 -------- L3

5. Eliminamos Y de L3 mediante la siguiente operación: -3L2 + L3 → L3
2X +Y – 2Z = 10 -----------L1
Y + 10Z = -28----------L2
3Y + 16Z = -42 -------- L3
-3L2: -3Y – 30Z = 84
L3: 3Y +16Z = -42
L3: -14Z = 42
El nuevo sistema equivalente a la inicial es el sistema en forma triangular:
2X +Y – 2Z = 10 -----------L1
Y + 10Z = -28----------L2
-14Z = 42---------- L3
Por lo tanto, se tiene la solución única
𝒖 = (𝟏; 𝟐; −𝟑)

6. EJEMPLO b) Resolver
X + 2Y – 3Z = 1 ----------L1
2X + 5Y – 8Z = 4 ----------L2
3X + 8Y – 13Z = 7-----------L3
Para eliminar X de L2 y L3 efectuamos -2L1 + L2 → L2 y -3L1 + L3 → L3
-2L1: -2X – 4Y + 6Z = -2
L2: 2X + 5Y – 8Z = 4
L2: Y – 2Z = 2
-3L1: -3X – 6Y + 9Z = -3
L3: 3X + 8Y – 13Z = 7
L3: 2Y – 4Z = 4
El nuevo sistema equivalente a la dada es:
X + 2Y – 3Z = 1 ----------L1
Y – 2Z = 2-----------L2
2Y – 4Z = 4----------L3
o
X + 2Y – 3Z = 1 ----------L1
Y – 2Z = 2-----------L2

7. L3 se suprime porque es múltiplo de L2 y queda en forma escalonada con
variable libre Z. Para obtener la solución general hacemos Z = a y aplicamos la
sustitución hacia atrás:
Y = 2 + 2a
X + 2(2 + 2a) – 3a= 1
X = -3 – a
𝒖 = −3 − 𝒂; 2 + 2𝒂; 𝒂 Donde a es el parámetro

8. EJEMPLO c) Resolver
X + 2Y – 3Z = -1 ----------L1
3X – Y + 2Z = 7 ----------L2
5X + 3Y – 4Z = 2-----------L3
Para eliminar X de L2 y L3 hacemos: -3L1 + L2 → L2 y -5L1 + L3 → L3
-3L1: -3X – 6Y + 9Z = 3
L2: 3X – Y + 2Z = 7
L2: -7Y +11Z = 10
-5L1: -5X – 10Y + 15Z = 5
L3: 5X + 3Y – 4Z = 2
L3: -7Y + 11Z = 7
El nuevo sistema equivalente a la dada es:
X + 2Y – 3Z = -1 ----------L1
-7Y +11Z = 10---------- L2
-7Y + 11Z = 7-----------L3

9. -L2 + L3 → L3 conduce a la ecuación degenerada
0Y + 0Z = -3
El Sistema no tiene solución

10. CONCLUSIÓN
Un Sistema de Ecuaciones Lineales decimos que es:
1) Compatible: cuando tiene solución y esta solución puede ser a su vez:
a) Única Solución: el sistema se reduce a una forma triangular aplicando el algoritmo de
reducción, no se tiene variables libres.
b) Infinitas Soluciones: el sistema se reduce a una forma escalonada, aplicando el
algoritmo de reducción, se tiene variables libres, en consecuencia, se tiene infinitas
soluciones.
2) Incompatible: el sistema de ecuaciones no tiene solución, aplicando el algoritmo de
reducción se llega a una ecuación degenerada de la forma:
0X1 + 0X2 + ------+ 0Xn = b con b ≠ 0

11. MATRICES

12. A una tabla ordenada de números 𝐴 dada en la siguiente forma:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
… … . 𝑎1𝑛
… … . 𝑎2𝑛
… …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
. … … …
… … . 𝑎𝑚𝑛
A la tabla 𝐴 se denomina MATRIZ y su nomenclatura es: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ,
Donde i = 1,……,m; y j = 1, ………,n; o bien debemos interpretar a 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 como las
m – n plas horizontales, que se debe entender como que se tiene m vectores
horizontales de n componentes, es decir:
𝑢1 = 𝑎11 , 𝑎12 , … … . , 𝑎1𝑛 ; 𝑢2 = 𝑎21 , 𝑎22 , … … . , 𝑎2𝑛 ; ………..;
𝑢𝑚 = 𝑎11 , 𝑎12 , … … . , 𝑎1𝑛 .

13. O también se puede interpretar como que se dispone de n – m plas verticales, que
se debe entender como que se tiene n vectores columnas de m componentes, es decir:
𝑣1 =
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
; 𝑣2 =
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
; ………..; 𝑣𝑛 =
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
.
Al elemento aij llamado la “entrada ij” o la “componente ij”, aparece en la fila
i – ésima y en la columna j – ésima. Una matriz con m filas y n columnas se llama
matriz mxn y al par de números (m,n) se llama su TAMAÑO o DIMENSIÓN

14. sea 𝐴 =
1 −3 4
0 5 −2
.
EJEMPLO
Entonces 𝐴 es una matriz de 2x3 sus filas son: (1 -3 4) y (0 5 -2)
y sus columnas son:
1
0
;
−3
5
;
4
−2
.
La primera entrada no nula en una fila R de una matriz 𝐴 se llama la “Entrada
Principal” no nula de R.
Si una fila R no tiene entrada principal no nula, es decir, si toda entrada en R es 0
(cero), entonces se dice que R es una fila nula.
Si todas las filas de la matriz 𝐴 son nulas, se llama “MATRIZ CERO”, cuya
nomenclatura es 𝟎 .

15. MATRICES ESCALONADAS
Una matriz 𝐴 se dice que está en forma escalonada si se cumplen las dos
condiciones siguientes:
1) Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz.
2) Cada entrada principal no nula de una fila R está a la derecha de la entrada
principal no nula de la fila precedente:

16. EJEMPLO Las siguientes son matrices escalonadas cuyas entradas principales no
nulas rodeamos con una Cia.
𝐴 =
②
0
0
0
3
0
0
0
2
①
0
0
0
1
0
0
4
−3
0
0
5
2
⑥
0
−6
0
2
0
𝐵 =
① 2 3
0 0 ①
0 0 0
𝐶 =
0 ① 3 0 0 4
0 0 0 ① 0 −3
0 0 0 0 ① 2
Se dice que una matriz escalonada 𝐴 se ha puesto en “FORMA CANÓNICA POR
FILAS”, si cumple con las dos propiedades adicionales siguientes:
1) Cada entrada principal no nula es 1
2) Cada entrada principal no nula es la única entrada distinta de cero en su columna.

17. La matriz 𝐶 anterior es un ejemplo de matriz en forma canónica por filas.
La matriz 𝐵 no está en dicha forma porque la entrada principal no nula en la segunda
fila no es la única entrada distinta de cero en su columna; hay un 3 sobre ella.
La matriz 𝐴 tampoco está en forma canónica por filas, puesto que algunas de las
entradas principales no nulas no valen 1.
𝐴 =
②
0
0
0
3
0
0
0
2
①
0
0
0
1
0
0
4
−3
0
0
5
2
⑥
0
−6
0
2
0
𝐵 =
① 2 3
0 0 ①
0 0 0
𝐶 =
0 ① 3 0 0 4
0 0 0 ① 0 −3
0 0 0 0 ① 2
La matriz cero con cualquier número de filas y de columnas debe ser considerada
como matriz en forma canónica por filas.