tercera semana

1. Álgebra

2. Polinomio de una variable
Semana 3

3. Objetivos de la sesión
❑Conocer las propiedades del polinomio de una variable.
❑Aplicar la definición y propiedades en la resolución de problemas.
❑Conocer la definición de polinomio.

4. Introducción
Los polinomios cumplen un papel muy importante, a través de los polinomios
podemos modelar situaciones reales en ingeniería, es decir los polinomios pueden
representar la trayectoria de un cuerpo, la distribución de la velocidad de un fluido
en una tubería, estructuras de forma parabólica en el diseño de puentes, etc.
Puente del ejercito
Lima – Perú
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Distribución de la
velocidad de un
fluido en una tubería Estructura de forma
parabólica en un puente.
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Superficie de un
liquido en rotación

5. Polinomio de una variable
Constante
Es un símbolo que representa a una
cantidad fija de elementos.
Es un conjunto de variables y/o
constantes donde para las variables
se definen las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación
y potenciación (exponente natural)
en un número limitado de veces.
Polinomio
Ejemplos
𝑥
−
+ 𝑦
=
Veamos algunos casos que no son
polinomios:
=
=
< > 3
𝑧
Variable
Es un símbolo que representa a varias
cantidades.
6
3
4
𝑥 𝑦
5 𝑦
𝑥
2
3 + 2 𝑥 7
−
𝐻 𝑥;𝑦;𝑧
𝑅 𝑥;𝑦
𝑃 𝑥
< > 𝑥
𝑥
𝑄 𝑥 =
3
2
4
𝑥 + 𝑦
𝑁 𝑥;𝑦 =
𝑥
−4
+ 𝑦
𝑀 𝑥;𝑦 =
Exponente de la
variable
fraccionario
Exponente de la
variable entero
negativo
Variables en el
denominador
𝑄 𝑥;𝑦;𝑧 = 𝑦 − 𝑥𝑧
Radicación
definida para
la variable
−
N
O
T
A
C
I
Ó
N
3 ; 5 ; −2 ; 7 ; 𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; …
𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ; 𝛼 ; 𝛽 ; …
Constantes
Variables
La notación sirve para identificar a
las variables y constantes.

6. Valor numérico
Es el valor que adquiere el polinomio
cuando sus variables reciben valores
particulares.
𝑃( 𝑥 ) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 6
• 𝑥 →
Nota:
Los polinomios según su número
de términos recibe un nombre
especial.
𝑃(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) = 3𝑥2
𝑦4
𝑧
𝑄(𝑥) = 3𝑥6
+ 5𝑥
𝑁(𝑥 ; 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 2𝑦 − 𝑦5
Un término
Dos términos
Tres términos
Monomio
Binomio
Trinomio
Ejemplo
𝑃 1 = −1 Valor numérico
𝑃 −2 = 2
𝑃 0 = −6
Valor numérico
Valor numérico
𝑄( 𝑥 ; 𝑦 ) = 𝑥2 + 𝑥 𝑦 − 6
• 𝑥
𝑦
𝑃 = 3 2
+ 2 − 6
1
1
1
−2
−2
−2
0
0
0
→ 2
+ ( )( ) − 6
=
𝑄 ; 4 2
2 2 4
𝑄 2 ; 4 = 6
reemplazando
Ejemplo
Valor numérico
= 1
• 𝑥 = −2 → 𝑃 = 3 2 + 2 − 6
• 𝑥 = 0 𝑃 = 3 2
+ 2 − 6
→
= 2
= 4
• 𝑥
𝑦
→ 2
+ ( )( ) − 6
=
𝑄 ; 5 −3
−3 −3 5
𝑄 −3 ;5 = −12
reemplazando
Valor numérico
= −3
= 5

7. Si
Determine 𝑃 5
𝑃( 2 𝑥 − 1 ) = 𝑥2
− 𝑥 + 9
𝑥
Aplicación
Resolución
𝑃( 2 𝑥 − 1 ) = 𝑥2
− 𝑥 + 9
5
2 𝑥 − 1 5
= → 𝑥 = 3
5 3
𝑃( 2 𝑥 − 1 ) = 𝑥2 − 𝑥 + 9
3
𝑃( 5 ) = 32
− 3 + 9
𝑃( 5 ) = 15
Polinomio de una variable
Casos particulares
Polinomio lineal
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑏 : término independiente
𝑥
Polinomio cuadrático
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏; 𝑐 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑐 : término independiente
Ejemplo
• 𝑃 𝑥 = 3𝑥 + 5
• 𝑄 𝑥 = 6𝑥 − 4
• 𝐻 𝑥 = −2𝑥
• 𝑃 𝑥 = 7𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Ejemplo
• 𝑁 𝑥 = 𝑥2
+8𝑥
• 𝑀 𝑥 = −4𝑥2
CP : 3 TI : 5
CP : 6 TI :−4
CP :−2 TI : 0
CP : 7 TI :−3
CP : 1 TI : 0
CP :−4 TI : 0
1

8. 𝑥
Polinomio cúbico
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑑 : término independiente
• 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 9𝑥 − 12
• 𝑅 𝑥 = −7𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥
• 𝑀 𝑥 = 𝑥3
+2𝑥2
+ 5
• 𝑇 𝑥 = 𝑥3
+2
CP : 2 TI :−12
CP : −7 TI : 0
CP : 1 TI : 5
1
CP : 1 TI : 2
1
Ejemplo
Forma general de un polinomio de una variable
𝑃 𝑥 + + +
= 𝒂𝟎 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏
𝑥𝑛
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛−2
𝑥
+ … +
𝑥 : variable
: coeficientes
𝒂𝟎 ; 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 ; … ; 𝒂𝒏−𝟏; 𝒂𝒏
𝑎0 : coeficiente principal
𝑎𝑛 : término independiente
𝑎0 ≠ 0
𝑛 : grado de polinomio
Coeficiente que acompaña a la
variable elevado al mayor exponente.
Término que no depende de la
variable.
Mayor exponente de la variable.
𝑛 ∈ ℕ

9. 𝑃 𝑥 = 4 + 2𝑥3 − 8𝑥6 + 5𝑥 + 10𝑥2
Grado del polinomio: 6
Coeficiente principal:
4
Término independiente:
Término independiente
Ejemplo
−8
Nota:
𝑃 𝑥 = 10𝑥4
+ 7𝑥3
− 3𝑥2
+ 5𝑥 + 9
Término lineal
Término cuadrático
Término cúbico
Término cuártico
Propiedades
𝑃 𝑥 = 𝒂𝟎𝑥𝑛
+ 𝒂𝟏𝑥𝑛−1
+ 𝒂𝟐𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏𝑥 + 𝒂𝒏
Sea el polinomio
Suma de coeficientes
𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏
Término independiente
𝒂𝒏
Coeficientes: 4 ; 2 ; −8 ; 5 ; 10
Demostración: evaluando el polinomio en 𝑥 = 1
𝑃 1 = 𝒂𝟎1𝑛
+ 𝒂𝟏1𝑛−1
+ 𝒂𝟐1𝑛−2
+ ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏1 + 𝒂𝒏
1 1 1
𝑃 1 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏
Demostración: evaluando el polinomio en 𝑥 = 0
𝑃 0 = 𝒂𝟎0𝑛 + 𝒂𝟏0𝑛−1 + 𝒂𝟐0𝑛−2 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏0 + 𝒂𝒏
0 0 0
𝑃 0 = 𝒂𝒏
= 𝑷 𝟏
= 𝑷 𝟎

10. Sea el polinomio:
Determine la suma de coeficientes
y el término independiente.
𝑃( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 3 4
− 3 2 − 𝑥 2
+ 9
Aplicación
Resolución
Hallando al suma de coeficientes:
𝑃( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 3 4
− 3 2 − 𝑥 2
+ 9
𝑥 = 1 → 𝑃 =
1 2 −3 4 − 3 2 − 2 + 9
1 1
𝑃 1 = 32 − 3 + 9
𝑃 1 = 38
Hallando el término independiente:
𝑃( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 3 4
− 3 2 − 𝑥 2
+ 9
𝑥 = 0 → 𝑃 =
0 2 −3 4
− 3 2 − 2
+ 9
0 0
𝑃 0 = 162 − 12 + 9
𝑃 0 = 159
Aplicación
Sea el polinomio:
Determine la suma de coeficientes
y el término independiente.
= 8𝑥3 − 4𝑥2 + 1
𝑃( 2 𝑥−3 )
Hallando al suma de coeficientes:
Resolución
Suma de
coeficientes
Suma de
coeficientes
Hallando el término
independiente:
Término
independiente
Término
independiente
𝑃( 2 𝑥 −3 ) = 8 𝑥3 − 4 𝑥2 + 1
1
2 𝑥 − 3 1
= → 𝑥 = 2
1 2
𝑃( 2 𝑥 −3 ) = 8 𝑥3 − 4 𝑥2 + 1
2
𝑃( 1 ) = 8(2)3
−4(2)2
+1
𝑃( 1 ) = 49
𝑃( 2 𝑥 −3 ) = 8 𝑥3 − 4 𝑥2 + 1
0
2 𝑥 − 3 0
= → 𝑥 =
3
2
0 3
2
𝑃( 2 𝑥 −3 ) = 8 𝑥3 − 4 𝑥2 + 1
3
2
𝑃( 0 ) = 8
3
2
3
− 4
3
2
2
+ 1
𝑃( 0 ) = 19

11. ¡Gracias!