Libro Fracciones

NIVELACION RESTITUTIVA

Matemática
MAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO

LIBRO DE TRABAJO 5
“Las cuatro operaciones con fracciones”

Ministerio de Educación
Programa Liceo Para Todos

NIVELACION RESTITUTIVA

Matemática
MAS EDUCACION EN PRIMERO MEDIO

LIBRO DE TRABAJO 5
“Las cuatro operaciones con fracciones”

> Material Elaborado

Clara Balbontín
Victoria Marshall
María Isabel Raul
Gloria Schwarze

> Coordinación

Victoria Marshall
Pontificia Universidad Católica de Chile

> Colaboración edición 2003

Daniel Contreras
Daniela Eroles
Matías Flores
Carlos Ossa
Andrea Palma
Cecilia Richards
Daniela Zenteno

Pamela Berríos González
Héctor Hernández Nanjarí
Ivonne Strange Fuentes
Aurora Valdebenito Gutiérrez

> Diseño >

La Maestranza, Facultad de Arquitectura y
Urbanismo, Universidad de Chile

GUIAS DE TRABAJO
GUIA 52: Fracciones

Problema resuelto Resuelve los siguientes problemas
indicando en cada caso:

La señora Marta preparó un pastel de choclo (a) El procedimiento.
para el almuerzo. Si lo repartió en partes iguales (b) La operación con su resultado.
entre ella, su esposo y sus tres hijos, ¿qué (c) La respuesta del problema.
fracción del pastel comieron en total sus hijos?

Solución Problema 1:
Andrea compró una docena de huevos en un
La fracción de pastel que comieron los hijos almacén. Al llegar a su casa se cayó y sólo
corresponde al número de porciones que quedaron 5 huevos enteros. ¿Qué fracción de
comieron sus hijos, del número total de los huevos no se quebró?
porciones.

Esto puede resumirse en el siguiente esquema: Problema 2:
Procedimiento: Un ciclista da diariamente 30 vueltas a una
El número de porciones que comieron los hijos pista. Ayer, mientras hacía su rutina, comenzó
es 3 y el número total de porciones es 5, por una gran lluvia y sólo alcanzó a pedalear 13
lo tanto la fracción buscada es la vueltas. ¿Qué fracción de lo que normalmente
correspondiente a 3 porciones de un total de recorre alcanzó a hacer?
5.

Operación y resultado: Problema 3:
3 de 5 es igual a 3 Una micro realiza el mismo recorrido 7 veces
5 al día. Debido a la congestión vehicular hoy
Respuesta: sólo recorrió 5 veces su ruta. ¿Qué fracción
Entre los hijos comieron 3 del pastel. de su recorrido habitual logró hacer?
5

Problema 4:
En una competencia Juan ganó 15 bolitas. Si
Realiza las siguientes operaciones:
regaló 3 de ellas a su hermano menor, ¿qué
fracción de las bolitas que había regalado ganó?
1. ¿Qué fracción representa 4 de un total de 5?
3. ¿Qué fracción representa 8 de un total de 17 Problema 5:
4. ¿Qué fracción representa 6 de un total de 9? En un almacén tenían 100 agendas para vender.
5. ¿Qué fracción representa 9 de un total de 10? Si vendieron sólo 78 agendas, ¿qué fracción
del total vendieron?

2

GUIA 53: Equivalencia de fracciones

La señora Marta horneó 2 queques iguales, uno lo
partió en 6 y el otro en 15 partes. Su hijo Juan comió 2
trozo de los grandes y su hija Juana comió 5 de los (a) El procedimiento.
chicos. La señora Marta afirma que ambos comieron (b) La operación con su resultado.
lo mismo, ¿es eso verdad? (c) La respuesta del problema.
Solución

Juan y Juana comieron lo mismo, si la fracción de Problema 1:
queque que comió Juan es equivalente a la fracción de
queque que comió Juana
Francisca tomó una bebida de medio litro y
María tomó dos bebidas de una cuarto de litro
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: cada una. ¿Tomaron ambas la misma cantidad
Procedimiento: de líquido?
Debemos considerar la fracción correspondiente a dos
porciones de un total de 6; la porción correspondiente a
5 porciones de un total de 15, y luego comparar estas
cantidades Problema 2:
Operación y resultado:
La fracción correspondiente a 2 entre 6 es 2 / 6 y la Dos ciclistas deben recorrer un circuito. Si el
correspondiente a 5 de un total de 15 es 5 / 15. Para primero ha recorrido dos tercios de éste y el
compararlas, observamos que si subdividimos cada trozo segundo cuatro sextos del mismo, ¿han
del queque que comió Juan en 15 partes iguales se
obtendría en total 6·15 pedazos, y los dos trozos él comió recorrido hasta ahora la misma distancia?
equivaldrían a 2·15 de estos pedacitos. De la misma
manera, si dividimos cada trozo del queque que comió
Juana en 6 partes iguales se obtendría 15·6 trocitos y
los 5 trozos que ellas comió equivaldrían a 5·6 de estos Problema 3:
trocitos. Como ambos queque quedarían partidos en el En la especialidad de alimentación se preparan
mismo número de pedazos, tortas para una recepción, Susana preparó 2
ambos comerán lo mismo si 2 · 15 = 5 ·6, entonces 2·15
= 30 = 5·6
tortas de igual tamaño, una de piña y otra de
Respuesta: manjar. La de piña la dividió en 24 trozos
Ambos comieron igual cantidad.. iguales y la otra en 12 trozos iguales. y don
Juan comió 3 pedazos de torta de piña y dos
de manjar, ¿comió lo mismo de ambas?

Indica si son equivalentes: Problema 4:
1 5 Marcos y Luis deben llevar papas fritas para
1. 1 y 3 4. y
5 25 una convivencia. Marcos lleva 3 de kilo y Luis
4
3 9
lleva 4 , ¿llevan ambos la misma cantidad?
5

2. 2 y 6 5. 4 y 2
7 21 18 9
Problema 5:
Una porción de alimento alcanza para alimentar
3. 2 y 3 6. 1 y 3
a 2 tigres y una porción igual es suficiente
3 6 3 6
para 6 zorros. ¿Comen lo mismo un tigre que
dos zorros?

3

GUIA 54: Amplificar

Dominga preparó un queque y lo dividió en 5 trozos
iguales Si cada uno de estos trozos lo divide a su (a) El procedimiento.
vez en tres trocitos iguales, ¿a qué fracción del (b) La operación con su resultado.
queque corresponde la cantidad de trocitos obtenida (c) La respuesta del problema.
de 2 trozos?

Solución
Problema 1:
La fracción de queque que corresponde a 2 trozos, Doña Juana quiere comprar un pan de
1
equivale a la cantidad de trocitos obtenida de estos mantequilla de 4 kilo. Si en el negocio sólo
2 pedazos, de la cantidad total de trocitos encuentra panes de 1 kilo, ¿cuántos panes
8
Respuesta: deberá comprar?
La fracción que representa dos pedazos de 5, al
dividir cada pedazo en 3 es 6
15
Esto puede resumirse en el siguiente esquema Problema 2:
1
Manuel quiere comprar 2 kilo de jamón. Si en
Procedimiento:
Para determinar el número total de trocitos debemos el supermercado sólo venden paquetes de 1 8
multiplicar 3 por 5 de kilo, ¿cuántos paquetes deberá comprar?
Para determinar el número de trocitos que
corresponde a 2 trozos debemos multiplicar 2 por
3
Luego debemos formar la fracción que corresponde Problema 3:
3
a 2 de 5 Josefina necesita 5 de litro de amoníaco. Si
3 3 1
en la farmacia sólo venden frascos de 10 de
Operaciones:
2 x 3= 6; 5 x 3= 15; 6 de 15 es 15
6
; litro, ¿cuántos de éstos deberá comprar?

Respuesta:
La fracción que representa dos pedazos de 5, al
dividir cada pedazo en 5 es 6 Problema 4:
1
15 Raúl le pidió a su mamá que le comprara 4 de
kilo de clavos para un trabajo de técnicas
manuales. Si en la ferretería sólo venden
1
Amplifica la fracción dada por el bolsas de 12 de kilo, cuántas deberá comprar?
número indicado:
3
1. 5 ; 5 Problema 5:
Como Inés tiene diabetes decide preparar una
2. 2 ; 2 2
torta con sacarina. Si necesita 5 de gramo y
9
3. 7
4 ;7 sólo venden tabletas de 1 de gramo cada una,
10
¿cuántas tabletas deberá comprar Inés?
1
4. 10 ; 6

5. 5 ; 4
12
6. 9 ; 3
11

4

GUIA 55: Simplificar

Resuelve los siguientes problemas
Problema resuelto indicando en cada caso:

(a) El procedimiento.
Doña Marta mandó a su hijo Juan a comprar
6 (b) La operación con su resultado.
8 de kilo de margarina Si en el almacén sólo (c) La respuesta del problema.
quedaban panes de 1 de kilo, ¿cuántos
4
compró?
Problema 1:
Solución
Para preparar un queque Juanita necesita 2
El número de panes que compró equivale al tazas de harina. Si cada taza equivale a 1 de
4
1
numerador de la fracción, cuyo denominador kilo y en su casa sólo hay paquetes de 2 kilo
es 4, y es equivalente a la fracción de azúcar, ¿cuántos de éstos ocupará?
6 .Esto puede resumirse en el siguiente
8
esquema:
Problema 2:
Esto se puede resumirse en el siguiente Pedro, el pastelero, está preparando 6 tortas
esquema simultáneamente. Si necesita 6 de kilo de
8
mantequilla y en el local sólo hay panes de 1
4
Procedimiento: de kilo, ¿cuántos de éstos ocupará Pedro?
Debemos buscar una fracción equivalente a
6 expresada en cuartos
8 Problema 3:
4
Pedro, el pastelero, necesita 16 de kilo de
Operación y resultado: 1 1
levadura. Si en la cocina hay medidas de 2 , 3
6 3 2 3 1 x3
8 = 4 2 = 4 = 4 , 1 , y 1 kilo, ¿cuál es la medida más grande
4 16
que debe usar para que no le sobre levadura?,
Respuesta: ¿cuántas de estas medidas necesita?
1
Juan compró 3 panes de 4 de kilo
Problema 4:
Para preparar completos, Ana ocupó 1 litros
2
de mayonesa, ¿a cuántas envases de 1 litro
4
equivale lo que ocupó?

Realiza los siguientes ejercicios: Problema 5:
Inés ocupó 4 kilo de cacao al preparar queques
8
1. 2 = para su cumpleaños y el cacao viene en bolsas
4 1
de 4 kilo, ¿cuántas de éstas usó?
2. 6 =
9
3. 2 =
6
4. 4 =
16
5. 5 =
10
6. 17 =
51

5

GUIA 56: Orden entre fracciones

Problema resuelto

Juan y Juana compraron 1 bolsa de dulces
(b) La operación con su resultado.
cada uno Después de 2 horas a Juan le queda
2 4 (c) La respuesta del problema.
5 de la bolsa y a Juana 9 , ¿a quién le
queda más?

Un curso debe resolver una guía de ejercicios
Le quedará más a aquel tal que la fracción durante la clase de matemática. El grupo de
correspondiente a lo que le queda en la bolsa Ana alcanza a resolver 1 de la guía, mientras
3
es mayor que el grupo de Marta resuelve 1 de ésta.
2
¿Qué grupo resolvió más ejercicios?
Esto se puede resumir en el siguiente esquema:
Problema 2:
Procedimiento: Miguel y Roberto deben leer un libro para
2 4 5
Para comparar las fracciones 5 y 9 , las castellano. Miguel ha leído 8 del texto y Roberto
1
amplificamos por 9 y 5 respectivamente, como 2 ¿A quién le faltan menos páginas por leer?
los denominadores que se obtienen son iguales
bastaría comparar los numeradores, es decir, Problema 3:
comparar 2 · 9 con 4 ·5 El profesor de deportes debe medir la
resistencia de cada alumno. La prueba consiste
Operación y resultado: en trotar 15 minutos sin detenerse. El alumno
2·9 = 18 y 4·5 = 20, como 18 < 20 que pare antes de tiempo debe retirarse y
entonces 2 < 4
5 9 obtendrá una nota de acuerdo al tiempo que
corrió.
Respuesta: 7
A Juana le quedan más dulces que a Juan. Si Patricio corrió 9 del tiempo y Javier 5 ,
6
¿quién tiene mejor resistencia?

Problema 4:
Un día de verano, Sofía y Gabriela llegaron a
Completa con signo<,> o = según
corresponda: su casa con mucho calor. Cada una preparó
un litro de jugo de su sabor preferido, manzana
1. 1
4
1
6
4
y piña respectivamente. Sofía bebió 7 de su
2
jarro y Gabriela 3 del suyo. ¿De qué jugo
2. 1 1
5 3 sobró más?
3. 4 3
9 7 Problema 5:
4. 7 6
8 7 María y Elena comparten un paquete de galletas
5. 7 8 durante el recreo. Si María come 3 del paquete
8
9 11 y Elena 1 , ¿quién come más?
4
6. 4 3
10 7

6

GUIA 57: Suma y simplificación de fracciones con igual denominador


La señora Marta horneó 2 queques del mismo
tamaño Su hijo Juan comió 1 del primero y
8 (c) La respuesta del problema.
su hija Lucía comió 3 del segundo ¿Cuánto
8
comieron entre ambos?
Problema 1:
Doña Carmen necesitaba rellenar dos cojines
Solución
por lo que compró espuma.
2
Entre ambos comieron lo que comió Juan más Para rellenar el primero, ocupó 5 de las espuma
3
lo que comió Lucía y para rellenar el segundo cojín, utilizó 5 de
Esto se puede resumir en el siguiente esquema: las espuma. ¿Qué fracción del total de plumas
ocupó doña Carmen en rellenar los dos cojines?.
Procedimiento:
A 1 del queque que comió Juan debemos
8
Problema 2:
sumar los 3 que comió Lucía En una carrera de relevos cuatro amigos
8 1
compitieron por su colegio. Mario corrió 8 del
Operaciones: recorrido total, Ricardo 1 , Roberto 3 , y
8 8
1
Gonzalo 8 . ¿Llegaron a la meta estos cuatro
1 + 3 = 1+3 = 4 = 1·4 = 1 atletas?.
8 8 8 8 2·4 2

Respuesta: Problema 3:
Entre ambos comieron 1 de queque
2
Verónica compró una bandeja de 12 huevos.
1
Ocupó 12 del total en preparar mayonesa, 4 12
5
en hacer una tortilla y 12 para hornear un
queque, ¿qué cantidad de huevos ocupó
Verónica?.

Problema 4:
Carolina compró un melón para la hora de
Realiza las siguientes operaciones: almuerzo y lo repartió de la siguiente forma: le
2 2
2
dio 5 a su hija Daniela, 5 a su hijo Vicente y
5
1. 8 + 8 ella comió 1 .
5
6 4 ¿Se comieron todo el melón Carolina y sus dos
2. 18 + 18 hijos?.
34
3. 62 + 23
62
Problema 5:
4. 2 + 18
25 25 Para reparar una carretera se arrendaron dos
5. 13 + 8 máquinas asfaltadoras, la primera pavimentó
2 3
36 36 6 del camino y la segunda 6 del camino.
6. 38 + 18 ¿Qué parte de la carretera se asfaltó?.
95 95

7

GUIA 58: Resta y simplificación de fracciones con igual denominador


Juan llevó al colegio 5 de una resma de (a) El procedimiento.
8
papel carta. En el recreo Lucía se dio cuenta (b) La operación con su resultado.
que necesitaba papel para hacer un trabajo y (c) La respuesta del problema.
le pidió a su hermano 1 de resma ¿Con
8
cuánto papel quedó Juan?
Problema 1:
6
Solución Felipe comió parte de una pizza dejando 8 de
2
ella. Si más tarde comió 8 de la pizza, ¿cuánto
Para determinar la cantidad de papel con que quedó de ésta?
se quedó Juan, se debe restar a la cantidad
que tenía originalmente Juan la cantidad que
le sacó Lucía Problema 2:
2
Lucia compró una botella de aceite de 3 de
1
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: litro. Si usó 3 de litro, ¿cuánto aceite quedó?
Procedimiento:

Se debe restar 5 - 1
8 8
Problema 3:
3
Una familia en el sur compró 4 tonelada de
Operaciones: leña. Si durante el primer mes gastaron 2 de
4
tonelada, ¿cuánto les queda?
5
8 - 1 = 5-1 = 4 = 1·4 = 1
8 8 8 2·4 2

1
Juan se quedó con 2 de la resma Contrataron a una empresa para pavimentar
un camino. Si después de 3 días de trabajo les
4
falta por pavimentar 7 del camino. Si luego
3
pavimentan 7 del camino. ¿Cuánto les falta
por pavimentar?
6 5
1. 12 - 12 Problema 5:
5
25 6 José compró 8 de kilo de manteca para
2. 28 - 28 preparar pan amasado, si sólo ocupó 8 de
2

63
3. 87 - 34
87
kilo. ¿Qué fracción de kilo de manteca le sobró?

4. 17 - 6
21 21
5. 29 - 4
136 136
6. 7 - 5
112 112

8

GUIA 59: Suma y simplificación de fracciones distinto
denominador, uno múltiplo de otro


La señora Marta horneó 2 queques iguales Su (a) El procedimiento.
hijo Juan comió 1 del primero y su hija Lucía
4
3 del segundo ¿Cuánto comieron entre (c) La respuesta del problema.
8
ambos?

Marta compró un corte de género para
Entre ambos comieron la suma de lo que comió confeccionar un juego de sábanas. En la sábana
cada uno de abajo ocupó 3 del corte, en la de arriba 2
10 5
y en las fundas 1 . ¿Qué fracción del corte de
10
género utilizó?
Esto puede resumirse en el siguiente esquema:
Procedimiento:
Problema 2:
1 7
Expresar ambas fracciones 1 y 3 con un
4 8
Luisa compró 5 Kg. de chocolate amargo y 15
denominador común y luego sumarlas Kg. de chocolate dulce ¿Cuánto compró en
total?
1 1·2 2
4 = 4·2 =2
8
3
8+ 8 =5
8 Problema 3:
Cuánto tiempo gastó José en subir y bajar un
1
Respuesta: cerro si tardó 3 de hora subirlo y 2 hora en
4
Entre los dos comieron la porción equivalente bajarlo?
a 5 de un queque
8

Problema 4:
En su testamento, una mujer le dejó a su
6
esposo 13 de sus bienes y a sus hijos 11 . ¿Le
26
dejó algo a otras personas?
2 3
1. 3 +9 =
4 1 Problema 5:
2. 12 + 48 = Dos amigos decidieron compartir una botella
3.
34 2 de jugo. El primero tomó 1 de la botella, el
62 + 31 = 4
segundo 5 de ella. ¿Qué parte de la botella
8
4. 2 + 3 =
25 5 de jugo bebieron?
5. 13 + 7 =
360 18
6. 2 + 18 =
5 30

9

GUIA 60: Resta distinto denominador, uno múltiplo de otro


Juan llevó al colegio 5 de una resma de (a) El procedimiento.
8
papel carta En el recreo, su hermana Lucía se (b) La operación con su resultado.
dio cuenta que necesitaba papel para hacer (c) La respuesta del problema.
un trabajo y pidió 1 de resma ¿Con cuánto
4
papel se quedó Juan?
Para determinar la cantidad de papel con que Un camión de basura ha recogido suficientes
se quedó Juan, se debe restar a la cantidad desechos para copar 5 de su capacidad. Si
6
que tenía originalmente, la cantidad que le sacó al descargar los materiales reciclables, el
11
Lucía camión queda con 24 de su capacidad. ¿Qué
fracción de la capacidad del camión estaba
constituida por basura reciclable?
Procedimiento:
Problema 2:
5 1 3
Expresar ambas fracciones y con un
4
De una botella con 4 litro de aceite, Juan
8
denominador común y luego restarlas llena una alcuza de 1 litro de capacidad.
8
Operación y resultado: ¿Cuánto aceite quedó en la botella?
1
4 = 1·2 = 2
4·2 8
5
8
- 1 = 5 - 2 =5-2= 3
4 8 8 8 8
Problema 3:
1
Respuesta: Después de haber pavimentado 3 de una
Juan se quedó con 3 de resma
8
calle, se descubre una cañería de gas rota
2
por lo cual deben romper el pavimento de 9
de la calle. ¿Qué fracción de la calle queda
pavimentada?

Problema 4:
Realiza las siguientes operaciones: Guillermo tenía 3 de un cajón de tomates
4
4 27 para hacer salsa. Si antes de hacer la salsa
1. 5 + 40 = 1
regaló 8 de cajón a su hermana. ¿Qué fracción
5 57
2. 6 + 72 = de cajón le quedó?
7 34
3. 9 + 81 =
4. 1 + 169 = Problema 5:
2 350
Un estanque lleno con agua hasta la mitad de
5. 2 +4 =
7 140 su capacidad pierde por una filtración una
1
6. 77 + 1 = cantidad de agua igual a 8 de su capacidad.
112 4 ¿Cuánta agua queda en el estanque?

10

GUIA 61: Suma de fracciones en general


La señora Marta preparó 2 queques Juan se (a) El procedimiento.
comió 1 del primero y Lucía 5 del segundo
4 6
¿Comieron entre ambos más de un queque? (c) La respuesta del problema.

Javier y Francisco tenían que llevar arroz al colegio
Entre ambos comieron más de 1 queque, si la para una campaña de ayuda solidaria. Javier llevó
2
suma de las cantidades que comió cada uno 3 de un paquete de kilo, Francisco llevó un kilo.
¿Cuántos tercios de kilo llevaron entre los dos?
es mayor que 1
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: Problema 2:
Juan y Ramón trabajan en turnos consecutivos en
Procedimiento: una fábrica que funciona sin parar. Juan trabajó 2
2 3
de día; y Ramón 5 del día. ¿Qué parte del día
1
Debemos sumar 4 +5
6
y ver si el resultado cubrieron entre ambos?
es mayor que 1
Problema 3:
Operación y resultado: Marta quería tejerse un chaleco, para ello compró
El mcm entre 4 y 6 es 12, por lo tanto conviene una bolsa de ovillos de lana. Cuando terminó el
buscar dos fracciones equivalentes a las chaleco sólo había ocupado 1 bolsa. Decidió
2
anteriores con denominador 12 entonces tejerse un gorro, en el que ocupó 1 de la
6
bolsa. Como aún le sobraba, se tejió también una
1
1 3 10 bufanda en la que ocupó 3 más de la bolsa. ¿Qué
+ 5 = 12 + 12 = 3+10 =13
4 6 8 12 fracción de la bolsa de lana usó?.
13 >12 por lo tanto 13 > 1
12 Problema 4:
Respuesta:
Entre los dos comieron más de un queque Paulina decidió atender a sus amigos haciendo
sándwiches con dos tipos de pasta para lo cual
compró dos panes de molde. La pasta de jamón
3
sólo le alcanzó para preparar 8 de un pan de molde,
1
en cambio la pasta de queso le alcanzó para 6 el
Realiza las siguientes operaciones: otro pan. ¿Cuánto pan de molde ocupó en total?
3 3
1. 5 +9 = Problema 5:
4 1 Juan decidió alimentar a sus mascotas, 2 grandes
2. 11 + 2 = perros, con un tipo nuevo de comida, para lo cual
4 2 compró una ración adecuada para 1 mes. Como los
3. 15 + 25 = perros no estaban acostumbrados a ese tipo de
4. 12 + 2 = alimento, durante la primera semana sólo
14 21 consumieron la décima parte de la ración comprada
5. 4 +8 = para el mes, en la segunda semana un quinto de la
3 5 ración y tanto en la tercera como en la cuarta
6. 6 + 1 =
10 12 consumieron un cuarto de la ración comprada para
el mes. ¿Alcanzó la ración comprada?

11

GUIA 62: Resta de fracciones en general

5
Juan llevó al colegio 8 de una resma de papel (a) El procedimiento.
carta .En el recreo Juana se dio cuenta que (b) La operación con su resultado.
necesitaba papel para hacer un trabajo y le (c) La respuesta del problema.
sacó a su hermano 2 de resma ¿Con cuánto
5
quedó Juan? Problema 1:
1
Pedro llevó de colación al colegio 4 de un queque
Solución que su mamá cocinó, sus compañeros le piden que
les regalara un pedazo y Pedro les regala 1 de
6
La cantidad de papel con que quedó Juan queque. ¿Cuánto le quedó para la colación?
equivale a la diferencia entre la cantidad de
papel que llevó al colegio y la cantidad de papel Problema 2:
que le sacó su hermana Al final del primer trimestre, la profesora de
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: matemática ha pasado la materia de modo que
quedan 2 del libro guía por ver. Durante el segundo
3
Procedimiento: trimestre, se ve la materia equivalente a medio libro.
¿Cuánto del libro hay que pasar en el tercer trimestre
para completarlo?
Tenemos que restar 5 - 2
8 5
Problema 3:
Operación y resultado: En el mundial de Fútbol los equipos sudamericanos
El mcm entre 8 y 5 es 40 ganaron 7 del total de partidos jugados, y Brasil
15
5 25 2 =16; gano 2 de estos partidos ¿cuántos partidos ganaron
8 = 40 ; 5 40 9
el resto de los países que representan a
5 - 2 = 25 -16
8 5 40 40 Sudamérica?
5 - 2 = 25-16 = 9
8 5 40 40 Problema 4:
Respuesta: 9 Para grabar un recital Eduardo compró una cinta
A Juan le quedó 40 de resma virgen, después de grabarlo, a la cinta le quedaba
1
7 libre. Mas tarde, grabó a continuación una
canción cantada por él mismo. Si quedó 1 de la
10
cinta sin ocupar, ¿qué fracción de la cinta fue
Realiza las siguientes operaciones: ocupada al grabar su canción?
4 2
1. 7 - 11 = Problema 5:
5 2 Se instala un nuevo vertedero municipal que será
2. 8 - 5 =
rellenado por capas. Al cabo de un año, se ha
9 34
3. 4 - 18 = rellenado 1 de su capacidad. Por motivos
50
4 - 19 ecológicos se hace una investigación y se determina
4. 5 40
= que 1 de su capacidad está ocupada por basura
75
7 - 89 reciclable. ¿Qué fracción de la capacidad del
5. =
15 345 vertedero se habría ocupado si sólo se vertiera
6. 11 - 1 = basura no reciclable?
18 8

12

GUIA 63: Fracción de un número


Si se necesitan 5 de hora para llenar un
depósito de agua, ¿cuántos minutos se (c) La respuesta del problema.
necesitan para llenarlo?
Solución
Problema 1:
Se necesita 5 del número de minutos que
6
5
Pedro tarda 12 de hora de su casa al colegio.
tiene una hora. ¿Cuántos minutos tarda Pedro en llegar al
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: colegio?

Procedimiento:
Problema 2:
Una hora tiene 60 minutos por lo que hay que 1
Miguel viaja de Santiago a Laja en 3 de día.
calcular 5 de 60 minutos lo que equivale ¿Cuántas horas dura en el recorrido?
6
a 5 · 60
6

1 hora tiene 60 minutos 4
Jaime gana $300.000 al mes. Si destina 15 de
5
su sueldo en alimentación, ¿cuánto dinero gasta
6
de 60 = 5 ·60 = 5 · 10 = 50
6 mensualmente en ese rubro?
Respuesta:
Tarda 50 minutos en llenarlo Problema 4:
4
Un taxi colectivo gasta a la semana 5 de su
estanque de 60 litros de capacidad. ¿Cuántos
litros de combustible gasta semanalmente el
vehículo?

Realiza las siguientes operaciones: Problema 5:
3
3 Un jugador de fútbol corrió con el balón 4 de
1. 5 de 75 es
la cancha. Si la cancha tiene 100 metros de
7 largo, ¿cuántas metros corrió el jugador?
2. 8 de 120 es
11
3. 25 de 175 es
4. 9 de 121 es
11
5. 2 de 105 es
35
6. 4 de 98 es
7

13

GUIA 64: Fracción de un número


Para obtener un color determinado se debe (b) La operación con su resultado.
mezclar por partes iguales témpera azul, blanca (c) La respuesta del problema.
y rosada Si mezclamos 2 litros de cada una,
5
¿cuánta mezcla obtendremos?
Problema 1:
Solución Cinco amigos están juntando dinero para salir
de vacaciones. Si cada uno logra juntar 1 del
6
La cantidad de mezcla que se obtiene total que necesitan, ¿qué parte del dinero
corresponde a la cantidad de litros que se tiene reúnen?
de cada color multiplicada el número de
colores que intervienen Problema 2:
Esto puede resumirse en el siguiente esquema: 4 personas donan sangre para un enfermo. Si
1
cada una de ellas dona 5 del total, ¿qué parte
Procedimiento: de lo que se necesita aportan los donantes?

Se mezcla 3 veces 2/5 litros Problema 3:
Por lo tanto hay que multiplicar 3 por 2
5 Un tren de 3 vagones lleva en cada uno de
2
ellos 7 de su capacidad de pasajeros. Si
juntamos a todos los pasajeros en un solo
Operación y resultado: carro, ¿qué parte de la capacidad carro
2 · 3 = 2·3 = 5
5 6
5 llenamos?

Problema 4:
2
Respuesta: Una vaca consume diariamente 25 del pasto
Se obtiene 6 litros de mezcla de un terreno. ¿Qué parte del pasto consumen
5
12 vacas en un día?

Problema 5:
Realiza las siguientes operaciones: Según datos de la ANFP, 1.166.260 de
7 personas asistieron a ver los partidos de fútbol
1. 4· 10 = en el año 2001, si 11 de los asistente lo hicieron
20
3 en la primera rueda ¿cuántas personas
2. 12· 110 =
asistieron a ver los partidos de esa rueda?
3
3. 21· 80 =
4. 5· 7 =
25
5. 3· 2 =
15
6. 11· 6 =
23

14

GUIA 65: Multiplicación de fracciones


1
Lucas comió dos quintas partes de 4 de kilo (b) La operación con su resultado.
de maní ¿Qué fracción de kilo comió? (c) La respuesta del problema.

Para prepararle la mamadera a su bebé,
3
Lucas comió la porción correspondiente a dos Marcela ocupa los 4 de capacidad de la
1
veces la quinta parte de 1 mamadera, que es de 5 de litro. ¿Qué fracción
4 de litro de leche prepara Marcela?
Problema 2:
1
Procedimiento: Ricardo pasa 3 del día en el colegio, de esa
7
parte, 8 está en la sala de clases, y el resto
Debemos multiplicar 2 por 1 está en recreo. ¿Qué fracción del día pasa
5 4 Ricardo en la sala de clases?

Javier quiere ser concertista, él permanece
2
despierto 3 partes del día y dedica 9 del
1
4
· 2 = 1·2
5 4·5
2
= 20 = 1·2 = 1 4
10·2 10 tiempo que está despierto a practicar piano.
¿Qué fracción del día toca piano Javier?
Respuesta:
1
Lucas comió 10 de kilo de maní Problema 4:
Un panadero ocupa 3 de un saco de harina
10
3
al día. Si los 4 de la harina la usa para preparar
pan. ¿Qué fracción del saco de harina utiliza
el cocinero para hacer pan diariamente?

Problema 5:
3
Realiza las siguientes operaciones: Daniela demora 5 de hora en llegar al colegio.
6 2 De este tiempo, 1 camina y 3 anda en bus.
4 4
1. 10 · 4 =
¿Qué fracción de hora camina Daniela desde
11 3
2. 16 · 5 = su casa al colegio?
9 5
3. 13 · 6 =
4. 3 · 7 =
8 24
5. 2 · 45 =
3 50
6. 12 · 12 =
100 40

15

GUIA 66: División de fracción por entero

Isabel debe repartir 3 de una barra de
4 (a) El procedimiento.
chocolate en partes iguales entre 3 niños: (b) La operación con su resultado.
Daniela, Diego e Ignacio. (c) La respuesta del problema.
¿Qué fracción del chocolate le corresponde a
cada niño?
Si Anita reparte 3 de una torta en partes
4
A cada niño le tocará la tercera parte de la
iguales entre sus 3 hijos, ¿qué fracción de la
porción de chocolate que se repartió
torta le corresponde a cada niño?

Problema 2:
Don Domingo quiere repartir la mitad de un
terreno en partes iguales entre sus 3 hijos.
Procedimiento:
¿Qué parte del terreno le corresponde a cada
hijo?
Se debe repartir 3 en 3 partes iguales, por
4
Problema 3:
lo tanto debo dividir 3 por 3
4 Una profesora repartió un cuarto kilo de galletas
entre los 5 alumnos que contestaron bien un
problema. ¿Qué fracción de un kilo de galletas
3 recibió cada uno de estos alumnos?
4
:3 = 3 · 1 = 1
4 3 4

3
Cada niño recibió la cuarta parte de la barra Don Manuel debe repartir las 8 partes de las
de chocolate ganancias que obtuvo su empresa, en partes
iguales entre los 13 empleados que trabajan
para él. ¿Qué parte de las ganancias le
corresponde a cada empleado?

3 Para una reunión con sus amigos Daniel quiere
1. 8 : 3 =
3 preparar 3 pizzas. Si tiene 7 kilo de queso,
8
2. 5 : 4 = ¿con qué cantidad de queso queda cada pizza
6 si lo gasta todo y a todas le pone la misma
3. 7 : 5 =
cantidad?
4. 7 : 8 =
8
5. 2 : 9 =
3
6. 13 : 6 =
15

16

GUIA 67: División de entero por fracción

El dueño de una rosticería quiere repartir 4 (a) El procedimiento.
kilos de jamón en paquetes de 1 de kilo
¿Cuántos paquetes logrará hacer? (c) La respuesta del problema.
Solución
Problema 1:
Para determinar cuantos paquetes logra hacer,
Margarita debe repartir 5 kilos de arroz en
se debe dividir el peso de la cantidad de jamón
bolsas de 1 de kilo. ¿Cuántas bolsas de 1
4 4
que se dispone por el peso de cada paquete
de kilo logrará llenar?
Problema 2:
Procedimiento:
Nicolás quiere repartir 4 barras de chocolate
en trozos de 1 de barra. ¿Cuántos trozos
8
Si queremos saber cuántos octavos hay en 4
alcanzará a tener Nicolás?
kilos, debemos dividir 4 por 1 , es
8
decir,multiplicar 4 por 8
Problema 3:
Don Ángel decidió dividir 15 hectáreas de
terreno en sitios de 1 de hectárea cada uno.
5
¿Cuántos sitios obtendrá don Ángel?
4 : 1 =4 · 8 = 32
8

Respuesta:
Se pueden hacer 32 paquetes de 1 de kilo Problema 4:
8 Estela debe repartir 3 litros de helado en potes
con 4 kilos de jamón. 1
de 4 de litro. ¿Cuántos potes logrará llenar
Estela?

1. 5: 1 = Pedro tiene que repartir 8 m3 de arena en
8 sacos de 1 de m3. ¿Cuántos sacos alcanzará
5
2. 8: 1 = a llenar Pedro?
4
3. 9: 1 =
9
4. 15: 1 =
6
5. 25: 1=
8
6. 12: 1=
3

17

GUIA 68: División de fracciones con resultado entero

3
Enrique debe repartir 5 litros de bebida en (a) El procedimiento.
1
vasos de 10 de litro ¿Cuántos vasos alcanzará (b) La operación con su resultado.
a llenar? (c) La respuesta del problema.
Solución
Problema 1:
El número de vasos que alcanza a llenar es la 1
Un vendedor quiere repartir 2 de kilo de
cantidad de veces que cabe la capacidad de 1
tornillos en paquetes de 8 de kilo. ¿Cuántos
cada vaso en el total de bebida que se tiene
paquetes alcanzará a llenar?
Problema 2:
3
Mariana quiere vaciar 4 de litro de leche en
Procedimiento: 1
vasitos de 8 de litro cada uno. ¿Cuántos
vasitos podrá llenar?
Tenemos 3 de litro de bebida y la capacidad
5 1
de cada vaso es 10 de litro.
3 por 1 Problema 3:
Debemos dividir 10 5
5 En un restaurante deben repartir 8 de litro de
ají en envases de 1 de litro cada uno. ¿Cuántos
16
platitos lograrán llenar?

3 : 1 = 3 ·10 Problema 4:
= 30 = 6·5 =6 9
5 10 5 1 5 5 Un ferretero debe repartir 10 de kilo de clavos
3
Respuesta: en bolsitas de 40 kilo. ¿Cuántas bolsas
alcanzará a llenar?
Alcanza a llenar 6 vasos de 1 de litro
10 Problema 5:
3
Normita tiene 4 de kilo de té. Si quiere repartirlo
en bolsitas de 1 de kilo, ¿cuántas bolsitas
20
obtendrá?
3 1
1. 4 : 8 =
3 1
2. 5 : 15 =
8 1
3. 9 : 27 =
4. 2 : 1 =
3 9
5. 3 : 1 =
10 100
6. 4 : 1 =
25 50

18

GUIA 69: División de fracción por fracción con numerador 1

3
Se debe repartir una botella de 4 litro de (a) El procedimiento.
aceite en envases de 1 litro ¿Cuántos
envases se alcanzan a llenar? (c) La respuesta del problema.
Solución

La cantidad de envases que se alcanza a llenar Problema 1:
corresponde a el número de veces que cabe 5
Tengo una bebida de 4 de litro de bebida
la capacidad de los envases en la cantidad de 1
¿Cuántos envases de litro alcanzo a llenar?
aceite de que se dispone 2

Problema 2:
Tengo 7 de kilo de chocolates. ¿Cuántas cajas
8
de 1 de kilo alcanzo a llenar?
Procedimiento: 4

Debemos dividir 3 por 1
4 2 Problema 3:
Tengo 3 kilo de polvos de hornear. Quiero
Operación y resultado: 10
llenar bolsitas de 1 de kilo ¿Cuántas bolsitas
20
3 alcanzo a llenar?
4 : 1 = 3 ·2 = 3
2 2
4

Respuesta:
Problema 4:
Se alcanza a llenar 3 envases, lo que equivale Compré 3 tonelada de leña ¿Cuántos cajones
4
2 de 1 de tonelada alcanzo a llenar?
a un envase y medio. 10

Problema 5:
7
Se tiene un terreno de 8 de hectárea. ¿Cuántos
sitios de 1 de hectárea puedo obtener con
16
Realiza las siguientes operaciones: este terreno?
7 1
1. 10 : 40 =
7 1
2. 8 : 24 =
5 1
3. 9 : 27 =
4. 3 : 1 =
10 100
5. 9 : 1 =
15 75
6. 7 : 1 =
8 16

19

GUIA 70: División de fracciones

3
Dispongo de 5 litros de perfume ¿Para (a) El procedimiento.
6
cuántos frascos de 45 litro me alcanza? (b) La operación con su resultado.
(c) La respuesta del problema.
Solución

Me alcanza para tantos frascos como la Problema 1:
cantidad de veces que cabe la capacidad de
Tengo 15 de kilogramos de té y lo reparto en
16
cada frasco en la cantidad de perfume de que 1
paquetes de 8 . ¿Cuántos paquetes obtuve?
se dispone
Problema 2:
Tengo 5 litros de bebida ¿Cuántas botellas
2
llenas de 3 litros puedo obtener? Con lo que
4
Procedimiento:
sobra, ¿qué parte de otra botella puedo llenar?
3 6
Debemos dividir 5 por 45
Problema 3:
Mónica debe repartir 1 litro de aceite en 5
botellas que hacen 1 litro cada una, pero al
5
3 : 6 = 3 ·45 momento de vaciar el aceite se derrama 1
5 45 5 6
=9 12
2 litro. ¿Para cuántas botellas le alcanza lo que
le quedó?
Respuesta:

Alcanza para 4 frascos y la mitad de otro Problema 4:
Tengo 3 kilo de maní y lo quiero repartir entre
4
varias personas dándole 1 de kilo a cada una,
20
¿para cuántas personas me alcanza?

Problema 5:
5
Debo vaciar 8 tonelada de leña en cajones
que hacen 2 de tonelada, ¿para cuántos
5
Realiza las siguientes operaciones: cajones me alcanza?
4 3
1. 7 : 4 =
3 2
2. 10 : 15 =
2 13
3. 11 : 23 =
4. 2 : 5 =
5 2
5. 18 : 2 =
19 3
6. 3 : 3 =
2 16

20

GUIA 71: Las cuatro operaciones


Se mezclan 1 litro de témpera color azul con (a) El procedimiento.
5
4 litros de témpera color rojo. En el proceso
1
de envasar la mezcla se pierde 10 litro. Si los (c) La respuesta del problema.
1
envases son de 20 de litro, ¿para cuántos
envases llenos alcanza? ¿Cuánto sobra?
Problema 1:
Solución Marta mezcló una bolsa de 2 kilo de maní con
3
pasas con otra bolsa de 1 kilo. ¿Qué cantidad
4
Alcanza para tantos envases como el número de pasas tiene la mezcla si de la primera bolsa
de veces que cabe la capacidad de ellos en la la tercera parte son pasas y de la segunda
cantidad total de tempera. bolsa la mitad son pasas?

Una empresa está a cargo de la pavimentación
1 + 3 = 1 x 4 + 3 x 5 = 19
5 4 20 20 de un camino suburbano. La primera semana
1
pavimentan 3 del camino, la segunda semana
19 - 1 = 19 x 1 + 1 x 2 = 17
20 10 20 20 pavimentan la mitad del camino, pero el trabajo
no quedó bien hecho, por lo que la tercera
17 : 1 = 17 : 20 = 17 x 20 = 17
20 20 20 1 20 x 1 semana deben demoler la tercera parte de lo
que estaba pavimentado. ¿El pavimento de
qué fracción del camino fue necesario demoler?
Respuesta:
Alcanza exactamente para 17 envases. Problema 3:
Laura mezcla 1 litro de aceite con 1 litro de
4 3
vinagre y después vacía la mezcla en botellitas
de 1 de litro. ¿Para cuántas le alcanza?
10

Problema 4:
Realiza las siguientes operaciones: Sofía gasta 1 de su sueldo entre alimentación
2
y arriendo, 1 en colegio para sus hijos y lo
3
que le queda en movilización. ¿Qué fracción
(2 + 3) x 4 = de su sueldo gasta en movilización?
1. 3 4 5
4 : -(3 - 1 ) =
2. 7 5 2 Problema 5:
5
( 2 + 1) x (2 - 1 ) =
Sofía tenía un envase de 2 litro de jugo. Tomó
3. 3 5 2
7 del jugo que estaba en la envase y después
7 14
1
( 5 + 2) : 4 = llenó una botella de 2 litro. ¿Cuánto jugo
4. 6 3
quedó en el envase?
4 : -(1 - 1 ) =
5. 5 3 5
6. ( 2 - 1) : 6 =
3 5

21

GUIA 72: Las cuatro operaciones y orden


La señora Marta preparó un queque y un brazo (a) El procedimiento.
de reina El queque lleva 1 kilo de harina y
1 1
4 kilo de azúcar. El brazo de reina lleva 6
1 (c) La respuesta del problema.
kilo de harina, 8 kilo de maicena y 2 kilo
9
de azúcar ¿Cuál lleva más de estos ingredientes
en total? Problema 1:
Solución Un grupo de amigos está a cargo de llevar el
Llevará más ingredientes secos el brazo de maní para una fiesta. José lleva 1 de kilo,
3
reina si la suma de los ingredientes que lleva Marta lleva 3 , Aurora lleva 1 de kilo y
8 4
es mayor que la suma de los ingredientes que Sebastián cooperó con 1 de kilo. ¿Quiénes
6
lleva el queque llevaron más maní, los hombres o las mujeres?

Procedimiento: Problema 2:
José tomó 3 de una botella de bebidas de
4
1
2
Debemos sumar 1 + 1 + 2 y compara el litro y Mauricio tomó 1 de una botella de 3
10 2
6 8 9
resultado de esta suma con 1 + 1 litros. ¿Quién tomó más bebida?
3 4
1 + 1 + 2 = 12+9+16 = 37
Problema 3:
6 8 9 72 72 Laura mezcló 1 kilo de queso con 1 kilo de
2 4
1 + 1 = 4+3 7
= 12 aceitunas y luego separó la mezcla en 3
3 4 12
porciones. A su vez Juan mezcló 1 kilo de
4
7 7·6 42 37 42
12=12·6 = 72 ; 72
< 72 jamón con 1 kilo de quesillo y lo separó en 2
3
Respuesta: porciones. ¿Qué porciones pesan más, las de
Laura o las de Juan?
El brazo de reina lleva menos de esos
ingredientes que el queque Problema 4:
Un vendedor viajero debe cubrir la ruta entre
1
Temuco y Santiago. El primer día recorre 3
Realiza las siguientes operaciones y de la ruta y el segundo día la tercera parte de
completa sobre la lines punteada con los lo que falta. ¿Cuál de esos días viajó más?
signos <;> o = según corresponda:
2 3 1 1 Problema 5:
1. 5 · 5 ......... 4 - 6 Inés recibió una bolsa con 1 kilo de caramelos
2
2 3 2 3
2. · 5 ......... 3 + 5 para repartir entre ella y sus 3 hermanos, a la
3 3
7 3 1 vez su amiga Susana recibió una bolsa con 4
4
3. 9 + 5 ......... 5 - 10 kilo de caramelos para repartir entre ella y sus
1 1 1 1 5 hermanos. ¿Quién recibió más caramelos,
4. 6 - 12 ......... 3 · 4
un hermano de Inés o un hermano de Susana?
2 1 2
5. 3
: 5 ......... 3 + 5
8
6. 5 - 3 ......... 7 : 1
7 5 9 3

22

GUIA 73: Fracciones mixtas

La señora Marta mandó a su hijo Juan a (a) El procedimiento.
comprar 4 litros de aceite Si el dinero le alcanzó (b) La operación con su resultado.
sólo para comprar una botella de 3 litro y otra (c) La respuesta del problema.
de 3/4 litro, ¿cuánto aceite compró Juan
expresado en cuartos?
Si una persona normal duerme
La cantidad de cuartos de litro de aceite que 1
aproximadamente 3 del día, ¿el equivalente
compró Juan, es la suma de los cuartos de a cuántos días completos duerme una persona
litro que vienen en cada botella
en una semana?
Problema 2:
1
Un taxista gastó 1 2 estanque de bencina entre
Procedimiento:
el Lunes y el Jueves, el Viernes tuvo que llevar
a varios pasajeros al aeropuerto y ocupó 3 4
Debemos encontrar una fracción equivalente
de estanque en esos viajes. Si ocupa otro
a tres enteros expresada en cuartos y sumarla
estanque más el fin de semana, ¿cuántos
con 3
4 estanques de bencina usó esta semana el
Operación y resultado: taxista?
1= 4 entonces 3 = 3· 4 = 12
4 4
4
Problema 3:
3 + 3 = 12 + 3 = 12+ 3 = 15
4 4 4 Marcelo está entrenando para una competencia
4 4
deportiva y ha bajado de peso. Si el primer
Respuesta: 1 3
mes bajó 2 2 kilos, el segundo 1 4 kilos, y el
Juan compró litros de aceite tercero 1 kilo, ¿cuánto peso ha perdido hasta
2
ahora Marcelo?

Problema 4:
Realiza las siguientes operaciones: Doña Luisa tejió un chaleco para su esposo
1 1
Juan. Si usó 5 2 ovillos para la espalda, 5 4
2
ovillos para los delanteros y 4 7 ovillos para las
mangas, ¿cuántos ovillos ocupó Luisa para
1. 3 1 + 2 4 = tejer el chaleco?
7 9
2. 5 + 1 38 =
24 48 Problema 5:
3. 5 9 + 27 = 1
Pablo compró una bebida de 2 4 litros para la
22 7
4. 25 2 - 34 = hora de almuerzo. Si cada vaso 1 tiene de
6
3 5 litro de capacidad y bebió tres vasos, ¿cuánta
5. 9 2 ·92 = bebida le queda a Pablo?
7 9
6. 13 1 :45=
2 6

23

GUIA 74: Fracciones mixtas: las cuatro operaciones


Doce amigos prepararon una bebida, (a) El procedimiento.
mezclando 3 botellas de 1 1 litros de agua
2
mineral con 2 botellas de 3 litro néctar de (c) La respuesta del problema.
4
duraznos Una vez hecha la mezcla, repartieron
la bebida en partes iguales ¿Cuánto le tocó a
cada uno? Problema 1:
Una empresa constructora debe pintar 24 casas,
Solución por lo que compró 2 3 toneles de pintura. Si cada
4
tonel equivale a 11 tarros normales de pintura,
A cada amigo le tocará la doceava parte del ¿cuántos tarros debe comprar el dueño de una casa
total de bebida que se preparó si quiere cambiarle el color?
Problema 2:
Procedimiento: Patricia debe estudiar para tres pruebas este fin de
3
semana. La joven planifica su estudio de la siguiente
1
Debemos 3 por 1 2 , multiplicar 2 por 4 , manera: el viernes en la tarde estudiará 4 1 horas,
2
1
sumar ambos resultados y por último dividir el sábado 3 4 horas y el domingo otras 3 1 horas.
4
este resultado por 12 Si Patricia estudia igual cantidad de tiempo para
cada prueba, ¿cuánto tiempo le dedicará a cada
Operaciones: materia?
1
3·1 2 = 3· 3 = 9 y
2 2 2· 3 = 6
4 4
Luego, 9 + 6 = 18 + 6 = 24 = 6 Problema 3:
2 4 4 4 4 Francisco quiere llegar hasta Iquique en su automóvil
Por último, 6 : 12 = 1 con tres amigos. De Santiago a Ovalle gastan 1 1
2 6
estanques de gasolina; de Ovalle a Antofagasta
Respuesta: 1
1
A cada amigo le tocó 2 litro de bebida 2 2 estanques; y de Antofagasta a Iquique 1 1 3
estanques.
Si el gasto en gasolina van a dividirlo entre los 4
amigos, ¿cuántos estanques debe pagar cada uno?

Problema 4:
Realiza las siguientes operaciones: En un local de comida rápida sólo compran botellas
1
1 (
2 1
1. 3 5 · 7 - 21 ) = de aceite de 2 2 litros. Si durante la mañana se
1
usaron 1 3 botellas, durante la hora de almuerzo
2 1 1 4 1
3 5 botellas, y en la tarde 3 de botella. ¿Cuántos
2. 3 4 12 5 = 4
litros de aceite gastaron hoy día en el local?
3. 2 3 42 6 1
7 9 9
1 2 1 3 Problema 5:
4. Para celebrar el cumpleaños de Felipe, ocho amigos
5 15 24 6
5. 6 6 lo llevan a una discoteque. Si dos de los amigos
3
7 7 sólo pueden pagar 4 de la entrada y el cumpleañero
6. 5 es invitado por el grupo, ¿qué parte de las entradas
1 1 1 1
8 4 2 deben pagar los otros seis amigos?

24

GUIA 75: ¿Fracción propia o impropia?


Marta preparó el plato favorito de sus dos (a) El procedimiento.
nietos: pastel de choclo en pailas de greda (b) La operación con su resultado.
Como eran muy grandes, Juanito comió sólo (c) La respuesta del problema.
las 3 partes de una paila y Lucía paila
4
¿Comieron entre Juanito y Lucía más de una
paila? Problema 1:
Solución Se organiza una carrera de motocicletas hacia el
norte. La distancia entre Santiago y Los Vilos equivale
Entre Juan y Lucía comieron más de una paila 1
a 3 del camino, la distancia de Los Vilos a La
si la suma de lo que comió cada uno es mayor 5
Serena equivale a 12 del recorrido, y la distancia
que 1
Procedimiento: entre La Serena y Copiapó es la mitad del recorrido.
¿Los motociclistas alcanzarán a llegar a Copiapó?
3
A los 4 de paila que se comió Juan hay que
sumarle la 1 paila que se comió Lucía Problema 2:
2 El 3º Medio A está organizando su gira de estudios
Luego, hay que ver si el resultado es mayor
que 1 para fin de año.
9
Si durante el primer trimestre logran juntar 24 de lo
8
Operaciones: que necesitan, durante el segundo trimestre 21 y
1
durante el tercer trimestre 3 , ¿dispondrán a fin de
3
4 +1 = 3 + 2 = 5
2 4 4 4
5
4 es mayor que 1 año del capital necesario para irse de gira?

Problema 3:
Respuesta: Jaime quiere comprar planchas de madera prensada
Entre los dos comieron más de una paila de para construirle una casa a su perro. Si necesita 1
2
pastel de choclo 2 3
plancha para el piso, 3 para las paredes y 4 para
el techo, ¿cuántas planchas debe comprar Jaime?

Problema 4:
Sara está decidida a aumentar sus ingresos
vendiendo trozos de queque en su oficina. Hoy trajo
el equivalente a 47 de queque y vendió el equivalente
Realiza las siguientes operaciones: 47 12
a 15 de queque.
6 2
1. 7 + 3 A la hora de almuerzo, una compañera le dijo a Sara
16 que quería comprarle un queque entero. ¿Cuánto
9
2. 4 + 5 le sobró de la venta del día a Sara?, ¿puede Sara
18 7 venderle un queque entero a su compañera?
3. 11 - 2
4. 96 - 23 Problema 5:
5 2 Durante un triatlón, un competidor bebe agua de la
5. 14 - 3 siguiente forma: mientras corre bebe 2 botellas de
3 2 1
de litro; después de nadar bebe 1 de litro más;
4 3
6. 95 - 19 y mientras pedalea bebe 3 de litro. ¿Cuántos litros
28 5
7 de agua bebió durante el triatlón este competidor?

25

GUIA 76: Fracciones impropias (Las cuatro operaciones)


Josefina mezcla una botella de 9 litro de agua (a) El procedimiento.
4
3
mineral con una botella de 2 de granadina y (b) La operación con su resultado.
reparte la mezcla en envases de 5 litros ¿Para (c) La respuesta del problema.
4
cuántos le alcanza?

1
Para una fiesta se compró 8 botellas de 1 2
3
Le alcanza para tantos envases como el número litro de bebida, si en total se consumió 8 4 litros,
de veces que cabe la capacidad de los envases ¿para cuantos envases de 1 litro alcanza lo
2
en el total de líquido de que se dispone que sobró?

Procedimiento: Problema 2:
1
La señora Marta compró una caja de 1 2 kilo
Debemos sumar 9 + 3 y dividir el resultado
4 2
de azúcar. ¿Cuánto le queda en la caja después
por 5 . de rellenar un jarro que hace 3 kilo, si en el
4
4
proceso se le cae 1 de kilo?
20

Operaciones: Problema 3:
4
Francisco mezcla en un recipiente 3 kilo de
9 + 3 = 9+6 = 15 ; 15 : 5 = 15 · 4 = 15 =3 aceitunas con 9 de pickles y 3 kilo de queso.
4 4
4 2 4 4 4 4 4 5 5
Después vacía 3 de la mezcla en un recipiente
4
más chico, ¿cuántos kilos quedan en el
Respuesta: recipiente grande?
Le alcanza para 3 envases
Problema 4:
Se obtuvo 7 cc de témpera de color celeste
3
mezclando 5 cc tempera color azul con
4
tempera color blanco. Si originalmente en el
3
frasco de tempera color blanco había cc,
2
Realiza las siguientes operaciones: ¿cuánto queda ahora?
1. 3 6 5
2 5 2 Problema 5:
2. 9 2 4 Después de una fiesta quedan 3 botellas de
7 3 5 1
5 1 1 litro llenas y 6 botellas de 2 litro llenas de
2
3. 3
3 bebida. ¿Cuántos litros de bebida queda en
4. 6 4 20 total?
4 3 3
5. 7 3 1 1
5 2 3 5
6. 10 3 4
3 5 3

26

GUIA 77: Fracción a decimal

¿A cuántas décimas de minuto corresponde
18 segundos? (a) El procedimiento.
Solución (c) La respuesta del problema.
El número de décimas que corresponde a 18
segundos es la fracción de minuto que es esa
cantidad de segundos expresada como décimas Problema 1:
de minuto ¿A cuantas décimas de grado sexagesimal
corresponden 42 minutos?

Esto se puede resumir en el siguiente esquema:
Problema 2:
Procedimiento: ¿A cuantas centésimas de kilo corresponden
Un minuto equivale a 60 segundos. Luego hay 320 gramos?
que expresar 18 en forma decimal
60

Problema 3:
Operaciones:
18 = 18 : 60 = 0,3 ¿A cuantas milésimas de metro corresponden
60 2 milímetros?

Respuesta:
18 segundos corresponden a 3 décimas de Problema 4:
minuto ¿A cuantas décimas de litro corresponden 500
centímetros cúbicos?

Problema 5:
¿A cuantas centésimas de minuto corresponden
3 segundos?

3
1. 4
4
2. 5
3. 12
60
4. 120
240
5. 8
10
6. 45
1000

27

GUIA 78: Decimal a fracción


La señora Marta le pidió a Juan que comprara
crema para preparar un postre Si Juan compró (b) La operación con su resultado.
una bolsa de 0,4 litros de crema, ¿qué fracción (c) La respuesta del problema.
de litro compró?

Benjamín le contó a su amiga Catalina que en
La fracción de litro que compró, corresponde el banco le otorgaron un préstamo con un
a la cantidad de litros expresada como fracción
interés de 19 mensual. Catalina le dice que
50

Esto se puede resumir en el siguiente esquema: los intereses no se expresan en fracción y que
lo correcto sería decir que su interés es de 0,38
Procedimiento: % mensual. La fracción que representa el interés
Debemos expresar 0,4 como fracción decimal que dice Catalina, ¿es igual a la que dice
Benjamín?
Operaciones:
4
0,4 = 10 = 2 Problema 2:
5
Miriam compró 0,250 kilo de queso, ¿a qué
Respuesta: fracción de kilo equivale?
Compró 2 de litro de crema
5
Problema 3:
Si 0,75 del cuerpo humano es agua, ¿a qué
fracción equivale?

Problema 4:
Una empresa telefónica ofrece celulares con
una tarifa de 0,8 pesos el costo de la llamada
por segundo. ¿A qué fracción de peso equivale
el costo por segundo?

Encuentra la fracción equivalente a los Problema 5:
siguientes números decimales: Si una milla equivale a 1,6 kilómetros, ¿por
cuál fracción hay que multiplicar el número de
1. 0,3 =
millas de cierta distancia para obtenerla
2. 0,25 = expresada en kilómetros?

3. 0,121 =

4. 0,110 =

5. 0,34 =

6. 0,5 =

28

Trabajo de síntesis - Guía 1
Tiempo de planchado

La Sra. Viviana instaló en su barrio un centro de planchado.
El número de piezas que se puede planchar en de hora según tipo de prenda
es el siguiente:

Pantalón: 5 Sábanas dobles: 3
Camisas: 5 Fundas: 20
Traje completo. 1 Toalla grande: 6
Falda: 6 Toalla chica: 10
Sábanas single: 5 Ropa interior: 12

Para trabajar en grupo y compartir los procedimientos y resultados:

Problema 1:
La Sra. Viviana calcula que para cubrir gastos y obtener ganancias, cada planchadora
deberá generar $20.000 diarios, trabajando 8 horas. Suponiendo que siempre llega
suficiente trabajo, calcular la tarifa por prenda que se deberá cobrar.

Problema 2:
3
La Sra. Viviana decide dar a sus empleadas 4 de hora a la semana para hacer sus
tramites personales. ¿Cuánto dinero deja de ganar por esta actividad si son 4 empleadas?

Problema 3:
1
Marcela trabaja para la Sra. Viviana y gana $8.500 diarios. Si ella ahorra 3 de lo que
gana, ¿cuánto ahorra en un mes de 20 días hábiles?

Problema 4:
1
La Sra. Viviana se asigna como sueldo 8 de lo que factura. Si tiene 12 empleadas
que generan $20.000 cada una, ¿cuánto gana en un mes de 20 días hábiles.

29

Vendiendo helados

1 1 1
Don Juan vende helados y tiene envases de 8 , 4 , 2 y 1 litro.
Los helados le llegan en cajas de 10 litros.

Para trabajar en grupos y luego poner en común:

Problema 1.
Don Juan quiere tener un stock mínimo de:
1
30 unidades de 8 litro
4
2

¿Cuántas cajas de helado deberá comprar para poder tener este stock? ¿Le alcanzará
justo? ¿Qué crees que hará con lo que sobre? Decide cuál será en realidad su stock.

Problema 2.
Don Juan debe pagar $5.000 por cada caja de 10 litros y ha fijado los siguientes precios:
1 litro en $700
1
2 litro en $400
1
4 de litro en $250
1
8 de litro en $150
Calcula el valor que pide por el litro, en cada uno de los siguientes envases y comenta
los resultados.

Problema 3.
Calcula la ganancia que obtiene don Juan al vender todo su stock.

Problema 4.
Doña Inés trae $6.000 para comprar helados. ¿Cuántos litros podrá comprar? ¿en qué
envases los llevará para sacar el máximo rendimiento?

30

Envases de bebidas

Una empresa embotelladora piensa lanzar al mercado una nueva bebida de nombre
“Super Light” la bebida va a ser envasada en botellas de litro, litro, 1 litro, 1 litros y
2 litros.
El precio de venta de la bebida, según los envases es de:

Envase Precio
1
4 litro $150
1
2 litro $280
1 litro $500
1
1 2 litros $630
2 litros $720

Para realizar la venta, la empresa exige al comprador que si su pedido sea mínimo de
1500 litros de bebidas, y éste debe incluir la tercera parte del pedido en envases de
2 litros y la mitad del pedido en envases de 1 ½ litros.

Calcule lo que debe pagar una persona que compra 1500 litros de bebidas, si el resto
del pedido:
1
1. Se le despacha en botellas de 4 litro.

1
2. Se le despacha en botellas de 2 litro.

1 1
3. Si la mitad es en botellas de 4 litro y la otra mitad en botellas de 2 litro.

4. ¿ Es posible que el comprador lleve el resto del pedido en 150 botellas de 1 litro y
1
lo que queda en botellas de 1 2 litros?

5. Decida cuál de las opciones anteriores es la más conveniente para el comprador.

31

Galletas de chuño

Susana quiere hacer galletas de chuño y encontró la siguiente receta:

Ingredientes: 1 1
3 huevos enteros 8 Kg. de maicena 4 litro de leche
1 1
3 Kg. de Harina 4 Kg. de mantequilla
1
200 gr. de azúcar flor 8 Kg. de chuño

Preparación:
Mezcle los ingredientes secos: harina, maicena, chuño y azúcar flor.
Agregue los huevos, la leche y por último la mantequilla ablandada.
Amase hasta que quede una masa suave, homogénea y se desprenda de las manos.
Usleree sobre una superficie lisa hasta que quede de 1 cm. de espesor. Corte las
galletas de la forme que desee y llévelas al horno medio previamente calentado por
10 a 12 minutos.

Resuelven en grupo y luego ponen en común:

Problema 1:
Susana tuvo que comprar todos los ingredientes salvo los huevos. Si en el almacén
venden bolsas de harina de 500 grs. y de 1 kilo, bolsas de azúcar flor de 250 gr., 500
gr. y 1 kilo, cajas de maicena de 125 gr., 200 gr., y 500 gr., cajas de chuño de 125 gr.
y de 300 gr., panes de 125 gr. y 500 gr. de mantequilla y envases de 1 litro de leche.
¿Cuál es la menor compra que puede hacer?

Problema 2:
Si efectuó la menor compra posible. ¿Cuánto le sobró de cada ingrediente después
de preparar las galletas?

Problema 3:
Susana obtuvo en total 75 galletas, que cantidad de cada ingrediente debe usar para
obtener 100 galletas?

Problema 4:
¿Cómo hará la compra en este caso?

Problema 5:
¿Cuánto sobrará de cada ingrediente?

32

Proyecto 5
“Construcción y utilización de material didáctico”

Profundiza en el conocimiento de los cuatro operaciones con números naturales y
decimales. Pone especial énfasis en los conceptos del Libro #5 que se mencionan a
continuación: equivalencia de fracciones; amplificar; simplificar; orden entre fracciones;
suma igual denominador; resta igual denominador; suma distinto denominador en
general; resta distinto denominador en general; fracción de un número; multiplicación
de fracciones y división de fracciones.
En definitiva, el proyecto busca ejercitar, de manera concreta, las respuestas geométricas
a las cuatro operaciones con fracciones y, en ese medida, permite abordar la fracción
desde otro contexto: ya no sólo como parte de un entero, sino como parte de un
conjunto acotado.
Se relaciona con el currículo de primer año medio a través de la Unidad #3,
Transformaciones Isométricas.

Proyecto 3 : “CONSTRUCCION Y UTILIZACION DE MATERIAL DIDACTICO”

DESCRIPCION DEL PROYECTO:

El desarrollo de este proyecto permitirá construir material didáctico que pueda servir
de apoyo en la construcción del conocimiento de la aplicación de la operatoria básica
con las fracciones. Como se puede observar, moviliza una cantidad apreciable de
aprendizajes previos y le permite a cada curso, “prestar un servicio” al liceo, construyendo
material didáctico para la misma asignatura o bien para otros cursos que lo precisen.

El trabajo con artes visuales, con física, química y biología, así como con educación
tecnológica se hace posible en el momento de definir qué material didáctico construir.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL PROYECTO:

El alumno adquirirá conocimientos y desarrollará las habilidades para:
· Análisis de figuras geométricas.
· Construcción de figuras geométricas.
· Seleccionar y analizar materiales.
· Comprender el significado de clases de equivalencias.
· Realizar y comprender la operatoria básica de las fracciones.

OBJETIVOS TRANSVERSALES DEL PROYECTO:

El alumno desarrollará habilidades para:
· Organizarse para trabajar en grupo dentro y fuera de la sala de clases.
· Buscar y analizar materiales en grupo.
· Comunicar los resultados de su trabajo al interior del grupo y ante su propio curso.
· Confeccionar un informe final de resultado y de aprendizajes logrados a través de la
ejecución de este proyecto.

33

PROPUESTA PARA LA REALIZACION DEL PROYECTO:

Los pasos sugeridos podrán ser ajustados por cada liceo según sus propias necesidades
y posibilidades de ejecución.

1. El curso conocerá en qué consiste la caja de fracciones y su utilidad en el aprendizaje
matemático.
2. Luego se organizarán grupos de trabajos con un máximo de 4 personas.
3. El grupo discutirá y decidirá sobre los distintos materiales con los cuales realizarán
su caja de fracciones.
4. Cada grupo preparará sus materiales y construye su caja de fracciones.
5. Cada grupo trabajará con la caja de fracciones y analizará los resultados obtenidos
con ella.
6. Cada grupo hace una exposición de los resultados de su trabajo con la caja de
fracciones.
7. El curso, en su conjunto, elabora un informe final por escrito que describe los avances
y dificultades en la ejecución de este proyecto.

TABLA DE DESEMPEÑO PARA LA EVALUACIÓN DEL PROYECTO

Competencia Desempeño Desempeño Desempeño Desempeño
Mínimo Intermedio Aceptable Óptimo

Habilidad para El estudiante El estudiante El estudiante El estudiante es
recolectar, recolecta datos, recolecta y ordena construye gráficos, capaz de
comparar, pero no sabe datos que puede calcular comparar,
seleccionar, como provienen de la porcentajes y/o seleccionar,
ordenar e relacionarlos. investigación, pero promedios, pero ordenar, interpretar,
interpretar los datos no obtiene necesita ayuda para proyectar y
de la realidad información nueva interpretar estos socializar los
encontrados en el a partir de ellos. datos. resultados de los
proceso de problemas a partir
investigación. de los datos
obtenidos en la
investigación.

34

Sugerencias para quiénes trabajen con este proyecto….

Esta figura representa la unidad

Figura de 42 x 42 cms.

Cada una de estas dos figuras representan un medio de la unidad



Cada una de estas cinco figuras representan un quinto de la unidad

Figura de 42 x 8.4 cms.





35

Cada una de estas seis figuras representan un sexto de la unidad

Figura de Figura de
42 x 7 cms. 42 x 7 cms.

Figura de Figura de
42 x 7 cms. 42 x 7 cms.

Figura de Figura de
42 x 7 cms. 42 x 7 cms.

Se sugiere incluir en esta representación las figuras que representen los
siete séptimos de una unidad y las figuras que representen los ocho octavos
de una unidad.

Se sugiere que la unidad sea un cuadrado de 42 x 42 cms.

36

Sugerencias para el uso del material didáctico

Para poder formar el concepto de clase de equivalencia uno de los objetivos propuesto
para este trabajo se puede aplicar:

1 2
Ej.: Para representar la equivalencia entre las fracciones 2
y 4
el material se puede
utilizar de la siguiente manera:

Paso 1
Es importante situar al alumno
sobre que contexto estamos
trabajando, es por eso que
siempre se utiliza la figura que
representa la unidad como base
del trabajo.

Paso 2
Sobre la figura que presenta la
unidad se coloca la figura que
representa la fracción 1
2

Paso 3
Sobre esta figura ya construida
sobreponer la figura que
representa a la fracción 1
4

Paso 4
1
representa a la segunda fracción 4

37

Lo importante es que los alumnos observen, manipulen y comprueben por intermedio
1
del uso del material, que la fracción 2 que representa la mitad de una unidad (por eso
es que la figura que representa a la fracción 1 esta sobrepuesta a la figura que
2
representa la unidad) y la fracción 2 que esta compuesta por figuras que representan
4
la fracción 1 que representa un cuarto de una unidad (por eso es que las figuras que
4
1
representan a las dos fracción 4 esta sobrepuesta a la figura que representa la mitad
de la unidad). Ocupan la misma área dentro de la figura que representa la unidad.
Entonces de este modo podemos determinar que las fracciones 1 y 2 representan a
2 4
fracciones equivalentes.
Para realizar la multiplicación de fracciones el material se puede utilizar de la siguiente
forma:
1 1 1
Por ejemplo al multiplicar las fracciones 2 x 3 = 6

Paso 1
Es importante situar al alumno
sobre que contexto estamos
trabajando, es por eso que
siempre se utiliza la figura que
representa la unidad como base
del trabajo.

Paso 2
Sobre la figura que presenta la
unidad se coloca la figura que
representa la fracción 1
2

Paso 3
representa a la fracción 1
3

38

Paso 4
Sobre esta figura formada por la
unión de las figuras que
1 1
representan las fracciones 2 y 3
se busca la equivalencia entre
las figuras restantes de la caja
de fracciones.

La sugerencia es preguntarse qué se debe multiplicar entre estas dos fracciones para
obtener este resultado.
La representación concreta de la multiplicación de fracciones constituye un importante
apoyo para tu aprendizaje.

¡Felicitaciones por tus logros!

39

Realiza aquí tus operaciones:

41


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44

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