El documento aborda conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, enfocándose en límites de funciones, incluyendo definición, ejemplos de límites unilaterales y el teorema de sustitución. Se presentan numerosas situaciones que muestran si los límites existen o no, junto con métodos para evaluarlos. También se discuten indeterminaciones y límites que involucran infinito, así como teoremas aplicables a funciones trigonométricas.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
UNIDAD 1. FUNCIONES Y LÍMITES
1
Noción Intuitiva del Límite de una Función
2
16
( )
4
x
f x
x



Considérese la función:
x
y

2. 2
DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Decir que significa que cuando “x” está cerca pero diferente de “c”, tanto por
el lado izquierdo como por el derecho de “c”, entonces “f(x)” está cerca de “L”.
lim ( )
x c
f x L


Límites Unilaterales
lim ( )
x c
f x


lim ( )
x c
f x


Si los límites unilaterales , entonces se dice que el límite EXISTE y
se escribe:
lim ( ) lim ( )
x c x c
L
f x f x
 
 
 
lim ( )
x c
f x L



3. 3
Ejemplos:
1. La figura muestra la gráfica de la función . Determine si el siguiente límite
existe o no.
4
lim ( )
x
f x

2
( ) 2 2
f x x x
   
x
y

4. 4
Ejemplos:
2. En la figura se presenta la gráfica de la función definida por secciones: .
Determine si el siguiente límite existe o no.
3
lim ( )
x
f x

x
y
2
9 3
( )
3 3
x si x
f x
x si x
  
 
  


5. 5
Ejemplos:
3. En la figura se presenta la gráfica de la función definida por secciones: .
Determine si el siguiente límite existe o no.
1
lim ( )
x
f x

x
y
3 1 1
( )
2 1
x si x
f x
x si x
 

 
 


6. 6
Ejemplos:
4. En la figura se presenta la gráfica de la función f(x). Determine si el siguiente límite existe o no.
2
lim ( )
x
f x


7. 7
Ejemplos:
5. Determine si el existe o no.
x
y
0
lim
x
sen x
x


8. 8
Teorema de Sustitución
lim ( ) ( )
x c
f x c
f


Si “f ” es una función, entonces: siempre y cuando “f(c)” esté definida.
Ejemplos: Determine los siguientes límites utilizando el Teorema de Sustitución:
 
5
) lim 10 7
x
a x


 
2
3
) lim 5 6
x
b x x

 
1
3 4
) lim
6 2
x
x
c
x




9. 9
Teorema de Sustitución
Ejemplos: Determine los siguientes límites utilizando el Teorema de Sustitución:
2
4
9
) lim
x
x
d
x


 
2 2 2
5
1
) lim ( 4)
y
e y y y

  
 
2
) lim 2
x
f sen x




2
2
) lim 5x
x
g 


10. 10
La Indeterminación
Ejemplos: Determine los siguientes límites:
1. En un cociente de polinomios
0
0
2
2
4
) lim
2
x
x
a
x



2
2
3
9
) lim
6
x
x
c
x x


 
2
1
1
) lim
2
x
x
b
x x


 

11. 11
La Indeterminación
Ejemplos: Determine los siguientes límites:
La Indeterminación
0
0
2
2
2
3 2
) lim
4
x
x x
d
x

 

2
2
1
1
) lim
3 2
y
y
e
y y


 
2
2
2
3 10
) lim
6
x
x x
f
x x

 
 

12. 12
La Indeterminación
Ejemplos: Determine los siguientes límites:
2. En una fracción con radicales
0
0
4
4
) lim
4
x
x
a
x




13. 13
La Indeterminación
Ejemplos: Determine los siguientes límites:
0
0
4
2
) lim
4
x
x
b
x



) lim
x a
x a
c
x a




14. 14
La Indeterminación
Ejemplos: Determine los siguientes límites:
0
0
7
7
) lim
4 3
x
x
d
x


 
3
6 3
) lim
3
x
x
e
x

 


15. 15
Límites en los que interviene el infinito ( )

1. Límites Infinitos
El límite de una función “f(x)” cuando “x” tiende al número “c” NO EXISTIRÁ siempre que los
valores funcionales crezcan sin cota. Lo anterior se denota como:
lim ( )
x c
f x

 
Ejemplo: Determine si existe o no.
1
2
lim
1
x x
 
x
y

16. 16
Límites en los que interviene el infinito ( )

Ejemplos: Determine si los siguientes límites existen o no.
2
0
1
)lim
x
a
x

2
) lim
2
x
x
b
x
 
3
2
1
)lim
( 2)
x
c
x
 
2
1
3
)lim
1
x
x x
d
x




17. 17
Límites en los que interviene el infinito ( )

2. Límites en el Infinito
Si “f(x)” puede hacerse arbitrariamente cercana a un número finito “L” tomando a “x”
suficientemente grande, entonces:
lim ( )
x
f x L



Ejemplo: Dada la gráfica para f(x), determine: )lim ( )
x
a f x

) lim ( )
x
b f x


18. 18
Ejemplo: Dada la gráfica para f(x), determine: )lim ( )
x
a f x

Límites en los que interviene el infinito ( )


19. 19
Operaciones con Infinito :
Límites en los que interviene el infinito
( )

( )

1.    
2. c   
3. c   
4. ( )( )
c   ( )( )
c  
( )( )
c
   ( )( )
c
  
5.
c


c


c


 c



6.
c


7.    
8.




20. 20
Ejemplos: Determine si los siguientes límites existen o no.
)lim (6 3)
x
a x


  
4 2
)lim 2 5
x
b x x

 
3
4
)lim
( 5)
x
c
x
 
) lim 4
x
d x


Límites en los que interviene el infinito ( )


21. 21
La Indeterminación


Ejemplos: Determine los siguientes límites.
2
) lim
10
x
x x
a
x



3
5
2
)lim
2
x
x
b
x
 

22. 22
La Indeterminación


Ejemplos: Determine los siguientes límites.
2
2
3 2 6
)lim
8 4 2
x
x x
c
x x

 
 
 
2
)lim
3 1
x
x
d
x



23. 23
La Indeterminación


Ejemplos: Determine los siguientes límites.
2
1
)lim
1
x
x
e
x



5 2
5
4 2 1
)lim
3 5
x
x x
f
x

 


24. 24
La Indeterminación   
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
)lim 3
x
a x x

 

25. 25
La Indeterminación   
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
2 2
1
)lim
1 2
x
x x
b
x x

 


 
 
 

26. 26
La Indeterminación   
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
2
)lim 2
x
c x x x

 

27. 27
Límites de Razones de Cambio
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h

 
Ejemplo: Sea , encuentre el límite de razón de cambio.
2
( )
f x x


28. 28
Ejemplos: Evalúe el límite de razón de cambio para cada una de las siguientes funciones.
Límites de Razones de Cambio
) ( ) 3 4
a f x x
 
1
) ( )
b f x
x


29. 29
Ejemplos: Evalúe el límite de razón de cambio para cada una de las siguientes funciones.
Límites de Razones de Cambio
) ( ) 3 1
c f x x
 

30. 30
Límites de Funciones Trigonométricas
Recordando:
0
lim
x
senx
x

Ejemplos: Determine los siguientes límites.
0
1 cos
)lim
x
x
a
x

 x
y

31. 31
Teoremas Fundamentales de Límites

32. 32
Límites de Funciones Trigonométricas
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
0
2
)lim
x
sen x
b
x


33. 33
Límites de Funciones Trigonométricas
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
0
4
)lim
x
sen x
c
x


34. 34
Límites de Funciones Trigonométricas
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
0
10 3
)lim
x
x senx
d
x


 
 
 
0
tan
)lim
x
x
e
x


35. 35
Límites de Funciones Trigonométricas
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
 
2
1
1
)lim
2 3
x
sen x
f
x x


 

36. 36
Límites de Funciones Trigonométricas
Ejemplos: Determine los siguientes límites.
 
2
0
1 cos
)lim
x
x
g
x


0
tan
)lim
x
senx x
h
x

