1. El documento trata sobre los conceptos básicos de límites en matemáticas, incluyendo definiciones de límite, límites laterales, propiedades de límites, límites infinitos y teoremas fundamentales sobre límites. 2. Se definen conceptos como límite de una función cuando x tiende a un valor, límites laterales, propiedades de límites como límite de suma, producto y cociente. 3. También se explican teoremas como el teorema de unicidad del límite, teoremas sobre límites de suma

1. Unidad 3: Limites
El limite de una function f(x) en el punto
es el valor al que se acerca las
imagines (y) cuando las originales las x se acercan al valor
es decir el valor al
que tienden las imagines cuando las originales tienden a
Limite de la function f(x)=
X
3.61
1.99
3.96
1.999
=2
F(x)
1.9
en el
.
3.996
1.9999 3.99960001
2
4
Se dice que la function f(x) tiene como limite el numero L cuando x tiende a , si
fijando un numero real, mayor que cero, existe un numero positive, dependiente
del numero real talque para todos los valores de x distintos a que cumpla la
compilacion /x-
/< R donde se cumplen el valor absolute de /f(x)-L/< R.
Podemos definer el concepto de limite con la sig. formula

2. Limites laterales
Diremos que el limite de f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda 0 es a.
Diremos que el limite de una function f(x) cuando x tiende a a por la derecha es 1
Ejemplo: F(x) -1 si x<2
4 si x>2

3. Propiedades de los limites
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una function

4. g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg,
etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
Tarea 1
Hallar los limites para
1.2.3.4.5.6.7.-

5. 8.-
9.-

9. Limites infintos
En matematicas el simbolo ∞ se lee infinito y se refiere a una
posicion dentro de la recta de numeros reales, no se representa
ningun numero real.
Si una variable dependiente x esta creciendo indefinidamente a
través de valores positivos, se escribe x→ - ∞ (que se lee: x tiende a
menos infinito).
Similarmente, cuando una funcón ƒ(x) crece indefinidamente y toma
valores positivos cada vez mayores, se escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece
tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ - ∞
EJEMPLO:

10. Limites infinitesimos
Definición
Infinitésimos equivalentes
Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes si el limx->af(x)/g(x) =
1limx->a f(x) = 0, limx->ag(x) = 0
f(x) es equivalente a g(x) <=> limx->af(x)/g(x) = 1
Varios de los límites tipo son límites de cocientes de infinitésimos y
valen 1. De ahí podemos establecer las siguientes equivalencias:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
L(1 + x) lim -------- = 1
=>
L(1 + x) equiv
x x->0
x
x->0
También: Lx equiv x
- 1 (Se deduce haciendo un cambio de
x->1
variable en la equivalencia 1)
ex - 1 lim ------- = 1
=>
ex - 1 equiv x x>0
x
x->0
x - 1 lim
a
------ = La
(a perteneciente a R+)
x - 1 equiv xLa x->0
=> a
x
x->0
sen x
lim ----- = 1
=>
sen x equiv x x>0 x
x->0
tg x lim ---- = 1
=>
tg x equiv x x->0
x
x->0
1 - cos x
1 lim ---------- = -=>
1 2/2 x->0
2
cos x equiv x
x
2
x->0
(1 + x)m - 1 lim ------------- = 1
=>
(1 +
m - 1 equiv mx x->0
x)
mx
x->0
n ______
n _____
|1 + x - 1
1
|1 + x - 1
lim ------------- = -- => lim ------------ = 1 x>0
x
n
x->0
x/n
n _____ => |1 + x - 1 equiv x/n

11. Teoremas fundamentales de los limites
Teoremas fundamentales sobre límites
En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para
ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que
permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para
determinar el límite de una función en un punto.
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)
Sea
una función definida en un intervalo
que
tal
.
Si
.
y
entonces
O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.
Prueba: Al final del capítulo.
Teorema 2
Si
entonces
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
son números reales

12. Determine cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:
a.
con
b.
con
,
en
en
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Teorema 3
Si
y es un número
real entonces se cumple que
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:

13. 1.
2.
Ejercicio:
Determine cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
Teorema 4
Si
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites indicados.
1.
2.
Teorema 5
entonces
.

14. y
son dos funciones para las que
y
entonces se cumple
que:
Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los
límites de cada una de las funciones.
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.
Teorema 6
Si
y
son dos funciones para las
que
y
entonces se cumple
que

15. Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las
funciones.
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
Corolario
Si
Observe que
entonces
(n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:
(n factores)

16. Ejemplos:
1.
2.
En particular, el límite de la enésima potencia de
de
es igual a la enésima potencia del límite
. Es decir
Ejemplos:
1.
2.
Teorema 7
Si
y
son dos funciones para las
cuales
onces se tiene que:
y
ent
siempre
que
Prueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad de funciones, y el
siguiente teorema.
Teorema 8

17. siempre que
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos de los teoremas 7 y 8
1.
2.
3.
(se aplicaron los
teoremas 2 y 4)
4.
(por teorema 7)
(por teorema 5)
(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)
5.
Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el
desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.
Ejercicio:

18. Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Teorema 9
Si
i.
si:
es cualquier número positivo.
ii.
es impar.
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Teorema 10
Si
,
entonces
se cumple alguna de las condiciones siguiente:
i.
es cualquier entero
si

19. positivo (
).
ii.
es un entero impar
positivo.
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Teorema 11
Si
,
y
son funciones tales
que
para todo
cierto entorno reducido
y
además
se cumple que
de
entonces
.

20. Prueba: Al final del capítulo.
El teorema anterior nos dice que si para
funciones que tienden a un mismo límite
próximo a
, entonces
, la función
está comprendida entre dos
también tiende a
.
Gráficamente podemos tener lo siguiente:
Por ejemplo, si
es una función tal que
y como
entonces se tiene que
Sea ahora
una función tal que
Se tiene que
Luego
Ejercicio:
Sea
Calcule
una función tal que
.