En éste artículo muestro cómo simplificar radicales anidados cuando son raíces cuadradas y también cómo desanidar raíces cuadradas.

1. Los Radicales Anidados
Realizado por: Jorge Gabriel Chié García
Los radicales anidados, también llamados jerarquizados, son
expresiones radicales que contiene en su interior otra
expresión radical. Como por ejemplo:
3 − √5
6 + 2√7
9 + 4√2 − 3√6
Simplificar este tipo de radicales, es algo complicado. En este
documento mostraré la forma de simplificar un caso especial
de estos radicales anidados: el caso de las raíces cuadradas.
Para el caso de raíces cuadradas, se asume que se puede
separar en suma de dos raíces cuadradas:
± √ = √ ± √
Lo que nos interesa, es encontrar expresiones algebraicas
para , y . Y también, de ser posible para y .
Hay que darse cuenta que la expresión anterior, puede ser
manipulada algebraicamente, de tal forma que:
± √ = + ± 2√
Al igualar términos semejantes, nos queda el siguiente
sistema de ecuaciones:

2. = +
= 4
Resolver ese sistema de ecuaciones, es relativamente fácil.
Por lo tanto, al despejar y , nos queda:
, =
± √ −
2
Entonces, hemos encontrado expresiones que permiten
simplificar una raíz cuadrada anidada en una suma de raíces
cuadradas.
Como muestra de que las fórmulas encontradas funcionan,
veamos dos ejercicios que ejemplifiquen lo antes mencionado.
Ejemplo 1.
Simplificar la siguiente expresión:
2 − √3
Aquí se observa que = 2, = 1 y = 3. Aplicando las
fórmulas, se tiene que:
, =
2 ± √2 − 1 ∙ 3
2
=
2 ± 1
2
Entonces:
=
3
2
=
1
2
Una vez calculado y , se sustituyen los resultados y
resulta que:
2 − √3 =
3
2
−
1
2
=
1
√2
√3 − 1 =
1
2
√6 − √2

3. Ejemplo 2.
Expresar en forma de raíces anidadas:
√5 + √7
En este ejemplo, vemos que ahora es el caso contrario: de
una suma de raíces pasarla a raíz anidada. También es algo
sencillo, porque para calcular :
= 5 + 7 = 12
El cálculo de y es también sencillo, mediante un pequeño
truco algebraico:
= 4 ∙ 5 ∙ 7 = 2 ∙ 35
Al expresar el resultado de esa manera, vemos que = 2 y =
35. Entonces, ya podemos expresar la suma de raíces como
una raíz anidada:
√5 + √7 = 12 + 2√35
Estas fórmulas son muy importantes, ya que permiten pasar
tanto de forma anidada a suma de raíces y viceversa. Este
tipo de raíces las encontramos en ecuaciones con radicales,
trigonometría, y también para resolver ecuaciones
polinómicas aparecen estos radicales.