El documento describe los Siete Problemas del Milenio elegidos por el Instituto Clay de Matemáticas para premiar con un millón de dólares a quien resuelva al menos uno de estos problemas. Brevemente describe cada uno de los siete problemas, que incluyen el problema P contra NP, la conjetura de Hodge, las ecuaciones de Navier-Stokes, la conjetura de Poincaré, la hipótesis de Riemann, la teoría de Yang-Mills y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Además,

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LOS SIETE PROBLEMAS DEL MILENIO
Los Siete Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de
Cambridge, Massachutsets (EEUU), el Instituto Clay de Matemáticas, para premiar con un
millón de dólares USA a quien resuelva al menos uno de estos problemas.
Por noticias de las ultimas semanas del mes de marzo de 2002, sabemos que un
matemático inglés, Martin J. Dunwody, de la Universidad de Southampton, afirma haber
resuelto completamente uno de estos problemas, concretamente el cuarto, la llamada
Conjetura de Poincaré, que, aunque habia sido ya resuelta en los casos de n > 3 por
algunos matemáticos (Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, etc..), se
mantenía inaccesible, curiosamente, para n =3.
El trabajo de Dunwoody puede verse en la dirección de internet
http://www.maths.soton.ac.uk/~mjd/Poin.pdf.
Los Siete Problemas del Milenio, brevemente enunciados, serían:
1. Problema P (dificil de encontrar) contra NP (fácil de verificar):
Este problema, planteado de manera independiente en 1971 por Stephen Cook y por
Leonid Levin se considera hoy dia el problema central de la computación teórica.
La cuestión es que existen, por una parte, problemas resolubles de manera determinista
mediante algoritmos polinómicos y en un tiempo polinomial, como puede ser, por ejemplo
la resolución de ecuaciones, la realización de sumas, productos, etc., pudiendo acotar el
tiempo de resolución, mas o menos largo, de una manera aceptable. Estos son los
problemas P.
Sin embargo, también existen problemas NP que pueden resolverse de forma
indeterminista probando una solución conjeturada. Esta comprobación es de una gran
rapidez en comparación con el tiempo polinomial necesario en general para la resolución
determinista de los problemas P.
Está claro que todo problema P es también NP, esto es, todo problema resoluble en
tiempo polinomial mediante un algoritmo adecuado (P), es también un problema que
admite una comprobación rápida (NP).
Pero, ¿y al revés?. ¿Existen problemas NP que no sean P?. Esto es, ¿existen problemas
que admiten una comprobación de solución o no solución conjeturada y, en cambio, no
admiten en tiempo polinomial una resolución algoritmica?
En el cálculo computacional pueden presentarse problemas en donde el número de
alternativas posibles para una determinada condición de proceso es tan grande que ni
siquiera con las supercomputadores existentes aún en nuestra tecnología se podrían
afrontar en toda la vida de un ser humano, pues no tendría para ello el suficiente tiempo
(es el problema P). En cambio, la verificación de que una determinada alternativa verifica
la condición de proceso es algo pràcticamente instantáneo (es el problema NP).

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Si, por ejemplo, queremos colocar 6000 libros en 200 estantes, de modo que se cumpla la
condición de que no estén juntos ciertos libros de diferente materia, nos encontramos que
el número de alternativas posibles podría superar al número de átomos de la Vía Láctea,
con lo cual, el determinarlas todas (problema P - difícil de encontrar) es precisamente eso,
muy difícil en la actual tecnología de la computación. En cambio, el verificar una de estas
alternativas como válida, cuando alguien conjetura una solución, (problema NP - fácil de
verificar) es inmediato.
En estos ejemplos, en los que el problema NP es comprobable de inmediato, pero el
problema P parece no existir, ¿se debe esto a que realmente el problema P no es posible
o bien que no se tiene la tecnología computacional adecuada para su resolución de forma
algoritmica en tiempo polinomial?
Esta es la pregunta no contestada que da consistencia al problema. Entre los ejemplos
actuales más candentes está el de la criptografía y la comprobación de claves
informaticas (NP) en contraposición al problema de generación algoritmica de tales claves
en un tiempo polinomial (P).
Puede verse una descripción detallada del problema, por Stephen Cook, de la
Universidad de Toronto.
2. La conjetura de Hodge:
Esta conjetura afirma que para ciertos espacios particulares denominados Variedades
Proyectivas Algebráicas, las partes llamadas Ciclos de Hodge son realmente
combinaciones de Ciclos Algebráicos.
Puede verse una descripción detallada del problema, por P. Deligne.
3. Ecuaciones de Navier-Stokes:
Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbulencias
en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente.
El desafío consiste en encontrar tal fundamentación.
Puede verse una descripción detallada del problema, por Charles L. Fefferman, de la
Universidad de Princeton
4. La Conjetura de Poincaré:
Para n ³ 3, la única superficie compacta, orientable y simplemente conexa es homeomorfa
a la esfera Sn. Esto es, la superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones
mayor que 2 puede contraerse hasta un único punto de forma continua, dicho de otro
modo, la superficie de una esfera es simplemente conexa.
Puede verse una descripción detallada del problema, por J. Milnor.
5. La Hipótesis de Riemann:

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Afirma la Hipótesis de Riemann que las partes reales de los ceros, a+bi, de la llamada
Función Zeta son siempre a = 1/2, es decir, están alineados. Esta función es
Puede verse una descripción detallada del problema, por E. Bombieri.
6. La Teoría de Yang-Mills:
La llamada Teoría de Yang-Mills describe las partículas elementales de la Mecánica
Cuántica, y sus Interacciones fuertes usando estructuras geométricas.
Estas descripciones teóricas han sido comprobadas experimentalmente en laboratorio y
también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe edificada una
teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas.
Puede verse una descripción detallada del problema, por Arthur Jaffe y Edward Witten.
7. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer:
Aún cuando ya sabemos que no existen métodos generales para resolver las ecuaciones
diofánticas tal como pedía el décimo de los problemas de Hilbert (demostrado en 1970 por
Yu. V. Matiyasevich), sin embargo, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que en
el caso de las soluciones de las ecuaciones diofánticas generales, cuando éstas son los
puntos de una variedad abeliana, el conjunto de los puntos que son soluciones racionales
de las mismas depende de la función zeta, z(n), asociada, de modo que si z(1) = 0, hay
infinitas soluciones, y si z(1) 0, el número de soluciones es finito.
Puede verse una descripción detallada del problema, por Andrew Wiles.