Números reales y digitalización de la materia

DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA

El Conjunto de los números Reales

Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma
decimal.
Ejemplos:
5=5,0
-8=-8,0
1/2=0,5
√3=1,7
2/3=0,6
3/5=0,6
Subconjuntos Importantes de los Reales
Los números naturales o de conteo ={1,2,3,…}
Los enteros no negativos ={0,1,2,3,…}
Los enteros ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Racionales {a/b} a y b son enteros y b ≠ 0

División para cero 3 casos
(CUALQUIER NÚMERO)/(DIFERENTE DE CERO)

(CUALQUIER NÚMERO)/(≠0)=Respuesta Única
12/3=4≡3×4=12
(≠0)/0=No Existe
12/0=t×0=12
0/0=indeterminación

0/0=√(3&1,3)≡√(3&1,3)×0=0
Respuesta Infinita

R = Reales
Q = Racionales
Q´ = Irracionales
Z = Enteros
F = Fraccionarios
N = Naturales

Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.
Ejemplos:
9/2=4,5
(-3)/8= -0,375

1/2=0,5
13/6=2,1666667
Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.
Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.
Ejemplos:
√2 =1,4142…
√3 = 1,73205…
π = 1,14159…
e = 2,718…

Observación y notación de intervalos
El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar
dos números reales cualesquiera.
Símbolo

Definición

Se Lee

a>b

a-b es positivo

a es mayor que b

a<b

a-b es negativo

a es menor que b

a≥b

a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que b

a≤b

a-b es negativo o cero

A es menor o igual que b

Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.
Recta numérica
Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.

-∞

-3

-2

-1

0

1

2

3

+∞

Recta numérica real
Intervalos acotados de números reales
Notación de Intervalo Tipo de Intervalo
a≤x≤b

[a,b]

Cerrado

(a,b)

Abierto a<x<b

[a,b)

Semi abierto a≤x<b

(a,b]

a

Notación de Desigualdad

Semi abierto a<x≤b

a

b

b

Los números a,b son extremos de cada intervalo.
Intervalos no acotados de números reales

Gráfico

Notación de Intervalo Notación de Desigualdad

Gráfico

[a, -∞) x≥a
(a,+∞) x>a
(-∞, +b]

x≤b

(-∞, +b)

X<b

Guía N°1
(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3
-1 < x ≤ 3

+∞

-∞

(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8

-3

8

X ≤ -7 x es menor o igual a -7
(-∞;-7]

-∞

+∞

Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes)
relacionadas mediante operaciones algebraicas.
Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.
Ejemplos:
-2x-x^2+ x-1
√(x-1)/(x^2-1)
〖5x〗^(1/3)- 5/x^2 +〖5x〗^(-3)
Términos:
Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)
Jerarquía de Operaciones de mayor a menor
Potenciación y radicación
Multiplicación y división
Suma y resta
Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.

Propiedades de los números reales
Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.
1.- Propiedad Conmutativa
Suma: u+v = v+u
Multiplicación: uv=vu
2.- Propiedad Asociativa
Suma: (v+v)+w= u+(v+w)
3- Propiedad de la Identidad
Suma: u+o=u

4.- Propiedad del Inverso:
Suma: u+(-u)
Multiplicación: u. 1/u = 1, u ≠ 0
5.- Propiedad Distributiva
Multiplicación sobre la suma:
U(v+w)=uv+uw
(u+v)w=uw+vw
Multiplicaciones sobre la resta
u(v-w)=uv-uw
(u-v)=uw-vw

Propiedad del inverso activo
Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.
Propiedad:

Propiedad

Ejemplo

–u(-u) = u
(-u) * v = u * (-v) = -(u*v)
(-u) * (-v) = u* v
(-1) * (u) = -u
– (u+v) = (-u) + (-v)

-(-2) = 2

(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12
(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10
-1* (10) = -10

-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16

Exponentes Enteros:
Si a es un número real y n es un número entero o positivo.
(a^n=a.a.a.a.a.a…….a)

Exponente
N veces a
a^n=b

Potencia n de a

base
Ejemplos:
2^3=2×2×2=8
(〖-3)〗^4=(-3)(-3)(-3)(-3)= 81
(〖1/3)〗^2=(1/3)×(1/3)= 1/9
〖-3〗^2=-3×3=-9
(〖-3)〗^2=(-3)×(-3)= 9
〖-4〗^3=-4×4×4=-64
(〖-5)〗^4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625
Exponente 0
Definición: Si a es un número real diferente de 0.
a^0=1
Ejemplos:
〖-27〗^0=1
7^0=1
0^0=no existe
Exponente Negativo
Definición: Si a es un número real y n un número entero.
a^(-n)=1/a^n

Ejemplos:
2^(-3)=1/2^3 =1/8
〖(-2)〗^(-2)=1/〖(-2)〗^2 =1/4
7^(-3)=1/7^3 = 1/343
8^(-2)=1/8^2 =1/64
Principales Teoremas de Exponentes
Teoremas
a^n+a^m=a^(n*m)
a^n/a^m =a^(n-m)
〖(a+b)〗^n=a^n×b^n
(〖a/b)〗^n=a^n/b^n
(〖a^n)〗^m=a^(n×m)
Guía N°2
Identifique la base. No calcule el valor
〖13〗^11=13
〖15〗^3=15
Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero.
(x^2.y^7)/(x^5.y^3 )=y^(7-3)/x^(5-2) =y^4/x^3
〖(x^(-3).y^3)〗^(-4)/((〖y^3.x^(-5))〗^(-5) )=(x^12.y^(-12))/(y^(-16).x^25
)=(x^12.y^(-12))/(x^25.y^(-15) )=y^(-12+15)/x^(25-12) =y^3/x^13
[(20a^7 b^6)/(ab^3 )][(2b^2)/(4a^3 b^8 )]=(20.2)/4×a^(7-1-3) b^(6+2-3-8 )=40/4 a^3
b^(-3)=〖10a〗^3 b^(-3)=〖10a〗^3/b^3
Notación Científica
Se dice que un número x está escrito en notación científica si x=b×〖10〗^n donde
1≤b<x
Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.
Ejemplos:

Gúgol = 〖10〗^100=1×〖10〗^100
Gúgolplex = 1^gúgol=1^(〖10〗^100 )
Gúgol dúplex = 1^(gugol plex)=1^(〖10〗^(〖10〗^100 ) )
8,571×〖10〗^3
0,000128=1,28×〖10〗^(-4)
0,0000000955015=9,55015×〖10〗^(-8)
Exponente Fraccionario
a^(m/n)=√(n&a^n )
Ejemplos:
2^(3/4)=∜(2^3 )=∜8
√2=2^(1/2)

Radicación
Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: √( n&a)=b≡a=b^n
√(n&a)=a^(1/n)
Ejemplos:
√(3&8)=2≡2^3=8
√25=5≡5^2=25
7^2=49≡√49=7
2^10=1024≡√(10&1024)=2
Definición de elementos de un radical
Índice De La Raíz

Cantidad Subradical
∛64=4→Raíz cúbica de 64

√(n&a)=b

Raíz n-sima de a

Simplificación de Radicales
Fundamento 1
√(n&a.b)=√(n&a).√(n&b)
Ejemplo.
√18=√(2.3^2 )=√2.√3=3√2
Factorización Numérica
18

2

9

3
3

1

1

2.3^2

Fundamento 2:
√(n&a)/√(n&b)=√(n&a/b)
Ejemplo:
∛4/∛2=√(4/2)=√2
Guía N°3
Evaluar las siguientes raíces.
√64=8
√(225/16)=√225/√16=15/4
-√(4/100)=√(1/25)=-√1/√25=-1/5
√(6〖xyz〗^6 ) √(5x^2 y^3 z^5 )
= z^3 √6xy.xyz^2 √5yz
= xyz^5 √(3xy^2 z)

= xy^2 z^5 √30xz
Guía N°4
√((150a^2 b)/c^2 )=√(6×5^2 a^2 b)/c=(5a√6b)/c
√x+√y+x+15√x=16√x+√y+x=16√x+x+√y
Racionalización de denominadores
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.
Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la
función.
Fundamento:
a/b=(a.c)/(b.c)

2/5=20.10/50.10=0,4
(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2
Guía N°5
1/√7=1/√7×√7/√7=√7/〖(√7)〗^2 =√7/7
√(100/x)=√100/√x=√100/√x×√x/√x=(10√x)/〖(√(x))〗^2 =(10√x)/x
(5√x)/(√x+5√y)=(5√x)/((√x+5√y))=((√(x+5√y) ))/((√x+5√y))=(5√x(√x+5√y))/〖(√x)〗^2
=(5x-25√xy)/(x-25y)

Simplifique la expresión
3√192-10√18-8√48
=3.2^2 √3-10.2.3√3-8.2√3
=24√3-60√3-32√3
=-68√3

√(63x^2 )/√(20y^3 )=√(3^2.7x^2 )/√(2^2.5y^3
)=((3x√(7)))/((2y√5y))×((2y√(5y)))/((2y√5y) )=(6xy√35y)/(4y^2 5y)=(3x√35y)/(10y^2 )

Polinomios
Expresiones Algebraicas
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las
relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.
Ejemplos:
〖3x〗^2+2x-5
〖-2x〗^3-1
1/2 x^2-x+√3
(5x-1)/(x^2-3)
〖4x〗^(-2)+9x-1
〖5x〗^3
3√x-1/x^(2/3) +6
√(x^2-4)/(2x+1)

Polinomios:
Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente
operaciones suma, resta o multiplicación.
Ejemplos:
3x.x+2x-5
–2x.x.x-1
1/2 x.x-x+√3
Forma general de un polinomio en la variable.
Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.
a_n x^n+a_(n-1) x^(n+1)+a_(n-2) x^(n+2)+⋯+a_0

Grado: n
Variable: x
Término Independiente: a_0
Coeficiente Líder: a_n
Tipos de Polinimios
Monomios:
Los polinomios que tienen un termino igual.
Binomios:
Los polígonos que tienen dos términos igual.
Trinomios:
Los polinomios que tienen 3 términos o igual.
Polinomios:
Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.

Guía N°6
f(x)=-8x^9+6x-7
Grado: 9
Coeficiente Líder: -8
f(x)=-14-6+8x^2-13x^3+7x^4
Grado: 4
Coeficiente Líder: 7
Término Independiente: -14
Variable: x

q^3-q-q^4+q^5-q^2×q^4+3
Grado: 5
Coeficiente Líder: 1
Término Independiente: 3
Variable: q
Operaciones con Polinomios
Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes
(términos que tienen igual su parte literal)
(5x-6)×(-3x+10)=5x-6-3x+10=2x+4=2(x+2)
(1/8 x^2+2/5 x^3-1/6 x+7)+(-5/8 x^4-1/5 x^3+1/3 x-9)
Guía n°6
Sume colocando un polinomio debajo del otro:
4/5 x^2-1/4 x-1/2 y 1/2 x^2+1/2 x+3/5
4/5 x^2-1/4 x-1/2 y
1/2 x^2+1/2 x+3/5

13/10 x^2+1/4 x+1/10
Multiplicación de Polinomios
a(b+c)=(ab)+(ac)
(b+c)a=(ab)+(ac)

3.(-a)b=(-ab)
4.a(-b)=-(ab)
5. (–a)(-b)=ab
6.(a)(b)=ab
Ejemplo:
Guía N°6

(-8x^2 y)(-4x^4 y^6 )=32x^6 y^7
(x+10)(x-12)=x^2-12x+10x-120=x^2-2x-120
Regla
Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.
Productos Notables
Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer
directamente sin realizar la multiplicación.
Algunos Productos Notables
(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2
Demostración
(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2
〖(a+b)〗^2=a^2+2ab+b^2
〖(a-b)〗^2=a^2-2ab+b^2

Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable.

Ejercicios Guía N°7
(x+13)(x-13)=x^2-13x+13x-〖16〗^2=x^2-169
Escriba el polinomio a

a
a^2+2ab+b^2

b

b

y
Escriba aquí la ecuación.

3y

20

〖3y〗^2+20y
14. (7x+1/7)(7x-1/7)=〖49x〗^2-1/49
15. (〖x-11)〗^2=x^2-22x+121
16. 〖(7x+1/7)〗^2=〖49x〗^2+(2.7x.1/7)+1/49
17.〖(4,1+5)〗^2=(4-1r)^2+2(4,1r)(s)+s^2=〖16.81r〗^2+8.2rs+s^2

FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS
Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en
productos.
Ejemplo:
Factorizar: x^2+xy=x(x+y)
Factor común:
Proceso:
Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ‖x‖.
Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada
término para el factor común.

GUÍA N°8
30x+15=15(2x+1)
〖12x〗^6 y^9+〖36x〗^4 y^6-28x^2 y^2=〖4x〗^2 y^2 (〖3x〗^4 y^7+9x^2 y^4-7)
x^2 (x-9)-(x-9)=(x-9)(x^2-1)
FACTOR
A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.
En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es
posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado.
Nota:
La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar
de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio.
Determine el factor común por agrupación
15. x^2+3x+4x+12
Forma a
=〖(x〗^2+3x)+(4x+12)

Forma b
(x^2+4x)+(3x+12)

=x(x+3)+4(x+3)

x(x+4)+3(x+4)

=(x+4)(x+3)

=(x+3)(x+4)

18. xy-10+2y-5x
(xy+2y)+(-10-5x)
=y(x+2)-5(x+2)
(x+2)(y-5)
TRINMIO DE LA FORMA x^2+bx+c
Procedimiento:

Se escriben dos paréntesis [(.

Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es ―x‖.
En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el
segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.
Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del
segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio.
Ejercicios:
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
x^2-x-35=(x- )(x+ )
El polinomio es primo por que no existen factores.
a^2-2ab-〖35b〗^2=(a-7b)(a+5b)

TRINOMIO DE LA FORMA 〖ax〗^2+bx+c
Procedimiento:
Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma x^2+bx+c
Simplificar la respuesta
Ejemplos:
42. 15x^2+26x+8
=(15(〖15x〗^2+26x+8))/15
=((15〖x)〗^2+26(15x)+120)/15
=((15x+20)(15x+6))/15
=(5(3x+4)3(5x+2))/15
=(3x+4)(5x+2)
Demostración:
〖15x〗^2+6x+20x+8
=〖15x〗^2+26x+8
41. 〖3x〗^2+13x-20

=(3(〖3x〗^2+13x-20))/3
=(〖(3x)〗^2+13(3x)-60)/3
=(3x+ )(3x- )
Solución:
El polinomio es primo no existen factores.
48. 〖21x〗^3-〖161x〗^2+98x
=7x(〖3x〗^2-23x+14)
=(7x[(3x)^2-23(3x)+42])/3
=(7x(3x-21)(3x-2))/3
=(7x.3(x-17)(3x-2))/3
=7x(x-7)(3x-2)

DIFERENCIA DE CUADRADOS
Fundamento:
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Ejemplo:
52. x^2-4=(x+2)(x-2)
57. 〖75X〗^2-48=〖3(25x〗^2-16)=3(5x-4)(5x+4)
59. 〖98a〗^2-〖32b〗^2=2(〖7a〗^2-4b)(〖7a〗^2+4b)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Ejemplo Guía N°9
u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)
u^3-v^3=(u-v)(u^2-uv+v^2)
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE
CORRESPONDE UN EJERCICIO
Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.
Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de
términos (cantidades separadas con signos + o -)Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de x^3, suma o diferencia de
potencia al cuadrado.
Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma
〖ax〗^2+bx+c.
Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.

Guía N°9
343-t^2=(7-t)(49+7t+t^2)
16k^3 m-40k^2 m^2-25km^3=km(16k^2-40km+25m^2)=km〖(4k-5m)〗^2
54x^4-250xy^3=2x(〖27x〗^3-〖125y〗^3 )=2x(3x-5y)(〖9x〗^2+15xy+〖25y〗^2)
xy+10x-8y-80=(xy-8y)+(10x-80)=y(x-8)+10(x-8)=
(x-8)(y+10)
xy-5yz+7z-35z=(xy+7x)-(5yz-35z)=x(y+7)-5z(y+7)=
(y+7)(x-5z)
〖8x〗^2+10x+12x+15=(〖8x〗^2+10x)+(12x+15)=2x(4x+5)+3(4x+5)=
(4x+5)(2x+3)

EXPRESIONES RACIONALES
Son expresiones de la forma polinomio/polinomio.

Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.
polinomio1/polinomio2
Ejemplos:
(x^2-1)/((x+2)(x-2))
(2x+1)/(x-3)
(x^2+x+1)/(x^2-1)
(〖2x〗^4-〖3x〗^3-1)/(x+5)
VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN
Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0
a 1 o más denominaciones.
Ejemplos:
(x^2-1)/(x-2) D=R-(2)
En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el ―2‖
(2x+1)/(x-3)
En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto ―3‖. D=R-(3)
(x^2+X+1)/(x^2-1)=(x^2+X+1)/((X+1)(X-1)) D=R-(1;-1)
(〖2X〗^4-3^3-1)/(X+5)
En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos x≠-5

Ejercicios propuestos por los estudiantes:
Guía 6:

(8X+10)-(Z+3)=8Z+10-Z-3=7Z+7
Guía 7:
(x+5)(2x+5)=4x^2+20x+25

5

2x

Guía 8:
20x^2 y^2+3xy^2-9y^2
〖=y〗^2 (20x^2+3x-9)
(〖=y〗^2.20(20x^2+3x-9))/20
=(y^2.(20x)^2+3(20x)-180)/20
=(y^2.(20x+15)(20x-12))/20
=(y^2.5(4x+3)4(5x-3))/20
y^2 (4x+3)(5x-3)
Guía 9:
〖1000y〗^3-343=(10y-7)(〖100y〗^2+70y+49)
〖54x〗^4-〖250xy〗^3
=2x(〖27x〗^3-〖125y〗^3 )
=2x(3x-5y)(9x^2+15yx+〖25y〗^2)

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Fundamento:
(P(X))/(D(X)).(T(X))/(T(X))=(P(X))/(D(X))
Ejemplo Guía N 10:
(y^3-343)/(y-7)=((y-7)(y^2+14y+49))/(y-7)
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Multiplicación:
Fundamento:
(P(X))/(D(X)).(T(X))/(Q(X))=(P(X)T(X))/(D(X)Q(X))
(4P-4)/P.〖4p〗^2/(9p-9)=4(p-1)/p.〖4p〗^2/9(p-1) =16p/9
〖3z〗^3/4.32/z^2 =24z
DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
(P(X))/(D(X)):(T(X))/(Q(X))=(P(X))/(D(X)).(Q(X))/(T(X))
〖2X〗^2/3:X^3/21=〖2X〗^2/3.21/X^3 =14/X
(Z^2+6Z+8)/(Z^2+7Z+12):(Z^2+2Z)/(Z^2+12Z+27)=((Z+4)(Z+2))/((Z+4)(Z+3)).((Z+9
)(Z+3))/(Z(Z+2))=(Z+9)/Z
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
a/c+b/c=(a±b)/c
a/b+c/d=(ad±cb)/bd
Proceso:
Para sumar y restar
Se factoran los denominadores.

Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el
producto de ellos.
Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada
resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.
Sumar y Restar
3/16-15/16=(3-15)/16=-3/4

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Pasos simplificados:
Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que
quede una fracción en cada uno de ellos.
Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.
Ejemplo:
(1/5+1/6)/(1/2+1/3)=((6+5)/30)/((3+2)/6)=11/25
((-1/2)/(-1/2-3))/(3/(1/4-4/(1-0.5)))=((-1/2)/(-7/2))/(3/(-1/4-4/(1/2)))=((-1/2)/(7/2))/((3/1)/(-31/4))=(-1/7)/(-12/31)=31/84
NÚMEROS COMPLEJOS

Ejemplos:
∝=2+3i
β=-1+5i
∈=-3-1/2 i
7i
4
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
a+bi=c+di≡a=c y b=d

Ejemplo: Guía N° 13
18. 2+3i=x+yi≡x=2 y 3=y
19. 6+yi=x-6i≡6=x y y=-6
20. (-2-7i)-3=x-(-1y+i)
-2-7i-3=x+1-yi
-5-7i=x+1-yi
-5=x+1≡-7i=-yi
-6=x≡-7=-y
-6=x≡7=y
OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Suma y Resta con números complejos:
Para sumar o restar números complejos, se simplifican términos semejantes.
Ejemplos Guía Número 13:
(9-5i)+(8+9i) = 9-5i+8+9i = 17+4i
(4+5i)-(2+i) = 2+4i
5i+(-9-i) = 5i-9-i = 4i-9
(5-i)+(6—6┤=5-i+6—6=11-i-(√6×√(-1))=11-i-√6 i
=11-i(1+√6)=11-(1+√6)i
(-7+5i)-9= -7+5i-9=-16+5i
(i^2+3)-(9+i^3 )=-1+3-9+i×i^2=-1+3-9+i(-1)=-1+3-9+i
=-7+i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Se multiplica como el producto de 2 binomios cualesquiera, se toma en cuenta i^2=-1

Ejemplo Guía Número 13
4i(3-8i)
=12i〖-32i〗^2
=12i-32(-1)
=12i+32
=32-12i
-3i(-4-8〖i)〗^2
=-3i[(〖-4)〗^2-2(-4)(8i)+(〖8i)〗^2]
=-3i[16+64i-64]
=-3i(-48+64i)
=144i-192i^2
=144i+192
=192+144i
(√15+9i)(√15-9i)
=(√15)^2-(9〖i)〗^2
=15-〖81i〗^2
=15+81
=96
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Conjugado: α=a+bi,α´=a-bi

Ejemplos:
(6-7i)/(5+2i)=((6-7i))/((5+2i) )×((5-2i))/((5-2i) )
=(30-12i-35i+〖14i〗^2)/(25-10i+10i-〖4i〗^2 )
=(30-47i-14)/(25+4)

=(16-47i)/29
=16/29-47/29 i

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes)
relacionados mediante operaciones algebraicas. (Suma, resta, multiplicación y división).
Ejemplos:
〖2x〗^3-x^2-x-1
√(x-1)/(x^2+1)
〖5x〗^(1/3)-5/x^2 +〖5x〗^(-3)
〖7y〗^2-x^2
Nota: Los términos son cantidades separadas por signos ‗+‘ o ‗-‘.
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado:
Son ecuaciones de la forma ax+b=0 donde a y b son números reales y a diferente de 0.
Ejemplos:

5x-3=0
3m+1/2=0
√2 (a)-7=0
-2y+4=0
Resolución de una ecuación de primer grado:
Fundamento:
x+a=0≡x0-a
x-a=0≡x0a
ax=1≡x=1/a

x/a=1≡x=1.a≡x=a
Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma
ax+2=0
Se despeja a x=(-b)/a

Ejercicios Guía N° 14
8x-10=14
8x=14+10
x=24/8
x=3 Si satisface la ecuación.
10k-604
10k=4+6
k=10/10
K=1
C=2πr
r=c/2π
4-(x+5)=2(2x-4)

despeje:x=7/5

4-x-5=4x-8
-1-x=4x-8
-x-4x=-8+1
-5x=-7
x=7/5
INECUACIONES DE PRIMExR GRADO
Son desigualdades de la forma ax+b<0;ax+b≥0.1
ax+b>0
Fundamentos:

x+a>0≡x>-a
x-a>0≡x>a
ax>1,(a>0)→x>1/a
ax>1,(a<0)→x<1/a
x/a>1,(a>0)→x>a
x/a>1,(a<0)→x<a
-a>-b≡a<b (-1)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación, hasta dejarle en la forma
ax+b>0
Se despeja x
3x-2>0
3x>2
8x>2/3
Solución: (2/3;∞)
Gráfica

–2x+4≥0

-2x≥-4
x≥(-4)/(-2)
x≤2
Solución: (-∞;2)
Gráfica:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:
|x|≤a≡-a≤x≤a
|x|≥a≡x≥a o x≤-a
Ejemplo:
Resolver: |2x-3|≤5
≡-5≤2x-3≤5
≡-5+3≤2x≤5+3
≡-2/2≤x≤8/2
≡-1≤x≤3 intevalo acotado
Solución: [-1,4]

Gráfica
∞-

∞

|b-7|-3>2≡|b-7|>5
≡b-7>5 v b-7<-5
b>12 v b<2
Solución: (12;∞)U(-∞;2)
=(∞;2)U(12;-∞)
Gráfica:

-∞

2

12

+∞

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Fundamento:
|x|≤a≡-a≤x≤a
|x|≥a≡x≥a o x≤-a
Ejemplo:
Resolver: |2x-3|≤5
≡-5≤2x-3≤5
≡-5+3≤2x≤5+3

≡-2/2≤x≤4 Intervalo acotado
Solución=[-1,4]
Grafica:

-1

4

-∞

∞

|b-7|-3>2≡|b-7|>5
≡b-7>5> v

b-7<-5

≡b>12 v b<2
Solución:(12,∞)U(-∞,2)
=(-∞,2)U(12,8)
Gráfica:

2

12

-∞

∞

|(x-7)/3|≥3
(x-7)/3≥3 v (x-7)/3≤-3
x-7≥9 v x-7≤-9
x≥16

v

x≤-2

Solución:(-∞,-2)U(16,∞)
Gráfica:

-∞

-2


16

∞

Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.
x^2=-6x+16
x^2+6x-16=0
x=-8

x=2

S=(-8,2)
13x^2=2X
13x^2-2x=0
x(13x-2)=o
x=0

x=2/13

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la propiedad de la raíz
cuadrada.
〖5x〗^2=20
x^2=20/5
x=±√4
x=±2
x=2

x=-2

Solución:(2,-2)
(4x+3)^2=7
√((4x+3)^2 )=±√7
4x+3=±√7
4x=±√7-3
x=±(√7-3)/4
x={(-3+√7)/4,(-3-√7)/4}
Resolver la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto.
x^2+4x=3
x^2+4x+4=3+4
(x+2)^2=7

x=±√7+2
x=-2+√7

x=-2-√7

Solución:{-2+√7,-2-√7}
x^2-12x-5=0
x^2-12x+36=5+36
(x-6)(x-6)=5+36
(x-6)^2=41
√((x-6)^2 )=±√41
x-6=±√41
x=-6±√41
x=6+√41

x=6-√41

Gráfica de una operación cuadrática en 2 variables
Fundamento:
Forma de la ecuación.
y=〖ax〗^2+bx+c
La gráfica siempre es una parábola.
Si ―a‖ es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba.

Si ―a‖ es negativa:

La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula.

x_v=-b/2a

y=x^2+6x+8
a=1; b=6; c=8
a es positiva, la parábola se abre hacia arriba.
a=1>0
Solución Algebraica
x_v=-b/2a
x_v=-6/2
x_v=-3
y_v=〖ax〗^2+bx+c
y_v=1(-3)^2+6(-3)+8
y_v=9-18+8
y_v=-1

v=(-3,-1)
Intervalos con el eje X
y=0
0=x^2+6x+8
0=(x+4)(x+2)
x=-4

Gráfica:

x=-2

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real ―a‖ se representa |a| y se obtiene de la siguiente
forma |a|={a,si a≥0; -a,si a<0}
Ejemplo:
|5|=5
5=5

|–7|=-(-7)
7=7
Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si la ecuación no tiene soluciones.
|x|=7
x_1=7
x_2=-7
Solución=(7,-7)
Comprobación:
|7|=7
|-7|=7
7=7;

7=7

Nota: En el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución
necesariamente.

18. |1/2+2|=|3/4 x-2|
|1/2+2|/|3/4-2| =|3/4 x-2|/|3/4 x-2|
|(1/2 x+2)/(3/4 x-2)|=1
|((x+4)/2)/((3x-8)/4)|=1
|(2x+8)/(3x-8)|=1
(2x+8)/(3x-8)=1≡2+8=3x-8≡x_1=16

(2x+8)/(3x-8)=-1≡2x+8=-3x+8≡x_2=0
Solución:{16,0}
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolver:
|x-2|=3
Solución Algebraica:
|x-2|=3
x-2=3≡x_1=5
x-2=-3≡x_2=-1
Solución:{5,-1}

Solución Gráfica:
Igualamos a Y
y=|x-2|
y=3

ECUACIONES RACIONALES
Fundamento:
Se debe excluir a la situación los valores de x que dan divisiones a ‗o‘.

Inecuaciones Polinomiales:
Son ecuaciones de la formula P(x)<0,P(x)≥0 o P(x)≤0 donde P(x) es un polinomio.
Ejemplo:
(x+5)(x+3)
(2x-3)(x-2)(x+1)(x-4)≤0
x^3-x^2-3x+3≥0
Solución de una inecuación polinomial.
MÉTODO ABREVIADO
El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparadas con ‗o‘ en las que
todas las variables tienen coeficientes positivos.
Procedimiento:
Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen ‗0‘ a cada factor de
pimer grado, con lo que la recta numérica queda divide en intervalos.
Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda, iniciando por el ‗+‘, ‗-‗.
Se describe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos,
según la inecuación sea >‘0‘ o < ‗0‘. Cuando es ≤0 ≥ se incluyen los extremos de los
intervalos.
Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta
y pueden ir omitidos.

Materia MAT-110

Números Complejos
Los números complejos son expresiones de la forma a+b con a,b∑R y la expresión
cumple lo siguiente:
=

=-1

Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5. 4
Forma estándar:

Real

Compleja

Igualdad números complejos

Guía N°13
18.

19.

20.

Operaciones con números complejos
Suma y resta de números complejos:
Para sumar o restar números complejos se simplifican números semejantes:

Ejemplo:
1.

4.

—

6.

Multiplicación de números de complejos:
Se multiplica como el producto de dos binomios cualesquiera y se toma en cuenta:

8.

10.

División de números complejos:
Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Conjugada=
29.

=

Ecuaciones y desigualdades

Funciones lineales en una variable(primer grado):
Son ecuaciones de la forma

donde a y b son números reales y

2ndo miembro de la
ecuación

1er miembro de la
ecuación

Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Resolución de una ecuación de primer grado:
Fundamento:
1.
2.
3.
4.
A) Se realiza las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarlo en la forma

b) Se despeja
Guía N°14:
Determine si el valor dado es solución de la ecuación.
1.

Si satisface

3.

Si Satisface

.

4.

Si Satisface

17.

Inecuaciones de primer grado en una variable:
Son desigualdades de la forma
1er miembro de la
ecuación

2ndo miembro de la
ecuación

- Fundamentos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. –
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Resolución de inecuaciones de primer grado con una variable:

1. Se realizan las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarle en la
forma
.
2. Se despeja x.
Ejercicio Ejemplo:
1.

2.

-

-

Inecuaciones con valor absoluto:
Fundamentos:
1.
2.
Ejemplos:
Resolver:
|

8.

11.

Guía N°15:
Resolver:

Ecuaciones Cuadráticas
- Guía N° 16:
a. Resolver las ecuaciones cuadráticas por factoreo:
3.

6.

b. Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la raíz
cuadrada.
9.

14.

c. Resolver completando el trinomio cuadrado perfecto.
17.

20.

d. Resolver la ecuación cuadrática con la fórmula general.
21.

Gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables
-

Fundamentos:
1. Forma de la ecuación

-

La gráfica siempre es una parábola
2. Si es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba

3. Si

es negativa entonces la parábola se abre hacia abajo

4. La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula.

-

Guía N° 17:

1.

-

a es positiva por lo que la parábola se abre hacia arriba
Solución algebraíca:

-

Interceptos eje x

Interceptos:

3.

a es negativa por lo que la parábola se abre hacia abajo

-

-

6.


Interceptos en el eje x

-


-

Interceptos en el eje x

NO HAY INTERCEPTOS EN EL EJE X

Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número real ―a‖ se representa tal y se obtiene de la siguiente
forma:

-

Ejemplos:
1. |5|=5
5=5
2. |-7|=7
7=7

Resolver la ecuación en valor absoluto o determine si no hay soluciones
10.

Comprobación:

13.

17.

18.

Comprobación:

|

Solución de ecuaciones con valor absoluto
Resolver:

Solución algebraica:

Comprobación:

Solución Gráfica:
1. Igualamos a y

Tabla 1:
X
y

-2
4

-1
3

0
2

1
1

2
0

3
1

4
2

5
3

6
4

Tabla 2:
X
y

-2
3

0
3

2
3

3
3

4
3

5
3

-

Ecuaciones racionales

Fundamento:
Se debe excluir de la solución los valores de x que dan divisores para 0

6
3

Inecuaciones Polinomiales:
Son inecuaciones de la forma
polinomio.

donde

es un

Ejemplos:
1.
2.
3.
Solución de una inecuación polinomial:
-

Método Abreviado:
El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparados con 0 en
los que todas las variables tienen coeficientes positivos.

Procedimiento:
1. Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen 0 a cada factor, con lo
que la recta numérica queda dividida en intervalos
2. Se colocan signos o los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el ―+‖,‖-―
3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según
la inecuación sea >0 o <0. Cuando es
se incluyen los extremos de los
intervalos
Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o a potencias pares no influyen en la
respuesta, pueden ser omitidos.
Guía N°18:
1.

44

5.

12.

Guía N° 20
Determinar los valores para los cuales la función polinomial es: a) =0 b)>0 y
c) <0.
6.

-1

a.
b.
c.

1.
a.

b.

C.

3.
a.

b.

9

+

c.

Guía N° 21
Determinar los valores de x para los cuales la función racional es :a) igual a 0, b)f(x)
indefinida, c)f(x) mayor a 0 d)f(x) menor que 0
1.
a.

b.

c.

c.

d.

Guía N° 25:
a. Divida el número 60 en 2 partes tales que de la primera más
sumen 10.

Datos
Número=60
Primera parte=x
Segunda parte=60-x9

de la segunda

y. El propietario de un edificio de 60 departamentos puede rentarlos todos si cobra 180
dólares mensuales. A un precio mayor, algunos departamentos permanecerán vacios, en
promedio, por cada incremento de 5 dólares en el precio, 1 departamento quedará
vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre cuánto que debe cobrar por cada
departamento para obtener un ingreso total de 11475 dólares y cuántos departamentos
rentará.

Datos
Número de departamentos vacios=x
Número total departamentos=60
Precio por cada uno= 180
Planeamiento y resolución
Ingreso total=(número de departamentos en arriendo)(Precio de arriendo)

Cobro de departamento:
1era Sol=

2nda Sol=

Guía N°30:
1)

Geometría Analítica
La línea recta:
Ángulo de inclinación de la recta: Es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje x
(sentido anti horario es positivo)

Ángulo de
inclinación

+

Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se
representa con la letra m.
Guía N° 31:
Hallar la pendiente con los dos puntos dados:
5.

6.

9.

11.

1. Ecuación de la recta forma punto y pendiente
Se conoce un punto

y la pendiente m

Hallar el punto y pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto
una pendiente m=2

y

2. Ecuación de la Recta dados dos puntos
Procedimiento:
1. Hallar m
2. Aplicar fórmula punto y pendiente
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1,-2) y (3,1)

Solución Gráfica:

3. Ecuación de la recta de pendiente ordenada en el origen

abscisa

ordenada
b

Guía N° 31
Determine la pendiente y el corte con el eje y para la recta de la ecuación dada:
17.

Intercepto con y

22. –

Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas

-

Rectas Perpendiculares

Guía N° 32:
3.

5.

Circunferencia

Esta formada por todos los puntos que se encuentran a una distancia igual a
―r‖(radio del centro de la circunferencia)

r
(h,k)

Datos

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia de C=(-2,2) r=3

Guía N° 33
1. Determinar la distancia entre los puntos

4. Determinar la distancia entre P1 y P2

Coordenadas del punto medio
Dado el segmento
medio es

entre los puntos

están dados por

Ejemplo:
Hallar el punto medio del segmento A=(-3,-2) y B(4,1)

las coordenadas del punto

Ecuación de la Parábola

Guía N°35
6.

7.

Guía N°36:
1.

Eje de Simetría
Determinar el eje de simetría de la función
16.

Eje de simetría
X=-5
24.

Función Exponencial

La función exponencial (f) es toda función de la forma

donde a>0, b>0 y b

La constante a es el valor inicial de f (el valor en x igual a 0), a es el valor inicial de f(el
valor en x=0) y b es la base
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
6.

2

Comportamiento de la gráfica
-

Caso A

La función es creciente = Si x aumenta la y también aumenta

-

Caso B

La función es decreciente= Si x aumente la y disminuye
Guía N°38
3.

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