1. 1/1/2014
Msc.

2. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
El conjunto de los números reales
Definición:
Un número real es cualquier número que se puede representarse en forma decimal.
Ejemplos:
1) -8=-8,0
2) =0,5
3)
=1,7
4) = 0,
5) = 0,6
Subconjunto importante de los números reales
Números naturales o de conteo {1,2,3,….}
Los enteros {0,1,2,3}
Los racionales { l son enteros y b 0}
División para 0 tres casos:
1)
: respuesta única
2)
= no existe
3)
=t
=4
4x3= 12
t x 0= 12 no existe
= inconclusa
Z+=
Z= enteros
Q= racionales
R
={0
Z-=
fraccionarios
Q´= irracionales
Página 2
N=

3. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Un número irracional en cambio, la forma decimal ni termina ni es periódico.
Ejemplo:
=1,4142…2.
1.
=1,73205…
3. =3,14159…
e=2,718…
Observación.- Por computadora se han extraído 20 cifras decimales ni terminan, ni hay
períodos que el ordenador pueda encontrar del número π.
Orden y notación de intervalos.- El conjunto de los números, reales está ordenado. Esto
significa que podemos comparar 2 números reales cualquiera.
Son desigualdades:
Símbolo
a >b
a <b
a ≥b
a≤b
Definición
a -b positivo
a -b negativo
a -b es positivo o “0”
a - b es positivo o “0”
Se lee
a es mayor que b
a es menor que b
a es mayor o igual que b
a es menor o igual que b
Intervalos acotados de números reales:
Notación
Intervalo
[a,b]
de Tipo de intervalo
Cerrado
Notación
desigualdad
a≤x≤b
(a,b)
Abierto
[a,b)
(a,b]
de Gráfico
a
b
a<x<b
a
b
Semiabierto
a≤x<b
a
b
Semiabierto
a<x≤b
a
b
Intervalos no acotados de números reales:
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4. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Notación
Intervalo
[a,+∞)
de Tipo de intervalo
Semiabierto
Notación
desigualdad
x≥a
(a,+∞)
Abierto
x>a
(-∞,b]
Semiabierto
x≤b
(-∞,b]
Semiabierto
x<b
de Gráfico
a
+∞
a
+∞
-∞
b
-∞
b
Cada uno de estos intervalos tiene:
Recta numérica. Resulta asociar los puntos de una recta con los números reales, es un
conjunto de punto.
-∞
+∞
Ejemplo Guía N°1
Describa en palabras y grafique los intervalos de números reales.
4) (-1;3) x es mayor que -1 y menor o igual que 3
7) (-2;4]
-2< x ≤ 4
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5. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
11) x ≤ -7
(-∞,-7]
x es menos o igual que 7
-∞
14)
+∞
[-4;+∞)
x≥4
Expresiones Algebraicas:
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las
operaciones algebraicas suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Propiedades Algebraicas
1) Propiedad Conmutativa:
Suma:
u+v=v+u
Multiplicación:
u v=v u
2) Propiedades Asociativas:
Suma:
(u + v) + w = u + (v + w)
Página 5

6. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Multiplicación:
(u v) w = u (v w)
3) Propiedad Indefinida:
Suma:
u+0=u
Multiplicación:
u.1=u
4) Propiedad del Inverso:
Suma:
u + (-u) = 0
Multiplicación:
u . = 1, u ≠ 0
5) Propiedad Distributiva:
Multiplicación sobre la suma: u(v + w) = uv + uw
(u + v)w = uw + vw
Multiplicación sobre la resta:
u(v – w) = uv + uw
(u – v)w = uw – vw
Términos:
Propiedad del Inverso
Aditivo
Sea u,v números reales, variable o expresión algebraica.
Propiedades
1.
2.
3.
4.
5.
–(-u) = u
(-u)v=u(-v)=-uv
(-u)(-v)=uv
(-1)u=-u
-(u+v)=(-u)+(-v)
Ejemplos
–(-3) = 3
(-4)3=4(-3)=-(4.3)=-12
(-6)(-7)=6.7=42
(-1)5=-5
-(7+9)=(-7)+(-9)=-16
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7. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Exponentes enteros
Si a es un números real y n es entero y positivo entonces:
= a. a. a…
N veces a
=b
a=base: n=exponente: b= potencia n de a
Ejemplos:
= 2.2.2=8
(
)= (-3)(-3)(-3)(-3)=81
2=
Exponente 0:
Si a es un número real diferente de 0
Ejemplos:
1)
2)
3)
=1
=1
= no existe
Página 7

8. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Exponente negativo
Si a es un número real y n un número entero
Ejemplos:
1)
2)
3)
Principales teorías de los exponentes:
1)
2)
=
3)
4)
5)
Ejercicios guía número 2:
1)
2)
3)
4)
=
Página 8

9. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Notación científica
Definición:
Se dice que un número x está escrito en notación científica si x es igual
a x= b
1
Y es un entero esta notación sirve para realizar la operación muy grande o muy pequeña:
Ejemplos:
1)
2) 0.000128=1.28
3) 0.0000000955015= 9.55015
Exponente fraccionario
Ejemplos:
=
1) Definición de raíz n-simas
2)
3)
=2
4)
5)
6)
=5
=49
=1024
Definición de elementos de un radical
=b
Ejemplos:
=4
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10. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Simplificación de radicales
Fundamento uno:
Raíz de n-sima de a b
Ejemplo factorización de números
=
=
=3
Fundamento dos:
=
Ejemplos:
=
=
Operaciones de radicales
Suma y resta de radicales
Fundamentos: para sumar o restas de radicales se simplifica los radicales semejantes que
son los que tienen iguales índice e igual cantidad su radical.
Ejemplos:
=-7
=
9
5
15
Fundamento uno
=
Fundamento dos
=
Ejemplos:
=
=
Página
10

11. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
=8
=
=
Escriba en forma exponencial
=
Simplifique:
7)
=
=7
14.
=
=x
Racionalización de denominadores:
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en el denominador de una respuesta.
Para eliminar un radical de un denominador se debe no alterar el valor de la fracción
Fundamento:
Ejemplos
Ejercicio Guía No. 8
Determine el factor común de las siguientes expresiones
1) 30x+15=15(2x+1)
10)
16)24
Página
11

12. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
25)24cx-12cy-16gx+8gy
=(24cx-12cy)-(16gx+8gy0
=12cy(2x-y)-8g(2x+y)
=(2x-y)(12c-8g)=(2x-y)4(3c-2g)
=4(3c-2g)(2x-4)
Trinomio de la forma
1) Se escriben 2 paréntesis ()()
2) “”x en ambos paréntesis en este caso lavariable correspondiente es x.
3) En el paréntesis se escribe el signo del 2 término del trinomio y en el
segundo paréntesis se escribe el signo del tercer término del trinomio.
4) Se busca 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del
segundo termino
31) 7x-60+
=
=(x+12)(x-5)
19)
A
b
B
b
B
20)
Y
3y
10x
25
3
10x
4
3y
26
30) (2x+5) (2x-5)=
=4
Página
12

13. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Polinomios
Expresión algebraica._ una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables),
números (constantes) relacionados mediante las operaciones algebraicas. (suma, resta,
multiplicación, división, potenciación, radicación.)
Ejemplos:
1)
+2x-5
2) -2 -1
3)
4)
5)
6) 3
- +6
7)
Polinomios:
Definición.- son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones
suma, resta, multiplicación, etc.
Ejemplos:
1. 3.x.x.x+z-5
2. -2x.x.x+1
3.
x. x. x+
Forma general de un polinomio en una un polinomio en una variable
Un polinomio en la variable X tiene la siguiente forma
Ordenado ascendente o descendente
Grado= n
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13

14. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Variable= x
Termino independiente=
Coeficiente:
Coeficiente líder:
Tipo de polinomios
Monomio: polinomio que tiene un término
Binomio: polinomio que tiene 2 términos
Trinomio: polinomio que tiene tres términos
Polinomio: polinomio que tiene más de tres términos
Guía 6:
1. F(x)= -8x+6x-7
Grado del polinomio=
Coeficiente líder = 8
4. F(x) = -14-6x+8 -13 +7
Grado del polinomio= 4
Coeficiente líder= 7
11.
-q-
+
-
+
-
-q+3
-q-
+3
Suma y resta: para sumar o restar polinomios se simplifica los términos semejantes
(términos que tienen igual su parte literal)
Ejemplos guía 6:
Sumar
12. (5x-6) (-3x+10)
=-2x+4
15. -7 +9
+5 – 6
=7 3 + 9x3 +5x2
=-11 +15
-6x2
Página
14

15. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Multiplicación de radicales
16.
=
+
=
Multiplicación de polinomios
Fundamento:
1.
2.
3.
4.
5.
a(b + c)= (a. b) + (a. c)
(b + c)a= (b. a) + (c. b)
(-a)b= (a. b)
(a)(b)= ab
(a)(b)= ab
Guía 7
26) (-8
y) (-4
37) (x+10)(x+12)=
)= 32
-2x-120
Regla: se multiplica cada término de un polinomio por cada termino del otro polinomio
PIES
Productos notables:
Existe en el algebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede escribir
directamente sin resolver las multiplicaciones.
Ejemplos:
Algunos productos notables
1. (a+b)(a-b)= 2.
= +ab+
Nota: las variables a.b pueden ser expresiones algebraicas no solo una variable
Ejemplos guía 7:
8. (x+13) (x-13)
Página
15

16. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
=
+169
13. (3x+2,4) 3x-2,4)
=9
-5,75
20.
=
-22x+121
22.
=4
+4x+1
25.
=81
+2x-
26.
=
+14,6x+53,29
29.
49
-56xy+16
Guía 8
16) 24
= (24
= 4x(6x-5y) + 5y(6x-5y)
= (6x-5y) (4x+5y)
25) 24cx-12cy-16gx+8gy
= (24cx-12cy) – (16gx-8gy)
= 12c(2x-y) – 8g(2x-y)
= (2x-y) (12c – 8g)
= (2x-y) 4(3c – 2g)
= 4(3c – 2g) (2x-y)
Página
16

17. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
36)
= 6(
=6(x-3) (x+2)
39)
=
(
-2y-15)
=
59) 98
=2(49
=2(7
51) 20
=
(20
(
+3
-9
+3x-9)
=
=
=
=
Guía 9
13) xy+10x-8y-80
= (xy+10x)-(8y-80)
= x (y+10)-8(y-10)
= (y+10) (x-8)
29) 875
=
=7
Página
17

18. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Trinomio de la forma
+ bx + c
1) Se escriben dos paréntesis.
2) Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es x.
3) En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el
segundo paréntesis el producto de los signos del segundo por el tercer término del
trinomio.
4) Se busca dos números que sumados algebraicamente del el coeficiente del segundo
término y que multiplicados den el tercer término del trinomio.
31) 7x – 60 +
=
+7x – 60
= (x+12) (x-5)
39) 3
=3
=3
(y-5)(y+3)
Trinomio de la forma
+ bx + c
1) Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
2) Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma
+ bx + c.
3) Simplificar la respuesta.
41)
=
=
Página
18

19. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
El trinomio es primo no existen factores.
42) 15
=
=
=
=
=
50) 4
=
=
=
=
=
=
Diferencia de cuadrados:
Fundamentos:
52)
56)
Página
19

20. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
57)
Suma y Diferencia de cubos:
Fundamento:
Ejemplos:
Guía 9:
1)
2)
= (u + v) (
)
Ejercicio Especial
Operaciones:
Página
20

21. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Página
21

22. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Operación de respuesta:
Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un
ejercicio
1) Factor común: Si no hay factor común contar el numero de términos( cantidades
separadas con signos “+” y “-“)
2) Si es solo un término: Ya esta factorado
3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o
diferencia de potencias iguales
4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma
Y trinomio de la forma
5) Sin son 4 o más términos: Factor común por agrupación
Expresiones Racionales
Son expresiones de la forma:
*
Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir:
*
Página
22

23. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
Valores excluidos del dominio de una fracción
Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1 o
más denominadores
Ejemplo:
En el ejemplo 1, el dominio son todos los números reales excepto el “2”
En el ejemplo 2, el dominio todos los reales excepto el “3”
En el ejemplo 3, el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1”
En el ejemplo 4, el dominio todos los reales excepto “-5”
Procedimiento para terminar el caso de factorización al que corresponde un
ejercicio:
1) Factor común: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades
separadas con signos “+” y “-“
2) Si es un solo termino: Ya está factorado
3) Sin son 2 términos: Diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, suma o
diferencia de potencias iguales
4) Si son 3 términos: Trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma
5) Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación
Página
23

24. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Expresiones de racionales
Son expresiones de la forma:
Son fracciones que resultan de dividir dos polinomios, es decir tienen la forma:
Ejemplos
1)
2)
3)
4)
Valores excluidos del dominio de una fracción
Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de una variable que hagan 0 a 1
o más denominadores
En el ejemplo 1: el dominio son todos los números reales excepto el “2”
En el ejemplo 2: el dominio son todos los reales excepto el “3”
En el ejemplo 3: el dominio todos los números reales excepto el “1 y -1”
En el ejemplo 4: el dominio todos los números reales excepto “-5”
Ejemplo de la Guía 10
9)
Página
24

25. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
10)
Simplificación de expresiones de racionales
Fundamento:
En una fracción ( expresión racional) solo se pueden simplificar factores iguales en el
numerados y en el denominador de la misma
Simplifique
=
Operaciones con expresiones racionales
Multiplicación:
Fundamento:
Ejemplo Guía 11
12)
13)
División:
Fundamentos
Página
25

26. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
Suma y Resta:
Fundamento:
1)
2)
Proceso
Para sumar o restar fracciones
Se debe factorar los denominados
Se halla en común denominador que contenga a todos los denominadores o el
producto de ellos
Se divide al común denominador para cada uno de ellos denominadores y cada
resultado se multiplica por el numerador correspondiente
Ejemplos Guía Nº 11
25)
27)
Simplificación de expresiones complejas
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Para simplificarlos:
-
Se debe realizar las operaciones de sus numerador y denominador hasta que quede
una sola fracción en cada uno de ellos
Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes
Ejemplos guía Nº12
Página
26

27. Msc. Daniel Zoto
Introducción al cálculo
1.)
2.)
3.)
Página
27