Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales describen fenómenos físicos mediante modelos matemáticos. Se dividen en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También cubre tipos como lineales, no lineales, homogéneas e inhomogéneas. Incluye métodos para resolver diferentes tipos como separación de variables.

1. REPULICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSION VALENCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR
PEDRO BELTRAN
AUTOR
RAFAEL MARTINEZ
C.I 16.860.629
ESCUELA 44
VALENCIA 08 DE ABRIL DEL 2019

2. Introducción
Las ecuaciones diferenciales en términos matemáticos una ecuación diferencial es una ecuación donde aparece
una función, su derivada (o derivadas) y la variable (o variables).
Las ecuaciones diferenciales son del estudio de la matemática como de la ingeniería y la ciencia en general.
Muchas leyes y fenómenos físicos pueden ser descritos mediante ellas. En otras palabras, el estudio de estos
fenómenos requiere de la creación de un modelo matemático capaz de describirlo, el cual, generalmente se
compone de una o varias ecuaciones diferenciales.

3. Ecuaciones Diferenciales
Es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la
función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo,
si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

4. La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V

5. Tipos De Ecuación Diferencial
Las ecuaciones diferenciales pueden dividirse en varios tipos. Aparte de describir las propiedades de la
ecuación en si, las clases de las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a buscar la elección de la
aproximación a una solución. Es muy común que estas distinciones incluyan si la ecuación es:
Ordinaria/Derivadas Parciales, Lineal/No lineal, y Homogénea/Inhomogénea. Esta lista es demasiado grande;
hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy útiles en
contextos específicos

6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que contiene una función de
una variable independiente y sus derivadas. El término "ordinaria" se usa en contraste con
la ecuación en derivadas parciales la cual puede ser respecto a más de una variable
independiente.

8. Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales, las cuales tienen soluciones que pueden sumarse y ser
multiplicadas por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y tienen soluciones exactas que
pueden hallarse. En contraste, las EDOs cuyas soluciones no pueden sumarse son no lineales, y su solución
es más intrincada, y muy pocas veces pueden hallarse en forma exacta de funciones elementales: las
soluciones suelen obtenerse en forma de series o forma integral. Los métodos numéricos y gráficos para
EDOs, pueden realizarse manualmente o mediante computadoras, se pueden aproximar las soluciones de
las EDOs y su resultado puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución
exacta y analítica.

10. Ecuación en derivadas parciales
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial que contiene una función
multivariable y sus derivadas parciales. Estas ecuaciones se utilizan para formular problemas que
involucran funciones de varias variables, y pueden resolverse manualmente, para crear una simulación
por computadora.
Las EDPs se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor,
la electroestática, la electrodinámica, la fluidodinámica, la elasticidad, o la mecánica cuántica. Estos
distintos fenómenos físicos se pueden formalizar en términos de EDPs. Con ecuaciones diferenciales
ordinarias es muy común realizar modelos unidimensionales de sistemas dinámicos, y las ecuaciones
diferenciales parciales se pueden utilizar para modelos de sistemas multidimensionales. Las EDPs tienen
una generalización en las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas.

12. Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales
para la cual el espacio de soluciones es un subespacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de
soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Los coeficientes de la función desconocida, y sus
derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si
estos coeficientes son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes
constantes.
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

14. Ecuaciones diferenciales no lineales
Existen muy pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales en forma exacta; aquellas
que se conocen es muy común que dependan de la ecuación teniendo simetrías particulares. Las ecuaciones
diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos grandes de
tiempo, característica del caos. Cada una de las cuestiones fundamentales de la existencia, unicidad, y
extendibilidad de las soluciones para ecuaciones diferenciales no lineales, y el problema bien definido de los
problemas de condiciones iniciales y de controno para EDPs no lineales son problemas difíciles y su
resolución en casos especiales se considera que es un avance significativo en la teoría matemática (por
ejemplo la existencia y suavidad de Navier-Stokes). Sin embargo, si la ecuación diferencial es una
representación de un proceso físico significativo formulado correctamente, entonces se espera tener una
solución

16. Ecuaciones semilineales y cuasilineales
No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos
casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más
específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función

18. Orden y Grado De Una Ecuación Diferencial
El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.
Ejemplo

19. Grado de una ecuación diferencial
El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su
derivada.
Ejemplos
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales
ordinarias.

21. El método de separación de variables, es un método que permite encontrar soluciones
particulares de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales. Permite resolver
una gran cantidad de ecuaciones de este tipo, aunque debe saberse que no todas permiten
una separación de variables.
Con este método de busca una solución particular de la forma de un producto de una
función de x y una función de y; es decir:
Metodo de separacion variable

22. Durante la aplicación del método se convierte la ecuación diferencial lineal en derivadas parciales
con dos variables independientes, en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Debe saberse para ello
que:

23. El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una
solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas
parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables
separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar
soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas
parciales.
El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las
variables separadas.

25. Ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los
coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones
homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen
los términos constantes

27. Ecuaciones diferenciales exacta
El siguiente método te ayudara a resolver cualquier tipo de ecuaciones diferenciales exactas de
primer orden en 4 pasos sencillos.
Estudios científicos recientes realizados por el Dr. Terrence Sejnowski investigador el Instituto Howard
Huges, apuntan a que utilizar el pensamiento difuso a la vez que el enfocado durante en proceso de
aprendizaje es una técnica efectiva para aprender cualquier cosa, ya que se necesita acceder recursos de
la mente que se ignoran al momento de estar enfocado; una de las forma de utilizar el pensamiento
enfocado y el difuso como lo dice el Dr. Terrence, es mediante el aprender haciendo y para eso te
propongo que emplees los pasos que te describo sin tratar de entenderlos del todo al principio
y confiando que, cuando entres en el modo de pensamiento difuso (al realizar otra actividad que te
despeje de tu concentración) el entendimiento conceptual de los temas se dará.

29. Conclusión
Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con el
método de Runge-Kutte, el cual nos da un pequeño margen de error con respecto al problema real y es fácilmente
programable en un software para realizar iteraciones necesarias.
El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar la precisión disminuyendo
los pasos entre los puntos o el método.

30. Bibliografía
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-
geo/node3.html
https://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-
resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml