Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las clases de ecuaciones diferenciales más estudiadas debido a su amplia aplicabilidad en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. Estas ecuaciones permiten modelar fenómenos que involucran tasas de cambio y son la puerta de entrada al fascinante mundo de la modelización matemática.

1. Tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden y su clasificación
por Manuel Alejandro Vivas Riverol
Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones e IA
ecuacionesdiferencialesaplicaciones.com
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las clases de ecuaciones diferenciales más
estudiadas debido a su amplia aplicabilidad en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.
Estas ecuaciones permiten modelar fenómenos que involucran tasas de cambio y son la puerta
de entrada al fascinante mundo de la modelización matemática.
Figura 1. Codicando Ecuaciones Diferenciales con Sagemath y Python
Las verdades más profundas, no solo emergen de la razón o la
lógica, si no, sobre todo, de la intuición.
Anónimo
Tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
En general las ecuaciones diferenciales se clasican por tipo, orden y linealidad.
De moso que, las ecuaciones diferenciales pueden ser:
a) Según su tipo: ordinarias o parciales,
1

2. b) Según su orden: de primer orden o de orden superior y
c) Según su linealidad: lineales y no-lineales.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas donde las derivadas de la ecuación
solo dependen de una variable independiente, mientras las ecuaciones diferenciales parciales, sus
derivadas son parciales, es decir, depende de mas de una variables independientes.
i. Ejemplo de ecuacion diferencial ordinaria:
dy2
dx2 + x2 dy
dx
+ x= xy2
ii. Ejemplo de ecuación diferencial parcial:
y
t
2y
x
= 0
Las ecuaciones diferenciales de primer orden, son aquellas donde el grado máximo al que
está elevado sus derivadas es 1, mientras que las de orden superior, puede tener otras derivadas
elevadas a diferentes grados y el mayor de ellos en la ecuación, determinara el orden de la ED.
i. Ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden:
dy
dx
= x+ y
ii. Ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden: y00+ (x y)y = 0
Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, son aquellas donde los coecientes de la
variable dependiente y, son solo dependientes de la variable independiente o constantes y donde
ésta variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, de modo que la representación
de una ED lineal de cualquier orden es:
an(x)
dn
y
dxn + an 1(x)
dn 1y
dxn 1 + an 2(x)
dn 2y
dxn 2 + + a0(x)y = 0
Donde: an;an 1;an 2;:::;a0, son funciones de x.
La ecuaciones diferenciales no-lineales ordinarias, son aquellas donde los coecientes de
su variable dependiente y no solo dependen de su variable independiente x y que su propia variable
dependiente puede estar elevada a grados mayor a uno o pertenecer a funciones no lineales como
sin y cos.
Ejemplo de ecuación lineal, ordinaria, de segundo orden:
d2x
dt2 + 4
dx
dt
+ x= cos(x)3
Ejemplo de ecuación no-lineal, ordinaria, de primer orden:
y0= y2 x2
Ejemplos de ecuación no-lineal, ordinarias, de segundo orden:
d2
dt2 +
g
lsin() = 0
2 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3. y
md2x
dt2 + kx2 = 0
Estrategia de solución para cada tipo de ecuaiones diferenciales ordinarias
de primer orden
En la gráca de abajo se puede notar el camino que generalmente se sigue al resolver las EDs
mostradas.
No lineales
Separables
De orden superior
Clairaut
Lagrange
dny
dxn
Exactas
Riccati
Bernoulli
Homogénea
Sustitución
Lineales
Factor Integrante
De primer orden
Directas
Tipos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
dy
dx
Secuencia de Solución
Figura 2. Gráco que muestrar la secuencia de solución de cada ecuación diferencial. El camino de soluicion
de cada ED corresponde a su trayectoria ascendente en el arbol de correlaciones formado.
La estrategia es tratar de reducir la ED a una versión mas facilmente integrable. Por ejemplo, las
Ecuaciones Diferenciales de Riccati, que en realidad son un tipo de ecuación diferencial no-lineal,
pues la variable dependiente está elevada a grado 2 (ver sección mas adelante), se reduce mediante
una sustitución que la convierte ya sea en una ecuación diferencial de Bernoulli o una lineal,
directamente, lo cual permite su integración de forma directa. Para ver ejemplo paso a paso sobre
la ecuación diferencial de Riccati, puede dirigirse a nuestro artículo: Ecuaciones Diferenciales
No-Lineales: Riccati, Ejercicios Resueltos.
A continuación, se describen varias clases de ecuaciones diferenciales de primer orden, pares
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 3

4. por su relevancia y propiedades distintivas.
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden
Homogéneas y Separables
1 Separables
Figura 3. Torre de enfriamiento de planta de energía. Las ecuaciones diferenciales separables aparecen
en problemas donde la velocidad de enfriamiento y calentamieto son proporcionales a la diferencia de
temperatura.
Las ecuaciones diferenciales separables son aquellas que pueden expresarse como el producto
de una función de x y una función de y. Matemáticamente, toman la forma:
dy
dx
= g(x) h(y)
donde: g(x), h(y), son funciones de x y y, respectivamente.
La solución se obtiene al separar las variables y al integrar ambos lados de la ecuación.
Ambas ecuaciones, homogéneas y separables, comparten la característica de que pueden ser
manejadas mediante manipulaciones algebraicas para alcanzar una forma en la que la integración
es posible. La sustitución y la separación de variables son las claves para resolverlas.
Ejemplos desarrollados paso a paso sobre EDs separables puedes encontrarlos en nuestro
artículo: ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES.
4 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

5. 2 Homogéneas
Figura 4. Las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden aparecen como modelo matemático
que puede representar muchos fenómenos, en este caso hacemos referencia a las trayectorias de vuelo.
Una ecuación diferencial de primer orden se denomina homogénea si puede escribirse en la
forma:
dy
dx = f
y
x
Donde f es una función de una sola variable. Las ecuaciones homogéneas se pueden resolver
mediante la sustitución v=
y
x
, que convierte la ecuación en una forma separable.
Para saber como implementar paso a paso el algoritmo de solución de éste tipo de problemas
consulta el siguiente artículo: Ecuacion Diferencial Homogenea 1er Orden.
Te recomiendo, nuestra presentación multimencionada en Academia.edu: Ecuacion Diferen-
cial Homogenea de 1er orden. Concepto de homogeneidad, para que domines, de una vez por
todas éste concepto. Ésta presentación te muestra de manera única y muy clara, qué signica el
concepto de hogeneidad en las ecuacoines diferenciales de 1er orden.
Figura 5. Presentación. Concepro de homogeneidad, una expicación pedagógica, accesible para entender
el cocepro a fondo.
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 5

6. 1 Lineales y Exactas
1.1 Lineales
Figura 6. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden aparecen en un sin n de problemas de la
vida real, entre ellos podemos considerar a los problemas de mezclas.
Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma:
dy
dx + p(x) y = q(x)
Donde p(x) y q(x) son funciones conocidas de x. Estas ecuaciones se caracterizan por tener
soluciones que pueden ser encontradas mediante el método del Factor Integrante.
Ejemplos resueltos de ecuaciones lineales paso a paso puedes verlos en el artículo: Ecuacion
diferencial lineal de primer orden.
Empieza tu camino como expert@, modelando, y simulando problemas reales con ecuaciones
diferenciales y programación y aumenta tu valor como ingeniero o profesional de las ciencias exactas
aplicadas siendo un maestro en la resolución de problemas reales. Para eso te recmomiento nuestro
artículo: Modelando la Concentración de una Sustancia en un Tanque con Entrada y Salida:
El Modelo de Mezcla con un Tanque.
6 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

7. Figura 7. Aprende a resolver problemas reales con ecuaciones diferenciales, modelado matemático y pro-
gramación. Adquiere nuestro artículo e inicia tu camino hacia la maestría en resolución de problemas de
ingeniería o cualquier campo de las ciencias excatas aplicadas.
1.2 Exactas
Figura 8. En los procesos de expansión adiabática de un gas, así como en muchos otros fenómenos físicos,
emergen de forma natural las ecuaciones diferenciales exactas que modelan la manutención constante de la
energía y la entropía dentro de los mismos. Algunos de estos procesos se dan en turbinas de gas.
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 7

8. Una ecuación diferencial exacta de primer orden se presenta cuando existe una función F(x;
y) tal que su diferencial total coincide con la ecuación dada:
M(x; y) dx+ N(x; y) dy = 0
donde M(x;y) =
@ F
@ x
y N(x;y) =
@ F
@ y
. Para que la ecuación sea exacta, es necesario que
@ M
@ y
=
@ N
@ x
. Si
esta condición no se cumple naturalmente, a veces es posible multiplicar por un factor integrante
para convertir una ecuación inexacta en una exacta.
Las ecuaciones lineales y exactas comparten la propiedad de tener un mecanismo estructurado
para encontrar una solución. Mientras que el mecanismo para las lineales está en el uso del factor
integrante, para las exactas se basa en la existencia de una función potencial cuyas derivadas
parciales describen el sistema.
Para ver un desarrollo detallado sobre la técnica de soluición de las ecuaciones diferenciales
exactas, revisa nuestro artículo: ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS.
2 Directa y por Sustitución
2.1 Directa
Figura 9. Las nanzas y la cinemática son dos ejemplos de fenómenos donde las ecuaciones direfenciales
directas son de gran utilidad para modelarlos. El movimiento de un vehículo es un ejemplo clásico de el
modelado de un fenómeno mediante ecuaciones diferenciales directas.
Las ecuaciones diferenciales directas son aquellas que son conformadas por una sola derivada,
que puede ser de primer orden o de orden superior y éta es igualada a una constante, constuyendo
la siguiente forma estándar:
dn
y
dxn = k
Donde n, puede ser cualquier número entero.
Éste tipo de ecuaciones se encuentra comúnmente en problemas físicos relacionados con movi-
8 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

9. miento.
Un ejemplo que puede ilustrar el algorithmo de solución puede ser la siguiente:
d2x
dt2 = k
que bien puede representar la aceleración de una partícula.
Su solución se encuentra al integrar iterativamante las derivadas anidadas, por ejemplo, para
el caso anterior:
d2x
dt2 = k
d
dt
dx
dt
= k
De modo que, integrando, tenemos:
d
dx
dt
= kdt
Z
d
dx
dt
= k
Z
dt+ C
dx
dt = kt+ C
dx = ktdt + Cdt
Z
dx = k
Z
tdt+ C
Z
dt+ C1
x(t) =
k
2
t2 + Ct+ C1
2.2 Sustitución
Las ecuaciones diferenciales por sustitucion de primer orden, tienen la formaestandar caracteristica:
dy
dx
= f(Ax+ By + C)
Donde: A;B;C, son constantes.
Las ecuaciones de éste forma, pueden ser siempre resueltas mediante reducirlas a variables
separables con la sustitución z = Ax+ By + C, donde B =
/ 0.
Ejemplos paso a paso de ecuaciones diferenciales resueltas por sustitución puedes encontrarlas
en éste artículo: Ecuaciones diferenciales por sustitucion. Tambien puedes descargar la presen-
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 9

10. tación de ése tema desde nuestra tienda online:
Figura 10. Presentación, Ecuaciones Diferenciales resueltas por sustitucion.
3 Ricatti y Bernoulli
3.1 Bernoulli
Figura 11. La uidodinámica representa una de los fenómenos donde se utilizan las ecuaciones diferenciales
de Bernoulli para modelarlo.
10 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

11. Una ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial no lineal que tiene la siguiente forma:
dy
dx
+ p(x) y = q(x) yn
(n=
/ 0;n=
/ 1)
Estas se pueden resolver realizando un cambio de variable que la transforme en una ecuación lineal.
La sustitución común es v = y1 n
, lo cual simplica la ecuación de Bernoulli a una forma lineal.
Ambas, las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli, ilustran las complejidades que pueden surgir con
ecuaciones diferenciales no lineales. A diferencia de las lineales y exactas, estas pueden no tener
soluciones que se expresen en términos de funciones elementales, pero la ecuación de Bernoulli es
reducible a una forma lineal y tiene un método sistemático para su resolución.
Ejemplos desarrollados paso a paso se pueden ver en el artículo: Ecuaciones Diferenciales de
Bernoulli.
3.2 Ricatti
Figura 12. Las ecuaciones diferenciales de Riccati, aparecen comunmente en los problemas que involucran
control, por ejemplo: sistmas de control de temperatura, control de niveles, control de velocidad, procesos,
etc.
La ecuación de Ricatti es una forma no lineal de ecuación diferencial de primer orden que se
escribe comúnmente como:
dy
dx
= q0(x) + q1(x) y + q2(x) y2
donde q0(x), q1(x), y q2(x) son funciones conocidas de x. A menudo, estas ecuaciones no tienen
una solución en términos de funciones elementales, a menos que tengamos una solución particular,
en cuyo caso podemos reducirla a una ecuación de Bernoulli.
Ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones diferenciales de Riccati, pueden verlos en nuestro
artículo: Ecuaciones Diferenciales No-Lineales: Riccati, Ejercicios Resueltos y Ecuaciones
Diferenciales No-lineales: Riccati, Ejemplos Resueltos, que puedes encontrar en el blog de
nuestra tienda online.
Profundiza tu conocimiento y conviertete en un expert@ aprendiendo a resolver con software
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Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 11

12. Ejercicios Resueltos Riccati con SageMath. - Domina la resolución de Ecuaciones de Riccati
con códigos que te permiten obtener resultados inmediatos, masivos y reales.
Figura 13. Parte del código en sagemath para resolver la ED de Riccati usando cambios de variables.
Puedes ver el código completo en nuestro notebook: Ejercicios Resueltos Riccati con SageMath (código)
4 Lagrange y Clairaut
4.1 Lagrange
Figura 14. Lagrange estudiando el movimiento de una partícula dentro de una campo gravitacional cerca
de la tierra. Representación alegórica.
Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son un tipo especial de ecuaciones diferenciales de
primer orden que se pueden representar en la forma de un problema de valores en la frontera:
y = xf(y0) + g(y0)
12 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

13. A veces, se resuelven encontrando una familia de soluciones, que podrían dar lugar a una solución
en forma de una envolvente de una familia de curvas. Sin embargo, no todas las ecuaciones de
Lagrange tienen formas cerradas y podrían requerir métodos numéricos para su solución.
Ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones diferenciales de Riccati, pueden verlos en nuestro
artículo: Ecuaciones Diferenciales No-Lineales: Lagrange, Ejercicios Resueltos. Disponible
en nuestro blog.
4.2 Clairaut
Figura 15. En mecánica celeste, la ecuación diferencial de Clairaut, se puede utilizar para modelar las
órbitas de planetas bajo ciertas condiciones.
Las ecuaciones de Clairaut son un tipo de ecuación diferencial en el que la función y su derivada
están relacionadas linealmente:
y = xy0+ g(y0)
donde g es una función conocida de y0. Una de las características interesantes de las ecuaciones de
Clairaut es que tienen tanto una solución general como una solución singular. La solución general
se compone típicamente de una familia de líneas rectas, mientras que la solución singular es la
envolvente de estas líneas.
Ambas, las ecuaciones de Lagrange y las de Clairaut implican métodos de solución que buscan
una relación implícita entre las variables y sus derivadas, contrastando con las ecuaciones separa-
bles o lineales que a menudo permiten una solución explícita más directa.
Las ecuaciones diferenciales de Lagrange y de Clairaut proporcionan ejemplos interesantes de
cómo una ecuación diferencial puede tener soluciones que no necesariamente siguen un formato
estándar, retando así a los métodos de solución tradicionales y ofreciendo oportunidades para una
exploración matemática más profunda.
Ejemplos resueltos paso a paso de ecuaciones diferenciales de Riccati, pueden verlos en nuestro
artículo: Ecuaciones Diferenciales No-Lineales Ejemplos Resueltos: Clairaut.
4.3 Comparaciones
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Lineales
Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 13

14. Al comparar todos estos tipos de ecuaciones, las directas y separables son por lo general más
directas de resolver, debido a que involucran manipulaciones algebraicas más simples y técnicas de
integración básicas. Las lineales y exactas requieren métodos más estructurados y la aplicación de
procedimientos como factores integrantes o la búsqueda de funciones potenciales, respectivamente.
La ecuaciones Homogéneas y por Sustitución requieren de una pericia especial en matemáticas
al ser necesario el buen manejo del algebra, como el manejo de fraciones parciales, para la adecua-
ción de las ecuaciones a formas más asequibles de manejar, así como el buen manejo de técnicas
de integración de funciones racionales e integración por partes.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden No-Lineales
Las ecuaciones de Bernoulli, aunque no lineales, permiten una transformación que las reduce
a una ecuación diferencial lineal, lo que facilita su resolución. Ricatti, Lagrange y Clairaut se des-
vían de estos caminos más trillados, ofreciendo un territorio más complejo, a menudo requiriendo
soluciones particulares o enfrentándonos con formas de solución más inusuales como las envolventes
de una familia de curvas.
EDs Lineales EDs No-Lineales EDs reducidas a Lineales
Separable Homogénea Homogénea
Lineal Exacta
Directa Sustitución Sustitución
Bernoulli Bernoulli
Riccati Riccati
Lagrange
Clairaut
Tabla 1. Ecuaciones Diferenciales(EDs) de primer orden más comunes clasicadas en lineales y no lineales.
Resumen de las EDs lineales y No-lineales, de primer orden, más impo-
ratnes
Para poner estos conceptos en contexto académico y facilitar su aplicación, se compone un cuadro
sinóptico que resume las características de cada una de las ecuaciones descritas anteriormente:
Ecuación Forma estándar Método de solución
Separable d y
d x
= g(x) h(y) Separación de variables e integración
Homogénea d y
d x
= f y
x
Sustitución y separación de variables
Lineal d y
d x
+ p(x) y = q(x) Factor Integrante
Exacta M(x; y) dx+ N(x; y) dy = 0 Función potencial F(x; y)
Directa dy
dx
= c Integración directa, donde c= constante
Sustitución dy
dx
= f(Ax+ By + C) Sustitución pertinente, ej.: z = Ax+ By + C
Bernoulli d y
d x
+ p(x) y = q(x) yn
Sustitución v = y1 n
, ecuación lineal
Ricatti d y
d x
= q0(x) + q1(x) y + q2(x) y2 Solución particular o métodos numéricos
Lagrange y + xf(y0) + g(y0) = 0 Análisis de soluciones singulares y generales
Clairaut y = xy0+ g(y0) Análisis de soluciones singulares y generales
Tabla 2. Clasicación y métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este cuadro proporciona una vista rápida de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de
primer orden consideradas, junto con las formas estándar asociadas y las estrategias recomendadas
para encontrar soluciones.
14 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

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Figura 17. Parte del código en sagemath para resolver la ED de Riccati usando cambios de
variables. Puedes ver el código completo en nuestro notebook: Ejercicios Resueltos Riccati con
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Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 15

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6 Bibliografía
! Rainville, E. D., Bedient, P. E., Bedient, P. E. (1990). Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Limusa.
! Zill, D. G. (2009). Matemáticas avanzadas para ingenieros. Cengage Learning Editores.
! Penney, D. E. (2008). Ecuaciones diferenciales Y problemas con valores en la frontera.
Computo y Modelado. Pearson Educación.
! García, J. A., Reich, S. (2012). Ecuaciones diferenciales. Pearson Educación.
! SageMath, Inc. (2022). SageMath Documentation. Recuperado el 27 de enero de 2024, de
https://doc.sagemath.org/
! Polyanin, A. D. (2002). Handbook of exact solutions for ordinary dierential equations.
CRC Press.
! Varona, J. L. (2006). Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Editorial Complutense.
! Escobar, J. (2015). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en Maple. Pearson Educación.
! Moya, L. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias técnicas de resolución. Editorial Uni-
versitaria Ramón Areces.
16 Ejemplos de tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden