Geometria 4° 2 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
DEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de otro punto llamado centro
ELEMENTOS
- Arco : AB
- Cuerda: AB
- Radio : OE
- Diámetro : CD
- Tangente: T
- Secante : L
- Flecha o Sagita : MN
M
B
E
N
O
D
L
A
C
T
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
1. Circunferencias Exteriores
R r
d
d > R + r
2. Circunferencias Tangentes Exteriores :
R r
d
d = R + r
3. Circunferencias Secantes :
d
R - r < d < R + r
4. Circunferencias Tangentes Interiores :
d = R - r
d
R
d
o o1
r
5. Circunferencias Interiores :
d < R - r
d
r
R
6. Circunferencias Concéntricas :
d = cero
r
R
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1.Angulo Central 2. Angulo Inscrito
B
A
O
= AB
α
α
B
A
C
= AC / 2
α
α
3. Angulo Semi – Inscrito
B
A
C
= BC / 2
α
α
4 Angulo Interior
BA
C
= ( AB + DC ) / 2
α
α
D
5.Angulo Exterior
= ( n - m ) / 2α
B
A
C
α
D
E
n
m
B
A
C
α
Dn
m
B
A
C
α
n
m
6. Angulo Ex - Interior
B
A
C
= ABC / 2
α
α
PROPIEDADES FUNDAMENTALES :
1.
x = 90°
x
T
O
2.
AB = BCB
A
O
C
3.
B
A
O
C
Si AB BC
D
AB = CD
≅
4.
Si: AB CD
AC BD
A B
C D
≅
05.
Si :
OM
o
M
L
"M" es un conjunto
de tangencia
L
S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
II
CIRCUNFERE

06.
Si :
ABCD : Cuadrilátero
Circunscrito
AB + CD = AD + BC
B
A D
C
07.
A C
B
rO
F
Si: OF = r, es el radio de la
circunferencia inscrita
AB + BC = AC + 2r
08.
AD + BC = CD - AB
C
D
B
Si : Cuadrilátero ex - inscrito
09.
P Q
R S
Si P, Q, R y S : son puntos de
tangencia
PQ = RS
10.
α
θ
A
B
C
D
Si A B C D: Cuadrilátero
α + θ =180º
inscrito
PRACTICA DE CLASE
01. Calcular en la figura el arco QP siendo
“O” centro de la circunferencia
80º
Q
P
O
a) 160° b) 40° c) 80°
d) 70° e) N.a.
02. Hallar x .
B
A
D
100°
C
x
a) 100º b) 90º c) 50º
d) 80º e) N.a.
03. Hallar x en la figura
B
A
D
20°
C
x
130°
a) 75º b) 105º c) 130º
d) 20º e) N.a.
04. En la figura, hallar “x”
B
A
D
C
2x + 3
15
a) 5 b) 6 c) 4
d) 7 e) 4
05. Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º
C
B
A
x
a) 110º b) 55º c) 100º
d) 100º e) N.a.
06. Hallar PQ , si QC = 105°
C
Q
P
20°
a) 105º b) 40º c) 65º
d) 20º e) 110º
07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro.
C
A
O
B68°
a) 56º b) 34º c) 130º
d) 28º e) N.a.
08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro.
C
A
O
B40°
a) 100º b) 120º c) 130º
d) 140º e) 150º
09. En la figura AB = 100º, CD = 120º, hallar
BD si AB CD/ /
C
A B
D
a) 140º b) 70º c) 80º
d) 90º e) N.a.
10. Hallar “R”. Si AB BC3 4, =
B
R
O
CA
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) N.a.
11. En la figura. Hallar PQ
Si PR r QR= = =9 2 3, ,
Q
r
O
RP
a) 11 b) 9 c) 13
d) 10 e) 5
12. Hallar x si AB DC+ =18

B
R
S
Q
C
P
4
x
6D
A 5
a) 5 b) 4 c) 6
d) 9 e) 3
13. Si AB = 50º. Hallar
  x y z+ +
x
B
y z
A
a) 150º b) 50º c) 100º
d) 200º e) 75º
14. Hallar  x y+
x
y
20°
a) 40º b) 20º c) 60º
d) 10º e) 30º
15. Si AB es diámetro y BD = 60º
Hallar x
C
A B
D
x
a) 120º b) 60º c) 30º
d) 80º e) N.a
16. Si PQ es diámetro, hallar x
S
30º
QP
x
R
a) 30º b) 60º c) 120º
d) 15º e) 90º
17. Si O es el centro de la semicircunferencia,
además AO BC= . Hallar x
DA
x
B
C
O
a) 45º b) 50º c) 60º
d) 30º e) 90º
18. Hallar x , si AOB es 100º
A
x
B
O
a) 40º b) 100º c) 80º
d) 50º e) N.a.
19. En la figura “O” es el centro de la
circunferencia. Hallar x
β
α
O
x
a) α + β b) 2α + β c) α + 2β
d) 2α + 2β e) α − β
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1
01. En la figura “O” es el centro de la
circunferencia. Hallar x
Si BAO = 20º y BCO = 30º
O
x
B
C
A
a) 70º b) 100º c) 90º
d) 110º e) 80º
02. Desde un punto E, exterior a una
circunferencia se trazan las secantes
EBA y EDC . Hallar el ángulo
AEC
, si AC = 123º y AD es
perpendicular a BC
a) 33º b) 28º c) 123º
d) 38º e) 66º
03. En la figura AB = 70º.Calcular α + β
B
αβ
A
a) 40º b) 50º c) 60º
d) 70º e) 80º
04. Hallar
x , si 4AB = ACB
D
B
CA
x
a) 72º b) 144º c) 36º
d) 88º e) 164º
05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por
dos tangentes trazadas a una circunferencia
desde un punto exterior; si la cuerda que
une los puntos de tangencia es igual al radio
de la circunferencia ?
a) 300º b) 60º c) 150º
d) 120º e) 30º
06. Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro
de la circunferencia, además
AC AP AP y PC= ; son tangentes.
A
C
B
P
a) 40º b) 60º c) 120º
d) 30º e) 150º
07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro
de la circunferencia.
O
x
70°
a) 20º b) 70º c) 40º
d) 30º e) 60º
08. Hallar el arco AB
BA
O
30°
a) 120º b) 40º c) 60º
d) 80º e) 100º

09. En la figura, hallar x
A
D E
B
50°
F
C
x
a) 100º b) 50º c) 80º
d) 130º e) N.a.
10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia
inscrita, tangente AB en P, a AC en Q
y a BC en R. Si la suma del ángulo A
con el ángulo C es 70°. Hallar el ángulo
PQR.
a) 35º b) 70º c) 110º
d) 55º e) N.a.
11. Calcular “α” P y Q son puntos de
tangencia.
α
Q
P
100º
40º
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
12. En la figura hallar el ángulo X,
si: BC + FE = 130º
xA
F
B
C
D
E
a) 25° b) 20° c) 50°
d) 30° e) 35°
13. En la figura “O” es centro y la
m PNQ = 130° . Calcular “x”
x
O
Q
P
N
a) 50 b) 40 c) 30
d) 25 e) 20
14. Si α + β = 100°. hallar m MQ
β
M
α
P
Q
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 75
15. En el gráfico BC es tangente a la
circunferencia de diámetro AP siendo la
medida del arco MN igual a 62°. Hallar
m∡C.
M N
A
P
C
B
a) 7 b) 14 c) 28
d) 31 e) 62
TAREA DOMICILIARIA
01. Hallar “ X ”. Si ACyAB son
tangentes:
B
C
A
a - b + x2 2 2
(a + b) (a - b) + 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2,5
02. Hallar el suplemento de “ X “
x
0
50°
a) 25° b) 20° c) 100°
d) 155° e) 50°
03. Hallar el radio de la circunferencia:
18 R
24
a) 2 b) 6 c) 5
d) 3 e) 1
04. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos
tangentes trazadas desde el mismo punto, si
la cuerda que une los puntos de tangencia
es igual a el radio?
a) 90° b) 120° c) 150°
d) 180° e) N.a.
05.Calcular X Si : AB = 90° ; AC = 80° y
PM es tangente
A
CB
M P
x
a) 30 b) 45 c) 50
d) 55 e) 65
06. Calcular lamABC Si: mPTQ = 4mDTE
20°
E Q
T
A
P
D
C
B
a) 50 b) 70 c) 90
d) 110 e) 115
07. Calcular “ X ” .Si P, Q y T son puntos de
tangencia.
x
P
TQ
80°
60°
a) 15 b) 18 c) 20
d) 30 e) 36
08. Desde un punto “ E “ exterior a una
circunferencia se trazan la tangencias
QyEP Ε si “ M “ es un punto del
menor arco PQ y m∡PMQ = 3m∡E.
Calcular m∡E.
a) 20 b) 30 c) 36
d) 35 e) 45
09. Si mOBP = 200: Calcular “ X ”.

x
B
C
P
A
Q
a) 30 b) 40 c) 45
d) 50 e) 60
10. En la figura “A” y “B” son puntos de
tangencia. Calcular
30°
x
A
B
a) 150 b) 135 c) 165
d) 120 e) 115
CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL Y
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. Casos de Congruencia de Triángulos.
A. Caso (ALA) :
B
CA
α θ
b
≅
M P
b
N
α θ
ABC ≅ MNP
B. caso (LAL) :
A C
c
B
M P
c
N
b b
α α
≅
ABC ≅ MNP
C. Caso (LLL) :
CA
a
B
b
PM
a
N
b
≅
ABC ≅ MNP
c c
2. PROPIEDADES :
A. Propiedades de la bisectriz de un
ángulo
..................................................................
..................................................................
..................................................................
α°
α°O
M
N
P
B
Z
A
B. Propiedad de la mediatriz de un
segmento
..................................................................
..................................................................
..................................................................
M
P
BA
PM: mediatriz de AB
C. Propiedad de triángulo Isósceles
.......................................................... ........
................................................... ...............
............................................
H
C
B
A
∆ ABC es isósceles, AB = BC
BH
Altura :
Mediana :
Bisectriz
Médiatriz
E. Propiedad de la mediana relativa a la
hipotenusa
...........................................................
...........................................................
...........................................................
D. Propiedad de los puntos medios
...........................................................
...........................................................
...........................................................
A C
M N
B
a) Si “M” es punto medio de AB y
MN // AC .
Entonces: “N” es punto medio de BC
b) Si “M” y “N” son puntos medios de
AB y BC respectivamente.
M =
2
AC
Entonces :
A
B
C
M
BM : Mediana relativa a AC
Entonces: BM =
2
AC
TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES
45°
m
45°
m 2 L
2
2
45°
45°
L
L
2
2m
30°
60° 37°
53°
h
h
2
h
2
3
3K
4K
5K
Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados
son números enteros
12
13
5
24
25
7

15
17
8
40
41
9
Observación
A
h
15°
75°
B
H C
4h
B. PROPORCIONALIDAD
Definición.- Se dice que dos números (a y b) son
proporcionales a otros dos números (c y d)
cuando la razón geométrica de los primeros sea
igual a la razón geométrica de los segundos:
Es decir:
d
c
b
a
1. Teorema de Thales :
Tres o más rectas paralelas determinan sobre
otros dos secantes a ellas segmentos cuyas
longitudes serán proporcionales entre si.
A
B
C
D
E
F
L
1
L
2
L
3
Si L1 // L2 // L3
BC EF
AB DE
= También :
AC DF
AB DE
=
Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x
L
1
L
2
L
3
4
6
x - 2
x + 2
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Aplicación del Teorema de Thales a un
triangulo
M N
CA
B
BM BN
=
MA NC
Si: MN // AC
Ejm: Si AC//MN . Hallar:
M N
CA
B
x
4 6
9
2. Teorema de la Bisectriz Exterior
x ba
m n
a b
m n=
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Ejm: Hallar x
45°
45°
B
A D
C
4
x
M a
a
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
3. Teorema de la bisectriz Exterior :
a
b
n
m
a b
m n=
Ejm: Hallar x
12
x
α+θ
θα
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
PROPIEDAD
B
1° 2° 3°
A M C N
Si BM ⇒ bisectriz interior y
BN ⇒ bisectriz exterior
MC CN
AM AN
=
• Regla Practica
°
=
°
°
3
total
2
1
Ejm: Hallar x
20° 20°
70°
x24
................................................................
................................................................

33 34
∆ ABC - ∆ MNB
∆ ABC - ∆ MNB
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
4. Teorema de Menelao :
M
N
PCA
B
AM . BN . CP = MB . NC . AP
Ejm: Hallar x :
M
N
PCA
B
T 26 x
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
5. Teorema de Ceva
M N
CPA
B
AM . BN . CP = MB . NC . AP
C. SEMEJANZA :
Definición: Dos triángulos serán semejantes
cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales
a los ángulos del otro; como consecuencia. Sus
lados respectivos serán proporcionales entre si:
A C
B
M P
N
β
α θ
β
α θ
MˆAˆ =
Si: NˆBˆ = ⇒ ∆
PˆCˆ =
∴
K: razón de semejanza
Ejm: Los lados de un triangulo miden 2, 8 y
12. Hallar el mayor lado de otro
triángulo semejante al primero cuyo
perímetro es 182.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1. Primer Caso:
Dos triángulos serán semejantes si tienen dos
ángulo iguales.
α
θ α θ
∼
2. Segundo Caso:
Dos triángulos serán semejantes si tienen un
mismo ángulo y los lados que lo forman son
proporcionales.
α α
∼a
b
m
n
Si :
3. Tercer Caso:
Dos triángulos serán semejantes si sus lados
son proporcionales entre si.
∼a b
m n
c p
Si:
PROPIEDADES
1.
A C
M N
B
Si: AC//MN
2.
M N
A C
B
Si: AC//MN
3. Si: CD//MN//AB
B
A
M
C
N
D
b
a
4.
θ
θ
a
n
m
ABC ∼ ∆ MNP
K
MP
AC
NP
BC
MN
AB
===
n
b
m
a
=
p
c
n
b
m
a
==
MN=
ba
ab
+
a2
= m . n

PRACTICA DE CLASE
01. En la figura mostrada. Si m // n // t
Hallar x:
4x 15
n
x + 2
m
x
l
a) 1,75 b) 1,5 c) 1,42
d) 2,5 e) 1,25
02. En la figura mostrada. Si m // n // l // r
Hallar x.
6 y
n
2
m
x
t
2y +13x+2
l
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. En la figura mostrada. Si m // n // l. y
CD//AB . Hallar x.
E
2x
n
x +1
m
A
l
C
3x B 9 D
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 5
04. AC//GN . Hallar AC . Si G es
baricentro y GN = 4
G N
TA C
B
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
05. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC
4
F
E
G
A
L1
L 2
L 3
5k - 5 1
5k +1
C
B
a) 5 b) 10 c) 15
d) 7/5 e) 8
06. En la figura, calcular los valores de “a” ,
“b” y “c” y Halle : E=
c
b.a 2
Si: L1 // L2 // L3 // L4 // L5
a
L1
L2
L3
L4
L5
8
6
c
4
3
5
b
a) 10 b) 6,4 c) 3,2
d) 4,8 e) 7,2
07. De la figura mostrada, hallar
=ACyAC//MNSi,BN
4MN;16 =
12BC; =
A C
M N
B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08. De la figura:
,6BN,2xMB;1xAM =+=−
NC = x – 3 .¿Qué valor puede tomar
“x” para que
ACaparalelaseaMN ?
A C
M N
B
α β
x + 2
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
09. En la figura hallar ECSi.BE = 10.
ED = 6, 10AD =
A
B
C
E
D
a) 2,8 b) 0,8 c) 4, 4
d) 3, 2 e) N.a.
10. En un triángulo ABC, AB = 15, BC =13
y AC = 14. Se traza la bisectriz BD .
Hallar: AD
a) 2,5 b) 5,5 c) 6,5
d) 7,5 e) 8
11. Hallar AB. Si BN = 4 y NC = 5
α
α
B N C
A
a) 9 b) 6 c) 7
d) 6 e) 5
12. En el siguiente gráfico, Hallar EF.
α α
E
7 3
F5
a) 2,2 b) 1,5 c) 3,5
d) 6,2 e) 3,1
13. En la figura, ADEF es un cuadrado.
AB= 6 m; BC = 10 m. Hallar el lado del
cuadrado.
D
B
E
A
F
C
a) 3 b) 4 c) 24/7
d) 12/7 e) 6

14. En el triángulo ABC AC//MN
,AB= 60
BN = 28 y NC = 17. Hallar AM
M N
CA
B
a) 11,3 b) 23 c) 24
d) 22,6 e) 21,2
15. Hallar AB:
CA
B
9 H 16
a) 12 b) 15 c) 17
d) 16 e) 20
16. Hallar BH:
CA
B
1 H 9
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
17. Hallar BH:
CA
B
6
H
8
a) 2,2 b) 2,4 c) 6,8
d) 4,8 e) 9,6
18. Hallar R, Si: OP = 6; ON = 8
R
C O
P M
A
D
N
B
a) 14 b) 12 c) 10
d) 11 e) 15
19. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
CF y luego por F, una paralela a AC
de modo que intersecta a BC en Q.
Hallar BQ. Si: BC = 5 m y AC = 6 m.
a) 13/7 b) 25/11 c) 15/4
d) 49/5 e) 2,4
20. En un triángulo ABC. Si ∡B = 120°,
AB = 15, se traza la bisectriz BE .
Hallar la longitud de BE .
a) 11/4 b) 17.8 c) 15/4
d) 19/6 e) 19/6
PROBLEMAS PROPUESTOS N°02
01. En la figura. Si m // n // t. Calcular: “x”:
4
n
m
t
5x - 5
7
2x +1
a) 4 b) 4,5 c) 5
d) 6 e) 8
02. Para que el valor de “x” en
AC//MN .
A C
m N
4
B
x
x + 4 x - 2
a) 6 b) 9 c) 8
d) 9 e) 10
03. En la figura. Si AN = 4 y AC = 18.
Hallar: AH
M
A N H C
B
a) 6 2 b) 3 2 c) 2 3
d) 6 3 e) 3 5
04. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD
= 2CD. Por B se traza BE perpendicular
a AC . Si E está en EDyAD =
9m. Hallar : AD
a) 10m b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
05. En la figura mostrada
//L//L//L 321
4L . Si AB= 3m, BC= 4m, MN= 2x – 2, Np
= 2x + 2, PQ = 3x – 1, CD = y.
Hallar : (x + y)
Q
N
M
B
P
A
C
D
4
L
3
L
2
L
1
L
a) 12m b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
06. En la figura mostrada
//L//L//L 321
4L . Si: EF – AB = 3m, AC = 16m y DF=
24m.
Hallar EF.
B
A
C
D
3
L
2
L
1
L
E
F
a) 6m b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
07. En la figura mostrada. Si AB= 12m, AC=
9m y BN= 4m.
Hallar: MN.
M N
CA
B
θ
θ
a) 2m b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
08. En un triángulo ABC se trazan, la bisectriz
AD , la mediana BM y la ceviana

CE , concurrntes. Hallar EB. Si AB =
4m; BC = 5m y AC = 6m.
a) 2m b) 1,8 c) 3
d) 2,5 e) 1,6
09. En la figura mostrada: Si AB = 2m y
CD = 3m. Hallar: MN.
B
A
2
2
M
3
D
3
C
N
a) 2m b) 1,.8 c) 1,5
d) 1,2 e) 3
10. En la figura mostrada. Si: AB= 9m , BC=
7m, AC= 8m y MN // AC.
Hallar: MN.
M N
CA
B
a) 8m b) 3 c) 8/3
d) 6 e) 6/5
11. En la figura los lados de los cuadrados de
menor a mayor miden 4, xy 9. Calcular: x.
D
BA
C
E
a) 5 b) 6 c) 7
d) 4 e) 8
12. En la figura TB = 7, AT = 15, AK = KC y
GC = 4. Calcular TG.
G
c
B
A
K M
T
θ
θ
a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
13. En un triángulo isoceles PQR (PQ= QR), se
traza la ceviana PF que corta a la altura
QH en “E”. Si FQ = 7dm,
EQ = 8dm y EH = 2dm. Calcular QR
a) 10,5dm b) 12,5 c) 15
d) 10,7 e) N.a
14. En un triángulo ABC, se tiene que
AB= 6, BC= 8 y AC= 10. La altura BH
y la bisectriz interior AF , se cortan en
Q. Hallar QB.
a) 2,8 b) 3,6 c) 4
d) 3 e) N.a
15. En un triángulo ABC, la bisectriz interior
BD y la mediana AM se cortan en
“F”. Calcular la longitud de FD , si:
BF = a, AB = 3b y BC = 4b.
a) 2/7 a b) 3/5 a c) 3/7 a
d) 4/5 a e) a/3
Una proyección ortogonal de un segmento sobre
una recta es la porción comprendida entre los pies
de las perpendiculares trazadas desde los
extremos del segmento a dicha recta.
A B A B
A
B
AB
Proyección ortogonal
PROYECCIÓN ORTOGONAL EN EL
TRIANGULO
Acutángulo Rectángulo
Obtusángulo
A C A C
B
H
A C
B
B
AH: proyección de AB
HC: proyección de BC
RELACIONES MÉTRICAS EN EL, TRIANGULO
RECTÁNGULO
m n
a b
c
h
1. 222
bac +=
RELACIONES

2. h.cb.a =
3.
cnb
cma
2
2
=
=
APÉNDICE DE RELACIONES MÉTRICAS
a) Primer teorema de Euclides :
(∆ Acutángulo) Si α < 90
a b
c
cm2cba 222 -+=
a
m
b) Segundo Teorema de Euclides
(∆ Obtusángulo) Si α > 90
a
b
c
cm2cba 222 ++=
α
m
c) Teorema de la Mediana
Si mc mediana
a b
c
m
c
d) Teorema de la bisectriz interior :
a b
m n
x
x = ab - mn
2
e) Teorema de bisectriz exterior :
a
b
m
x
x = mn - ab2
n
PRACTICA DE CLASE
01. En un triángulo rectángulo ABC recto en B
se traza BH altura relativa a la hipotenusa .
Si BH = 2 cm. Calcular AH.HC.
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 8 cm e) 2 2 cm
02. Calcular la longitud de los catetos del
triángulo mostrado
2 4
a) 2 3 , 2 6 b) 2 2 , 3
c) 3, 2 6 d) 2 3 , 6
e) 3, 6
03. En un triángulo rectángulo, se traza la
altura relativa a la hipotenusa. Esta altura
determina en la hipotenusa dos segmentos
(proyecciones) de longitudes 6 cm y 8 cm
respectivamente . Hallar la longitud de
ambos catetos del triángulo.
a) 2 7 , 2 14 b) 2 7 , 3
7
c) 7, 14 d) 2 21 , 4 7
e) 7 , 21
04. La altura relativa a la hipotenusa y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo
miden 2 cm y 4 cm respectivamente. Hallar
el producto de los catetos.
a) 6 cm2
b) 8 cm2
c) 10 cm2
d) 12 cm2
e) N.A
05. Si AB = 15. BH = 12. Hallar : BC/AC
B
A
H
C
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3
d) 4/5 e) N.a
06. Según la figura, marcar la relación correcta.
H
c
B A
C
h
n m
a b
a) ab = ch b) h2
=nm
c) a2
= nc d) a2
+ b2
= c2
e) Todas se cumplen
07. Del problema anterior: Hallar la distancia
del punto “H” al lado AC.
(Recomendación: aplicar la primera
relación anterior en el triángulo AHC)
a) nm/b b) nm/a c) hb
d) mh/b e) N.A
08. En el problema 06, hallar la distancia del
punto “H” al lado BC
a) nh b) mh c) mn
d) mh/b e) nh/ a
09. Las diagonales del rectángulo mostrado
miden 9 cm. Si AH cm=4 , el lado
CD mide :
A
H
B C
D
a) 6 cm b) 2 5 cm c) 3 5
cm
d) 5 cm e) N.A
10. En el problema anterior BH AD+ es :
a) 2 5 cm b) 3 5 cm c) 5 5
cm
d) 5 cm e) 10 cm
11. En un triángulo de lados 5, 6, 7 cm. hallar la
longitud de la proyección del lado menor
sobre el mayor.
a) 17/7 b) 17/9 c) 2
d) 19/7 e) 3
12. En un triángulo de lados 5, 9 y 10, hallar los
segmentos que determina la altura sobre el
lado mayor.
a) 25/7 y 45/7 b)3,6 y 6,4 c)2,2 y 7,8
d) 2,85 y 7,15 e) N.A
13. En un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13
cm. Calcular la altura relativa al lado mayor
a) 4,6 cm b) 3,2 cm c) 5,1 cm
d) 5,8 cm e) N.A
14. En un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm.
Calcular la altura relativa al lado de 6 cm
a) 2 3 cm b) 2 2 cm c) 2 6
cm
d) 6 cm ) N.A
15. Hallar la mediana relativa al lado mayor
mide :
12
5 13
x
a) 5 b) 6 c) 6, 5
d) 4, 3 e) 7, 2
16. En un triángulo de lados 7 cm, 9 cm y 14
cm, hallar la longitud de la mediana relativa
al lado mayor.
a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm
d) 6 cm e) 7 cm
17. Hallar BT , si AT TC. =20 .
a + b = 2mc + c 2
2
2 2 2

T
10 12
B
A C
ß ß
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
18. En un triángulo ABC recto en B, hallar la
longitud de la bisectriz trazada desde el
vértice A, sabiendo que AB cm=3 y
AC cm=5 .
a) 3 5 /2cm b) 2 5 /3cm c) 3 5
cm
d) 5 cm e) 5 5 /2 cm
19. En un triángulo ABC, de lados
AB cm=5 , BC cm=6
AC cm=4 .Si la bisectriz interior
AP P en BC( ) es igual al PC ,
entonces AP mide :
a) 10/3 cm b) 2 cm c) 5/3 cm
d) 3 cm e) 8/3
20. En la figura,
AB DE cm y AE cm+ = =7 25
Hallar BD
C
A
BD
E
a) 21m b) 24m c) 18m
d) 16m e) 14m
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En el cuadrilátero, calcular el lado AD
A
B
D
C
10
3 55
a) 4 5 b) 4 3 c) 6 5
d) 15 e) 19
02. En el triángulo mostrado, calcular la
medida del ángulo ß.
2 2
3 + 1
ß
a) 15° b) 30° c) 45°
d) 60° e) 75°
03. Se da un triángulo ABC, cuyos lados
AB AC, y BC miden 8 cm, 6 cm y
10 cm respectivamente. Hallar la
proyección de AB sobre la bisectriz
interior del ángulo A
a) 6 2 cm b) 8 2 cm c) 3 cm
d) 4 2 cm e) 5 cm
04. En un triángulo acutángulo ABC, el lado
AB cm=17 y el lado BC = 16 cm.
Hallar la medida de AC si su proyección
sobre BC es 6 cm
a) 10 cm b) 12 cm c) 15 cm
d) 12,5 cm e) 13 cm
05. En un triángulo rectángulo la distancia
del incentro a los extremos de la hipotenusa
miden 13 y 2 26 . Calcular la
medida de la hipotenusa.
a) 17 b) 150 c) 15
d) 19 e) 13
06. En el dibujo, hallar la proyección de OC
, sobre AO , si OC cm=17 .
O
B
A
C
a) 17 2 /2 b) 17/2 c) 34 2 / 3
d) 34 3 / 3 e) F.D
07. Dos autos parten del mismo punto
recorriendo calles distintas a diferentes
velocidades . ¿ Cuántos kilómetros han
recorrido cada auto si encontrándose a 80
Km de distancia uno del otro, uno de ellos
avanzó 16 km más que el otro?
a) 32 Km, 48 Km b) 40 Km, 56 Km
c) 48 Km, 64 Km d) 56 Km, 72 Km
e) N.a
08. Juan y Carlos parten del punto “P” con la
misma velocidad. Juan va por la pista “A” y
Carlos por la “C”. Cuando Carlos termina
de recorrer la pista “C”, Juan a recorrido la
pista “A” y la mitad de la pista “B”. La
menor pista es :
A
C
B
P
a) A b) B c) A y B
d) B y A e) N.a
09. La base mayor de un trapecio mide 8 m; sus
diagonales son ortogonales y miden 6 m y 8
m. Hallar la base menor.
a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m
d) 3 m e) 4 m
10. En el trapecio ABCD ( BC AD/ / ) las
diagonales se cortan perpendicularmente y
luego se traza la altura BH . Hallar dicha
altura si : BC =6 , AD =9 y
AH =1
a) 6 b) 7 c) 8
d) 2 7 e) 2 14
11. La hipotenusa y el cateto mayor de un
triángulo rectángulo son dos números
enteros consecutivos. Si el otro cateto es
igual a la mitad del cateto mayor restado en
10 m, hallar la longitud de la hipotenusa.
a) 25 m b) 17 m c) 13 m
d) 10 m e) N.A
12. La hipotenusa y el cateto mayor de un
triángulo rectángulo son dos números
enteros consecutivos. Si el otro cateto es
igual a la mitad del cateto mayor
disminuido en 2 m, hallar la longitud de la
hipotenusa.
a) 25 m b) 17 m c) 13 m
d) 10 m e) N.A
13. Un “pisapapeles” está sobre una mesa
rectangular a 4 cm de un borde de esta y 3
cm de otro consecutivo al primero. La
distancia del objeto a una esquina de la
mesa será :
a) 3 cm b) 4 cm c) 3,5 cm
d) 5 cm e) N.A

14. Internamente a un cuadrado de lado 5 cm
ubicamos el punto “P”. Si las distancias de
este punto “P” a dos lados consecutivos del
cuadrado son de 2 cm y 1 cm, calcular la
suma de las distancias del punto “P” a los
vértices del cuadrado.
a) 7 5 b) 3 5 +2 10
c) 5 + 3 5 + 10 d) 10 2
e) 5 + 5 5 + 10
15. los lados de un triángulo rectángulo se
encuentran en progresión de razón igual a 4.
Hallar la altura relativa a la hipotenusa.
a) 10 b) 9,8 c) 9,6
d) 9,4 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
01. En un triangulo rectángulo la hipotenusa
mide 15m y la altura 6m. Hallar la longitud
del cateto menor.
a) 5 b) 35 c) 53
d) 3 e) N.A.
02. En un triángulo rectángulo, recto en B, se
traza la altura BH . Si AH = 9, HC =
16; calcular la longitud del cateto AB .
a) 15 b) 30 c) 45
d) 5 e) N.A.
03. Según el gráfico. Hallar BC:
4
A a
B
CH 2a
a) 2 3 b) 3 6 c) 6 2
d) 5 3 e) 4 3
04. Un arco de circunferencia tiene una cuerda
de 2 dm y una flecha e 2 cm. El radio
medirá.
a) 18 cm b) 9 cm c) 26 cm
d) 20 cm e) 13 cm
05. Hallar la hipotenusa:
θ
θ
x
B
3
5
6
10
a) 12 b) 10 c) 8
d) 9 e) 13
06.Hallar AC
θθ
B
10
A
a a + 6
18
C
a) 22 b) 23 c) 21
d) 18 e) 19
07.En la figura, hallar BM
A C
B
M
10
8 6
a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 4
08.Hallar la longitud de la bisectriz. BD en la
figura.
A
6
B
16
CD
20
a) 22
23
4
b) 11
4
3
c) 15
3
4
d) 11
3
5
e) N.a.
09.En el gráfico hallar: “m”
5
m
B
A B
8
10
a) 4,12 b) 3,16 c) 3,24
d) 3,05 e) 2,96
10.Los lados de un triángulo son 8, 10 y 14
metros, respectivamente. Hallar la longitud de
la mediana respecto al lado mayor.
a) 31 m b) 33 m c) 4 2 m
d) 33 m e) 2 7 m
a) Teorema de cuerdas :
a d
c b
a.b = c.d
b) Teorema de Secantes :
ab = cdb
a
d
c
c) Teorema de la Tangente :
x = ab
b
a
x
2
APENDICE :
a)
x = 2 RrR
r
x
RELACIONES MÉTRICAS
EN LA

b)
x =
L
L
x
L
16
c)
x =
R
3
x
R R
PRACTICA DE CLASE
01. Si AE es a EB como 2 es a 5 y
CE ED. =160, hallar AE
D
A
B
C
E
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) N.A
02. Hallar AC , si AH = 2 , HB =3 y
HD =6 .
D
A B
H
C
a) 3 b) 2 5 c) 5
d) 4 e) 2 2
03. Desde un punto “P” exterior a una
circunferencia, se dibujan las secantes PAB
y PCD. Si AB cm=3 , AP cm=4
y CP m=2 . Calcular la medida de
CD .
a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm
d) 13 cm e) 14 cm
04. En una circunferencia se dibujan dos
secantes : ABQ y CDQ . Si AB cm=4 ,
CD cm=12 y QB cm=5 .
Calcular QD
a) 3 cm b) 3,5 cm c) 4 cm
d) 4,5 cm e) N.A
05. Se prolonga el diámetro AB cm=10
de una circunferencia un segmento
BD cm=8 . Calcular la media de la
tangencia trazada a dicha circunferencia por
D.
a) 10 cm b) 8 cm c) 12 cm
d) 9 cm e) 5 2 cm
06. Hallar BC , si AC = 16 cm y TC = 8
cm. (T es punto de tangencia)
A
B
CT
a) 4 b) 5 c) 6
d) 5,5 e) N.a
07. En la figura; hallar R
R
R
8
a) 12 b) 8 c) 16
d) 24 e) 30
08. Hallar “x”, si O centro de la circunferencia
mayor OT =2 3 y OO′=9
O´
x
T O
a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2
d) 3 e) 3/4
09. La razón entre los catetos de un triángulo
rectángulo es de 2 : 3, entonces la razón
entre los segmentos determinados sobre la
hipotenusa al ser trazada la altura es de:
a) 4/9 b) 5/4 c) 5/9
d) 8/9 e) 2/3
11. Hallar el perímetro de un triángulo
rectángulo, si se sabe que altura relativa a la
hipotenusa mide 12 cm. y determina en ella
segmentos que son entre sí como 9 es a 16.
a) 30 cm b) 48 cm c) 72 cm
d) 54 cm e) 60 cm
12. En el cuadrado ABCD mostrado, M es
punto medio del lado BC y
AB cm=4 . Calcular ME .
E
B
C D
A
M
a) 2 5 cm b) 2 5 / 5cm c) 1/5 cm
d) 5 cm e) 1 cm
13. Se tienen dos circunferencias de radio 3 cm
y 5 cm. Se dibuja una cuerda sobre la
mayor que es trisecada por la menor como
se muestra . Hallar la longitud de dicha
cuerda.
a) 2 2 cm b) 4 2 c) 6 2 cm
d) 8 2 e) N.a
14. En la figura hallar r, si ACB o =90 .
A
C
B
R = 12
1
R = 3
2
r
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
15.Si r1 = 18 3 , r2= 12 3 . Hallar ACB
, si B o
==90
A
C
B
r
1
r
3
r2
a) 30° b) 60° c) 37°
d) 53° e) 45°
16. En un cuadrado ABCD, haciendo centro en
el vértice D se traza el arco AC que corta a
AM en el punto E. (“M” punto medio de
BC ). Si BC = 2 5 cm. Hallar
EM
a) 5 cm b) 2 5
cm c) 5/2 cm
d) 1 cm e) 2 cm

17. Interiormente a un cuadrado ABCD se
dibuja una semicircunferencia de diámetro
CD . La tangente trazada por B corta a
AD en el punto E. Si AB a= , hallar
ED
a) 2a b) a c) a/3
d) a/4 e) 4a
18. En la figura hallar AF , si
BC y CD= =1 3
F
A
B
C
D
E
AF = FB
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1,5 e) 1, 2
19. Hallar “x”, si R = 3 + 2 2 .
R
x
a) 1/2 b) 1/4 c) 1
d) 1/3 e) 1/5
20. Tomando como centros los vértices A y D
de un cuadrado ABCD se dibujan cuartos
de circunferencia. Si la intersección de estas
es el punto E, hallar el radio de la
circunferencia inscrita en el triángulo
mixtilíneo BEC. (El cuadrado tiene lado L).
a) L/8 b) L/4 c) L/16
d) 2L/7 e) N.A
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. En el cuadrado ABCD mostrado:
.210ECAE =+ Hallar ED :
A
D C
B
F
a) 5m b) 10 c) 15
d) 20 e) 1
02. En el triángulo escaleno ABC: B = 60°
,m33BCAB =+ “O” es el
baricentro del triángulo equilátero ACD,
hallar OB .
a ) 1m b) 3 c) 6
d) 9 e) 12
03. En el triángulo rectángulo ABC:
22BRBQ =+ m, siendo PQRS
un cuadrado de centro “O”. Hallar OB .
Q
O
A
R
P
B
C
S
a) 1 m b) 2 c) 2
d) 2 2 e) 4
04. En el triángulo acutángulo ABC, hallar
MN si AC es el diámetro del
semicírculo mostrado, además AM =
7m.
A
B
M x
N
15
25
O
C
7
a) 5 m b) 10 c) 15
d) 20 e) 5
05. En el cuadrante AOB, hallar AC siendo:
BC = 2m, OBAO = = 3m
3
A
C
O 3
x
B
2
a) 2 - 2 b) 3 - 2 ) 4 - 2
d) 5 - 2 e) 2 - 1
06. Siendo BC = 2m, EF = 6m, ED =
4m.
Calcular: AB .
E
6
F
D
4 A
C
2
B
x
a) 7 b) 8 c) 11
d) 13 e) 14
07. Siendo 2EF,4CD,5BC ===
, FC = 4. Hallar AB .
A
C
4
F 2
E
B
D
4
C
5
a) 1 m b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08. Calcular la cuerda común AB siendo:
AP,PBCD = = 1m.
A
C
P
B
D
a) 1 m b) 2 c) 3
d) 1,5 c) 6
09. Calcular la tangente
MC.BMsi,AM = 8.
C
A
M
B
a) 2 m b) 4 c) 6
d) 8 e) N.a.
10. En el círculo de centro “O”, PC = 5m,
PE = 2m, ECˆP2Pˆ = . Calcular el
radio del círculo.
E
C 5
O
2α
α
R 2
P
a) 2 m b) 4 c) 6

d) 8 e) 10
11. En el cuadrilátero de 5 m de radio.
Calcular MCsi,CD = 5
A
MB
D
C
5
5 5
a) 1 m b) 2 c) 3
d) 4 ed) 5
12. Siendo AM la mediana del triángulo
ABC, AE = 4m, EB = 6m, CF =
3m. Hallar AF .
A
4
E
6
B
M
x
F
3
C
a) 12 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
13. En la figura calcular “r”, si: PQ = 1, QR
= 4 y R = 6.
QP
O
R
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 0,5
14. Si AB = 5; BC = 2 y CD = 1
Calcular DE
C D
A
B E
a) 1 b) 1, 5 c) 2
d) 2, 5 e) 3
15. Calcular BC Si AB = 3 y CD = 4
A
B
C
D
a) 1, 5 b) 2 c) 2, 5
d) 3 e) 4
TAREA DOMICILIARIA
01. Desde un punto B se traza una tangente
BA y una secante BCD a una
circunferencia, de tal manera que BA = 8
m y BC m=4 . Calcular la cuerda
DC .
a) 12 m b) 11 m c) 10 m
d) 9 m e) 8 m
02.En la figura, hallar
AB BC AM MC. .− , si
BD y BC= =8 18 .
ß ß
A
M C
B
D F
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
03. En un triángulo ABC se traza la mediana
BM y la bisectriz BF , la
circunferencia circunscrita al triángulo
BMF corta a los lados AB y BC en D y
E respectivamente . Si AD m=10 .
Calcular CE .
a) 5 b) 10 c) 20
d) 15 e) N.A
04. En un triángulo ABC AB BC. =24 .
Se t raza la bisectriz interior
BD y la mediana BM ; si
BD DM= . Hallar AC .
a) 2 6 b) 6 c) 4
d) 4 6 e) N.A
05. En la figura, hallar AQ, si AO =
diámetro AO OB y AP= =2
A
0
B
QP
a) 2 b) 3 c) 2/3
d) 8 e) N.a
06.Hallar “R”
R
3
2
A BO
a) 25/2 b) 25/4 c) 35/2
d) 35/4 e) N.a
07. Calcular el radio de la circunferencia .
Si AO OB OM MB= = =8,
R
O M B
A
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a
08. Hallar BC ,
PD CD y PE= = =3 4 7,
A
O
C
B
D
P
E
a) 3 b) 4 c) 7
d) 7 e) N.a
09. Desde un punto “P” exterior a una
circunferencia se trazan la secante PAB
y la tangente PC . Por los puntos A y B
se traza otra circunferencia que intersecta a
PC en el punto M y a la prolongación de
PC en el
Punto N. Hallar CN sabiendo que
MC MP BC AC y BC AC= = − =, . 18 3
2 2

a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) N.A
10. De la figura calcular el radio de la
circunferencia si el lado del cuadrado es (2 -
2 )
R
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) N.a
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01. B B A B
02. A C B B
03. D A D B
04. B C C C
05. D A E C
06. C D A E
07. A B C C
08. A E A C
09. C D C E
10. A C E B
11. C B A C
12. C D C C
13. D A D C
14. C D C B
15. C C C B
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