Este documento presenta los conceptos de magnitudes proporcionales directa e inversamente. Explica que dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción, mientras que son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye. También describe cómo graficar estas relaciones y define las funciones de proporcionalidad directa e inversa. Finalmente, enumera algunas propiedades de la relación entre magnitudes.

2. Tema: Magnitudes proporcionales I
ARITMÉTICA
Docente: Julio Omar Torres Pérez

3. Diferenciar la relación entre dos
magnitudes (DP e IP).
1
Graficar el comportamiento de los
valores que asumen dos magnitudes
en determinados momentos.
2
Utilizar las propiedades de la relación
entre magnitudes en la resolución de
problemas.
.
3
OBJETIVOS

4. INTRODUCCIÓN
De manera muy frecuente en nuestro que hacer cotidiano podemos observar distintas características propias
de la materia (magnitud, cantidad y otros), por ejemplo, mientras más alto sea un edificio, su sombra también
será mayor, si una persona pedalea más rápido su bicicleta, podrá recorrer mayor distancia en un mismo
tiempo, si más obreros trabajan en la construcción de una misma vivienda demorarán menos tiempo, etc.
De ahí la importancia de conocer la magnitud y su respectiva cantidad, para que de esta manera podamos
establecer la relación de estas magnitudes.
La cantidad de artículos iguales a
comprar y lo que se debe pagar,
“mientras más artículos se compre
más se gastará”.
La cantidad de trabajadores que se
requiere para realizar una obra y el
tiempo, “mientras más personas
trabajen menos tiempo se tardará”.

5. MAGNITUDES PROPORCIONALES
CONCEPTOS PREVIOS
Magnitud
Es todo aquello que tiene la
propiedad de ser medido o
cuantificado y que dicho valor puede
sufrir una variación.
Cantidad
Es el resultado de medir el cambio o
variación que experimenta una
magnitud en un determinado
momento del análisis expresado en
ciertas unidades de medida.
Ejemplos:
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 10 m ; 30 cm ; 8 km
Peso 7 kg ; 450 gr ; 63 mg
Volumen 50 L ; 285 mL
N° de alumnos 50 ; 60 ; 70
Nota:
En el presente capítulo estudiaremos solo las
magnitudes matemáticas, dado que con los valores
obtenidos mediante el proceso de medición se puede
establecer algunas relaciones entre dichas
magnitudes.

6. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Ejemplo:
Mateo compra 4 artículos de igual calidad con S/20.
¿Cuántos artículos hubiera comprado con S/60?
Se observa que:
(𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜)
(𝑁° 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠)
Costo (S/.)
N° de artículos
÷ 𝟐
÷ 𝟐
× 𝟐
× 𝟐
× 𝟑
× 𝟑
Afirmamos que:
(Costo) DP (N° artículos)
(𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜)
(𝑁° 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠)
= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
En General:
Si: A DP B (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐴")
(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝐵")
= 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
Cuando 2 magnitudes son DP; la razón entre dos valores
correspondientes es igual a la razón entre otros dos
valores correspondientes.
Dadas las magnitudes: A y B
(Costo) DP (N° artículos)
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP),
si al aumentar o disminuir el valor de una de ellas,
entonces el valor correspondiente de la otra magnitud
también aumenta o disminuye en la misma proporción.
20
4
40
8
60
12
10
2
=
20
4
=
40
8
=
60
12
=
10
2
= 5 (𝐂𝐭𝐞)

7. Aplicación 1
Resolución:
Sean A y B dos magnitudes, tal que A DP B2. Si el valor de
A es 80 cuando el de B es 20, calcule el valor de A cuando
el de B es 15.
Aplicación 2
Resolución:
Si 20 obreros pueden asfaltar 100 m de una carretera.
¿Cuántos obreros serán necesarios para asfaltar 60 m de
una carretera, en el mismo tiempo?

8. GRÁFICA DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
Costo (S/)
N° de artículos
20
4
40
8
60
12
10
2
Representemos los valores correspondientes de las dos
magnitudes en el sistema de coordenadas
rectangulares, así:
N° artículos
Costo (S/)
2 4 8 12
10
20
40
60
20
4
=
40
8
=
60
12
=
10
2
= 𝑘
Se observa que:
• La gráfica de dos magnitudes directamente
proporcionales son un conjunto de puntos que
pertenecen a una misma recta, la cual pasa por el
origen de coordenadas.
• En cualquier punto de la gráfica (excepto en el origen
de coordenadas), el cociente de cada par de valores
resulta ser constante.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Tomando en cuenta los valores anteriores de la gráfica
de la izquierda, asignando “y” al valor de la magnitud
Costo y “x” el valor de la magnitud N° artículos, se tiene
que:
20
4
=
40
8
=
60
12
=
10
2
=
𝑦
𝑥
= 𝑘
Del ejemplo inicial:

9. De lo anterior:
𝑦
𝑥
= 𝑘
Ecuación de una recta
que pasa por el origen
de coordenadas.
Como el valor “y” está en función de “x”, entonces
y = f(x), luego al reemplazar tendremos:
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑘
Es una función que tiene
el comportamiento de
dos magnitudes DP.
Entonces:
𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Función de
Proporcionalidad
Directa.
Aplicación 3
Si 𝑓(𝑥)es una función de proporcionalidad directa y
además: 𝑓 2 + 𝑓 5 = 21
Calcule 𝑓 3 + 𝑓(
2
3
)
Resolución:
Piden: El valor de 𝑓(3) + 𝑓(
2
3
).
Como 𝑓 𝑥 es una función de proporcionalidad directa
se tiene que: 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑥
Por dato:
𝑓 2 + 𝑓 5 = 21 → 2𝑘 + 5𝑘 = 21
𝑘 = 3
Luego:
• 𝑓 3 = 3(3) = 9
• 𝑓
2
3
= 3
2
3
= 2
𝑓 3 + 𝑓
2
3
= 11
Por lo tanto: El valor de 𝒇 𝟑 + 𝒇(
𝟐
𝟑
) es 11.

10. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)
Ejemplo:
Paco camina con una rapidez de 4m/s y se demora 6
segundos en cruzar una pista. ¿Qué tiempo demorará con
una rapidez de 12m/s?
Se observa que:
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 . 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Rapidez (m/s)
Tiempo (s)
÷ 𝟐
× 𝟐
× 𝟐
÷ 𝟐
× 𝟑
÷ 𝟑
Afirmamos que:
(Rapidez) IP (Tiempo)
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 . (𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜) = 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
En General:
Si: A IP B 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "A" . (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "B") = 𝑘(𝐶𝑡𝑒)
Cuando 2 magnitudes son IP; el producto de dos valores
correspondientes es igual al producto de otros dos
valores correspondientes.
Dadas las magnitudes: A y B
(Rapidez) IP (Tiempo)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP), si
al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, entonces
el valor correspondiente de la otra magnitud disminuye o
aumenta en la misma proporción.
4
6
8
3
12
2
2
12
= 4 6 = 8 3 = 12 2 = 2 12 = 24
(𝐂𝐭𝐞)

11. Aplicación 4
Resolución:
Aplicación 5
Resolución:
Sean A y B dos magnitudes, tal que A IP B. Si el valor de
A es 45 cuando el de B es 25, calcule el valor de A cuando
el de B es 225.
Si 30 obreros pueden hacer una obra en 8 días. ¿Cuántos
obreros de la misma eficiencia serán necesarios para
hacer la misma obra en 12 días?

12. GRÁFICA DE MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
Rapidez (m/s)
Tiempo (s)
4
6
8
3
12
2
2
12
Representemos los valores correspondientes de las
dos magnitudes en el sistema de coordenadas
rectangulares, así:
2 4 8
3
6
Rapidez
Tiempo
12
2
Se observa que:
• La gráfica de dos magnitudes inversamente
proporcionales son puntos contenidos en una
rama de la hipérbola equilátera.
• Cada área del sector rectangular que se genere al
trazar la perpendiculares a los ejes desde un
punto que pertenece a esta hipérbola es el
mismo.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Tomando en cuenta los valores anteriores de la
gráfica de la izquierda, asignando “y” al valor de la
magnitud Tiempo y “x” el valor de la magnitud
Rapidez, se tiene que:
20 ∙ 24 = 40 ∙ 12 = 80 ∙ 6 = 160 ∙ 3 = 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑚
20 ∙ 24 = 40 ∙ 12 = 80 ∙ 6 = 160 ∙ 3 = 𝑚
12
Del ejemplo inicial:

13. De lo anterior:
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑚
Ecuación de la
hipérbola equilátera.
Pero, como el valor “y” está en función de “x”,
entonces y = g(x), luego al reemplazar tendremos:
𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = 𝑚
Es una función que tiene
el comportamiento de
dos magnitudes IP.
Entonces:
𝑔 𝑥 =
𝑚
𝑥
; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Función de
Proporcionalidad
Inversa.
Aplicación 6
Si 𝑔 𝑥 es una función de proporcionalidad inversa donde
𝑔 3 = 2
Calcule 𝑔 2 + 𝑔 6
Resolución:
Como 𝑔 𝑥 es una función de proporcionalidad inversa
se tiene que:
Por dato:
→
𝑚
3
= 2 𝑚 = 6
Luego:
• 𝑔 2 =
• 𝑔 6 =
𝑔 2 + 𝑔 6 = 4
6
2
= 3
6
6
= 1
Piden: El valor de 𝑔(2) + 𝑔(6).
𝑔 𝑥 =
𝑚
𝑥
𝑔 3 = 2
Por lo tanto: El valor de 𝒈 𝟐 + 𝒈(𝟔) es 4.

14. Propiedades de la Relación entre Magnitudes
𝐴 𝑫𝑷 𝐵 ↔ 𝐵 𝑫𝑷 𝐴 𝐴 𝑰𝑷 𝐵 ↔ 𝐴 𝑰𝑷 𝐵
Propiedad 1 Sean A y B magnitudes, se cumple que:
Propiedad 2 Sean A y B magnitudes, se cumple que:
𝐴 𝑫𝑷 𝐵 ↔ 𝐴𝑛
𝑫𝑷 𝐵𝑛
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 ∈ ℚ 𝑦 𝑛 ≠ 0 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑚 ∈ ℚ 𝑦 𝑚 ≠ 0
𝐴 𝑰𝑷 𝐵 ↔ 𝐴𝑚
𝑰𝑷 𝐵𝑚
Ejemplos:
A DP B ↔ A DP B2
Elevamos al cuadrado
•
M4
IP N2 ↔
Sacamos raíz cuadrada
• M2
IP N
Propiedad 3 Sean A y B magnitudes, se cumple que:
𝐴 𝑫𝑷 𝐵 ↔ 𝐴 𝑰𝑷
1
𝐵
𝐴 𝑰𝑷 𝐵 ↔ 𝐴 𝑫𝑷
1
𝐵
Propiedad 4
Sean A, B y C 3 magnitudes; y tomando A como
magnitud referencial, consideremos que:
I)
A DP B (cuando C no varía)
A DP C (cuando B no varía)
A
B C
𝒌(𝑪𝒕𝒆)
Ejemplo:
Si:
M IP Q
𝑘(𝐶𝑡𝑒)
M Q
↔
P IP Q (cuando R y S no varía)
P IP R (cuando Q y S no varía)
P Q R
𝒌(𝑪𝒕𝒆)
P DP S (cuando Q y R no varía)
Sean P, Q, R y S 4 magnitudes; y tomando P como
magnitud referencial, consideremos que:
II)
S
M2
DP N M DP N

15. B I B L I O G R A F Í A
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Aritmética: Colección
compendio académico UNI.
Lumbreras Editores, 2010.
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Aritmética Esencial -
Colección Esencial.
Lumbreras Editores, 2016.
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Magnitudes proporcionales -
Colección Temas Selectos.
Lumbreras Editores, 2015.