Este documento presenta información sobre las funciones potencia y logarítmica. Introduce las funciones potencia de la forma f(x) = axn, donde a es un número real y n = 0, 1, 2, 3, etc. Explica que el dominio de estas funciones es R y su recorrido depende del valor de n y a. Luego analiza las gráficas de las funciones potencia para n par e impar, y cómo se ven afectadas por los valores de a. Finalmente, introduce la función logarítmica f(x) = logb(x)

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CONTENIDOS
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Función potencia
Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 y
g(x) = x3.
f(x) = x2 g(x) = x3
¿Cuál es el dominio de cada función?
Ambas funciones están definidas para todo ‫ ,ޒ‬es decir:
dom (f) = dom (g) = ‫ޒ‬
¿Cuál es el recorrido de cada función?
En el primer caso, el rec (f) es ‫ +ޒ‬y en el segundo es rec (g) = ‫.ޒ‬
o
Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de función
denominada función potencia: axn.
PA R A A R C H I VA R
Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a es
un número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es ‫.ޒ‬
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional, o 2. Se quiere construir una caja de cartón con
bien en papel milimetrado, grafica las siguientes forma similar a un paralelepípedo recto de base
funciones. Luego responde. cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta
para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál
y = x4 y = x5 y = x6 y = x7 es el mayor volumen que puede tener la caja?
a. Las funciones dadas, ¿son simétricas? 3. Determina para qué valores de x las siguientes
b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué funciones son positivas.
sucede con las gráficas de las funciones?
2 3
c. ¿Cuál es el dominio de cada función? a. y = 4x2; b. y = x
3
d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?
76 Función Potencia y Logarítmica

2. U3 Pág. 68 - 93 7/17/08 11:22 PM Página 77
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Análisis de la función potencia
Exponente par
Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par.
y = x2 y = x4 y = x6
Y Y Y
EN EQUIPO
Grafiquen las siguientes funciones:
2 2
X X X y = 0,05x y=x
2 2
y = 3x y = 5x
¿Qué sucede a medida que a
crece?
¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?
y = –x2 y = –x4 y = –x6
Y Y Y
X X X
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
TIPS
• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene su
vértice en el punto más bajo de la curva. Si f(x) = f(–x), para cualquier x
• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene su en el dominio, la función f es
par.
vértice en el punto más alto de la curva.
• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir,
f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
PA R A A R C H I VA R
Sea y = axn una función potencia con n par, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la función
es de la forma: es de la forma:
Y Y
3 3
2 2
1 1
IR A LA WEB
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X
-1 -1
Desarrolla el laboratorio 2.
-2 -2
www.santillana.cl/emedia/mat4
-3 -3
Función Potencia y Logarítmica 77

3. U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 78
CONTENIDOS
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Exponente impar
Ampliaremos nuestro análisis para n impar.
1 5
y = 2x3 y= x y = 4x7
3
Y Y Y
EN EQUIPO
Determinen qué sucede con el
gráfico de una función de la
n X X X
forma y = ax para 0 < a < 1 y n
impar.
3 3 1 7
y=– x y = –3x5 y=– x
2 2
Y Y Y
X X X
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
TIPS
• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-
Si f(–x) = –f(x), para cualquier x
drante.
en el dominio, a función f es
• Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuarto
impar.
cuadrante.
• Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir,
f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
PA R A A R C H I VA R
Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la función
es de la forma: es de la forma:
Y Y
X X
78 Función Potencia y Logarítmica

4. U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 79
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Traslaciones verticales y horizontales
La figura muestra las gráficas Y
EN EQUIPO
de las siguientes funciones:
y = x3 Comprueben que para el caso
de funciones potencia con expo-
y = (x + 2)3 nente par, también se cumple
1
y = (x – )3 este tipo de traslación.
2
X
Podemos observar que el gráfico de
estas funciones polinomiales es el
mismo pero trasladado con respecto
al de la función potencia: x3.
AY U D A
Las funciones polinomiales o
PA R A A R C H I VA R polinómicas son aquellas que se
pueden formar sumando fun-
ciones potencia, cuyos expo-
Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n, nentes correspondientes son
con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda. enteros. Ejemplos,
f(x) = 3x2 + x + 1
Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,
f(x) = –3x5 – 1
con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha. f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7
EJERCICIOS
1. Grafica las siguientes funciones (puedes 4. Indica la función que representa a cada una
utilizar un programa computacional): de las siguientes gráficas.
a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4 Y
b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)3
2. Construye 2 funciones polinomiales que corres-
pondan a una traslación horizontal en cada X
caso. Dibuja los gráficos.
a. y = –3x3
b. y = 5x4
c. y = –5x5
5. Comprueba que para una función del tipo
3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5,
f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado
haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3.
ϱ
por el intervalo [c, +ϱ[.
a. ¿Qué semejanzas encuentras?
6. Determina el dominio y recorrido de las
b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una
funciones del ejercicio 1, e indica para qué
función trasladada verticalmente con
valores son positivas.
respecto a f(x) = –3x2?
Función Potencia y Logarítmica 79

5. U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 84
CONTENIDOS
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Función logarítmica
La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde la
base b es un valor perteneciente a ‫.}1{ – +ޒ‬
Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en
Javamath, algunas de ellas.
AY U D A Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1.
Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:
El programa Javamath acepta como f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).
expresiones válidas los siguientes
logarítmos: log10 y log2 . Y
Para escribir expresiones en el
computador debes usar lo si-
guiente:
f(x)=log10 x ⇒ f(x)=log10(x)
f(x)=log2 x ⇒ f(x)=log2(x)
Para otras base deberás usar
X
cambio de variable:
f(x)=log3x⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)
Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizar
con respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1:
• La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas
X en el punto (1, 0).
• La función es creciente para todo valor real de x.
• El dominio de la función son los números reales positivos: ‫+ޒ‬
EJERCICIOS
1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes 2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter-
funciones. Luego, responde en tu cuaderno. mina observando el gráfico, el valor aproximado
a las décimas de los siguientes logaritmos.
i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x)
ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x) a. log7 (4) c. log7 (10)
b. log7 (7) d. log7 (2)
a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas
entre las gráficas? Justifica.
84 Función Potencia y Logarítmica

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.
En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:
f1(x) = log 1 (x), f2(x) = log 1 (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x).
3 2
Y
X
Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puede
generalizar lo siguiente:
• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas
X en el punto (1, 0).
• La función es decreciente para todo valor real de x.
• Los reales positivos son el dominio de la función: ‫.+ޒ‬
¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?
PA R A A R C H I VA R
La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características:
- El dominio de la función son los números reales positivos.
- El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es ‫.ޒ‬
- La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el
punto (1, 0).
Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la función
es creciente. es decreciente.
Y Y
IR A LA WEB
X X
Desarrolla el laboratorio 4.
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Función Potencia y Logarítmica 85

7. U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 86
CONTENIDOS
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
EJERCICIOS
1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x), 2. Determina si las siguientes proposiciones son
determinar: verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. f(4) e. f ͑ ͒ 1
64
a. La función f(x) = log(x) es creciente.
b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x)
pasa por el punto (2, 9).
b. f(16) f. 2f(2) – 6f ͑ ͒
1
2
c. Una función logarítmica es decreciente
para valores negativos de x.
d. Una función logarítmica es siempre
c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f ͑ ͒ 1
8
creciente.
e. La gráfica de una función logarítmica es
͑ ͒ ͑ ͒
1 1 siempre simétrica con respecto al eje
d. f h. 2f(128) – 8f de las abscisas.
8 128
f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier
función logarítmica.
Distintas gráficas de la función logarítmica
Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a ‫,}1{ – +ޒ‬
analizaremos distintas gráficas según sea el caso.
Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a ‫.ޒ‬
Graficaremos las siguientes funciones.
b = 10 y a > 0 Y f3(x) b = 10 y a < 0 Y
f2(x)
f1(x) = log (x) f1(x) f1(x) = log (x)
f4(x)
X f1(x)
f2(x) = 2 log (x) f2(x) = –3 log (x) X
f4(x)
f2(x)
f3(x) = 4 log (x) f3(x) = –5 log (x)
f3(x)
f4(x) = 0,5 log (x) f4(x) = –0,3 log (x)
b=2ya>0 Y f3(x) b=2ya<0 Y
f1(x) = log2 (x) f2(x) f1(x) = log2 (x)
f1(x) f1(x)
f4(x)
f2(x) = 2 log2 (x) f2(x) = –3 log2 (x)
X f4(x)
X
f3(x) = 4 log2 (x) f3(x) = –5 log2 (x)
f2(x)
f4(x) = 0,5 log2 (x) f4(x) = –0,3 log2 (x) f3(x)
86 Función Potencia y Logarítmica

8. U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 87
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
Observamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),
con b perteneciente a ‫ }1{ – +ޒ‬que:
• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.
• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.
¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?
con
Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ ‫.ޒ‬ Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ ‫.ޒ‬
Y Y
Para b = 10 Para b = 10
f2(x)
f1(x) = log (x) f1(x) = log (x)
X
f1(x)
f2(x) = log (x + 1) f2(x) = log (x) + 3 X
f3(x)
f3(x) = log (x – 1) f3(x) = log (x) – 3
f2(x) f1(x) f3(x)
En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori-
EN EQUIPO
zontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo o
negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva- Discutan la siguiente pregunta.
mente. En el caso II o III, ¿cambiará la
gráfica de la función si la base
En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o hacia del logaritmo toma otro valor?
arriba, según sea el valor positivo o negativo de a. Justifiquen su respuesta.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes?
grafica las siguientes funciones logarítmicas.
Luego indica el tipo de traslación en relación a 3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas
la función f(x) = log (x). las siguientes funciones, y luego responde.
i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x)
a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1)
ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x)
b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3
iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)
2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde. a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras
entre las gráficas de las funciones de i?,
i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1)
¿y de ii?, ¿y de iii?
ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2)
b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es
iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3)
el punto de intersección con el eje X?
a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas? c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii
b. ¿Cuál es el dominio de cada función? y iii?
Función Potencia y Logarítmica 87