1. Se describen varias funciones reales particulares como la función constante, función nula, función identidad, función valor absoluto y función exponencial. 2. La función exponencial se define como f(x)=b^x donde b es la base, una constante real distinta de 1. Si b>1 la función es creciente, si 0<b<1 es decreciente, y si b=1 es la función identidad. 3. Dos casos especiales de la función exponencial son cuando la base es e, conocido como número de Euler, y cuando la base es 10, relacion

1. 2.4 ALGUNAS FUNCIONES REALES PARTICULARES
2.4.1 FUNCION CONSTANTE
En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma
el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:
donde a es la constante.
Si es una constante real, la función definida por:
Figura 2.35 Gráfica de la Función
Constante
Y
4
3 Notemos que:
2
I.
II.
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

2. EJEMPLO Nº29:
a. Sea definida por . Luego su representación gráfica es:
Figura 2.36 Gráfica de la Función
Y
1
X Notemos que:
-1 1
-1

3. b. Sea La función definida por . Luego, su representación
gráfica es:
Figura 2.37 Gráfica de la función
Y
3
2 Notemos que:
I.
1 II.
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

4. FUNCIÓN NULA: (Caso particular de la función Constante )
Se llama Función Cero a aquella función definida por para todo ,y
su representación gráfica es la siguiente:
Figura 2.38 Gráfica de la Función Nula
Y
1
Notemos que:
X
I.
-1 1
II.
-1

5. 2.4.2 FUNCION IDENTIDAD
En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un
conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.
Sea una función. Se llama Función identidad a aquella función definida
por , y su representación gráfica es la siguiente:
Figura 2.39 Gráfica de la Función Identidad
y
4
3
2
1
Notemos que:
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 I.
-1
II.
-2
-3
-4

6. 2.4.3 FUNCION VALOR ABSOLUTO
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico
sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo,
3 es el valor absoluto de 3 y también es el valor absoluto de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y
norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor
absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios
vectoriales.
La función valor absoluto es aquella función definida por , tal que
. Su representación gráfica es la siguiente:
Figura 2.40 Gráfica de la Función Valor
Absoluto.
Y
4
3
2
Notemos que:
1 I.
X II.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Aplicando la definición de Valor Absoluto a expresiones de la forma
, se tiene que

7. EJEMPLO Nº 30:
Pero,
→
→
Por lo tanto,
O como lo muestra la siguiente tabla:
No olvidemos que en el valor absoluto de , sucede que indica el
movimiento horizontal, mientras que indica el movimiento vertical

8. 2.4.4 FUNCION EXPONENCIAL
Sea , es una función real, esta es una función es una expresión
cuya base es , y cuyo exponente es la variable independiente .
Veamos el comportamiento de esta función en el gráfico.
}
Figura 2.41 Gráfico de la Función
Exponencial.
Y
4
Notemos que:
2
I.
-4 -2 2 4
X
II.
-2
-4
En general una función real de la forma de base real ; distinta
de 1, es llamada Función Exponencial.
Podemos bosquejar la gráfica de la función exponencial a partir de la tabla de
valores:

9. Figura 2.41 Comparación de Funciones Exponenciales
Y y
4 4
3 3
2 2
1 1
X X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
Si comparamos la gráfica de con , son funciones reflejas con
respecto al eje . Además, es una función creciente mientras que
es una función decreciente.
Ahora bien, comparamos la gráfica de ,
podemos notar que a medida que la base crece, su gráfica tiende a estar más
cerrada con el eje y.

10. Figura 2.43 comparación de Gráficas de Funciones
Exponenciales con base mayor a 1.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

11. Gráfico de la función exponencial , con .
EJEMPLO Nº 31:
Figura 2.44 Comparación de Funciones Exponenciales
con base mayor a 0 y menor 1.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

12. Podemos concluir lo siguiente.
A. Si , entonces la función exponencial de base y exponente
se concluye que:
1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto
.
2. Siempre es una función creciente, es decir, a medida que los valores de
aumentan los valores que toma y aumentan.
B. En general, si , entonces
1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto
.
2. Siempre es una función decreciente, es decir, a medida que los valores de
aumentan los valores que toma y disminuyen, siendo cada vez mas cercanos a
cero, pero nunca cero.
C. En general, para se concluye:
1. El dominio de dicha función, son todos los números reales.
2. El recorrido de dicha función, son todos los números reales
positivos.
3. Si , entonces es creciente.
4. Si , entonces es decreciente.

13. CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Dentro del estudio de las funciones exponenciales existen dos casos de suma
importancia, aquellas funciones que tienen como base los números .
a. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE
Si , entonces . El número es conocido a veces
como número de Euler o constante de Napier.
En este caso tenemos que la base es Observemos su gráfica:
Figura 2.45 Gráfica de la Función
Exponencial con base Neperiana.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
<
-2 0,05
-1 0,13
0 1
1 2,72

14. b. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10
Si , entonces . Notemos la base .
Figura 2.46 Gráfica de la Función
Exponencial con base 10.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-1 1/10
0 1
1 10

15. 2.4.5 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL
La función exponencial ayuda en la resolución de problemas matemáticos
de situaciones reales. Observemos algunos casos:
A. Aplicación a problemas físicos:
Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura
final de un objeto, transcurrido minutos, está dada por la igualdad.
Donde,
es la temperatura del medio en que se encuentra el objeto.
es la temperatura inicial del cuerpo.
es la constante de enfriamiento.
Si consideramos un caso hipotético, donde tenemos una temperatura inicial del
cuerpo de 70 y una constante de enfriamiento de y el cuerpo es ubicado en un
medio que se encuentra a 30 de temperatura. ¿Qué temperatura tendrá
transcurridos 7 segundos?
Reemplazando los valores en la fórmula:

16. B. Aplicación a un problema de biología.
Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la relación
Donde:
es la población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.
es la población de bacterias producidas en un tiempo determinado.
es el índice de crecimiento poblacional por bacteria.
es el tiempo de cultivo.
Consideremos un cultivo con una población inicial de 100 bacterias con
capacidad de reproducirse y con un índice de crecimiento poblacional final de 8
bacterias después de 10hrs.
Reemplazando los valores de la fórmula:

17. 2.4.6 FUNCION LOGARITMO
La función logaritmo, es la función inversa de la función exponencial, es decir, si
, entonces su inversa es . No olvides que la función
logaritmo es la función inversa de la función exponencial, esto es:
Para poder estudiar la función logaritmo analizaremos su gráfica.
Si con
Figura 2.47 Comparación de Funciones
Logaritmos con distinta base.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1/2 -1 1/3 -1
1 0 1 0
2 1 3 1

18. En general, si su base es mayor a ocurre que:
i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .
ii. La función es creciente.
Si con
Figura 2.48 Comparación de las
Funciones Logaritmo con base menor a 1.
Y
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1/2 1 1/3 1
1 0 1 0
2 -1 3 -1

19. En general, si su base varía entre ocurre que:
i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .
ii. La función es decreciente para todo valor real de .
En general, podemos decir que:
a) El dominio es el conjunto de los números reales positivos
b) El recorrido es el conjunto de los números reales
c) Si , la función es creciente.
d) SI , la función es decreciente.

20. 2.4.7 CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
Dentro del estudio de las funciones logaritmos existen dos casos de suma
importancia, aquellas funciones que tienen como base los números .
a. Si
Si , entonces . Que se lee logaritmo natural de .
Observemos su gráfica:
Figura 2.49 Gráfica de la Función
Logaritmo Natural.
Y
4
2
X 1/2 -0,69
-1 1 2 3 4
1 1
2 0,69
-2

21. b. Si
Si , entonces . Observemos su gráfica:
Figura 2.50 Gráfica de la Función
Logaritmo con base 10.
Y
4
0,5 -0,30
3
1 0
2
2 0,30
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
2.4.8 Función Logarítmica Inversa de la Función Exponencial
Sea , una función exponencial, determinemos la función inversa de
despejando la variable .
Sabemos que si , entonces:
Luego, intercambiamos los pares por los de la función en la expresión
, tenemos:

22. Observemos sus gráficas
Figura 2.51 Gráfica de la Figura 2.52 Gráfica de la
Función Logaritmo con base Función Logaritmo con base
mayor a 0. mayor a 0 y menor a 1.
Y Y
4 4
3 3
2
, Si 2
1 1
X X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
En general, podemos observar que:
a) Las gráficas son simétricas con respecto a la bisectriz del cuadrante I y el
cuadrante III.
b)
c)