Este documento presenta información sobre lógica proposicional. Explica conceptos como proposiciones atómicas y compuestas, tablas de verdad, conectivos lógicos, tautologías y contradicciones. También incluye ejemplos de conversiones entre diferentes sistemas de numeración como binario, decimal, octal y hexadecimal.

1. PROYECTO DE MATEMÁTICAS GRUPO 1

2. INTEGRANTES:

4. Lógica

5. Proposiciones

6. Tipos de proposiciones

7. Proposiciones Atómicas Son aquellas que contienen una sola proposición. Ejemplos: Rosa baila. Esto es una casa. Juan canta. 5 es un número par. Quito es la capital del Ecuador .

8. Son aquellas que contienen más de una proposición. Ejemplos: María trabaja y Rosa estudia. Juan y Luisa son hermanos de Pedro. Amparo es inteligente y es la hermana de Carlos. Esmeraldas y Guayas son provincias del Ecuador.

9. La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR).

10. Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario. Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o, r o s.

11. Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman conectivos u operadores lógicos. Cuando el conectivo afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( ~ ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los conectivos u operadores l ó gicos más importantes son:

12. Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podrá tomar una proposición. Estas tablas sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

13. La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos. p q p ^ q V V F F V F V F V F F F

14. La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando ambas son falsas. p q p v q V V F F V F V F V V V F

15. El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. P q p q V V F F V F V F V F V V

16. El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos. P q p ↔ q V V F F V F V F V F F V

17. La negación ~ que se lee ~p, cambia el valor de la variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera. p ~p V F F V

19. Es cuando tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: ~p v p p ~p ~p v p V F F V V V

20. Es cuando se obtienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: (p -> q) ^ (q -> p) p q p -> q q -> p (p -> q) ^ (q -> p) V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V

21. Es cuando se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: ~q ^ q q ~ q ~q ^ q V F F V F F

23. Equivalencia: p = p Idempotencia p ^ p = p p v p = p Asociativa p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r p v (q v r) = (p v q) v r

24. Commutativa p ^ q = q ^ p p v q = q v p Distributiva p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r) p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r) Identidad p v 0 = p p v 1 = 1 p ^ 1 = p p ^ 0 = 0

25. Complemento p v ~p = 1 ~~p = p p ^ ~p = 0 ~0 = 1 ~1 = 0 Morgan ~ (p ^ q) = ~p v ~q ~ (p v q) = ~p ^ ~q Absorción p ^ (p v q) = p p v (p ^ q) = p

26. Condicional p -> q = ~p v q p -> q = ~q -> ~p Bicondicional p ↔ q = (p -> q) ^ (q -> p) Dominancia p ^ F = F p v V = V Elemento Neutro p ^ V = P p v F = P

27. Sean A y B dos formas proposicionales se dice que A implica lógicamente a B si y solo si A->B es una tautología, ejemplo: Decir entre lo que sigue que es verdadero o falso. p -> ( p ^ q) No es tautología por ende es falso. p q p ^ q p -> (p ^ q) V V F F V F V F V F F F V F V V

28. p -> (p v q) Como es tautología entonces si es una implicación lógica. p q p v q p -> ( p v q) V V F F V F V F V V V F V V V V

29. Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, si y sólo si A ↔ B es una tautología. Demostrar (p -> q) ^ (q -> p) = p ↔ q A ↔ B [(p -> q) ^ (q -> p)] ↔ [p ↔ q] Como es tautología si es equivalencia lógica. p q p -> q q -> p p ↔ q (p -> q) ^ (q -> p) A ↔ B V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V V F F V V V V V

30. (p -> q) ^ (q -> p) A ^ B (p ↔ q) p q p -> q q -> p A ^ B V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V p q p ↔ q V V F F V F V F V F F V

32. Ejercicios resueltos 1.- Pedro es hermano de María. F es hermano de m. 2.- José va a ver a Silvia. J va a ver a s. 3.- Diego y Jorge van a estudiar para la prueba. D y j van a estudiar para la prueba. Ejercicios propuestos 1.- Pedro es estudioso. 2.- Jorge no vino. 3.- Pablo es vago pero Luis no lo es.

33. Ejercicios resueltos 1.- Juan canta jC 2.- Felipe sueña fS 3.- Esto es rojo eR Ejercicios propuestos 1.- Rasa estudia 2.- Marco baila 3.- Sofía es alta

34. Ejercicios resueltos 1.- María vio a Juan mVj 2.- Jorge salió con Juana al cine jSjC 3.- Pedro regreso con Sandra pSs Ejercicios propuestos 1.- 4 es menor que 2 2.- 3 * 7 = 21 3.- Abdala ganó

35. Ejercicios resueltos 1.- El cuadrado de 9 es 81 C(9) = 81 2.- 10 es menor que 11 7 > 11 3.- El resultado de 9 + 5 es 14 R(9+5) = 14 Ejercicios propuestos 1.- El duplo de 12 es 24 2.- El siguiente número de 7 es 8 3.- 8 es un número par

36. Ejercicios resueltos 1.- Ibarra es una ciudad I € C 2.- Los pepinos son vegetales P C V 3.- 17 es un numero estero 17 € Z Ejercicios propuestos 1.- Las casas son edificios 2.- Machala es una ciudad 3.- Marco es un cantante

37. Ejercicios resueltos 1.- Pablo es estudiante y es compañero de Silvana P ̂̂ Q ; pE ̂pCs 2.- Si 3 es número primo entonces 3 x 2 es par P ̂ Q ; 3 € P -> 3*2€P 3.- Si Mariuxi está en sistemas entonces no es amiga de Jorge y Jorge vive en Loja P ̂ Q ; m S -> ¬mAj ̂jVl Ejercicios propuestos 1.- Si Gloria no estudia entonces Estefanía no es su amiga. 2.- Luis es abogado y trabaja con Diego 3.- Si Juan no viaja a Guayaquil entonces su madre viene a Loja

39. Ejercicios resueltos 1.- Todo pez nada Ұx 2.- Ningún pez nada Ұx 3.- Para todo x, si x es pez, entonces nada Ұx (Px ->Vx) 4.- Para todo x, si x es pez no nada Ұx (Px ->¬Vx) Ejercicios propuestos 1.- Toda persona sueña 2.- Ninguna persona sueña 3.- Para todo x, si x es persona, entonces sueña 4.- Para todo x, si x es persona, entonces no sueña

40. Ejercicios resueltos 1.- Hay una ex novia de Pablo que es doctora ΞІ x / (xEp ̂xD) 2.- Algunos animales cuadrúpedos son mamíferos ΞІ x / (xAc ̂xM) 3.- Ciertos números son primos ΞІ x / (Nx ̂xP) 4.- Algunos ingenieros no son eficientes ΞІ x / (xI ̂ ¬xE) Ejercicios propuestos 1.- Hay un día de la semana que no se trabaja 2.- Ciertas personas son amables 3.- Algunos niños no van a la escuela 4.- Algunas personas no poseen trabajo estable

42. Una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico.

43. La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales.

44. El valor booleano de negación suele ser representado como false.

45. En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true.

46. Los circuitos integrados mas vendidos del mundo, como el 7404(inversor),7408 (cuádruple puerta OR), 7400(cuádruple puerta NAND), etc... su funcionamiento consiste en el algebra booleana.

48. Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números.

49. Sistema Decimal o de Base 10 (10 Dígitos, 0 - 9) Sistema Binario o de Base 2 (2 Dígitos, 0 - 1) Sistema Octal o de Base 8 (8 Dígitos, 0 - 7) Sistema Hexadecimal o de Base 16 (16 Dígitos, 0 - f) Con los diferentes sistemas de numeración podemos realizar las respectivas conversiones:

50. Para convertir de Binario a Decimal primero se inicia por el lado derecho del número en binario, cada número se lo multiplica por 2 y se eleva a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0). Después de realizar cada una de las multiplicaciones, se suma todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Por Ejemplo: 10101 2 = 1 *2 4 + 0 *2 3 + 1 *2 2 + 0 *2 1 + 1 *2 0 = 21 10

51. Consiste en dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo entre 2, hasta que una de las divisiones se haga 0. La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso, nos proporcionan el número inicial expresado en el sistema binario. Ejemplo: 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> (100) 10 = (1100100) 2 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 |_2 1 0

52. La conversión consiste en convertir cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits. Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario, convirtiéndolo de manera individual. Tomaremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión.

53. Se realiza de modo contrario a la anterior conversión, agrupando los bits en grupos de 3. Por Ejemplo: 111 001 101 110 7 1 5 6 111001101110 2 = 7156 8

54. En la conversión de una magnitud decimal a octal se realizan divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a cero. Los residuos forman el número octal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo. Por Ejemplo Convertir el número 465 10 a octal. 465 |_8 1 65 |_8 2 58 |_8 7 El resultado en octal de 465 10 es 721 8

55. La conversión de un número octal a decimal se obtiene multiplicando cada dígito por 8 y sumando los productos: Por Ejemplo Convertir 4780 8 a decimal. 4780 = (4 x 8 3 ) + (3x8 2 ) + (8x8 1 ) + (0x8 0 ) = 2048 + 192 + 64 + 0 = 2304

56. Para convertir un número binario a hexadecimal se agrupa la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces se agrega ceros a la izquierda. Posteriormente se ve el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda. Por Ejemplo: 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). 1010 = A 1011 = B 1 sobra entonces se agrega 000 y quedaría 0001= 1 Entonces se agrupa de derecha a izquierda: 1BA

57. La conversión de hexadecimal a binario se facilita porque cada dígito hexadecimal se convierte directamente en 4 dígitos binarios equivalentes. Por Ejemplo Convertir el número 1F0C 16 a binario. 1 F 0 C 16 = 1 1111 0000 1100 2

58. Para convertir un número decimal a hexadecimal se realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los residuos forman el número hexadecimal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo. Por Ejemplo Convertir el número 1869 10 a hexadecimal. 1869 |_16 13(D) 116 |_16 4 7 El resultado en hexadecimal de 1869 10 es 74D 16 .

59. En el sistema hexadecimal, cada dígito tiene asociado un peso equivalente a una potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal del dígito correspondiente por el respectivo peso y realizar la suma de los productos. Por Ejemplo Convertir 31F 16 a decimal. 31F 16 = 3x16 2 + 1x16 1 + 15 x 16 0 = 3x256 + 16 + 15 = 768 + 31 = 79910

60. Para realizar la suma binaria, comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1. Luego se suma el 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y así sucesivamente hasta terminas con todas las columnas. Regla: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación) Suma Binaria

61. Regla: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = equivale a 10 - 1 = 1. El dígito 1, se toma prestado de la posición siguiente. La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Resta Binaria

62. Ejemplo Ejemplo Las Formas Complementarias y el Signo

63. Regla 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Ejemplo Multiplicación Binaria División Binaria Regla 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Ejemplo

64. Sumar los dos dígitos hexadecimales en decimal, insertando el equivalente al sistema hexadecimal para números mayores que 9. Si la suma es igual o menor que 15 esta puede expresarse como dígito hexadecimal. Si la suma es mayor o igual que 16 se le resta 16 y se lleva un 1 hacia el dígito de la siguiente posición . Operaciones con Números Hexadecimales Suma Hexadecimal

65. Para la resta hexadecimal es necesario transformar el sustraendo a binario, luego aplicar el componente a 1, y el componente a 2, a este resultado lo convertimos a hexadecimal y luego lo sumamos con el minuendo. Ejemplo 7F4B – 3ABC Luego se realiza la suma hexadecimal entre el minuendo y el resultado de los 2 componentes. Resta Hexadecimal

67. Grafo dirigido Grafo no dirigido

68. Grafo simple Grafos nulo

69. Matriz de adyacencia 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0

70. Ciclo Hamilton Debido a que el recorrido del grafo no puede pasar más de na vez por el mismo vértice, entonces resolviéndolo quedaría de la siguiente manera:

71. Ciclo Euler Debido a que el recorrido del grafo no puede pasar más de una vez por la misma arista, entonces resolviéndolo quedaría de la siguiente manera:

73. Aplicación de arboles en una base de datos para buscar una edad determinada

74. Como raíz tenemos una determinada edad por donde nos guiaremos hacia la edad que buscamos. Si es que se quiere saber la edad menor a diez años se empezara por la izquierda y se hará el recorrido hasta la edad que queremos. Si se quiere saber la edad mayor a diez años se hará el recorrido por la parte derecha hasta llegar a la edad que se quiere.

75. Aplicación de arboles para crear archivos

76. Tenemos como raíz la carpeta música, si se desea ir a Ricardo Arjona se empezara por la parte izquierda donde pasara a la carpeta Baladas y se llegara hacia el artista que busca o que desee guardar nuevas canciones. Si se desea llegar a la carpeta del artista Daddy Yanqui se hará el recorrido por la parte derecha se pasara a la carpeta reggaetón y posteriormente hacia el artista

77. Aplicación de arboles para explorar un escritorio de computadora

78. Tenemos como raíz Mi PC si queremos llegar hacia las carpetas que hemos creado, se hará el recorrido recto se pasara por documentos, mis documentos, y de ahí a las carpetas dentro de ella se desglasaran los diferentes archivos