El documento introduce los conceptos básicos de la lógica, incluyendo proposiciones, tablas de verdad, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. Explica cómo usar tablas de verdad para determinar el valor de verdad de expresiones lógicas compuestas de proposiciones simples.

1. UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL ESTRUCTURAS DISCRETAS P R E U F O D José Rosales 97064603 [email_address]

2. L O G I C A

3. INTRODUCCION El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas. Hoy en día, la lógica proposicional tiene una importancia singular dada su aplicación en la informática.

4. QUE ES LA LOGICA? Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano, es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sı mismo, sin referencia a los objetos.

5. PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS LOGICOS Es el significado de cualquier frase declarativa que puede ser verdadero o falso. A las proposiciones o enunciados se les puede asignar uno de dos valores “1” si es verdadero o “0” si es falso , por ese motivo se le denomina logica bivalente

7. TABLAS DE VERDAD Es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los años 1880 , siendo sin embargo más popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus logico-philosophicus , publicado en 1918 por Bertrand Russell . Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición . O si un esquema de inferencia , como argumento , es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología .

9. LA NEGACION (NOT ~ ) Para negar una proposicion se emplea el simbolo ( ~ ) de tal rorma que ~p ( que se lee “ no p”) Ejemplo: p q 1 1 1 0 0 1 0 0 ~ p 0 0 1 1 ~ q 0 1 0 1

10. LEY DE DOBLE NEGACION (NOT ~ ) Cuando el número de negaciones de un enunciado es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el original de la proposición, y cuando es impar es la negación del enunciado original. Ejemplo. ~ ~ p = p ~ ~ ~ p = ~ p ~ ~ ~ ~ p = p ~ ~ ~ ~ ~ p = ~ p

12. 1.- Conjunción (AND ^) significa Y. Da verdadero (1) si ambos valores son 1, en todo los demás casos da 0 Ejemplo : p: Aquiles corre velos q: La tortuga no corre velozmente 1.- p ^ q Alquiles corre velos y la tortuga no corre velozmente 2.- ~ p ^ q Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente 3.- ~ p ^ ~ q Aquiles no corre velozmente y la tortuga corre velozmente LA CONJUNCION Para que la expresión p ^ q sea verdadera tanto p como q deben ser verdaderas p q ~ p ~ q p ^ q ~ p ^ q ~ p ^ ~ q 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1

13. Disyuncion (OR v) signifiva ” o “ en español. Da falso cuando todas son falsas (0), en todo los demás casos da verdadero (1). LA DISYUNCION (OR) Para que la expresión p v q sea verdadera basta que una proposición sea verdadera p q ~ p ~ q p v q ~ p v q ~ p v ~ q 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

14. Ejercicio: 1 0 1 1 0 1 0 0

15. Es verdadera solo en el caso en el que las dos proposiciones tengan diferente valor de verdad. LA DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR) La palabra “o” tiene dos significados diferentes: En la oración “ El estudiara en la Pedagógica o en la Católica” la presunción es que puede estar en una pero no en ambas. De modo que “o” se utiliza en el sentido llamado disyunción exclusiva p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

16. Es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación es una conectiva que se notara con una flecha  ejemplo p  q (p implica q). LA IMPLICACION O CONDICIONAL (  ) La implicaciones también reciben el nombre de teoremas, pueden ser de cuatro formas. 1.- Implicación directa. p -> q 2.- Implicación contraria. q -> p 3.- Implicación reciproca. ~ p -> ~ q 4.- Implicación contra reciproca. ~ q -> ~ p Ejemplo: 1.- Sea p: -1=1 q: (-1) ² = (1) ² p es un antecedente falso q es un consecuente verdadero p -> q -1=1 -> (-2) ² = (-2) ² es una implicacion veradera. p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p  q 1 1 0 1

17. Ejemplo implicación Las tablas de verdad de la implicaciones directa y contra reciproca, y de la contraria y reciproca son iguales, por tanto estas implicaciones son equivalentes ( ↔ ) es decir. 1.- ( p -> q) ↔ (~ q -> ~ p) 2.- ( q -> p) ↔ (~ p -> ~ q) Cuando una implicación directa es verdadera y lo es además la implicación contraria las proposiciones son equivalentes ( ↔ ) . ( p -> q) ↔ (~ q -> ~ p) ( q -> p) ↔ (~ p -> ~ q) Contraria y Reciproca Directa y Contra reciproca q 0 1 0 1 p 0 0 1 1 ~ p -> ~ q 1 0 1 1 q -> p 1 0 1 1 ~ q -> ~ p 1 1 0 1 p -> q 1 1 0 1 ~ q 1 0 1 0 ~ p 1 1 0 0

18. LA EQUIVALENCIA La equivalencia es una conectiva logica , p ↔ q que se dice: p entonces q , p si y solo q , p es necesario y suficiente para q La equivalencia es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas o si ambas son falsas, es decir: Si la tabla de verdad de las proposiciones es siempre verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica . Si la tabla de verdad es siempre falsa será una contradicción ; si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia . Contingencia q 0 1 0 1 p 0 0 1 1 p ↔ q 1 0 0 1

19. El siguiente ejemplo es una tautología usada para trasformar una implicación en una expresión equivalente (p -> q ) ↔ ~(p ^ ~q) , cuya tabla de verdad es: Determinar que tipo de expresión es la siguiente: (p -> q ) ↔ ~( ~ p v q) La expresión lógica anterior es una contradicción p q ~ q p -> q p ^ ~q ~( ) ↔ 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 p q ~ p p -> q ~ p v q ~( ) ↔ 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0

20. Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres simples se deben construir ocho renglones para cada una de las combinaciones de verdad y falsedad Ejemplo: [ p ^ ~ (q v r ) ] -> [ ( p ^ ~ q ) v ( p ^ ~ r ) ] haciendo : s = p ^ ~ q t = p ^ ~ r p q r ~ q ~ r q v r ~( ) [ ^ ] s t [ v ] -> 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

21. Para realizar las tablas de verdad de proposiciones compuestas, de tres simples se deben construir ocho renglones para cada una de las combinaciones de verdad y falsedad Ejemplo: [ ~ p -> ( ~ q v ~ r ) ] -> [ ~ ( p -> q ) v ~ ( p -> r ) ] haciendo : s = p -> q t = p -> r p q r ~ p ~ q ~r ~q v ~r [ -> ] s t ~ s ~ t [ v ] -> 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

22. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1.- Idempotencia 2.- Asociativa 3.- Conmutativa 4.- Distributiva 5.- Identidad 6.- Complemento 7.- D´Morgan

23. 1.- LEYES IDEMPOTENCIA a. p v p ↔ p b. p ^ p ↔ p 2.- LEYES ASOCIATIVA de la disyunción a. (p v q) v r ↔ p v (q v r) Disyunción Conjunción p p v p 0 0 1 1 p p ^ p 0 0 1 1 p q r p v q (p v q) v r q v r p v (q v r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

24. 2.- LEYES ASOCIATIVA de la conjunción b. (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r) p q r p ^ q (p ^ q) ^ r q ^ r p ^ (q ^ r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

25. 3.- LEYES CONMUTATIVAS a. p v q ↔ q v p b. p ^ q ↔ q ^ p Disyunción Conjunción 4.- LEYES DISTRIBUTIVAS a. p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) p q p v q q v r 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 p q p ^ q q ^ r 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 p q r q ^ r p v (q ^ r) (p v q) (p v r) (p v q) ^ (p v r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

26. 4.- LEYES DISTRIBUTIVAS b. p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r) 5.- LEYES IDENTIDAD a. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p b. p v 0 ↔ p p ^ 1 ↔ p Disyunción Conjunción Disyunción Conjunción p q r q v r p ^ (q v r) (p ^ q) (p ^ r) (p ^ q) v (p ^ r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p v 0 0 0 1 1 p p ^ 1 0 0 1 1 p p v 0 0 0 1 1 p p ^ 1 0 0 1 1

27. 6.- LEYES COMPLEMENTO a. p v ~ p ↔ 1 p ^ ~ p ↔ 0 b. ~ ( ~ p) ↔ p -1 = 0, -0 =1 Disyunción Conjunción Ley doble negación 7.- LEYES D´ MORGAN a. ~ (p v q) ↔ ~ p ^ ~ q p p v ~ p 0 1 1 1 p p ^ ~ p 0 0 1 0 p ~ p ~(~ p) 0 1 0 1 0 1 p q p v q ~(p v q) ~ p ~ q ~ p ^ ~ q 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

28. 7.- LEYES D´ MORGAN b. ~ (p ^ q) ↔ ~ p v ~ q p q p ^ q ~(p ^ q) ~ p ~ q ~ p v ~ q 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

29. Argumentos y Reglas de inferencia * ¿Qué es una implicación lógica? * ¿Qué es un argumento? * ¿Qué es un argumento válido? * ¿Cómo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?

40. Argumento válido [(p  q)  p]  q Este ES un argumento válido [(p  q)   p]   q Este NO ES un argumento válido. Para comprobar la segunda afirmación, supón que las premisas son verdaderas… y verifica que no puedes asegurar que la conclusión es verdadera

43. Reglas de Inferencia Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero no podemos regresarnos una vez que usamos la garrocha. Silogismo hipotético [(p  q)  (q  r)]  (p  r) Silogismo disyuntivo [( p  q)   p)]  q Nombre de la Regla Implicación lógica Simplificación ( p  q )  p Amplificación p  ( p  q ) Modus Ponens [ p  ( p  q)]  q Modus Tollens [( p  q)   q ]   p