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Unidad I:
FUNDAMENTOS DE
LA LÓGICA
Estructuras Discretas
Ing. Vanessa Borjas
Lógica proposicional
Área de la matemática que trata las
proposiciones y el razonamiento lógico
matemático.
La lógica son reglas que…
• Dan significado a enunciados y sentencias
matemáticas.
• Distinguen argumentos validos y no validos.
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circuitos de computadores.
Proposición
Oración declarativa
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lógicos
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El Sol es una
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gira alrededor del
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verdaderas, las que son falsas y
verdaderas al mismo tiempo, o las que
carecen de sentido (o presentan algún
tipo de imprecisión) no son
consideradas proposiciones. Las
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No son proposiciones:
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Valor de verdad
Llamaremos valor verdadero o valor de
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es verdad (1) y el de una proposición
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proposicionesydeterminarelvalordeverdaddeaquellasque
losean.
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Es una tabla que muestra el valor de
verdad de una proposición compuesta, para
cada combinación de verdad que se pueda
asignar.
La tabla de verdad de una proposición
compuesta P enumera todas las posibles
combinaciones de los valores de verdad
para las proposiciones p, q, r, s,…
Tabla de verdad
Por ejemplo, si P es una proposición
compuesta por las proposiciones simples p, q y r,
entonces la tabla de verdad de P deberá recoger
los siguientes valores de verdad.
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Proposición compuesta
Si las proposiciones p, q, r, s, … se combinan
para formar la proposición P, diremos que P es una
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«Estructuras discretas es mi
asignatura preferida y Mozart fue
un gran compositor»
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los días»
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compuestas:
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proposición compuesta es que su valor
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determinado por los valores de verdad
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junto con la forma en la que están
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Proposición compuesta
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generar proposiciones nuevas.
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formar nuevas proposiciones a partir de dos
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TIPOS DE OPERADORES LÓGICOS
NEGACIÓN
Sea p una proposición, el enunciado <<no
se cumple p>> es otra proposición llamada
“Negación de p”. Se denota: ¬p y se lee
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p ¬p
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CONJUNCIÓN
Sean p y q proposiciones. La proposición << p
y q >>, denotada por p  q, es la proposición
que es verdadera cuando tanto p como q son
verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su
tabla de verdad es:
p q p  q
0 0 0
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p: «Hoy es viernes.»
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VERDADERA: Los viernes con lluvia.
FALSA: Cualquier día diferente de
viernes y los viernes que no llueve.
CONJUNCIÓN. Ejemplo:
DISYUNCIÓN
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q
>>, denotada por p  q, es la proposición que es
falsa cuando tanto p como q son falsas y
verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de
verdad es:
p q p  q
0 0 0
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DISYUNCIÓN. Ejemplo:
p: «Hoy es viernes.»
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p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
VERDADERA: Cualquier día que sea
viernes o llueva, incluyendo los viernes
con lluvia.
FALSA: Los días que ni son viernes, ni
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DISYUNCIÓN EXCLUYENTE
Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q
(pero no ambas) >>, denotada por p  q, es la
proposición que es verdadera cuando solo una de
las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa
cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.
Su tabla de verdad es:
p q p  q
0 0 0
0 1 1
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DISYUNCIÓN EXCLUYENTE.
Ejemplo:
p: «Hoy es viernes.»
q: «Hoy llueve.»
p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»
VERDADERA: Cualquier día que sea
viernes o llueva, pero no ambos.
FALSA: Los viernes con lluvia, y los
otros días que no llueve.
IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Sean p y q proposiciones. La implicación pq es
la proposición que es falsa cuando p es verdadera
y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso.
pq
(Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia)
p q pq
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL
EN LENGUAJE NATURAL:
• «Si p, entonces q»
• «p implica q»
• «q si p»
• «p solo si q»
• «p siempre que q»
IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
IMPLICACIÓN O
CONDICIONAL. Ejemplo:
p: «Soy elegido como Presidente.»
q: «Bajaré los impuestos.»
p  q: «Si soy elegido como Presidente,
entonces bajaré los impuestos.»
Si el político es elegido (p es verdadera) y
no baja los impuestos (q es falsa), las
expectativas son falsas.
BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN
Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o
Doble Implicación, p  q es la proposición que es
verdadera cuando p y q tienen los mismos valores
de verdad y falsa en los otros casos.
Su tabla de verdad es:
p q pq
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FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL
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IMPLICACIÓN. Ejemplo:
p: «Puedes tomar el vuelo.»
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p  q: «Puedes tomar el vuelo si, y
solo si, compras un pasaje»
Esta expresión es verdadera si p y q son
ambas verdaderas o ambas falsas.
Precedencia de Operadores
Lógicos.
Orden Operador Nombre
1 ¬ Negación
2  Conjunción
3  Disyunción
4  Implicación
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Formalización
Consiste en pasar del lenguaje natural al
lenguaje formal.
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«Puedes acceder a internet desde el LC1
solo si estudias Computación o no eres
alumno del primer período.»
p q ¬r)
p
q
r
Equivalencias Proposicionales
Dos formulas son lógicamente
equivalentes si tienen los mismos
valores de verdad en todos los
casos. También se dice que p y q
son lógicamente equivalentes si p
q es una tautología y se denota
por p  q.
Tautologías y Contradicciones
Sea P una proposición compuesta de las
proposiciones simples p, q, r,…
P es una Tautología si es verdadera para todos
los valores de verdad que se asignen a p, q, r, …
P es una Contradicción si es falsa para todos los
valores de verdad que se asignen a p, q, r,…
Una proposición P que no es tautología ni
contradicción se llama, usualmente,
Contingencia.
Tautologías y Contradicciones
Tautología Contradicción
p ¬p p¬p p¬p
1 0 1 0
0 1 1 0
Ejercicios:
• ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes
enunciados?
a) Hoy es martes.
b) No hay contaminación en Ciudad Ojeda.
c) 2 + 1 = 3.
d) El clima en Mérida es cálido y soleado.
• Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el
examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una
de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.
a) p  q
b) ¬p  r
c) q  ¬r
d) p  q  r
e) (p ¬r) q ¬r)
• Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por
hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente.
Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos
lógicos:
a) No conduces a más de 100 Km. por hora.
b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan
por exceso de velocidad.
c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de
100 Km. Por hora.
d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán
por exceso de velocidad.
• Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:
a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.
b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.
c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.
d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.
• Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No
suspendes el examen final» y r: «Apruebas la
asignatura», expresa en lenguaje natural la
expresión:
((p q)  (p r))
• Simboliza las siguientes proposiciones:
a) No vi la película pero leí la novela.
b) Ni vi la película ni leí la novela.
c) No es cierto que viese la película y leyese la
novela.
d) Vi la película aunque no leí la novela.
• Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La
salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la
impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural
las siguientes proposiciones:
a) q  p
b) ¬ q  r
c) r p q)
• Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior,
escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que
simbolice cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y
la salida va a la pantalla.
b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a
la impresora.
c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la
pantalla.
d) Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados
se dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.
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Fundamentos de la Lógica

  • 1. Unidad I: FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA Estructuras Discretas Ing. Vanessa Borjas
  • 2. Lógica proposicional Área de la matemática que trata las proposiciones y el razonamiento lógico matemático. La lógica son reglas que… • Dan significado a enunciados y sentencias matemáticas. • Distinguen argumentos validos y no validos. • Se aplican en la construcción de programas y circuitos de computadores.
  • 3. Proposición Oración declarativa Tiene un único valor lógico Verdadero Falso Pero No ambos a la vez Puede ser Simple Compuesta Sin conectivos lógicos Con conectivos lógicos Ejemplo: El Sol es una estrella Ejemplo: El Sol es una estrella y la Tierra gira alrededor del Sol
  • 4. Las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que carecen de sentido (o presentan algún tipo de imprecisión) no son consideradas proposiciones. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s.
  • 5. Ejemplos: • Maracaibo es la capital del Zulia. • La Tierra gira alrededor del Sol. • El Zulia es la capital de Venezuela. • 1 + 1 = 2 • 2 + 2 = 3 No son proposiciones: • ¿Qué hora es? • ¡Siéntate! • Lee esto con atención. • X + 1 = 2 • X + Y = Z
  • 6. Valor de verdad Llamaremos valor verdadero o valor de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad (1) y el de una proposición falsa es falso (0).
  • 7. Ejemplo:Digacuálesdelassiguientesafirmacionesson proposicionesydeterminarelvalordeverdaddeaquellasque losean. • p: Existe el premio Nobel de Informática. • q: Teclee ESC para salir de la aplicación. • r: Cinco más siete es grande. Respuestas: • p es Proposición. Su valor es «Falso». • q no es proposición. No es Verdadera ni Falsa. • r no es proposición. Carece de contexto, es ambiguo.
  • 8. Tabla de verdad Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p, q, r, s,…
  • 9. Tabla de verdad Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p, q y r, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
  • 10. Proposición compuesta Si las proposiciones p, q, r, s, … se combinan para formar la proposición P, diremos que P es una proposición compuesta de p, q, r, s, … Ejemplo: Sean los enunciados p: Estructuras Discretas es mi asignatura preferida. q: Mozart fue un gran compositor. r: Él es inteligente. s: Él estudia todos los días.
  • 11. «Estructuras discretas es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor» «Él es inteligente o estudia todos los días» Ejemplos de Proposiciones compuestas:
  • 12. La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en la que están conectadas. Proposición compuesta
  • 13. Operadores y Conectivos Lógicos OPERADORES: Se aplican a las proposiciones para generar proposiciones nuevas. CONECTIVOS LÓGICOS: Operadores lógicos que se usan para formar nuevas proposiciones a partir de dos o más proposiciones existentes.
  • 15. NEGACIÓN Sea p una proposición, el enunciado <<no se cumple p>> es otra proposición llamada “Negación de p”. Se denota: ¬p y se lee <<no p>>. Su tabla de verdad es: p ¬p 1 0 0 1
  • 16. NEGACIÓN. Ejemplo: p: «El Pentium es un microprocesador.» ¬p: «El Pentium no es un microprocesador.» ¬p: «Es falso que el Pentium sea un microprocesador.» q: « 2 + 2 = 5 » ¬q: «Es falso que 2 + 2 = 5» ¬q: « 2 + 2 ≠ 5 »
  • 17. CONJUNCIÓN Sean p y q proposiciones. La proposición << p y q >>, denotada por p  q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es: p q p  q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  • 18. p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p  q: «Hoy es viernes y hoy llueve.» VERDADERA: Los viernes con lluvia. FALSA: Cualquier día diferente de viernes y los viernes que no llueve. CONJUNCIÓN. Ejemplo:
  • 19. DISYUNCIÓN Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q >>, denotada por p  q, es la proposición que es falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es: p q p  q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
  • 20. DISYUNCIÓN. Ejemplo: p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.» VERDADERA: Cualquier día que sea viernes o llueva, incluyendo los viernes con lluvia. FALSA: Los días que ni son viernes, ni llueve.
  • 21. DISYUNCIÓN EXCLUYENTE Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q (pero no ambas) >>, denotada por p  q, es la proposición que es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Su tabla de verdad es: p q p  q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
  • 22. DISYUNCIÓN EXCLUYENTE. Ejemplo: p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p  q: «Hoy es viernes u hoy llueve.» VERDADERA: Cualquier día que sea viernes o llueva, pero no ambos. FALSA: Los viernes con lluvia, y los otros días que no llueve.
  • 23. IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Sean p y q proposiciones. La implicación pq es la proposición que es falsa cuando p es verdadera y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso. pq (Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia) p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  • 24. FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL: • «Si p, entonces q» • «p implica q» • «q si p» • «p solo si q» • «p siempre que q» IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
  • 25. IMPLICACIÓN O CONDICIONAL. Ejemplo: p: «Soy elegido como Presidente.» q: «Bajaré los impuestos.» p  q: «Si soy elegido como Presidente, entonces bajaré los impuestos.» Si el político es elegido (p es verdadera) y no baja los impuestos (q es falsa), las expectativas son falsas.
  • 26. BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o Doble Implicación, p  q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en los otros casos. Su tabla de verdad es: p q pq 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  • 27. FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL: • «p si, y solo si q» • «p es necesario y suficiente para q» • «p sii q» BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN
  • 28. BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN. Ejemplo: p: «Puedes tomar el vuelo.» q: «Compras un pasaje.» p  q: «Puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras un pasaje» Esta expresión es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.
  • 29. Precedencia de Operadores Lógicos. Orden Operador Nombre 1 ¬ Negación 2  Conjunción 3  Disyunción 4  Implicación 5  Bicondicional
  • 30. Formalización Consiste en pasar del lenguaje natural al lenguaje formal. Ejemplo: «Puedes acceder a internet desde el LC1 solo si estudias Computación o no eres alumno del primer período.» p q ¬r) p q r
  • 31. Equivalencias Proposicionales Dos formulas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en todos los casos. También se dice que p y q son lógicamente equivalentes si p q es una tautología y se denota por p  q.
  • 32. Tautologías y Contradicciones Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p, q, r,… P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r, … P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r,… Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.
  • 33. Tautologías y Contradicciones Tautología Contradicción p ¬p p¬p p¬p 1 0 1 0 0 1 1 0
  • 34. Ejercicios: • ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes enunciados? a) Hoy es martes. b) No hay contaminación en Ciudad Ojeda. c) 2 + 1 = 3. d) El clima en Mérida es cálido y soleado. • Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural. a) p  q b) ¬p  r c) q  ¬r d) p  q  r e) (p ¬r) q ¬r)
  • 35. • Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente. Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos lógicos: a) No conduces a más de 100 Km. por hora. b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan por exceso de velocidad. c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km. Por hora. d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán por exceso de velocidad. • Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas: a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5. b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4. c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5. d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.
  • 36. • Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No suspendes el examen final» y r: «Apruebas la asignatura», expresa en lenguaje natural la expresión: ((p q)  (p r)) • Simboliza las siguientes proposiciones: a) No vi la película pero leí la novela. b) Ni vi la película ni leí la novela. c) No es cierto que viese la película y leyese la novela. d) Vi la película aunque no leí la novela.
  • 37. • Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural las siguientes proposiciones: a) q  p b) ¬ q  r c) r p q) • Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior, escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y la salida va a la pantalla. b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a la impresora. c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la pantalla. d) Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados se dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.
  • 38. Unidad I: FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA Estructuras Discretas Ing. Vanessa Borjas