Aprenda Matematica

1. LÓGICA
PROPOSICIONAL
Profesor: José Luis Guzmán B.

2. LÓGICA PROPOSICIONAL
• Llamada también lógica matemática, es una
parte de la lógica que tiene por objeto el
estudio de las proposiciones y las relaciones
entre ellas, así como la función que tienen
las variables proposicionales y los
conectores lógicos

3. CONCEPTOS BÁSICOS
• ENUNCIADO.- Es toda oración o frase que
expone alguna idea, a través de afirmaciones,
negaciones, preguntas, órdenes, saludos,
emociones, etc, las cuales pueden ser
expresadas en forma verbal, escrita,
simbólica, gestual.

4. • ENUNCIADO ABIERTO.- Es aquel que contiene
variables o letras, pero no tiene la propiedad
de ser verdadero o falso.

5. • PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un
enunciado cuya propiedad fundamental es la
de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas
a la vez.
• Se representa simbólicamente por letras
minúsculas tales como: p, q, r, s, … a las que le
llamamos variables proposicionales. Ejemplo:
p: Miguel Grau nació en Lima
q: 5 es un número primo.
r: 3 + 5 = 10

6. Nº EXPRESIÓN O
ENUNCIADO
PROPOSICIÓN N
º
EXPRESIÓN O
ENUNCIADO
PROPOSICIÓN
SI NO SI NO
1 11 no es primo 6 ½ es número
racional
2 2x + 3 = 5 7 x2 = 9 es de
2do. Grado
3 El agua es
incolora
8 ¡Arriba Alianza!
4 ¿Cómo estás? 9 19 es divisible
por 2
5 Haz tus
ejercicios
1
0
2x – 5 <4; si x
= 4
Ejemplo: Marca con un aspa, según corresponda,
en cada expresión o enunciado:

7. • VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición,
su valor de verdad se denota como V(p) y
escribimos:
* V(p) = V, si el valor de p es verdadero.
* V(p) = F, si el valor de verdad es falso.
Ejemplo:
p: 7 es impar V(p) = V
q: El pentágono tiene 6 lados V(q) = F

8. • PROPOSICIÓN SIMPLE. Llamada también
atómica es aquella que consta de un solo
sujeto y un predicado. Ejemplo:
p: Lima es capital de Perú
q: Piura es ciudad de la Costa.
r: Ica es provincia de Perú.
s: Algunos hombres son mortales.

9. • PROPOSICIÓN COMPUESTA. Llamada también
molecular, es aquella formada por dos o más
proposiciones simples las cuales están
relacionadas por medio de los conectivos
lógicos. Ejemplo:
* Lima y Piura son ciudades de la Costa.
* Piura o Ica son ciudades del Perú
•Si Lima es la capital de Perú entonces Ica o
Piura no son ciudades de la Costa.
* Si hoy es jueves entonces mañana será martes.

10. • OPERADORES LÓGICOS
Llamados también conectores lógicos, son
signos que representan palabras y que son
usados para relacionar proposiciones. Y son los
siguientes:

11. OPERADOR SÍMBOLO SE LEE
CONJUNCIÓN 𝑝 ⋀ q Y, pero, sin embargo, no obstante, a pesar de
DISYUNCIÓN
DÉBIL O
INCLUSIVA
p 𝑞
O, o p o q o ambos
DISYUNCIÓN
FUERTE O
EXCLUSIVA
p△ q
O p o q
CONDICIONAL p → q Si p entonces q, q si p, p solo si q
BICONDICIONAL p ↔ q P si y solo si q
NEGACIÓN ∼ p No p: no es cierto que…., no es verdad que …

12. • Ejercicios:
1. Dadas las siguientes proposiciones:
p: Las estrellas emiten luz
q: Los planetas reflejan la luz
r:Los planetas giran alrededor de las estrellas
De acuerdo a estas proposiciones, lea:
a) p∧q b) q ∨ r c) ∼p d) p → q
e) q ↔ r f) (p V q ) Λ r g) ~( p Λ q)→ ~ r
h) → ( q Λ r) i) q ↔(p Λ r)

13. 2.- Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela.
b. Ni vi la película ni leí la novela.
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela.
d. Vi la película aunque no leí la novela
e. No me gusta trasnochar ni madrugar.
f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído.
g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí.
h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento.
i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento
j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones
arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles:

14. TABLAS DE VERDAD
CONJUNCION
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
DISYUNCIÓN DEBIL
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F
DISYUNCIÓN FUERTE
p q p△ q
V V F
V F V
F V V
F F F
CONDICIONAL
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
BICONDICIONAL
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
NEGACIÓN
p ∼ p
V F
F V

15. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1. Determine el valor de verdad de cada
proposición siguiente:
a) [ 0,25=0,5∧ −9=-3]→(22
+32
=52
)
b) [( 25=-5)△(252
-122
=132
)]↔(42
-7=32
)
c) (49=−72
)↔ [(20
=01
)∧(𝑥2
+𝑦2
)=(𝑥 + 𝑦)2
]
d) O Alan García fue presidente del Perú o
presidente del Congreso.

16. 2.- Sabiendo que las proposiciones p, q, r, s son
respectivamente V; V; F; F ; indicar el valor de verdad
de cada proposición siguiente:
• a) (p∧q) v (r v s) b) (p ∧ r ) v (∼ 𝑟)
c) [(∼p) v (r∧s) ]∧(∼q)
d) ∼[(p v q)→∼ (r ⟷s) ]

17. 3. Si la proposición ( p V ~q) V ~(s Λ ~r)es falsa,
determine el valor de verdad de cada
proposición simple.
4. Si la proposición ~ (~p Λ q) v ( r V s) ; es falsa;
deducir el valor de verdad de cada proposición
simple.
5.- Si la proposición ~[(~p V q) V (r → q] Λ
[(~p V q) → (q Λ ~p)] es verdadera; Hallar el
valor de verdad de p; q y r.

18. FÓRMULA LÓGICA
• Es una combinación de variables
proposiciones y operadores lógicos. Se evalúa
mediante tablas de verdad.
• El número de valores de verdad (filas) de estos
esquemas moleculares se determina por 2 𝑛
,
donde «n» es el número de proposiciones
simples diferentes que existan en la fórmula
lógica.

19. • Si al evaluar una fórmula lógica los valores de
verdad de la columna que corresponde al
conector principal:
• Todos son verdaderos, entonces es una
TAUTOLOGÍA.
• Todos son falsos, entonces es una
CONTRADICCIÓN.
• Si es una combinación de verdaderos y falsos,
es una CONTINGENCIA.

20. • Ejercicio:
Construya la tabla de valor de verdad de cada
una de las proposiciones siguientes e indique si
es tautología, contingencia o contradicción:
a) ~[~p → ~( ~q Λ ~p )] V ~( ~p V ~q)
b) ~( p → q) ↔ ~( ~q → ~p)
c) [( p V ~q ) Λ ~p] Λ ~( ~q → p)
d) [ p → (q → r) ] ↔ [( p Λ ~r) → ~q ]
e) ~{(~p Δ ~r)→[~(p Λ q)Ѵ ~r]}
f) {[(p Λ v) Ѵ (p Λ ~v)] Λ (p Ѵ q)} ↔ p