Lógica proposicional

ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o
dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones,
preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.
LÓGICA
Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y
deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite
llegar a conclusiones generales a partir de observaciones
particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos
permite llegar a conclusiones particulares a partir de
observaciones generales.
ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de
expresión matemática que no es verdadero ni falso.
Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10
a + b = 1 a2
+ b2
= c2

PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un
enunciado informativo que admite la posibilidad de ser
Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez.
La veracidad o falsedad de una proposición se
denomina “Valor de verdad de la proposición”
39 es un número primo ( )
Huancayo queda en Junín ( )
1/2 < 1/4 ( )
SON PROPOSICIONES:
Resuelve este problema
¿Puedes prestarme tu libro?
Buenos días profesor
NO SON PROPOSICIONES:
F
V
F

PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una
sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t,
….. a las que llamaremos variables proposicionales
Ejemplos: VALOR DE VERDAD
1. 15 es un número primo : p ( )
2. Lima es la capital del Perú : q ( )
3. −32
= 9 : r ( )
PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones simples o
es la negación de una proposición simple.
En toda proposición compuesta las proposiciones
simples están ligadas mediante palabras conocidas
como conectivos lógicos
F
V
F

Conectivos lógicos
Son palabras que permiten relacionar dos
proposiciones o negar una proposición
simple. Cuando se les representan por
símbolos se les llama operadores lógicos.
Los siguientes conectivos son los más
recurrentes:
1. “si y sólo si”
2. “o . . . o”
3. “si…entonces…”
4. “o”
5. “y”
6. “no”

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
p p q p q r
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
En general para
“n” proposiciones,
se pueden
presentar 2n
posibilidades
21
22
23
Las tablas de verdad son
representaciones gráficas,
en forma de arreglos,
que sirven para analizar los
posibles valores de verdad
que puede tener una
proposición
simple o compuesta.

1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es
“∧” y se llama conjuntor.
Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”
p q
p : Jorge viajó al Cusco
q : Luis viajó a Ica
Simbología: “p ∧ q”
NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras
pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
Definición de Algunos Enunciados
Compuestos

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
F
F
F
La conjunción sólo es verdadera
cuando las dos proposiciones
son verdaderas.

2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “∨” y se llama
disyuntor.
Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”
r s
r : Eliana viajará al Cuzco
s : Eliana viajará a Cajamarca
Simbología: “r ∨ s”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
DÉBIL
p ∨ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
F
V
V
La disyunción es falsa solo si
ambas proposiciones son falsas

3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “∆”
y se llama disyuntor fuerte.
Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco”
p q
p : Ricardo radica en Miraflores
q : Ricardo radica en Barranco
Simbología: “p ∆ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
FUERTE
p ∆ q
V
V
V
V
F
F
FF
F
F
V
V
La disyunción fuerte es verdadera
solo si ambas proposiciones
tienen diferentes valores de verdad
La disyunción fuerte es falsa
solo si ambas proposiciones
tienen idénticos valores de verdad

4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo
“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama
implicador.
Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”
p q
p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)
q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)
Simbología: “p → q ”

Notas:
1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por
consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc.
2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que
p; q siempre que p; q porque p; etc.
La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3
Ejemplo
(antecedente) p
(consecuente) q
426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3
(antecedente) p
(consecuente) q
La simbología para ambos casos es: p → q

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p → q
V
V
V
V
F
F
FF
V
V
V
F
El condicional solo es falso
cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente es falso.

5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si
y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble
implicador.
Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”
p q
p : Sicilia es una isla
q : Sicilia está rodeada de agua
Simbología: “p ↔ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
p ↔ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
V
F
F
El bicondicional es verdadero
solo si ambas proposiciones poseen
idénticos valores de verdad
El bicondicional es falso
solo si ambas proposiciones poseen
diferentes valores de verdad

6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en
la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no
es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se
le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo
es “∼” y se llama negador.
Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”
p
Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al
operador de mayor jerarquía en dicha proposición.
Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero
∼p
q r
Simbología: ∼( q ∧ r )

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p ∼ p
V
F
F
V

TABLA RESUMEN
Conector Valor de
verdad
Condición
↔ V Si ambos tienen igual valor de
verdad.
∆ V Si tienen valores diferentes de
verdad.
→ F Si el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso
∨ F Si ambos son falsos
∧ V Si ambos son verdaderos
~ V Si la proposición es falsa.

EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
p q r ( p ∧ q ) ∨ ∼ ( p → ∼ r)
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p ∧ q) ∨ ∼(p →
∼r)
Solución
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V

 La característica tabular de una fórmula lógica es la
columna de valores de verdad debajo del operador de
mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los
siguientes casos:
1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el
esquema es una TAUTOLOGÍA.
2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el
esquema es una CONTRADICCIÓN.
3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y
otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q ∧ ∼r) → p es FALSA
Determinar el valor de verdad de: (∼r ∨ ∼p) → (p ∧ ∼r)
SOLUCIÓN
( q ∧ ∼
r )
→ p
F
Primero analizamos la condición
FVV V F
Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se
evalúa la fórmula planteada
( ∼ r ∨ ∼ p ) → ( p ∧ ∼ r )
V VV F VFF
El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO

INTRODUCCIÓN
La idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la
vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del
espíritu: La diferenciación.
Activada esta virtud, comenzamos a percibir distintamente
los objetos del mundo exterior y a tener conciencia de
nuestra personalidad, logrando así formar estos conceptos
primarios.
En el presente tema, desarrollaremos en forma breve y
explícita la “Teoría intuitiva de conjuntos”, la cual sirve
como preámbulo al desarrollo profundo de la aritmética.

RESEÑA HISTÓRICA
 George Cantor es considerado como “creador o padre de
teoría de conjuntos”, junto con Dedekind.
 Nació en 1845 en Alemania.
 Fue el primero en hallar una respuesta acertada a los
problemas que surgían sobre conjuntos infinitos.
 Axiomatizó y ordenó la teoría de conjuntos; mediante lo
cual descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre
el mismo tamaño.
 Su padre trato de persuadirlo para que estudiara ingeniería.
 Estudió Matemática pura hasta obtener el grado de Doctor
en Ciencias en el año 1867 en la universidad de Berlín.
 Por lo novedoso de sus métodos y sus sorprendentes
resultados, se le considera un matemático creativo y de
singularidad original.

 Al igual que la mayoría de sus ideas originales, las obras
de Cantor fueron objeto de escarnio por parte de
matemáticos contemporáneos y famosos; entre los que
destaca Krohecker quien fue su profesor en Berlín.
 Como resultado de estos atropellos sufrió una serie de
colapsos y murió en una institución para enfermos
mentales en 1918.
 Años después de su muerte, sus
colegas reconocieron la importancia
de su contribución, la cual radica en
su percepción del significado del
principio de correspondencia uno a
uno y sus consecuencias lógicas.

IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO
Estrictamente hablando, se entiende por conjunto a un
concepto no definido; sin embargo se usa como sinónimo de
conjunto las palabras: Colección, agrupación y clase.
De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección
bien definida de objetos con características en común. A cada
uno de estos objetos le denominamos elementos del conjunto,
los cuales pueden ser reales, abstractos o imaginarios.
Para que un conjunto esté bien definido no deben existir
ambigüedades, es decir, deben distinguirse bien todos los
elementos y sin repetirse.

NOTACIÓN DE CONJUNTOS
 Generalmente para distinguir los conjuntos se usan las
letras mayúsculas A; B; C; …. ; Z.
 Sus elementos se denotan con las letras minúsculas a; b;
c; d; … ; z, los cuales son encerrados entre llaves y
separados por comas.
EJEMPLOS:
A = { c , o , m , p , u , t , a , d , o , r , a }
M = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
F = { pera , mango , fresa , papaya , uva , naranja}

CONJUNTOS NUMÉRICOS
{ }= 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,...,+∞¥
{ },= - ,...,-4 ,-3 ,- 2 -1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,...,+∞ ∞¢
,
p
; donde p,q y q
q
1
= - ,...,-4 ,-3.5 ,-3 ,- 2 -1 ,0 ,0.001 , ,2 ,3 ,3.2 ,4 ,...,+
2
= x / x= 0
 
 
 
 
∈ ≠ 
 
∞ ∞
¢
¤
¤
3 7
5 64 ,
3
10 ,- ,-e ,- 2I = - ,...,- , , ,e , ,...,+π
π
π
  
 
  
∞ ∞
= I∪¡ ¤
N
z
Q
Q

 POR EXTENSIÓN (FORMA TABULAR O
ENUMERACIÓN)
Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se
nombran explícitamente a cada uno de los elementos que
conforman el conjunto.
EJEMPLOS:
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
A = { c , o , m , p , u , t , a , d , o , r , a }
M = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
F = { pera , mango , fresa , papaya , uva , naranja}

POR COMPRESIÓN (FORMA CONSTRUCTIVA)
Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando
se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos
los elementos del conjunto. Dicha propiedad debe permitir
identificar a los elementos sin ambigüedad.
EJEMPLOS:
{ }A= x / x es una letra de la palabra"computadora"
{ }M = x / x ;tal que 4 x 9∈ ≤ ≤¢
{ }F = x / x es una fruta

Un elemento pertenece ( ) a un conjunto si es que éste
forma parte de él; en caso contrario se dice que no pertenece
a este conjunto ( ).
“La relación de pertenencia se realiza de elemento a
conjunto”
EJEMPLOS:
RELACIÓN DE PERTENENCIA.
∈
∉

Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, ó que A
está incluido en B, ó que A es subconjunto de B; si todos los
elementos de A están en B.
Se denota por:
“La relación de inclusión se realiza de conjunto a
conjunto”
EJEMPLOS:
RELACIÓN DE INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO.
A B⊆

NOTA: El conjunto vacio “ ” es subconjunto de todo conjunto.φ
RELACIÓN DE IGUALDAD
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y se
escribe A = B .
A B A B B A= ⇔ ⊂ ∧ ⊂
EJEMPLO:

DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Son figuras planas que nos ayudan a ilustrar algunas
ideas.
En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de
Venn-Euler. Se usan generalmente círculos para graficar los
conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.
U
A B
C D

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Se define como el número de elementos diferentes contiene el
conjunto.
NOTACIÓN:
( )
( )
Card A : Se lee"Cardinal del conjunto A"
n A : Se lee"Cardinal de A"
EJEMPLOS: ( )
{ } ( )
{ } ( )
2
Si :G = 0 , ,π ,6 ,- 20 n G = 5
3
Si : H = pera ,mango , platano n H = 3
Si : L= n L = 0
  
⇒ 
  
⇒
⇒

CLASES DE CONJUNTOS
A. CONJUNTO FINITO: Si tiene determinado número de
elementos diferentes y el proceso de contar dichos
elementos tiene límite.
EJEMPLOS:
{ }
{ }
B = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
N = Blanca , Ana ,Tania , Antonella , Nelly
B. CONJUNTO INFINITO: Si el conjunto no es finito. Es decir,
si el número de elementos que posee es ilimitado y el
proceso de conteo no tiene fin.
EJEMPLOS:
{ }
{ }
{ }/
S = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...,+
N = x / x
D x x es un número par
∞ =
∈
=
¥
¡

CONJUNTOS ESPECIALES
A. CONJUNTO VACIO: Llamado también conjunto nulo, es
aquel conjunto que carece de elementos. Se denota con la
letra griega “ ” o por medio de { }.
EJEMPLOS:
{ }
{ }
2
/P = x x +4 = 0
T = x / 3 < x < 4
φ
φ
∈ =
∈ =
¡
¥
B. CONJUNTO UNITARIO: Llamado también singletón, es
aquel que posee un sólo elemento.
EJEMPLOS: { }
{ }
{ }
{ }
/
A= Silvia
B = x / 8 < x <10
C a a+3= -5
D φ
∈
= ∈
=
¥
¢
φ

C. CONJUNTO UNIVERSAL: Es un conjunto referencial que
se toma para el análisis de una situación en particular. Se
denota por la letra “U ”. Gráficamente se representa
mediante un rectángulo.
EJEMPLO:
{ }
{ }
{ }
{ }/
A= x / x es una rosa
B = x / x es un geranio
C = x / x es un clavel
U x x son flres=∴
A B
C
U

D. CONJUNTO DE CONJUNTOS: Llamado también familia de
conjuntos; es aquel conjunto que tiene como elementos a
otros conjuntos.
EJEMPLOS:
{ } { } { }{ }
{ } { } { }{ }{ }
, ,
, , , ,
A= a d , e 1 , 2 ,3
D a 1 , 2φ φ φ=
E. CONJUNTO DISJUNTOS: Dos o más conjuntos son
disjuntos si todos sus elementos son diferentes; es decir no
tienen elementos en común.
EJEMPLO:
{ }
{ }
B = 1 ,2 ,3 ,4 ,5
B N
N = a ,b ,c ,d ,e
φ

⇒ =

∴
I
B y N son conjuntos disjuntos
B
N
U

CONJUNTO POTENCIA: Llamado también conjunto de partes;
es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un
conjunto A.
Se denota por P(A); y se lee: “Conjunto potencia de A”
El número de elementos de , donde “x” es el
número de elementos de A.
EJEMPLO:
{ }
( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }
( )
F = a ,b ,c
Entonces :
P F = a , b , c , a ,b , a ,c , b ,c , a ,b ,c ,
Además :
3n P F = 2 = 8
φ
  
( )n xP A = 2  

{ }/A B x x A x B= ∈ ∨ ∈U
Gráficamente:

{ }/A B x x A x B= ∈ ∧ ∈I
Gráficamente:

{ }/A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉
(A − B); Se lee: “A menos B”; “A diferencia con B”;
“Solamente A”
Gráficamente:

( ) ( ){ }/A B x x A x B x A x B= ∈ ∧ ∉ ∨ ∉ ∧ ∈V
También se utiliza las equivalencias:
A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )
A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B )

NOTACIÓN:
{ }/C
A = x x U x A∈ ∧ ∉
;
A
B
Se lee :"Complemento de A"
C ó B A ; Se lee :"Complemento de A respecto a B"
CA = A´= C = A
A
IMPORTANTE:
C
A =U A−

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