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Actividad de matemática. 
Daniel Parra C.I.: 22301685
1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial. 
a y  senx  x  ctgx y  y  ctgx ,, ) ln csc ; 
Para comprobar esto se debe derivar dos veces y sustituir en la ecuación diferencial dada, para 
determinar si la función dada satisface dicha ecuación: 
Primera derivada: 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · 
(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′ 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · 
−푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · 
−푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥) 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · (−푐푠푐푥) 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푠푒푛푥 · 
1 
푠푒푛푥 
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 1 
Segunda derivada: 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · 
(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′ 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
− 0 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · 
−푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · 
−푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥) 
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · (−푐푠푐푥) 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푠푥 · 
1 
푠푒푛푥 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 
푐표푠푥 
푠푒푛푥 
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥 
Al sustituir en la ecuación diferencial dada, se tiene: 
푦′′ + 푦 = [−푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥] + 푠푒푛푥 · ln⁡(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) 
Simplificando: 
푦′′ + 푦 = −푐표푡푥 
Por lo que la función 푦 = 푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥), es solución de la ecuación diferencial dada.
2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método 
correspondiente. 
a .) senx cos 
xy y tg x 
, 2 
  
)  2 y cos  2 2 
y 
cos 2  0 
b e y xy dx xe x xy y dy 
     
a.) 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′ + 푦 = 푡푔2 푥 
Dividiendo la ecuación diferencial por 푠푒푛푥 · 푐표푠푥: 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′ 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
+ 
푦 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
= 
푡푔2 푥 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
푦′ + 
푦 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
= 
푠푒푛2 푥 
푐표푠2푥 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
푦′ + 
1 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
푦 = 
푠푒푛2 푥 
푠푒푛푥 · 푐표푠3푥 
푦′ + 
1 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
푦 = 
푠푒푛푥 
푐표푠3푥 
Ecuación diferencial lineal de la forma: 
푦′ + 푃(푥)푦 = 푄(푥) 
Con: 
푃(푥) = 
1 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
⁡⁡⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡푄(푥) = 
푠푒푛푥 
푐표푠3푥 
⁡ 
푃(푥) = 
1 
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
= 
1 
푠푒푛2푥 
2 
= 
2 
푠푒푛2푥 
= 2푐푠푐2푥 
Factor integrante: 
휇(푥) = 푒∫ 푃(푥)푑푥 = 푒2 ∫ 푐푠푐2푥푑푥 
휇(푥) = 푒 
2 
2 
푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥| = 푒푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥| 
Entonces: 
휇(푥) = 푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥 
Por lo que: 
푒∫ 푃(푥)푑푥 푦 = ∫ 푄(푥)푒∫푃(푥)푑푥 푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 
푠푒푛푥 
푐표푠3푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 
푠푒푛푥 
푐표푠3푥 
( 
1 
푠푒푛2푥 
+ 
푐표푠2푥 
푠푒푛2푥 
) 푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 
푠푒푛푥 
푐표푠3 푥 
1 + 1 − 2푠푒푛2 푥 
2푠푒푛푥 · 푐표푠푥 
( 
) 푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 
1 
푐표푠3푥 
2(1 − 푠푒푛2 푥) 
2푐표푠푥 
푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 
1 
푐표푠3 푥 
푐표푠2푥 
푐표푠푥 
푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푐2푥푑푥 
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = 푡푎푛푥 + 퐶 
푦 = 
푡푎푛푥 + 퐶 
푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥 
b) 
(푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥 + (2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦)푑푦 = 0 
Tomemos: 
푀(푥, 푦) = 푒2푦 − 푦푐표푠푥푦 
y 
푁(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦 
휕 
휕푦 
푀(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦 
휕 
휕푥 
푁(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦 
Dado que: 
휕 
휕푦 
푀(푥, 푦) = 
휕 
휕푥 
푁(푥, 푦) 
La ecuación diferencial es exacta, por tanto existe f(x,y) tal que: 
휕 
휕푥 
푓(푥, 푦) = 푀(푥, 푦) 
⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡
⁡ 
휕 
휕푦 
푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦) 
Entonces: 
푓(푥, 푦) = ∫ 푀(푥, 푦)푑푥 ⁡= ∫(푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥⁡ 
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 
푦 
푦 
푠푒푛푥푦 + ℎ(푦) 
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + ℎ(푦) 
Entonces: 
휕 
휕푦 
푓(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′(푦) 
Como: 
휕 
휕푦 
푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦) 
2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′ (푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦 
Entonces: 
ℎ′ (푦) = 2푦 
Luego: 
ℎ(푦) = ∫ 2푦 푑푦 
ℎ(푦) = 푦2 
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2 
La solución es de la forma: 
푓(푥, 푦) = 퐶 
푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2 = 퐶
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados. 
a .) y ,,  y ,  
2 
e 2 
x 
senx .) ,, 
9 93 3cos 
b y  y  x  
x 
a) 
푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥 
Resolviendo la ecuación homogénea: 
푦′′ + 푦′ = 0 
푟2 + 푟 = 0 
푟(푟 + 1) = 0 
푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 + 1 = 0 
푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 = −1 
Números reales distintos. 
Solución homogénea: 
푦ℎ = 퐶0푒0푥 + 퐶1푒−1푥 
푦ℎ = 퐶0 + 퐶1푒−푥 
Solución particular: 
Como: 
푔(푥) = 2푒2푥 푠푒푛푥 
푦푝 = 퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐵푒2푥 푠푒푛푥 
Derivando: 
푦′푝 = (퐴푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (푐표푠푥)′ + (퐵푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 (푠푒푛푥)′ 
푦′푝 = 2퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (−푠푒푛푥) + 2퐵푒2푥 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 푐표푠푥 
푦′푝 = (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 
Derivando nuevamente: 
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[(푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 푒2푥 (푐표푠푥)′ ] + (−퐴 + 2퐵)[(푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 푒2푥 (푠푒푛푥)′] 
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 + 푒2푥 (−푠푒푛푥)] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥) 
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 − 푒2푥 푠푒푛푥] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥) 
Distributiva: 
푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 
Agrupando los términos semejantes: 
푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵 − 2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥
푦′′푝 = (3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥 
Sustituyendo en la ecuación diferencial: 
푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥 
(3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 
Sumando los términos correspondientes: 
(3퐴 + 4퐵 + 2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 
(5퐴 + 5퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−5퐴 + 5퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 
5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡ − 5퐴 + 5퐵 = 2 
{ 
5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡ 
−5퐴 + 5퐵 = 2 
10퐵 = 2 
퐵 = 
2 
10 
= 
1 
5 
y 
5퐴 = −5퐵 ⇒ 퐴 = −퐵 = − 
1 
5 
Luego, la solución particular es: 
푦푝 = − 
1 
5 
푒2푥 푐표푠푥 + 
1 
5 
푒2푥 푠푒푛푥 
Solución general: 
푦 = 푦ℎ + 푦푝 
푦 = 퐶0 + 퐶1푒−푥 − 
1 
5 
푒2푥 푐표푠푥 + 
1 
5 
푒2푥 푠푒푛푥 
b.) y 9y 93x 3cos x ,,    
푦′′ + 9푦 = 93푥 + 3푐표푠푥 
Resolviendo la ecuación homogénea: 
푦′′ + 9푦 = 0 
푟2 + 9 = 0 
푟2 = −9 
= ±3푖 
∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3 
Número complejo no repetidos. 
푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥)
Solución homogénea: 
푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥) 
푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 
Solución particular para el método de coeficientes indeterminados: 
Como: 
푔(푥) = 93푥 + 3푐표푠푥 
La solución particular es: 
푦푝 = 퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥 
Derivando: 
푦′푝 = 퐴 − 퐶 · 푠푒푛푥 + 퐷 · 푐표푠푥 
Derivando: 
′′ = −퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 
푦푝 
Sustituyendo en la ecuación diferencial: 
′′ + 9푦푝 = 93푥 + 3푐표푠푥 
푦푝 
−퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9(퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥) = 93푥 + 3푐표푠푥 
−퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9퐴푥 + 9퐵 + 9퐶 · 푐표푠푥 + 9퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥 
9퐴푥 + 9퐵 + 8퐶 · 푐표푠푥 + 8퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥 
Igualando coeficientes: 
9퐴 = 93; ⁡9퐵 = 0; ⁡8퐶 = 3; ⁡8퐷 = 0 
퐴 = 
93 
9 
; ⁡퐵 = 
0 
9 
; ⁡퐶 = 
3 
8 
; ⁡퐷 = 
0 
8 
퐴 = 
31 
3 
; ⁡퐵 = 0; ⁡퐶 = 
3 
8 
; ⁡퐷 = 0 
Sustituyendo en yp: 
푦푝 = 
31 
3 
푥 + 0 + 
3 
8 
· 푐표푠푥 + 0 · 푠푒푛푥 
푦푝 = 
31 
3 
푥 + 
3 
8 
· 푐표푠푥 
Solución general: 
푦 = 푦ℎ + 푦푝
푦 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 + 
31 
3 
푥 + 
3 
8 
· 푐표푠푥
4.) Resuelva por variación de parámetros: 
1 
y y Csc3x 
4 
9 ,,   
푦′′ + 9푦 = 
1 
4 
퐶푠푐3푥 
Resolviendo la ecuación homogénea: 
푦′′ + 9푦 = 0 
푟2 + 9 = 0 
푟2 = −9 
= ±3푖 
∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3 
Número complejo no repetidos. 
푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥) 
Solución homogénea: 
푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥) 
푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 
Por variación de parámetros, la solución particular es: 
푦푝 = 퐶0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶1(푥) · 푠푒푛3푥 
{ 
퐶 ′ 
0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶 ′ 
1(푥) · 푠푒푛3푥 = 0 
−퐶 ′ 
0(푥) · 3푠푒푛3푥 + 3퐶 ′ 
1(푥) · 푐표푠3푥 = 
1 
4 
퐶푠푐3푥 
Resolviendo el sistema de ecuaciones por Crammer: 
푐표푠3푥 푠푒푛3푥 
−3푠푒푛3푥 3푐표푠3푥 
푤 = | 
| = 3푐표푠2 3푥 + 3푠푒푛2 3푥 = 3(푐표푠23푥 + 푠푒푛23푥) = 3 
푤0 = | 
0 푠푒푛3푥 
1 
4 
퐶푠푐3푥 3푐표푠3푥 
| = 0 + 
1 
4 
푠푒푛3푥 · 퐶푠푐3푥 = 
1 
4 
푠푒푛3푥 · 
1 
푠푒푛3푥 
푤0 = 
1 
4 
푐표푠3푥 0 
−3푠푒푛3푥 
푤1 = | 
1 
4 
퐶푠푐3푥 
| = 
1 
4 
푐표푠3푥 · 퐶푠푐3푥 + 0 = 
1 
4 
푐표푠3푥 · 
1 
푠푒푛3푥
푤1 = 
1 
4 
∙ 
푐표푠3푥 
푠푒푛3푥 
= 
1 
4 
퐶표푡3푥 
Entonces: 
퐶 ′ 
0(푥) = 
푤0 
푤 
= 
1 
4 
3 
= 
1 
12 
퐶0(푥) = ∫ 
1 
12 
푑푥 
퐶0(푥) = 
1 
12 
푥 
Además: 
퐶 ′ 
1(푥) = 
푤1 
푤 
= 
1 
4 
퐶표푡3푥 
3 
= 
1 
12 
퐶표푡3푥 
퐶1(푥) = 
1 
12 
∫ 퐶표푡3푥 푑푥 
퐶1(푥) = 
1 
12 
∙ 
1 
3 
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| 
퐶1(푥) = 
1 
36 
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| 
Al sustituir: 
푦푝 = 
1 
12 
푥 · 푐표푠3푥 + 
1 
36 
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| · 푠푒푛3푥 
푦푝 = 
1 
12 
푥 · 푐표푠3푥 + 
1 
36 
· 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| 
Solución general: 
푦퐺 = 푦ℎ + 푦푝 
푦퐺 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 + 
1 
12 
푥 · 푐표푠3푥 + 
1 
36 
· 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Facultad de ingeniería Barquisimeto-Cabudare Actividad de matemática. Daniel Parra C.I.: 22301685
  • 2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial. a y  senx  x  ctgx y  y  ctgx ,, ) ln csc ; Para comprobar esto se debe derivar dos veces y sustituir en la ecuación diferencial dada, para determinar si la función dada satisface dicha ecuación: Primera derivada: 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · (푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′ 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · −푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · −푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥) 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · (−푐푠푐푥) 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푠푒푛푥 · 1 푠푒푛푥 푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 1 Segunda derivada: 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · (푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′ 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 − 0 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · −푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · −푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥) 푐푠푐푥 + 푐푡푔푥 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · (−푐푠푐푥) 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푠푥 · 1 푠푒푛푥 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푠푥 푠푒푛푥 푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥 Al sustituir en la ecuación diferencial dada, se tiene: 푦′′ + 푦 = [−푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥] + 푠푒푛푥 · ln⁡(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) Simplificando: 푦′′ + 푦 = −푐표푡푥 Por lo que la función 푦 = 푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥), es solución de la ecuación diferencial dada.
  • 3. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente. a .) senx cos xy y tg x , 2   )  2 y cos  2 2 y cos 2  0 b e y xy dx xe x xy y dy      a.) 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′ + 푦 = 푡푔2 푥 Dividiendo la ecuación diferencial por 푠푒푛푥 · 푐표푠푥: 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′ 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 + 푦 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 = 푡푔2 푥 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 푦′ + 푦 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 = 푠푒푛2 푥 푐표푠2푥 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 푦′ + 1 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 푦 = 푠푒푛2 푥 푠푒푛푥 · 푐표푠3푥 푦′ + 1 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 푦 = 푠푒푛푥 푐표푠3푥 Ecuación diferencial lineal de la forma: 푦′ + 푃(푥)푦 = 푄(푥) Con: 푃(푥) = 1 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 ⁡⁡⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡푄(푥) = 푠푒푛푥 푐표푠3푥 ⁡ 푃(푥) = 1 푠푒푛푥 · 푐표푠푥 = 1 푠푒푛2푥 2 = 2 푠푒푛2푥 = 2푐푠푐2푥 Factor integrante: 휇(푥) = 푒∫ 푃(푥)푑푥 = 푒2 ∫ 푐푠푐2푥푑푥 휇(푥) = 푒 2 2 푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥| = 푒푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥| Entonces: 휇(푥) = 푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥 Por lo que: 푒∫ 푃(푥)푑푥 푦 = ∫ 푄(푥)푒∫푃(푥)푑푥 푑푥
  • 4. (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푛푥 푐표푠3푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푛푥 푐표푠3푥 ( 1 푠푒푛2푥 + 푐표푠2푥 푠푒푛2푥 ) 푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푛푥 푐표푠3 푥 1 + 1 − 2푠푒푛2 푥 2푠푒푛푥 · 푐표푠푥 ( ) 푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 1 푐표푠3푥 2(1 − 푠푒푛2 푥) 2푐표푠푥 푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 1 푐표푠3 푥 푐표푠2푥 푐표푠푥 푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푐2푥푑푥 (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = 푡푎푛푥 + 퐶 푦 = 푡푎푛푥 + 퐶 푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥 b) (푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥 + (2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦)푑푦 = 0 Tomemos: 푀(푥, 푦) = 푒2푦 − 푦푐표푠푥푦 y 푁(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦 휕 휕푦 푀(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦 휕 휕푥 푁(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦 Dado que: 휕 휕푦 푀(푥, 푦) = 휕 휕푥 푁(푥, 푦) La ecuación diferencial es exacta, por tanto existe f(x,y) tal que: 휕 휕푥 푓(푥, 푦) = 푀(푥, 푦) ⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡
  • 5. ⁡ 휕 휕푦 푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦) Entonces: 푓(푥, 푦) = ∫ 푀(푥, 푦)푑푥 ⁡= ∫(푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥⁡ 푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푦 푦 푠푒푛푥푦 + ℎ(푦) 푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + ℎ(푦) Entonces: 휕 휕푦 푓(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′(푦) Como: 휕 휕푦 푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦) 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′ (푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦 Entonces: ℎ′ (푦) = 2푦 Luego: ℎ(푦) = ∫ 2푦 푑푦 ℎ(푦) = 푦2 푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2 La solución es de la forma: 푓(푥, 푦) = 퐶 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2 = 퐶
  • 6. 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados. a .) y ,,  y ,  2 e 2 x senx .) ,, 9 93 3cos b y  y  x  x a) 푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥 Resolviendo la ecuación homogénea: 푦′′ + 푦′ = 0 푟2 + 푟 = 0 푟(푟 + 1) = 0 푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 + 1 = 0 푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 = −1 Números reales distintos. Solución homogénea: 푦ℎ = 퐶0푒0푥 + 퐶1푒−1푥 푦ℎ = 퐶0 + 퐶1푒−푥 Solución particular: Como: 푔(푥) = 2푒2푥 푠푒푛푥 푦푝 = 퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐵푒2푥 푠푒푛푥 Derivando: 푦′푝 = (퐴푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (푐표푠푥)′ + (퐵푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 (푠푒푛푥)′ 푦′푝 = 2퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (−푠푒푛푥) + 2퐵푒2푥 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 푐표푠푥 푦′푝 = (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 Derivando nuevamente: 푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[(푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 푒2푥 (푐표푠푥)′ ] + (−퐴 + 2퐵)[(푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 푒2푥 (푠푒푛푥)′] 푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 + 푒2푥 (−푠푒푛푥)] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥) 푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 − 푒2푥 푠푒푛푥] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥) Distributiva: 푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 Agrupando los términos semejantes: 푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵 − 2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥
  • 7. 푦′′푝 = (3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥 Sustituyendo en la ecuación diferencial: 푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥 (3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 Sumando los términos correspondientes: (3퐴 + 4퐵 + 2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 (5퐴 + 5퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−5퐴 + 5퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥 5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡ − 5퐴 + 5퐵 = 2 { 5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡ −5퐴 + 5퐵 = 2 10퐵 = 2 퐵 = 2 10 = 1 5 y 5퐴 = −5퐵 ⇒ 퐴 = −퐵 = − 1 5 Luego, la solución particular es: 푦푝 = − 1 5 푒2푥 푐표푠푥 + 1 5 푒2푥 푠푒푛푥 Solución general: 푦 = 푦ℎ + 푦푝 푦 = 퐶0 + 퐶1푒−푥 − 1 5 푒2푥 푐표푠푥 + 1 5 푒2푥 푠푒푛푥 b.) y 9y 93x 3cos x ,,    푦′′ + 9푦 = 93푥 + 3푐표푠푥 Resolviendo la ecuación homogénea: 푦′′ + 9푦 = 0 푟2 + 9 = 0 푟2 = −9 = ±3푖 ∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3 Número complejo no repetidos. 푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥)
  • 8. Solución homogénea: 푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥) 푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 Solución particular para el método de coeficientes indeterminados: Como: 푔(푥) = 93푥 + 3푐표푠푥 La solución particular es: 푦푝 = 퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥 Derivando: 푦′푝 = 퐴 − 퐶 · 푠푒푛푥 + 퐷 · 푐표푠푥 Derivando: ′′ = −퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 푦푝 Sustituyendo en la ecuación diferencial: ′′ + 9푦푝 = 93푥 + 3푐표푠푥 푦푝 −퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9(퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥) = 93푥 + 3푐표푠푥 −퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9퐴푥 + 9퐵 + 9퐶 · 푐표푠푥 + 9퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥 9퐴푥 + 9퐵 + 8퐶 · 푐표푠푥 + 8퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥 Igualando coeficientes: 9퐴 = 93; ⁡9퐵 = 0; ⁡8퐶 = 3; ⁡8퐷 = 0 퐴 = 93 9 ; ⁡퐵 = 0 9 ; ⁡퐶 = 3 8 ; ⁡퐷 = 0 8 퐴 = 31 3 ; ⁡퐵 = 0; ⁡퐶 = 3 8 ; ⁡퐷 = 0 Sustituyendo en yp: 푦푝 = 31 3 푥 + 0 + 3 8 · 푐표푠푥 + 0 · 푠푒푛푥 푦푝 = 31 3 푥 + 3 8 · 푐표푠푥 Solución general: 푦 = 푦ℎ + 푦푝
  • 9. 푦 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 + 31 3 푥 + 3 8 · 푐표푠푥
  • 10. 4.) Resuelva por variación de parámetros: 1 y y Csc3x 4 9 ,,   푦′′ + 9푦 = 1 4 퐶푠푐3푥 Resolviendo la ecuación homogénea: 푦′′ + 9푦 = 0 푟2 + 9 = 0 푟2 = −9 = ±3푖 ∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3 Número complejo no repetidos. 푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥) Solución homogénea: 푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥) 푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 Por variación de parámetros, la solución particular es: 푦푝 = 퐶0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶1(푥) · 푠푒푛3푥 { 퐶 ′ 0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶 ′ 1(푥) · 푠푒푛3푥 = 0 −퐶 ′ 0(푥) · 3푠푒푛3푥 + 3퐶 ′ 1(푥) · 푐표푠3푥 = 1 4 퐶푠푐3푥 Resolviendo el sistema de ecuaciones por Crammer: 푐표푠3푥 푠푒푛3푥 −3푠푒푛3푥 3푐표푠3푥 푤 = | | = 3푐표푠2 3푥 + 3푠푒푛2 3푥 = 3(푐표푠23푥 + 푠푒푛23푥) = 3 푤0 = | 0 푠푒푛3푥 1 4 퐶푠푐3푥 3푐표푠3푥 | = 0 + 1 4 푠푒푛3푥 · 퐶푠푐3푥 = 1 4 푠푒푛3푥 · 1 푠푒푛3푥 푤0 = 1 4 푐표푠3푥 0 −3푠푒푛3푥 푤1 = | 1 4 퐶푠푐3푥 | = 1 4 푐표푠3푥 · 퐶푠푐3푥 + 0 = 1 4 푐표푠3푥 · 1 푠푒푛3푥
  • 11. 푤1 = 1 4 ∙ 푐표푠3푥 푠푒푛3푥 = 1 4 퐶표푡3푥 Entonces: 퐶 ′ 0(푥) = 푤0 푤 = 1 4 3 = 1 12 퐶0(푥) = ∫ 1 12 푑푥 퐶0(푥) = 1 12 푥 Además: 퐶 ′ 1(푥) = 푤1 푤 = 1 4 퐶표푡3푥 3 = 1 12 퐶표푡3푥 퐶1(푥) = 1 12 ∫ 퐶표푡3푥 푑푥 퐶1(푥) = 1 12 ∙ 1 3 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| 퐶1(푥) = 1 36 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| Al sustituir: 푦푝 = 1 12 푥 · 푐표푠3푥 + 1 36 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| · 푠푒푛3푥 푦푝 = 1 12 푥 · 푐표푠3푥 + 1 36 · 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| Solución general: 푦퐺 = 푦ℎ + 푦푝 푦퐺 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 + 1 12 푥 · 푐표푠3푥 + 1 36 · 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|