Este documento presenta dos problemas de ecuaciones diferenciales. El primero determina si una función es solución de una ecuación diferencial dada derivando la función dos veces y sustituyendo en la ecuación. El segundo problema resuelve dos ecuaciones diferenciales de primer orden, la primera usando un factor integrante y la segunda determinando que es exacta y encontrando su función integrante.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Facultad de ingeniería
Barquisimeto-Cabudare
Actividad de matemática.
Daniel Parra C.I.: 22301685

2. 1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.
a y  senx  x  ctgx y  y  ctgx ,, ) ln csc ;
Para comprobar esto se debe derivar dos veces y sustituir en la ecuación diferencial dada, para
determinar si la función dada satisface dicha ecuación:
Primera derivada:
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 ·
(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 ·
−푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 ·
−푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥)
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푠푒푛푥 · (−푐푠푐푥)
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푠푒푛푥 ·
1
푠푒푛푥
푦′ = 푐표푠푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 1
Segunda derivada:
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 ·
(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) ′
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
− 0
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 ·
−푐푠푐푥 · 푐푡푔푥 − 푐푠푐2 푥
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 ·
−푐푠푐푥 · (푐푡푔푥 + 푐푠푐푥)
푐푠푐푥 + 푐푡푔푥
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) + 푐표푠푥 · (−푐푠푐푥)
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푠푥 ·
1
푠푒푛푥
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) −
푐표푠푥
푠푒푛푥
푦′′ = −푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥
Al sustituir en la ecuación diferencial dada, se tiene:
푦′′ + 푦 = [−푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥) − 푐표푡푥] + 푠푒푛푥 · ln⁡(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥)
Simplificando:
푦′′ + 푦 = −푐표푡푥
Por lo que la función 푦 = 푠푒푛푥 · ln(푐푠푐푥 + 푐푡푔푥), es solución de la ecuación diferencial dada.

3. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método
correspondiente.
a .) senx cos
xy y tg x
, 2
 
)  2 y cos  2 2
y
cos 2  0
b e y xy dx xe x xy y dy
    
a.)
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′ + 푦 = 푡푔2 푥
Dividiendo la ecuación diferencial por 푠푒푛푥 · 푐표푠푥:
푠푒푛푥 · 푐표푠푥 · 푦′
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
+
푦
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
=
푡푔2 푥
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
푦′ +
푦
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
=
푠푒푛2 푥
푐표푠2푥
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
푦′ +
1
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
푦 =
푠푒푛2 푥
푠푒푛푥 · 푐표푠3푥
푦′ +
1
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
푦 =
푠푒푛푥
푐표푠3푥
Ecuación diferencial lineal de la forma:
푦′ + 푃(푥)푦 = 푄(푥)
Con:
푃(푥) =
1
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
⁡⁡⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡푄(푥) =
푠푒푛푥
푐표푠3푥
⁡
푃(푥) =
1
푠푒푛푥 · 푐표푠푥
=
1
푠푒푛2푥
2
=
2
푠푒푛2푥
= 2푐푠푐2푥
Factor integrante:
휇(푥) = 푒∫ 푃(푥)푑푥 = 푒2 ∫ 푐푠푐2푥푑푥
휇(푥) = 푒
2
2
푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥| = 푒푙푛|푐푠푐2푥 +푐표푡2푥|
Entonces:
휇(푥) = 푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥
Por lo que:
푒∫ 푃(푥)푑푥 푦 = ∫ 푄(푥)푒∫푃(푥)푑푥 푑푥

4. (푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫
푠푒푛푥
푐표푠3푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫
푠푒푛푥
푐표푠3푥
(
1
푠푒푛2푥
+
푐표푠2푥
푠푒푛2푥
) 푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫
푠푒푛푥
푐표푠3 푥
1 + 1 − 2푠푒푛2 푥
2푠푒푛푥 · 푐표푠푥
(
) 푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫
1
푐표푠3푥
2(1 − 푠푒푛2 푥)
2푐표푠푥
푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫
1
푐표푠3 푥
푐표푠2푥
푐표푠푥
푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = ∫ 푠푒푐2푥푑푥
(푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥)푦 = 푡푎푛푥 + 퐶
푦 =
푡푎푛푥 + 퐶
푐푠푐2푥 + 푐표푡2푥
b)
(푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥 + (2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦)푑푦 = 0
Tomemos:
푀(푥, 푦) = 푒2푦 − 푦푐표푠푥푦
y
푁(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦
휕
휕푦
푀(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦
휕
휕푥
푁(푥, 푦) = 2푒2푦 − 푐표푠푥푦 + 푥푦푠푒푛푥푦
Dado que:
휕
휕푦
푀(푥, 푦) =
휕
휕푥
푁(푥, 푦)
La ecuación diferencial es exacta, por tanto existe f(x,y) tal que:
휕
휕푥
푓(푥, 푦) = 푀(푥, 푦)
⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡

5. ⁡
휕
휕푦
푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦)
Entonces:
푓(푥, 푦) = ∫ 푀(푥, 푦)푑푥 ⁡= ∫(푒2푦 − 푦푐표푠푥푦)푑푥⁡
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 −
푦
푦
푠푒푛푥푦 + ℎ(푦)
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + ℎ(푦)
Entonces:
휕
휕푦
푓(푥, 푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′(푦)
Como:
휕
휕푦
푓(푥, 푦) = 푁(푥, 푦)
2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + ℎ′ (푦) = 2푥푒2푦 − 푥푐표푠푥푦 + 2푦
Entonces:
ℎ′ (푦) = 2푦
Luego:
ℎ(푦) = ∫ 2푦 푑푦
ℎ(푦) = 푦2
푓(푥, 푦) = 푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2
La solución es de la forma:
푓(푥, 푦) = 퐶
푥푒2푦 − 푠푒푛푥푦 + 푦2 = 퐶

6. 3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados.
a .) y ,,  y , 
2
e 2
x
senx .) ,,
9 93 3cos
b y  y  x 
x
a)
푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥
Resolviendo la ecuación homogénea:
푦′′ + 푦′ = 0
푟2 + 푟 = 0
푟(푟 + 1) = 0
푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 + 1 = 0
푟 = 0; ⁡⁡⁡푟 = −1
Números reales distintos.
Solución homogénea:
푦ℎ = 퐶0푒0푥 + 퐶1푒−1푥
푦ℎ = 퐶0 + 퐶1푒−푥
Solución particular:
Como:
푔(푥) = 2푒2푥 푠푒푛푥
푦푝 = 퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐵푒2푥 푠푒푛푥
Derivando:
푦′푝 = (퐴푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (푐표푠푥)′ + (퐵푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 (푠푒푛푥)′
푦′푝 = 2퐴푒2푥 푐표푠푥 + 퐴푒2푥 (−푠푒푛푥) + 2퐵푒2푥 푠푒푛푥 + 퐵푒2푥 푐표푠푥
푦′푝 = (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥
Derivando nuevamente:
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[(푒2푥 )′ 푐표푠푥 + 푒2푥 (푐표푠푥)′ ] + (−퐴 + 2퐵)[(푒2푥 )′ 푠푒푛푥 + 푒2푥 (푠푒푛푥)′]
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 + 푒2푥 (−푠푒푛푥)] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥)
푦′′푝 = (2퐴 + 퐵)[2푒2푥 푐표푠푥 − 푒2푥 푠푒푛푥] + (−퐴 + 2퐵)(2푒2푥 푠푒푛푥 + 푒2푥 푐표푠푥)
Distributiva:
푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥
Agrupando los términos semejantes:
푦′′푝 = (4퐴 + 2퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−2퐴 − 퐵 − 2퐴 + 4퐵)푒2푥 푠푒푛푥

7. 푦′′푝 = (3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
푦′′ + 푦′ = 2푒2푥 푠푒푛푥
(3퐴 + 4퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵)푒2푥 푠푒푛푥 + (2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥
Sumando los términos correspondientes:
(3퐴 + 4퐵 + 2퐴 + 퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−4퐴 + 3퐵 − 퐴 + 2퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥
(5퐴 + 5퐵)푒2푥 푐표푠푥 + (−5퐴 + 5퐵)푒2푥 푠푒푛푥 = 2푒2푥 푠푒푛푥
5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡푦⁡⁡⁡⁡⁡ − 5퐴 + 5퐵 = 2
{
5퐴 + 5퐵 = 0⁡⁡⁡
−5퐴 + 5퐵 = 2
10퐵 = 2
퐵 =
2
10
=
1
5
y
5퐴 = −5퐵 ⇒ 퐴 = −퐵 = −
1
5
Luego, la solución particular es:
푦푝 = −
1
5
푒2푥 푐표푠푥 +
1
5
푒2푥 푠푒푛푥
Solución general:
푦 = 푦ℎ + 푦푝
푦 = 퐶0 + 퐶1푒−푥 −
1
5
푒2푥 푐표푠푥 +
1
5
푒2푥 푠푒푛푥
b.) y 9y 93x 3cos x ,,   
푦′′ + 9푦 = 93푥 + 3푐표푠푥
Resolviendo la ecuación homogénea:
푦′′ + 9푦 = 0
푟2 + 9 = 0
푟2 = −9
= ±3푖
∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3
Número complejo no repetidos.
푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥)

8. Solución homogénea:
푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥)
푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥
Solución particular para el método de coeficientes indeterminados:
Como:
푔(푥) = 93푥 + 3푐표푠푥
La solución particular es:
푦푝 = 퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥
Derivando:
푦′푝 = 퐴 − 퐶 · 푠푒푛푥 + 퐷 · 푐표푠푥
Derivando:
′′ = −퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥
푦푝
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
′′ + 9푦푝 = 93푥 + 3푐표푠푥
푦푝
−퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9(퐴푥 + 퐵 + 퐶 · 푐표푠푥 + 퐷 · 푠푒푛푥) = 93푥 + 3푐표푠푥
−퐶 · 푐표푠푥 − 퐷 · 푠푒푛푥 + 9퐴푥 + 9퐵 + 9퐶 · 푐표푠푥 + 9퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥
9퐴푥 + 9퐵 + 8퐶 · 푐표푠푥 + 8퐷 · 푠푒푛푥 = 93푥 + 3푐표푠푥
Igualando coeficientes:
9퐴 = 93; ⁡9퐵 = 0; ⁡8퐶 = 3; ⁡8퐷 = 0
퐴 =
93
9
; ⁡퐵 =
0
9
; ⁡퐶 =
3
8
; ⁡퐷 =
0
8
퐴 =
31
3
; ⁡퐵 = 0; ⁡퐶 =
3
8
; ⁡퐷 = 0
Sustituyendo en yp:
푦푝 =
31
3
푥 + 0 +
3
8
· 푐표푠푥 + 0 · 푠푒푛푥
푦푝 =
31
3
푥 +
3
8
· 푐표푠푥
Solución general:
푦 = 푦ℎ + 푦푝

9. 푦 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 +
31
3
푥 +
3
8
· 푐표푠푥

10. 4.) Resuelva por variación de parámetros:
1
y y Csc3x
4
9 ,,  
푦′′ + 9푦 =
1
4
퐶푠푐3푥
Resolviendo la ecuación homogénea:
푦′′ + 9푦 = 0
푟2 + 9 = 0
푟2 = −9
= ±3푖
∝= 0⁡⁡⁡푦⁡훽 = 3
Número complejo no repetidos.
푦ℎ = 푒∝푥 (퐶0푐표푠훽푥 + 퐶1푠푒푛훽푥)
Solución homogénea:
푦ℎ = 푒0푥 (퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥)
푦ℎ = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥
Por variación de parámetros, la solución particular es:
푦푝 = 퐶0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶1(푥) · 푠푒푛3푥
{
퐶 ′
0(푥) · 푐표푠3푥 + 퐶 ′
1(푥) · 푠푒푛3푥 = 0
−퐶 ′
0(푥) · 3푠푒푛3푥 + 3퐶 ′
1(푥) · 푐표푠3푥 =
1
4
퐶푠푐3푥
Resolviendo el sistema de ecuaciones por Crammer:
푐표푠3푥 푠푒푛3푥
−3푠푒푛3푥 3푐표푠3푥
푤 = |
| = 3푐표푠2 3푥 + 3푠푒푛2 3푥 = 3(푐표푠23푥 + 푠푒푛23푥) = 3
푤0 = |
0 푠푒푛3푥
1
4
퐶푠푐3푥 3푐표푠3푥
| = 0 +
1
4
푠푒푛3푥 · 퐶푠푐3푥 =
1
4
푠푒푛3푥 ·
1
푠푒푛3푥
푤0 =
1
4
푐표푠3푥 0
−3푠푒푛3푥
푤1 = |
1
4
퐶푠푐3푥
| =
1
4
푐표푠3푥 · 퐶푠푐3푥 + 0 =
1
4
푐표푠3푥 ·
1
푠푒푛3푥

11. 푤1 =
1
4
∙
푐표푠3푥
푠푒푛3푥
=
1
4
퐶표푡3푥
Entonces:
퐶 ′
0(푥) =
푤0
푤
=
1
4
3
=
1
12
퐶0(푥) = ∫
1
12
푑푥
퐶0(푥) =
1
12
푥
Además:
퐶 ′
1(푥) =
푤1
푤
=
1
4
퐶표푡3푥
3
=
1
12
퐶표푡3푥
퐶1(푥) =
1
12
∫ 퐶표푡3푥 푑푥
퐶1(푥) =
1
12
∙
1
3
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|
퐶1(푥) =
1
36
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|
Al sustituir:
푦푝 =
1
12
푥 · 푐표푠3푥 +
1
36
∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)| · 푠푒푛3푥
푦푝 =
1
12
푥 · 푐표푠3푥 +
1
36
· 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|
Solución general:
푦퐺 = 푦ℎ + 푦푝
푦퐺 = 퐶0푐표푠3푥 + 퐶1푠푒푛3푥 +
1
12
푥 · 푐표푠3푥 +
1
36
· 푠푒푛3푥 ∙ 푙푛|푠푒푛(3푥)|