I fase control ii ecuaciones en diferencias (3)

DISCRETIZACION DE SISTEMAS
DESCRITOS POR ECUACIONES
DIFERENCIALES

1.- DISCRETIZACION DE SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES
DIFERENCIALES
• REPRESENTACION GENERAL

2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Sea la Ecuación Diferencial de primer orden
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑦 𝑡 , 𝑥(𝑡))
Sustituyendo t por kT, donde k toma valores enteros y T es fijo
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑦 𝑘𝑇 , 𝑥(𝑘𝑇))
Recordando la definición de la derivada:
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
= lim
𝑇→0
𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇)
𝑇
≈
𝑇
𝑇
≈ 𝑓 𝑦 𝑘𝑇 , 𝑥 𝑘𝑇
De aquí se obtiene la ecuación diferencial iterativa de Euler
Forward.
𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ 𝒇(𝒚 𝒌𝑻 , 𝒙(𝒌𝑻))

3.- Ejemplo
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= −0.1𝑦 𝑡 − 0.05𝑦2 𝑡 + 𝑥(𝑡)
Discretizando
𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ 𝒇(𝒚 𝒌𝑻 , 𝒙(𝒌𝑻))
𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ (−0.1𝑦[𝑘𝑇] − 0.05 𝑦 𝑘𝑇 2 + 𝑥[𝑘𝑇]
Acomodando, la ecuación recursiva resultante será:
𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝑻 𝒚 𝒌𝑻 − 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝒌𝑻 𝟐 + 𝑻𝒙[𝒌𝑻]
Podemos escribir también de la forma:
𝒚 𝒌 + 𝟏 = 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝑻 𝒚(𝒌) − 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝒌
𝟐
+ 𝑻𝒙(𝒌)

3.1- Ejemplo: Implementación en MATLAB
Simulación con MATLAB ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)
N=20; T=1;
for i=2:N
x(i)=1;
y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1)-0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1);
end

3.2- Ejemplo: Implementación en MATLAB
Simulación con MATLAB ENTRADA PUERTA UNITARIO (T=1 seg)
N=41; T=1;
x=[ones(1,(N-1)/2) zeros(1,(N-1)/2+1)];
for i=2:N
y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1) - 0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1);
end

3.3- Ejemplo: Implementación en LABVIEW
Simulación con LABVIEW ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)
N=41; T=1;
x=[ones(1,(N-1)/2) zeros(1,(N-1)/2+1)];
for i=2:N
y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1) - 0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1);
end

Simulación con LABVIEW ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)

Simulación con LABVIEW ENTRADA PUERTA UNITARIO (T=1 seg)

4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
𝑑2 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏1
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑏0 𝑥(𝑡)
Sustituyendo t por kT, donde k toma valores enteros y T es fijo
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
= lim
𝑇→0
𝑇
≈
𝑇
𝑑2
𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡2
= lim
𝑇→0
𝑑𝑦(𝑘𝑇 + 𝑇)
𝑑𝑡
−
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
)
𝑇
≈
𝑑𝑡
−
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
)
𝑇

4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
𝑑2 𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡2 = lim
𝑇→0
𝑑𝑡
−
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
)
𝑇
≈
𝑑𝑡
−
𝑑𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡
)
𝑇
𝑑2
𝑦(𝑘𝑇)
𝑑𝑡2 =
𝑦 𝑘𝑇 + 2𝑇 − 2𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 + 𝑦(𝑘𝑇)
𝑇2

4.- Calculando respuestas dinámicas
La respuesta dinámica, es una ecuación de diferencias que en realidad, por si misma
es un algoritmo o formula para calcular las respuestas en la forma de funciones de
tiempo.
Ejemplo: Calcular la respuesta dinámica para la ecuación de diferencias.
𝑦 𝑘 = 1 −
ℎ
𝑇
𝑦 𝑘 − 1 +
𝐾ℎ
𝑇
𝑢(𝑘 − 1)
Asumir los parámetros: ℎ = 0.1 , 𝑇 = 1, 𝐾 = 2.
La ecuación de diferencia se vuelve:
𝑦 𝑘 = 1 −
0.1
1
𝑦 𝑘 − 1 +
2 ∗ 0.1
1
𝑢(𝑘 − 1)
Asumiremos que la entrada es un impulso de amplitud U en un tiempo discreto
k=0, y el valor inicial de y es y0. Podemos calcular las dos primeras respuestas en y
de a siguiente forma:
𝑦 1 = 0.9𝑦 0 + 0.2𝑢(0)
= 0.9𝑦0 + 0.2𝑈
𝑦 2 = 0.9 0.9𝑦0 + 0.2𝑈 + 0.2 ∗ 0
= 0.81𝑦0 + 0.18𝑈
𝑦 3 = 0.9 0.81𝑦0 + 0.18𝑈 + 0.2 ∗ 0
= 0.729𝑦0 + 0.162𝑈

5.- Calculando respuestas estáticas
Para una respuesta estática significa el valor de la constante en estado
estacionario de la variable de salida del modelo cuando las variables de
entrada tienen valores constantes. La respuesta estática puede ser
calculada desde la versión estática de la ecuación en diferencias. La versión
estática es obtenida cuando se deja todas las dependencias del tiempo en la
ecuación diferencial. Por ejemplo el termino y(k-1) es reemplazado por ys,
donde el subindice s es estático.
Ejemplo: Calcular la respuesta estática para la ecuación de diferencias.
Del ejemplo anterior
𝑦 𝑘 = 0.9𝑦 𝑘 − 1 + 0.2 ∗ 𝑢(𝑘 − 1)
La versión estática de la ecuación en diferencias es:
𝑦𝑠 = 0.9𝑦𝑠 + 0.2 ∗ 𝑢 𝑠
𝑦𝑠 = 0.9𝑦𝑠 + 0.2 ∗ 𝑈
0.1𝑦𝑠 = 0.2 ∗ 𝑈
𝑦𝑠 = 2 ∗ 𝑈
La salida es el doble de la entrada. Comprobar con un codigo d ematlab
ambas respuestas

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias
Un diagrama de bloques es una representación grafica de un modelo
matemático. El diagrama de bloques muestra la estructura del modelo, es
decir, como los subsistemas estaban conectados. Además, el diagrama de
bloques puede ser representado directamente en una simulación grafica de
herramientas como simulink y LabVIEW.
La figura muestra los bloques que se usan mas frecuentemente en modelos
de ecuaciones en diferencias.
Diagrama de bloques elementales para dibujar modelos de ecuaciones de
diferencias.

Ejemplo 1: Diagrama de bloques de una ecuación de diferencias.
El diagrama de bloques para la ecuación para un algoritmo de un filtro pasa
bajo mostrado en la figura:
𝑦 𝑘 = 𝑎𝑦 𝑘 − 1 + 1 − 𝑎 𝑢(𝑘)
Diagrama de bloques del algoritmo de un filtro pasa bajo.

Ejemplo 2: Un sistema LTI(Linear–Invariant-Time) definido por el diagrama
d bloques de la figura:
Diagrama de bloques
Es excitado con la señal:
𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ∗ 𝛿(𝑛 − 2)
a) Obtener la secuencia de muestras x(n) y representela gráficamente.
b) Plotear la respuesta impulsional del sistema
c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistema.

Solución Ejemplo 2:
Aquí debemos tener cuidado con este símbolo (*) que significa convolucion
y se define de la siguiente manera:
𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 =
𝑘=−∞
∞
𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑛 − 𝑘)
𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ∗ 𝛿(𝑛 − 2)
Entonces primero separamos las dos señales
𝑥1 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ; 𝑥2 𝑛 = 𝛿(𝑛 − 2)
Usando la formula anterior:
𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 =
𝑘=−∞
∞
𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=−∞
∞
𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑛 − 𝑘
=
𝑘=−∞
∞
2−𝑘 𝑢 𝑘 − 𝑢 𝑘 − 4 . 𝛿(𝑛 − 2 − 𝑘)

𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ∗ 𝛿(𝑛 − 2)
𝑥 𝑛 =
𝑘=−∞
∞
2−𝑘 𝑢 𝑘 − 𝑢 𝑘 − 4 . 𝛿(𝑛 − 2 − 𝑘)
A simple vista parece complicado, pero es mas simple ya que el impulso
solo tiene un valor no nulo en k=n-2, en consecuencia la sumatoria se
reduce a:
𝑥 𝑛 = 2−(𝑛−2)
𝑢 𝑛 − 2 − 𝑢 𝑛 − 6
Y ahora esta parte también es sencilla ya que solo tiene cuatro valores que
son:
𝑥 𝑛 = {0, 0,1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, 0,0 … }

Si trabajamos con la variable intermedia w(n), obtemnos las ecuaciones de
diferencias:
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 −
1
2
𝑤 𝑛 − 1
𝑦 𝑛 = 𝑤 𝑛 − 𝑤 𝑛 − 1 + 𝑤 𝑛 − 2
Para calcular la salida de este sistema hemos de conocer la respuesta
impulsional del mismo ya que, y(n)=h(n)*x(n). Podemos considerar que
tenemos dos sistemas en cascada de manera que la salida y(n) viene
proporcionada por la convolución de h2(n) con w(n) que es la salida, a su
vez la salida del sistema h1(n) entre la entrada x(n), tal como se indica en la
figura. Por ello la respuesta impulsional total viene dado por,
h(n)=h1(n)*h2(n).
Representación en cascada del diagrama de bloques

La ecuacion diferencial del sistema 1 es:
𝑤 𝑛 = 𝑥 𝑛 −
1
2
𝑤 𝑛 − 1
La respuesta impulsional ocurre cuando 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛), y si consideramos
condiciones iniciales nulas, entonces:
ℎ1 𝑛 = 𝛿 𝑛 −
1
2
ℎ1 𝑛 − 1
Realizando iteraciones:
Observando que la expresión general es:
ℎ1 𝑛 = −
1
2
𝑛
𝑢 𝑛

Analizando el segundo sistema, tiene por ecuaciones en diferencias:
𝑦 𝑛 = 𝑤 𝑛 − 𝑤 𝑛 − 1 + 𝑤 𝑛 − 2
Si hacemos w 𝑛 = 𝛿 𝑛
ℎ2 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿 𝑛 − 2
Al igual que el caso anterior,
dando valores a n, obtenemos:
De este modo la respuesta impulsional será:

c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistema.
La salida se puede calcular
𝑦 𝑛 = ℎ 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛
Donde podemos aplicar las propiedades distributivas y de desplazamiento
temporal al convolucionar con una 𝛿 𝑛 , si expresamos la entrada como una
suma de impulsos retardados.
𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 2 +
1
2
𝛿 𝑛 − 3 +
1
4
𝛿 𝑛 − 4 +
1
8
𝛿 𝑛 − 5
El código matlab se lista a continuación

CONVOLUCION
Convolución de un Pulso Cuadrado (como
señal de entrada) con la respuesta al impulso
de un condensador para obtener la señal de
salida (respuesta del condensador a dicha
señal).
Convolución de dos Pulsos Cuadrados
(La función resultante termina siendo
un Pulso Triangular).

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