Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618c3b495.pptx

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
PROGRAMA DE FÍSICA
MECÁNICA CLÁSICA
UBALDO MOLINA REDONDO
BARRANQUILLA, AGOSTO/23

CONTENIDO
UNIDAD 1: MECANICA DE LA PARTICULA Y DE UN SISTEMA
DE PARTICULAS.
Sistemas de Coordenadas Curvilíneas. Cinemática de la partícula: marco
de referencia, posición desplazamiento, velocidad y aceleración. La
velocidad en distintos sistemas coordenados. Las leyes de la Mecánica
Newtoniana. Movimiento bajo una fuerza constante. Movimiento bajo
una fuerza dependiente de la velocidad. Fuerzas conservativas y
conservación de la energía mecánica.
Centro de masa. Teorema del centro de masa. Conservación de momento
angular para un sistema de partículas. Conservación de la energía para un
sistema de partículas.
MECÁNICA CLÁSICA
UNIDAD 2: DINAMICA LAGRANGIANA Y HAMILTONIANA
Temas : Introducción. Grados de libertad, coordenadas generalizadas y espacio de fase.
Ecuaciones de Lagrange. (EDL). Aplicaciones de las EDL. Los principios de
conservación en la formulación de Lagrange

UNIDAD 5. INTRODUCCIÓN A LA TEORIA ESPECIAL DE LA
RELA-TIVIDAD. (TER)
Temas: Relatividad de Galileo. Experimento de Michelson- Morley.
Postulados de la TER. Cinemática relativista. Dinámica relativista. Energía
relativista. Problemas
UNIDAD 3 Fuerzas centrales
Fuerzas centrales y el problema de los dos cuerpos. Ley de la gravitación
universal. Problema unidimensional equivalente. Ecuación de la trayectoria.
Leyes de Kepler.
Introducción al cálculo variacional. Principio de mínima acción de Hamilton y
EDH. Espacio de fase y ecuaciones de Hamilton. Aplicaciones de las ecuaciones de
Hamilton. Corchetes de Poisson.
UNIDAD 4. PEQUEÑAS OSCILACIONES:
Movimiento Armónico Simple. Sistema masa-resorte. Oscilaciones
amortiguadas y Forzadas. Modos normales de Vibración Problemas

BIBLIOGRAFÍA
1. Berkeley Physics Course. Mecánica. Ed Reverté, Barcelona, 1970
2. López, C. Mecánica Newtoniana. U. Nal. de Colombia, Bogotá, 1998.
3. Goldstein, H. Mecánica Clásica, Editorial Reverté, Madrid, España 1982.
4. Rodríguez Jaime, Notas de Mecánica Clásica. Universidad Nacional, Bogotá.
5. Spiegel, Murriay, Libros McGraW-Hill, Bogotá, 1967.
6. Norwood, J. Jr. Mecánica clásica a nivel intermedio. Ed. Prentice-Hall , 1979.
7. Wagsmare, Y. Clasical Mechanics. Prentice- Hall of India, New Dlhi. 1990.
Complementaria
 Marion, Y. Dinámica Clásica de las partículas y sistemas, Editorial Reverté,
Madrid, España 1998
 Berkeley Physics Course. Mecánica. Ed Reverté, Brcelona, 1970.
 Tejeiro, J., M. Sobre la teoría especial de la relatividad, notas de clase,
Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. 2002l
UNIDAD 5: DINAMICA DEL SÓLIDO RIGIDO
Temas : Descripción vectorial de las variables angulares. Momento
angular y energía cinética del sólido rígido. Ecuaciones de Euler del
sólido rígido. Movimiento en marcos de referencia no inerciales.

• Coordenadas curvilíneas
• 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 vector de posición
• 𝑥 = 𝑥1 = 𝑥(𝑢1,𝑢2, 𝑢3 )
• 𝑦 = 𝑥2 = 𝑦(𝑢1,𝑢2, 𝑢3)
• 𝑧 = 𝑥3 = 𝑧(𝑢1,𝑢2, 𝑢3 )
• 𝑢1,𝑢2, 𝑢3 son coordenadas curvilíneas
• Para relacionar las cantidades: x, y, z con las curvilíneas:
• 𝑢1,𝑢2, 𝑢3 se usa el factor de escala ℎ𝑖𝑗, con 𝑖, 𝑗 = 1,2,3
• Definido como,
• h𝑖𝑗
2
=
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑗
(1.1)
Para el caso de coordenadas rectangulares como por ejemplo: coordenadas
cilíndricas y las esféricas, 𝑖 = 𝑗, entonces,
h𝑖𝑖
2
= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖
)2
(1.2)
𝑢3
𝑢2
𝑢1
𝑟

Ejemplo1: Coordenadas cilíndricas
𝑥 = 𝑥1 = 𝜌cos 𝜃, 𝑦 = 𝑥2 = 𝜌sen 𝜃, 𝑧 = 𝑥3=z
Se observa que: 𝜌 = 𝑢1, 𝜃 = 𝑢2 y z=𝑢3
Con la ecuación (2), i=1, se obtiene,
h11
2
= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢1
)2 = (
𝜕𝑥1
𝜕𝜌
)2 + (
𝜕𝑥2
𝜕𝜌
)2 + (
𝜕𝑥3
𝜕𝜌
)2= 𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃=1
ℎ11= ℎ1= ℎ𝜌=1 (1.3)
Análogamente se encuentra, (les queda como ejercicio)
ℎ22= ℎ2= ℎ𝜃= 𝜌, (1.4)
ℎ33= ℎ3= ℎ𝑧= 1 (1.5)
Ejercicio 1: Halar los factores de escala ℎ𝑟, ℎ𝜃 y ℎ𝜑 para el caso de coordenadas
esféricas, definidas como:
𝑥 = 𝑥1 = 𝑟 sen 𝜃 cos𝜑, 𝑦 = 𝑥2 = rsen 𝜃sen 𝜑 , 𝑧 = rcos 𝜃
Se observa que: 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 =𝜃 y 𝑢3 = 𝜑
h𝑖𝑖
2
= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖
)2

• A partir de los factores de escala y de cualquier sistema de coordenadas, se
pueden encontrar algunas operaciones diferenciales del cálculo vectorial y
que se aplican en Física
• Gradiente:
 𝛻 𝜓 = Σ
1
ℎ𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑢𝑖
𝑒𝑖 (1.6)
 Divergencia
 𝛻. 𝐹 = Σ
1
ℎ𝑖
1
ℎ𝑗
1
ℎ𝑘
𝜕
𝜕𝑢𝑖
(ℎ𝑗ℎ𝑘𝐹𝑖) (cíclico) (1.7)
 Rotacional
 𝛻X 𝐹 =
1
ℎ1
1
ℎ2
1
ℎ3
ℎ1𝑒1 ℎ2𝑒2 ℎ3𝑒3
𝜕
𝜕𝑢1
𝜕
𝜕𝑢2
𝜕
𝜕𝑢3
ℎ1𝐹1 ℎ2𝐹2 ℎ3𝐹3
(1.8)
 Laplaciano
 𝛻2
𝜓= Σ
1
ℎ𝑖
1
ℎ𝑗
1
ℎ𝑘
𝜕
𝜕𝑢𝑖
(
ℎ𝑗ℎ𝑘
ℎ𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑢𝑖
) (cíclico) (1.9)

• Gradiente:
 𝛻 𝜓 = Σ
1
ℎ𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑢𝑖
𝑒𝑖= 1
ℎ1
𝜕𝜓
𝜕𝑢1
𝑒1 +
1
ℎ2
𝜕𝜓
𝜕𝑢2
𝑒2 +
1
ℎ3
𝜕𝜓
𝜕𝑢3
𝑒3
 = 1
1
𝜕𝜓
𝜕𝜌
𝑒1 +
1
𝜌
𝜕𝜓
𝜕𝜃
𝑒2 +
1
1
𝜕𝜓
𝜕𝑧
𝑒3
 𝛻 𝜓 =
𝜕𝜓
𝜕𝜌
𝜌 +
1
𝜌
𝜕𝜓
𝜕𝜃
𝜃 +
𝜕𝜓
𝜕𝑧
𝑘 (1.10)
 Divergencia
 𝛻. 𝐹 = Σ
1
ℎ𝑖
1
ℎ𝑗
1
ℎ𝑘
𝜕
𝜕𝑢𝑖
ℎ𝑗ℎ𝑘𝐹𝑖 =
1
ℎ1
1
ℎ2
1
ℎ3
𝜕
𝜕𝑢1
ℎ2ℎ3𝐹1 +
1
ℎ2
1
ℎ3
1
ℎ1
𝜕
𝜕𝑢2
(ℎ3ℎ1𝐹2)+
1
ℎ3
1
ℎ1
1
ℎ2
𝜕
𝜕𝑢3
(ℎ1ℎ2𝐹3)
 𝛻. 𝐹 =
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
𝜌𝐹
𝜌 +
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜃
(𝐹𝜃)+
1
𝜌
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝐹𝑧)
 𝛻. 𝐹 =
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
𝜌𝐹
𝜌 +
𝜕
𝜕𝜃
(𝐹𝜃)+
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝐹
𝑧) (1.11)

Vector de Posición: Es el vector que describe la trayectoria de una partícula respecto de un
sistema se coordenadas 𝑟 = 𝑟(t)
1) En coordenadas rectangulares: 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
2) Coordenadas cilíndricas: 𝑥 = 𝜌cos 𝜃, 𝑦 = 𝜌sen 𝜃, 𝑧 = 𝑧
3) Coordenadas esféricas: 𝑥 = 𝑟 sen 𝜃 cos𝜑, 𝑦 = rsen 𝜃sen 𝜑 , 𝑧 = rcos 𝜃
Las derivadas respecto al tiempo se denotan con un punto sobre la cantidad que se deriva
Es decir:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=𝐴
Velocidad de la Partícula: Se define como variación de la posición respecto al tiempo,
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑘 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
Aceleración de la Partícula: Se define como variación de la velocidad respecto al tiempo,
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑣 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
𝑘= 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑖 + 𝑎𝑧𝑘

En Coordenadas cilíndricas: 𝑥 = 𝜌cos 𝜃, 𝑦 = 𝜌sen 𝜃, 𝑧 = 𝑧
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘= 𝜌cos 𝜃𝑖 + 𝜌sen 𝜃𝑗 + 𝑧𝑘 = 𝜌(cos 𝜃𝑖 + sen 𝜃𝑗) + 𝑧𝑘
Primero se hallan los vectores unitarios : 𝜌, 𝜃 y 𝑧
Para 𝜌, se procede así,
𝜌=
𝜕𝑟
𝜕𝜌
/
𝜕𝑟
𝜕𝜌
=
cos 𝜃𝑖+sen 𝜃𝑗
𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃
= cos 𝜃𝑖 + sen 𝜃𝑗
𝜌= cos 𝜃𝑖 + sen 𝜃𝑗 (2.1)
Análogamente:
𝜃= −sen𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 (2.2)
𝑧 = 𝑘, (2.3)
De esta manera el vector de posición en coordenadas cilíndricas queda así:
𝑟 = 𝜌𝜌 + 𝑧𝑘 (2.4)
En el sistema de los vectores unitarios : 𝑖, 𝑗, 𝑘 son fijos en el tiempo (constantes)
Mientras que en coordenadas cilíndricas 𝜌, 𝜃 y en esféricas los vectores unitarios: 𝑟, 𝜃 y 𝜑 son vectores unitarios que
dependen del tiempo.
Hay que hallar: 𝜌, 𝜃 y sus respectivas derivadas respecto al tiempo 𝜌 y 𝜃
𝑟 = 𝜌(cos 𝜃𝑖 + sen 𝜃𝑗) + 𝑧𝑘
𝑟 = 𝜌𝜌 + 𝑧𝑘

Se empieza con 𝜌
𝜌 =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(cos 𝜃𝑖 + sen 𝜃𝑗) = (−sen𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= (−sen𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗) 𝜃
𝜌 = 𝜃 𝜃 (2.5)
Análogamente se obtiene,
𝜃= −𝜃𝜌 (2.6)
𝑘 = 0 (2.7)
Velocidad en coordenadas cilíndricas
𝑣 = 𝑟 =
𝑑(𝜌𝜌+𝑧𝑘)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜌𝜌)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑧)
𝑑𝑡
𝑘= 𝜌 𝜌+ 𝜌 𝜌+ 𝑧𝑘= 𝜌 𝜌+ 𝜌𝜃 𝜃+ 𝑧𝑘
𝑣 = 𝜌 𝜌+ 𝜌𝜃𝜃+ 𝑧𝑘 (2.8)
Aceleración en coordenadas cilíndricas
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑣 =
𝑑(𝜌 𝜌+ 𝜌𝜃 𝜃+ 𝑧𝑘)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜌 𝜌)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝜌𝜃𝜃)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑧)
𝑑𝑡
𝑘
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑣 = 𝜌𝜌 + 𝜌𝜌 + 𝜌 𝜃𝜃+ 𝜌𝜃𝜃 + 𝜌𝜃𝜃 + 𝑧𝑘
𝑎 = 𝑣 = 𝜌𝜌 + 𝜌(𝜃𝜃)+ 𝜌 𝜃𝜃+ 𝜌𝜃𝜃 + 𝜌𝜃 (−𝜃𝜌)+ 𝑧𝑘
𝑎 =( 𝜌 − 𝜌 𝜃2
) 𝜌 + (𝜌𝜃 + 2𝜌 𝜃) 𝜃+ 𝑧𝑘 (2.9)
(ver schaum 1.47 al 1.49)

Ejemplo: Coordenadas cilíndricas
𝑥 = 𝑥1 = 𝜌cos 𝜃, 𝑦 = 𝑥2 = 𝜌sen 𝜃, 𝑧 = 𝑥3=z
Se observa que: 𝜌 = 𝑢1, 𝜃 = 𝑢2 y z=𝑢3
Con la ecuación (2), i=1, se obtiene,
h11
2
= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢1
)2 = (
𝜕𝑥1
𝜕𝜌
)2 + (
𝜕𝑥2
𝜕𝜌
)2 + (
𝜕𝑥3
𝜕𝜌
)2= 𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃=1
ℎ11= ℎ1= ℎ𝜌=1
Análogamente se encuentra, (les queda como ejercicio)
ℎ22= ℎ2= ℎ𝜃= 𝜌,
ℎ33= ℎ3= ℎ𝑧= 1
Ejercicio 1: Halar los factores de escala ℎ𝑟, ℎ𝜃 y ℎ𝜑 para el caso
de coordenadas esféricas, definidas como:
𝑥 = 𝑥1 = 𝑟 sen 𝜃 cos𝜑, 𝑦 = 𝑥2 = rsen 𝜃sen 𝜑 , 𝑧 = rcos 𝜃
Se observa que: 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 =𝜃 y 𝑢3 = 𝜑
h𝑖𝑖
2
= (
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖
)2

Coordenadas esféricas: 𝑥 = 𝑟 sen 𝜃 cos𝜑, 𝑦 = rsen 𝜃sen 𝜑 , 𝑧 = rcos 𝜃
Procediendo en forma análoga al
• Gradiente:
 𝛻 𝜓 = Σ
1
ℎ𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑢𝑖
𝑒𝑖= 1
ℎ1
𝜕𝜓
𝜕𝑢1
𝑒1 +
1
ℎ2
𝜕𝜓
𝜕𝑢2
𝑒2 +
1
ℎ3
𝜕𝜓
𝜕𝑢3
𝑒3

 Divergencia
 𝛻. 𝐹 = Σ
1
ℎ𝑖
1
ℎ𝑗
1
ℎ𝑘
𝜕
𝜕𝑢𝑖
ℎ𝑗ℎ𝑘𝐹𝑖 =
1
ℎ1
1
ℎ2
1
ℎ3
𝜕
𝜕𝑢1
ℎ2ℎ3𝐹1 +
1
ℎ2
1
ℎ3
1
ℎ1
𝜕
𝜕𝑢2
(ℎ3ℎ1𝐹2)+
1
ℎ3
1
ℎ1
1
ℎ2
𝜕
𝜕𝑢3
(ℎ1ℎ2𝐹3)
 Rotacional
 𝛻X 𝐹 =
1
ℎ1
1
ℎ2
1
ℎ3
ℎ1𝑒1 ℎ2𝑒2 ℎ3𝑒3
𝜕
𝜕𝑢1
𝜕
𝜕𝑢2
𝜕
𝜕𝑢3
ℎ1𝐹1 ℎ2𝐹2 ℎ3𝐹3

Dada una partícula que describe una
curva C, mediante el vector de
posición 𝑟 = 𝑟(𝑡). En el punto P
de puede considerar un sistema de
coordenadas rectangular que se
mueve con la partícula y definido
por el vector unitario Tangente 𝑇,
el vector normal unitario 𝑁 y el
Binormal Unitario 𝐵 sobre la
curva C.

Velocidad de la Partícula: Se define como variación de la posición respecto al
tiempo,
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑘 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
La magnitud de la velocidad de la Partícula, se llama rapidez y se
define como,
𝑣 = 𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)2+(
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)2+(
𝑑𝑧
𝑑𝑡
)2 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Siendo s la longitud del arco a lo largo de la curva C

De la definición de velocidad de la Partícula, se usa la regla de la
cadena,
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Donde se puede deducir que el
vector unitario tangente es,
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑣
Como la velocidad de la Partícula, es tangente al la curva C,
𝑣 = 𝑣𝑇
𝑇 =
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
𝑣
𝑣

Vector Unitario Normal, 𝑁: Sabiendo que el vector unitario
tangente 𝑇 cumple con la condición,
𝑑
𝑑𝑠
𝑇. 𝑇 =
𝑑 1
𝑑𝑠
= 0
𝑇. 𝑇 = 1
Derivando respecto a s, se tiene
𝑇.
𝑑
𝑑𝑠
𝑇 +
𝑑
𝑑𝑠
𝑇 . 𝑇 = 0
2𝑇.
𝑑
𝑑𝑠
𝑇 = 0
𝑇 ⊥
𝑑𝑇
𝑑𝑠
= 0
Esto quiere decir que,
𝑇.
𝑑
𝑑𝑠
𝑇 = 0

Se define el Vector Unitario Normal, 𝑁 como,
𝑑𝑇
𝑑𝑠
= 𝑘𝑁
𝑁: es el Vector Unitario Normal
𝑘 =
𝑑𝑇
𝑑𝑠
: se llama curvatura
𝑅 =
1
𝑘
: se llama radio de curvatura
𝑁 = 𝑅
𝑑𝑇
𝑑𝑠
Se define el Vector Unitario Binormal, 𝐵 como,
𝐵 = 𝑇𝑥𝑁

Ejemplo: Se define el Vector de posición de una partícula como:
𝑟 = 𝑡 −
𝑡3
3
𝑖 + 𝑡2𝑗 + 𝑡 −
𝑡3
3
𝑘
La velocidad de la partícula es,
Hallar los Vectores Unitarios Tangente 𝑇, Normal 𝑁, Binormal 𝐵, curvatura k y
radio de curvatura R .
Sabemos que: 𝑟 = 𝑡 −
𝑡3
3
𝑖 + 𝑡2
𝑗 + 𝑡 −
𝑡3
3
𝑘
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 − 𝑡2
𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2
𝑘
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 − 𝑡2 𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2 𝑘
El Vector Unitario Normal
La magnitud de la velocidad de la partícula es,

𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 − 𝑡2 𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2 𝑘
𝑣 = 𝑣 = 1 − 𝑡2 2 + 4𝑡2 + 1 − 𝑡2 2
𝑣 = 𝑣 = 1 − 2𝑡2 + 𝑡4 + 4𝑡2 + 1 − 2𝑡2 + 𝑡4
𝑣 = 𝑣 = 2 + 2𝑡4
𝑇 =
𝑣
𝑣
=
1 − 𝑡2
𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2
𝑘
𝑣
Vector Unitario Tangente 𝑇

𝑣 = 𝑣 = 2 + 2𝑡4
𝑇 =
1 − 𝑡2 𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2 𝑘
𝑣
Vector Unitario Nornal 𝑁
𝑘 =
𝑑𝑇
𝑑𝑠
=
𝑑𝑇/𝑑𝑡
𝑑𝑠/𝑑𝑡
=
𝑑𝑇/𝑑𝑡
𝑣

Se puede deducir que el vector unitario tangente es,
La velocidad de la Partícula es tangente al la curva C, 𝑣 = 𝑣𝑇
𝑇 =
𝑑𝑟
𝑑𝑠
=
𝑣
𝑣
𝑁: es el Vector Unitario Normal
𝑘 =
𝑑𝑇
𝑑𝑠
: se llama curvatura
𝑅 =
1
𝑘
: se llama radio de curvatura
𝑁 = 𝑅
𝑑𝑇
𝑑𝑠
Se define el Vector Unitario Binormal, 𝐵 como,
𝐵 = 𝑇𝑥𝑁

Para hallar la
La velocidad de la
Partícula es tangente la curva C,
𝑣 = 𝑣𝑇
La aceleración Tangencial
Derivando respecto al tiempo:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑣𝑇)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑇 + 𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑇 + 𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑇 + 𝑣2𝑁/𝑅
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑇 +
𝑣2
𝑅
𝑁 = 𝑎𝑇𝑇 + 𝑎𝑁𝑁
La aceleración Normal
𝑎𝑇 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎𝑁 =
𝑣2
𝑅
𝑎 = 𝑎𝑇
2
+ 𝑎𝑁
2
La magnitud de la Aceleración es:

Ejercicio 4: Se define el Vector de posición de una partícula
como: 𝑟 = 𝑡 −
𝑡3
3
𝑖 + 𝑡2𝑗 + 𝑡 −
𝑡3
3
𝑘
La velocidad de la partícula es,
Hallar los Vectores Unitarios Tangente 𝑇, Normal 𝑁, Binormal 𝐵, curvatura k y
radio de curvatura R , la aceleración Tangencial y Normal
Sabemos que: 𝑟 = 𝑡 −
𝑡3
3
𝑖 + 𝑡2
𝑗 + 𝑡 −
𝑡3
3
𝑘
𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 − 𝑡2
𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2
𝑘
𝑣 = 𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
El Vector Unitario Normal
La magnitud de la velocidad de la partícula es,

𝑣 = 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 − 𝑡2 𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2 𝑘
𝑣 = 𝑣 = 1 − 𝑡2 2 + 4𝑡2 + 1 − 𝑡2 2
𝑣 = 𝑣 = 1 − 2𝑡2 + 𝑡4 + 4𝑡2 + 1 − 2𝑡2 + 𝑡4
𝑣 = 𝑣 = 2 + 2𝑡4
𝑇 =
𝑣
𝑣
=
1 − 𝑡2
𝑖 + 2𝑡𝑗 + 1 − 𝑡2
𝑘
𝑣
Vector Unitario Tangente 𝑇
Sabemos que,

• ¿Qué es el movimiento?
Variación aparente de la posición de un cuerpo durante el transcurso del
tiempo.
• ¿Qué es la aproximación de partícula o punto material?
Aproximación que considera a los cuerpos como masas puntuales (no
considera su forma, tamaño y dimensiones internas).
Simplificación razonable cuando la estructura interna y la composición de los
cuerpos no cambia durante el movimiento y cuando se mueven en una región
mucho mayor que su tamaño.
• Carácter relativo de movimiento
Un objeto se mueve respecto a otro cuando su posición respecto a éste cambia
con el tiempo. Si la posición no cambia se dice que está en reposo.
El movimiento es un concepto relativo  Un cuerpo puede estar moviéndose
respecto a un objeto y permanecer en reposo respecto otro.

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