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- 1. Skorepa Álvaro Ezequiel Principios de la relatividad especial Primer postulado. Principio especial de relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto. Segundo postulado. Invariancia de c: La rapidez de la luz es una constante universal, denotada como c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz. 𝒄 = 𝟐𝟗𝟗. 𝟕𝟗𝟐. 𝟒𝟓𝟖 𝒎 𝒔 ≅ 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝒔 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧 = 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 = 𝛾 = 1 √1 − 𝑣2 𝑐2 𝛾 ≥ 1 𝑚 𝑟𝑒𝑙 = 𝑚 = 𝛾𝑚0 = 𝑚0 √1 − 𝑣2 𝑐2 𝑚 > 𝑚 𝑜 𝑝 = 𝛾 𝑚0 𝑣 = 𝑚0 𝑣 √1 − 𝑣2 𝑐2
- 2. Skorepa Álvaro Ezequiel Deducción de 𝑬 = 𝒎𝒄 𝟐 Iniciemos con la definición de trabajo: 𝑊 = ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑥⃗ = 𝑊 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 El trabajo en todo instante es igual a la integral de las fuerzas que se aplican sobre una partícula. Ahora el trabajo realizado desde un punto 𝑥0 = 0 hasta un punto 𝑥1 = 𝑥 es igual a la energía cinética del sistema: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐸 𝑘 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 𝑥 0 Donde 𝐹 es la fuerza en la dirección de desplazamiento 𝑑𝑥 y 𝑥 es la distancia sobre la que actúa la fuerza (debido a la simplificación de hacer x1 = 0). Hecho esto tomamos la definición de fuerza de la segunda ley de Newton, que nos dice que la Fuerza resultante aplicada es igual a la derivada del momento lineal con respecto al tiempo (eta es la formulación original de Newton de esta 2da ley): 𝐹 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡 Reemplazando tenemos que: 𝐸 𝑘 = ∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥 0 Luego reacomodamos: 𝐸 𝑘 = ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑝 𝑥 0 De donde por definición tenemos que: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 Reemplazando 𝐸 𝑘 = ∫ 𝑣𝑑𝑝 𝑝 0 Luego para efectos del análisis, tenemos que el momento lineal (relativista) de una partícula másica, es igual a:
- 3. Skorepa Álvaro Ezequiel 𝑝 = 𝛾 𝑚0 𝑣 = 𝑚0 𝑣 √1 − 𝑣2 𝑐2 Ahora se considera la derivada de 𝑝 respecto a la velocidad, pero para que el cálculo resulte más sencillo se expresa a 𝑝 de la siguiente manera: 𝑝 = 𝑚0 𝑣 √1 − 𝑣2 𝑐2 = 𝑚0 𝑣(1 − 𝑣2 𝑐2 ) −1/2 Ahora si planteando la derivada: 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = 𝑑 (𝑚0 𝑣(1 − 𝑣2 𝑐2) −1/2 ) 𝑑𝑉 Como 𝑚0 es constante puede salir fuera de la derivada: 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = 𝑚0 𝑑 (𝑣(1 − 𝑣2 𝑐2 ) −1/2 ) 𝑑𝑉 1 𝑚0 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = 𝑑 (𝑣(1 − 𝑣2 𝑐2 ) −1/2 ) 𝑑𝑉 Dicha derivada es un producto de funciones que se resuelve de la siguiente manera: 1 𝑚0 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = 𝑑 (𝑣 ∙ (1 − 𝑣2 𝑐2 ) −1/2 ) 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑣) 𝑑𝑣 ∙ (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 1 2 + 𝑣 ∙ 𝑑 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 1 2 𝑑𝑣 De donde: 𝑑( 𝑣) 𝑑𝑣 = 1 𝑑 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 1 2 𝑑𝑉 = − 1 2 ∙ (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 ∙ (− 2𝑣 𝑐2 ) = 𝑣 𝑐2 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 Reemplazando:
- 4. Skorepa Álvaro Ezequiel 1 𝑚0 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 1 2 + 𝑣2 𝑐2 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 Se saca factor común (1 − 𝑣2 𝑐2) − 3 2 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 (1 − 𝑣2 𝑐2 + 𝑣2 𝑐2 ) = (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 ∙ 1 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) − 3 2 = 1 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) 3 2 Reemplazando 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = 𝑚0 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) 3 2 Despejando el diferencial de momento lineal: 𝑑𝑝 = 𝑚0 (1 − 𝑣2 𝑐2) 3 2 ∙ 𝑑𝑉 Se remplaza 𝑑𝑝 en la formula 𝐸𝑘 = ∫ 𝑣𝑑𝑝 𝑝 0 𝐸 𝑘 = ∫ 𝑚0 𝑣 (1 − 𝑣2 𝑐2) 3 2 ∙ 𝑑𝑣 𝑣 0 Reordenando 𝐸 𝑘 = 𝑚0 ∫ 𝑑𝑣 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) 3 2 𝑣 0 Para resolver la integral se aplica una sustitución 𝑥 = 1 − 𝑣2 𝑐2 ; 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = − 2𝑣 𝑐2 ; 𝑑𝑣 = − 𝑐2 2𝑣 𝑑𝑥
- 5. Skorepa Álvaro Ezequiel 𝑚0 ∫ 𝑣(− 𝑐2 2𝑣 )𝑑𝑥 √ 𝑥3 𝑣 0 = − 𝑚0 𝑐2 2 ∫ 𝑑𝑥 √ 𝑥3 𝑣 0 Para resolver la integral anterior se tiene en cuenta que 1 √𝑥3 = 𝑥 − 3 2 − 𝑚0 𝑐2 2 ∫ 𝑥− 3 2 𝑣1 0 𝑑𝑥 − 𝑚0 𝑐2 2 ( 𝑥 − 3 2 +1 − 3 2 + 1 )| 0 𝑣 = − 𝑚0 𝑐2 2 ( 𝑥 − 1 2 − 1 2 )| 0 𝑣 = − 𝑚0 𝑐2 2 ( −2 √ 𝑥 )| 0 𝑣 = 𝑚0 𝑐2 ( 1 √ 𝑥 )| 0 𝑣 Sustituyendo 𝑥 por 𝑥 = 1 − 𝑣2 𝑐2 𝑚0 𝑐2 ( 1 √1 − 𝑣2 𝑐2) || 0 𝑣 = 𝑚0 𝑐2 ( 1 √1 − 𝑣2 𝑐2 − 1 √1 − 02 𝑐2) = 𝑚0 𝑐2 ( 1 √1 − 𝑣2 𝑐2 − 1 ) 𝐸 𝑘 = 𝑚0 𝑐2 √1 − 𝑣2 𝑐2 − 𝑚0 𝑐2 De donde 𝑚0 √1− 𝑣2 𝑐2 = 𝑚, reemplazando esto 𝐸 𝑘 = 𝑚𝑐2 − 𝑚0 𝑐2 Sacando factor común 𝑐2 𝐸 𝑘 = 𝑐2( 𝑚 − 𝑚0) El resultado muestra que la energía cinética de un cuerpo es igual a la variación de su masa, la cual resulta ser siempre un incremento (ya que 𝑚 > 𝑚0), como consecuencia de su movimiento relativo multiplicada por 𝑐2 . Ahora a la expresión 𝐸𝑘 = 𝑚𝑐2 − 𝑚0 𝑐2 , se la puede reordenar de la siguiente manera: 𝑚𝑐2 = 𝐸 𝑘 + 𝑚0 𝑐2 Si la energía cinética es igual a cero (𝐸𝑘 = 0) 𝑚𝑐2 = 𝑚0 𝑐2
- 6. Skorepa Álvaro Ezequiel Esto nos dice que aunque un cuerpo este parado, sin poseer energía cinética, aun así tiene una energía asociada que denominaremos energía en reposo 𝐸0 = 𝑚0 𝑐2 Entonces la energía total 𝐸 se puede plantear como la suma de la energía cinética 𝐸𝑘 y la en reposo 𝐸0 𝐸 = 𝐸 𝑘 + 𝐸0 𝐸 = 𝑚𝑐2 − 𝑚0 𝑐2 + 𝑚0 𝑐2 Ahora dicha fórmula se puede expresar de otra manera, teniendo en cuenta que 𝑚 = 𝛾𝑚0 = 𝑚0 √1− 𝑣2 𝑐2 A su vez existe una forma de expresar esta ecuación mediante el momento lineal, que es la siguiente: En definitiva, la energía relativista se puede expresar como: 𝟐 𝑬 = 𝜸𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 = 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 √ 𝟏 − 𝒗 𝟐 𝒄 𝟐 𝑬 𝟐 = 𝒎 𝟎 𝟐 𝒄 𝟒 + 𝒑 𝟐 𝒄 𝟐 𝑬 = 𝒎𝒄 𝟐 = 𝒎 𝟎 √ 𝟏 − 𝒗 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒎 𝟎 𝟐 𝒄 𝟒 + 𝒑 𝟐 𝒄 𝟐
- 7. Skorepa Álvaro Ezequiel Que a su vez se puede expresar de forma vectorial: 𝑬 = 𝒎𝒄 𝟐 = 𝒎 𝟎 √ 𝟏 − 𝒗⃗ 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒎 𝟎 𝟐 𝒄 𝟒 + 𝒑⃗ 𝟐 𝒄 𝟐 De donde 𝑬 = 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒎 𝟎 = 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒐𝒔𝒐 𝒎 = 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 𝒑⃗ = 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒗⃗ = 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊ó𝒏 𝒄 = 𝒓𝒂𝒑𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒇𝒐𝒕ó𝒏 = 𝟐𝟗𝟗. 𝟕𝟗𝟐. 𝟒𝟓𝟖 𝒎 𝒔 ≅ 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝒔 Deducción de 𝑬 𝟐 = 𝒎 𝟎 𝟐 𝒄 𝟒 + 𝒑 𝟐 𝒄 𝟐 Partimos de la definición de momento lineal según la relatividad especial 𝑝 = 𝛾 𝑚0 𝑣 = 𝑚0 𝑣 √1 − 𝑣2 𝑐2 𝑝 = 𝑚0 𝑣 √1 − 𝑣2 𝑐2 Se eleva al cuadrado miembro a miembro 𝑝2 = 𝑚0 2 𝑣2 1 − 𝑣2 𝑐2
- 8. Skorepa Álvaro Ezequiel Se multiplica miembro a miembro por 𝑐2 𝑝2 𝑐2 = 𝑚0 2 𝑣2 𝑐2 1 − 𝑣2 𝑐2 Se expresa 𝑐2 como 𝑐2 = 𝑐4 𝑐2 y se acomoda la expresión 𝑝2 𝑐2 = 𝑚0 2 𝑐4 𝑐2 𝑣2 1 − 𝑣2 𝑐2 = 𝑚0 2 𝑐4 𝑣2 𝑐2 1 − 𝑣2 𝑐2 Se suma y resta 𝑚0 2 𝑐4 1− 𝑣2 𝑐2 𝑝2 𝑐2 = 𝑚0 2 𝑐4 𝑣2 𝑐2 1 − 𝑣2 𝑐2 + 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 − 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 Se agrupa dicha expresión de la siguiente forma 𝑝2 𝑐2 = ( 𝑚0 2 𝑐4 𝑣2 𝑐2 1 − 𝑣2 𝑐2 − 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 ) + 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 𝑝2 𝑐2 = 𝑚0 2 𝑐4 𝑣2 𝑐2 − 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 + 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 Se saca factor común −𝑚0 2 𝑐4 𝑝2 𝑐2 = −𝑚0 2 𝑐4 (1 − 𝑣2 𝑐2 ) 1 − 𝑣2 𝑐2 + 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2 Se simplifica (1 − 𝑣2 𝑐2 ) 𝑝2 𝑐2 = −𝑚0 2 𝑐4 + 𝑚0 2 𝑐4 1 − 𝑣2 𝑐2
- 9. Skorepa Álvaro Ezequiel Nótese que 𝑚0 2 𝑐4 1− 𝑣2 𝑐2 = 𝐸2 , reemplazando esto se llega a: 𝑝2 𝑐2 = −𝑚0 2 𝑐4 + 𝐸2 Que reordenando nos queda: 𝐸2 = 𝑚0 2 𝑐4 + 𝑝2 𝑐2 A partir de la expresión 𝐸2 = ( 𝑚0 𝑐2)2 + ( 𝑝𝑐)2 se puede hacer una analogía con el teorema de Pitágoras: 𝑬 𝟐 = (𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 ) 𝟐 + ( 𝒑𝒄) 𝟐 𝑆𝑖 𝑣⃗ = 0 ⇒ 𝑝⃗ = 0 𝑬 𝟎 = 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 Ahora si estamos en presencia de fotones (ondas electromagnéticas) ⇒ 𝑚0 = 0 𝑬 = 𝒑𝒄 𝒑𝒄 𝑬 𝒑𝒄 𝑬 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 𝒎 𝟎 𝒄 𝟐 𝑬
- 10. Skorepa Álvaro Ezequiel Pero para un fotón la expresión de 𝑝 no es 𝑝 = 𝑚𝑣. La cantidad de movimiento lineal resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones. 𝐸 = ℎ𝑓 Reemplazando esto en la formula obtenida de la energía de un fotón 𝐸 = 𝑝𝑐, se tiene: 𝑝𝑐 = ℎ𝑓 ⇒ 𝑝 = ℎ𝑓 𝑐 Además para un fotón: 𝜆𝑓 = 𝑐 entonces se puede expresar también como: 𝑝 = ℎ 𝜆 Entonces la cantidad de movimiento lineal 𝑝 de un fotón se puede expresar como: 𝑝⃗ = 𝐸 𝑐 = ℎ𝑓 𝑐 = ℎ 𝜆