El documento describe el movimiento de un péndulo simple utilizando la segunda ley de Newton. Se obtiene una ecuación diferencial que modela el movimiento del péndulo y se resuelve aproximadamente para ángulos pequeños. La solución es que el ángulo θ varía periódicamente con el tiempo como una función senoidal θ(t) = R sen(ωt + φ).

1. Dibujo de un péndulo de longitud l con masa m, mostrando las fuerzas actuando en la masa
resuelta en dirección tangencial con respecto al movimiento.
Utilizando la segunda ley de movimiento de Newton 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎, se tiene la ecuación
diferencial
−𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑙𝜃̈
La cual describe el movimiento de la masa m, en donde la sección derecha de la ecuación es
la aceleración tangencial y la sección izquierda de la ecuación es la componente tangencial
de fuerza gravitatoria.
NOTACIÓN: 𝜃̇ =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
→ 𝜃̈ =
𝑑2 𝜃
𝑑𝑡2
Reescribiendo la ecuación:
𝜃̈ + 𝜔2
sin 𝜃 = 0 ∴ 𝜔2
=
𝑔
𝑙
Esta es una ecuación no lineal y no se puede resolver analíticamente.
Aproximación: Si 𝜃 es pequeño, entonces sin 𝜃 ≈ 0, y en esta situación se tiene una
ecuación aproximada dada por:
𝜃̈ + 𝜔2
𝜃 = 0
Se resuelve esta ecuación para 𝜃(𝑡). Aquí se tiene que 𝑟 = 0, 𝑠 = 𝜔2
y ∆= −4𝜔2
< 0. La
ecuación auxiliar es
𝜆2
+ 𝜔2
= 0 ↔ 𝜆2
= −𝜔2
→ 𝜆1 = 𝑖𝜔, 𝜆2 = −𝑖𝜔
En donde 𝑖 = √−1, por lo tanto
𝛼 = −
𝑟
2
= 0 𝑦 𝛽 =
1
2
√−1 = 𝜔

2. Por lo tanto, tenemos 𝑒 𝛼𝑡
cos 𝛽𝑡 = cos 𝜔𝑡 y 𝑒 𝛼𝑡
sin 𝛽𝑡 = sin 𝜔𝑡. Por lo tanto, la solución
general es:
𝜃(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡
Diferenciando se obtiene:
𝜃̇( 𝑡) = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝐵𝜔 cos 𝜔𝑡
𝜃̈ (𝑡) = −𝐴𝜔2
cos 𝜔𝑡 − 𝐵𝜔2
sin 𝜔𝑡
Podemos verificar que 𝜃(𝑡) satisface la ecuación diferencial original tal que:
𝜃̈ (𝑡) = −𝐴𝜔2
cos 𝜔𝑡 − 𝐵𝜔2
sin 𝜔𝑡 = −𝜔2(𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡) = −𝜔2
𝜃(𝑡)
La solución 𝜃(𝑡) puede ser escrita como:
𝜃(𝑡) = √ 𝐴2 + 𝐵2 (
𝐴
√𝐴2 + 𝐵2
cos 𝜔𝑡 +
𝐵
√𝐴2 + 𝐵2
sin 𝜔𝑡)
= √ 𝐴2 + 𝐵2 (sin 𝜑 cos 𝜔𝑡 + cos 𝜑 sin 𝜔𝑡)
𝜃(𝑡) = 𝑅 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Es lo mismo que decir:
𝒙(𝒕) = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋)
Aclaración:
Se utilizó el teorema de Pitágoras para escribir las constantes A y B en términos del ángulo
fase 𝜑.
𝜑