Matrices, determinantes y funciones complejas

1. Matemática Aplicada
Matrices,
Determinantes y
funciones singulares
2023-20
1
Carlos Carrión

2. Temas de Matemáticas Aplicadas
Definición, operaciones y ejemplos
de
Matrices,
Determinantes y
Funciones
Singulares
2

3. Sumario
 Definición de Matriz
 Operación de Matrices
 Determinantes
 Regla de Cramer
 Adjunta de una Matriz
 La inversa de una matriz
 Solución de ecuaciones lineales a través de matrices
 Definición de funciones elementales en ingeniería
3

4. Matrices- Historia
 Gauss pronto fue reconocido como un niño
prodigio, pese a provenir de una familia
campesina de padres con poca cultura: su
madre sabía leer, aunque no escribir; su padre
sí, pero en cuanto a las matemáticas, no pasaba
de la aritmética más elemental. De Carl Friedrich
Gauss existen muchas anécdotas acerca de su
asombrosa precocidad.3 Hizo sus primeros
grandes descubrimientos en el bachillerato,
siendo apenas un adolescente, y completó
su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae, a
los veintiún años (1798), aunque la obra no se
publicó hasta 1801. Constituye un trabajo
fundamental como consolidación de la teoría de
los números y ha moldeado esta área hasta los
días presentes.
4
Johann Carl Friedrich Gauß
(30 abril 1777-28 de febrero
1855)

5. La definición de Matrices
 Una matriz es un arreglo de números como se muestra abajo.
 En forma general, una matriz A se denota como
5

6. Definición de matrices
 Una matriz de 𝑚 filas y de 𝑛 columnas es de orden 𝑚 × 𝑛.
 Si 𝑚 = 𝑛, la matriz es de tipo cuadrada de orden 𝑚 o 𝑛.
 En una matriz cuadrada, los elementos 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … , 𝑎𝑛𝑛 son
llamados los elementos principales de la diagonal.
 Una matriz en la que todos sus elementos son cero, es llamada
matriz cero.
 Una matriz en la que todos sus elementos son unos, se llama matriz
de unos.
 Una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos igual a cero,
excepto los de la diagonal principal en donde sus valores son igual a
1, se conoce como una matriz identidad, y se la representa como I.
6

7. Operaciones con matrices
 Sumatoria y substracción
 Determinar A+B y A-B dado que,
 Solución:
 Ejercicio: Comprobar a través de MATLAB
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8. Operaciones con matrices
 Multiplicación de matrices
 Multiplicar la matriz,
 Por (a) k1= 5 y (b) k2 = -3+j2
8

9. Operaciones con matrices
 Multiplicación de matrices
 Solución:
 (a)
 (b)
 Ejercicio: Comprobar a través de MATLAB
9

10. Operaciones con matrices
 Multiplicación de matrices
 Multiplicar las matrices,
 Solución:
10

11. Operaciones con matrices
 Multiplicación de matrices
 Si cambiamos el orden, y multiplicamos D×C también es posible
realizar la multiplicación:
 Ejercicio: demostrar estas soluciones por medio del MATLAB
11

12. Operaciones con matrices
 Transpuesta de una matriz
 La transpuesta de una matriz A, denotada como AT, es la matriz que
se obtiene cuando las filas y las columnas de la matriz A se
intercambian. Por ejemplo, si
 En MATLAB, para hacer la transpuesta simplemente se usa el
símbolo (’) en la matriz, y se logra su transpuesta, por favor hacer el
ejercicio en clase.
12

13. Operaciones con matrices
 Transpuesta de una matriz
 Una matriz simétrica A, es una tal que AT=A, esto es, la transpuesta
de la matriz A es la misma matriz A. Un ejemplo de una matriz
simétrica se muestra a continuación:
13

14. Operaciones con matrices
 Conjugada de una matriz
 Si una matriz A tiene elementos complejos, la matriz obtenida desde
A remplazando a cada elemento por su conjugada, es llamada
conjugada de A, y se denota como A*.
14

15. Operaciones con matrices
 Hermitian
 Una matriz cuadrada A tal que AT* = A, se llama matriz Hermitian. Por
ejemplo,
15

16. Operaciones con matrices
 Determinantes
 Dada una matriz A definida como una matriz cuadrada,
 Por ejemplo si tenemos la matriz A:
16

17. Operaciones con matrices
 Determinantes
 Podemos definir el determinante como,
17

18. Regla de Cramer
 Considere el sistema de 3 ecuaciones
 Y si organizamos la matriz como:
18

19. Regla de Cramer
 La regla de Cramer establece que los valores desconocidos 𝒙,𝒚, y 𝒛
pueden ser encontrados a través de las relaciones:
 Siempre y cuando el determinante de 𝚫 no sea cero.
 La regla de Cramer se aplica para sistemas de ecuaciones de dos o
más ecuaciones.
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20. Regla de Cramer
 Ejemplo: Use la regla de Cramer para encontrar los valores de 𝑣1, 𝑣2
y 𝑣3 si,
 Solución: Reordenando las ecuaciones tenemos:
20

21. Regla de Cramer
 Aplicando la regla de Cramer tenemos,
21

22. Regla de Cramer
 Por lo tanto, aplicando la regla de Cramer tenemos,
 Ejercicio, comprobar el resultado por medio de MATLAB.
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23. La matriz adjunta
 Asumamos que A es una matriz cuadrada n y que 𝛼𝑖𝑗 es el cofactor
de 𝑎𝑖𝑗. Entonces la adjunta de A, que se denota como adjA, se define
como la matriz cuadrada 𝑛 que mostraremos a continuación.
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24. La matriz adjunta
 Ejemplo: Determinar adjA dado que
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25. La matriz adjunta
 Solución:
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26. La Inversa de una Matriz
 Si 𝑨 y 𝑩 son matrices cuadradas 𝑛 tales que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 𝑰, donde 𝑰 es la
matriz identidad, 𝑩 es llamada la inversa de 𝑨, denotado como 𝑩 = 𝑨−𝟏
,
y así mismo, 𝑨 se llama inversa de 𝑩, esto es 𝑨 = 𝑩−𝟏:
 Ejemplo: Dada la matriz
 Determinar su inversa, esto es, encontrar 𝑨−𝟏.
26

27. La Inversa de una Matriz
 Solución: Primero se determina la determinante de A:
 La adjunta de A, que ya se calculó anteriormente como:
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28. La Inversa de una Matriz
 La inversa de A es entonces:
 Ejercicio: Comprobar a través de MATLAB, use el comando inv(A) para
determinar la inversa.
28

29. La Inversa de una Matriz
 Ejemplo: Determinar la inversa de A :
Solución: El determinante y la adjunta es:
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30. La Inversa de una Matriz
 La inversa será entonces:
 Podemos comprobar al multiplicar A con su inversa obtendremos la
matriz identidad;
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31. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Considere la relación:
 Donde 𝑨 y 𝑩 son matrices cuyos elementos son conocidos, y 𝑿 es una
matriz (un vector columna) cuyos elementos son desconocidos.
Podemos determinar estos valores desconocidos como:
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32. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Ejemplo: Dada el siguiente sistema de ecuaciones,
 Calcule los valores desconocidos 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3 usando el método de matriz inversa.
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33. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Solución:
 Entonces tenemos:
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34. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Determinar el determinante de A, y la adjunta.
 Por lo tanto la inversa es,
34

35. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Así, finalmente obtenemos los resultados,
 Podemos comprobar el resultado en MATLAB a través de los comandos:
35

36. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Ejemplo: Para el circuito eléctrico, las ecuaciones de la malla son
 Use el método de la matriz inversa para calcular los valores de las
corrientes 𝐼1, 𝐼2, e 𝐼3.
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37. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Solución: Para este ejemplo, la matriz de ecuaciones es 𝑹𝑰 = 𝑽 o 𝑰 =
𝑹−𝟏
𝑽, donde
 Debemos encontrar la relación,
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38. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 El determinante y la adjunta para la matriz de resistencias es,
 La inversa de la matriz de resistencias es,
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39. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Con estos resultados podemos determinar la matriz de corrientes,
 Ejercicio: Comprobar los resultados por medio de MATLAB.
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40. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Para el siguiente circuito con fasores, la corriente 𝑰𝑿 puede encontrarse
de la relación,
40

41. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 Para el siguiente circuito con fasores, la corriente 𝑰𝑿 puede encontrarse
de la relación,
 Y los voltajes V1 y V2 se pueden determinar a través del análisis nodal:
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42. Solución de Ecuaciones
Simultaneas con Matrices
 La matriz de ecuaciones simplificadas es,
 Y arreglando en forma matricial tenemos
 Ejercicio: Determinar Ix a través de la ecuación:
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43. Funciones Elementales
(Singulares) en Ingeniería
43
El impulso δ(t) definido por
δ(t)=0 si t≠0 y
El escalón u-1(t) definido por
u-1(t)=0 si t<0, u(t)=1 si t>=0
La rampa r(t) o u-2(t) definida por
r(t)=0 si t<0, r(t)=t si t>0
Las sucesivas u-i(t) definidas
recursivamente por 





t
dt
).
t
(
)
t
(
1
u 



t
dt
).
t
(
u
)
t
(
r




 1
dt
).
t
(








t
d
).
(
i
u
)
t
(
1
i
u
1
1 21/2
t
escalón
parábola
rampa
∞






t
dt
).
t
(
1
u
)
t
(
2
u

44. Funciones Elementales
(Singulares) en Ingeniería
44
 Función escalón unitario (unit step) 𝒖𝟎(𝒕)

45. Funciones Elementales
(Singulares) en Ingeniería
45
 Función delta de Diract (impulse) 𝛅(𝒕)

46. Funciones Elementales
(Singulares) en Ingeniería
46
 Función delta de rampa (ramp) 𝒖𝟏(𝒕)