CDVSDVGRGGTGERG

1. REGLA DE CRAMER
En regla de Cramer da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en
términos de determinantes.
Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del
sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector
columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se
presenta así:
donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el
vector columna .
Condiciones:
El determinante de la matriz debe ser diferente de cero
Funciona solo para matrices cuadradas.
Ejemplo:
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la
forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Se representa matricialmente:
Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división
de determinantes, de la siguiente manera:

2. Dado
que matricialmente es:
x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

3. Regla de Sarrus
Pierre Frederic Sarrus fue un matemático francés del siglo XIX. La mayoría de sus
tratados matemáticos se basan en métodos de resolución de ecuaciones y el
cálculo de variaciones, dentro de las ecuaciones numéricas.
En uno de sus tratados, resolvió uno de los enigmas más complejos de la
mecánica. Para resolver los problemas de las piezas articuladas, Sarrus introdujo
la transformación de movimientos rectilíneos alternativos, en movimientos
circulares uniformes. A este nuevo sistema se le conoce como el mecanismo de
Sarrus.
La investigación que más fama le dio a este matemático fue en la que introdujo un
nuevo método de cálculo de determinantes, en el artículo “Nouvelles méthodes
pour la résolution des équations” (Nuevo método para la resolución de
ecuaciones), que fue publicado en el año 1833. Este modo de resolver ecuaciones
lineales, se conoce como regla de Sarrus.
La regla de Sarrus permite calcular el determinante de una matriz de 3×3, sin
necesidad de utilizar el teorema de Laplace, introduciendo un método mucho más
sencillo e intuitivo. Para poder comprobar el valor de la regla de Sarrus, tomamos
una matriz cualquiera de dimensión 3:

4. El cálculo de su determinante se realizaría mediante el producto de sus diagonales
principales, restándole el producto de las diagonales inversas. Esto quedaría de la
siguiente manera:
La regla de Sarrus nos permite obtener una visión mucho más sencilla a la hora de
calcular las diagonales del determinante. Se simplificaría añadiendo las dos
primeras columnas a la parte posterior de la matriz. De esta manera, se ve más
claramente cuáles son sus diagonales principales y cuáles las inversas, para el
cálculo del producto.
A través de esta imagen podemos ver la aplicación de la regla de Sarrus,
incluimos la fila 1 y 2, debajo de la representación gráfica de la matriz inicial. De
esta manera, las diagonales principales, son las tres diagonales que aparecen en
primer lugar.
Las tres diagonales inversas, a su vez, son aquellas que aparecen en primer lugar
en la parte posterior.

5. De esta manera, las diagonales aparecen de una manera más visual, sin
complicar la resolución del determinante, tratando de averiguar que elementos de
la matriz pertenecen a cada diagonal.
Como aparece en la imagen, elegimos las diagonales y calculamos el producto
resultante de cada función. Las diagonales que aparecen en azul son aquellas que
se suman. A la suma de estas, le restamos el valor de las diagonales que
aparecen en rojo.
Para que la compresión sea más fácil, podemos utilizar un ejemplo numérico, en
vez de utilizar términos y subtérminos algebraicos.
Si tomamos una matriz 3×3 cualquiera, por ejemplo:
Para aplicar la regla de Sarrus, y resolverla de un modo más visual, deberíamos
incluir la fila 1 y 2, como fila 4 y 5 respectivamente. Es importante mantener la fila
1 en la 4ª posición, y la fila 2 en la 5ª. Ya que si las intercambiamos, la Regla de
Sarrus no resultará efectiva.
Para calcular el determinante, nuestra matriz quedaría de la siguiente forma:

6. Para seguir con el cálculo, multiplicaremos los elementos de las diagonales
principales. Las descendentes que empiezan por la izquierda, llevarán signo
positivo; mientras que las diagonales inversas, que son las que comienzan por la
derecha, llevan un signo negativo.
En este ejemplo, las azules irían con signo positivo y las rojas con signo
negativo. El cálculo final de la Regla de Sarrus quedaría de esta manera:
Tipos de determinantes
Determinante de dimensión 1
Si la dimensión de la matriz es 1, la matriz es de ésta forma: A=(a)
Por lo tanto, su determinante quedaría de la siguiente manera: det(A)= |A|=a
De manera resumida, el determinante de la matriz A, es igual al valor absoluto de
la matriz A, que en este caso es a.

7. Determinante de dimensión 2
Si pasamos a las matrices de dimensión 2, obtenemos matrices del tipo:
Donde su determinante se define como:
La resolución de este determinante se basa en la multiplicación de su diagonal
principal, restando el producto de su diagonal inversa.
Como regla mnemotécnica, podemos utilizar el siguiente diagrama para recordar
su determinante:
Determinante de dimensión 3
Si la dimensión de la matriz es 3, la matriz resultante sería de este tipo:

8. El determinante de esta matriz se resolvería a través de la regla de Sarrus de esta
manera: