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números complejos
- 1. Instituto Tecnológico deSaltillo Álgebra Lineal M.C. Ignacio Dávila Ríos Periodo Enero - Junio 2013
- 2. Temario: Unidad I. LosNúmeros Complejos. Unidad II. Matrices y Determinantes. Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Unidad IV. Espacios Vectoriales. Unidad V. Transformaciones Lineales. Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 3. Unidad I. NúmerosComplejos. Competencias a desarrollar: Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería. Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 4. Unidad I. NúmerosComplejos. 1.1 ¿Cuáles son los números complejos? En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una gama de números, llamados Números Reales, que son: Los Números Racionales y los Irracionales y los Racionales a su vez se dividen en Naturales y Enteros. Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 5. Los Números Complejos. ParaÁlgebra Lineal se hará uso además de estos números los también llamados Números Complejos, o también conocidos como Números Imaginarios. ¿Cuáles son los Números Complejos o de donde provienen? Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 6. Considere el problemade encontrar las raíces de los polinomios 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 7. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 1. Si > 0, existen dos raíces reales. 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 8. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 1. Si > 0, existen dos raíces reales. 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 9. Ejemplo 1: Encuentrela o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 10. Ejemplo 1: Encuentrela o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1 5 6 𝑥1,2 = −5 ± (5)2 − (4)(1)(6) 2(1) 𝑥1,2 = −5 ± 25 − 24 2 𝑥1,2 = −5 ± 1 2 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 11. Ejemplo 1: Encuentrela o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =1 5 6 𝑥1,2 = −5 ± 1 2 𝑥1 = −5 + 1 2 𝑥2 = −5 − 1 2 𝑥1 = −5 2 + 1 2 𝑥2 = −5 2 − 1 2 𝑥1 = −2 𝑥2 = −3 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 12. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 2. Si = 0, se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a) 𝑥 = −𝑏 2𝑎 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 13. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 2. Si = 0, se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a) 𝑥 = −𝑏 2𝑎 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 14. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 3. Para manejar el caso que < 0, se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas. 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 15. En esta ecuaciónse puede dar uno de tres posibles casos Caso 3. Para manejar el caso que < 0, se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas. 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 16. Ejemplo 2: Encuentrela o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 17. Ejemplo 2: Encuentrela o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay. 𝑥1,2 = −2 ± −16 2 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1 2 5 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 18. El problema sepresenta cuando el radicando se hace negativo o su valor es menor que cero. Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente expresión: 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝒊 = −𝟏 Y proviene del hecho de que: 𝒊 𝟐 = −𝟏 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 19. Entonces si 𝑖2 =−1 y para valores de 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 se tiene que: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para valores de 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 serían: 𝑥1 = − 𝑏 2 + 4𝑎𝑐 − 𝑏2 2 𝑖 𝑥2 = − 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏2 2 𝑖 (4𝑎𝑐 − 𝑏2)(−1) = 4𝑎𝑐 − 𝑏2 ∙ 𝑖2 = (4𝑎𝑐 − 𝑏2) ∙ 𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 20. Regresando al ejemplo2 donde 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 y que en este caso el resultado es −16 podemos expresarlo como sigue: 𝑥1 = −2 + 4𝑖 2 −16 = (16)(−1) = 16 −1 = 4𝑖 𝑥2 = −2 − 4𝑖 2 𝑥1 = −1 + 2𝑖 𝑥2 = −1 − 2𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 21. Un número complejoes una expresión de la forma: 𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽 Donde 𝛼 𝑦 𝛽 son números reales. A 𝛼 se le denomina la parte real de z, (Re z). A i𝛽 se le denomina parte imaginaria de z, (Im z). En ocasiones a esta representación se le denomina forma cartesiana o rectangular del número complejo. Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 22. Regresando al ejemplo2 tenemos dos raíces complejas, que son: 𝑥1 = 𝑥2 =−1 + 2𝑖 −1 − 2𝑖 Números Complejos Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 23. 𝑧 = 𝛼+ 𝑖𝛽 Si el valor de 𝛽 = 0 entonces 𝑧 = 𝛼 es decir un número real. Por tanto podemos decir que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 24. Ejemplo 3. Sean 𝑧= 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖 Calcular: a) 𝑧 + 𝑤, b) 3𝑤 − 5𝑧 c) 𝑧 ∙ 𝑤 Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas normales del álgebra. Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 25. Ejemplo 3(a). Sean 𝑧= 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖 Calcular: a) 𝑧 + 𝑤 𝑧 + 𝑤 = 2 + 3𝑖 + 5 − 4𝑖 = 2 + 5 + 3𝑖 − 4𝑖 =7 − 𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 26. Ejemplo 3(b). Sean 𝑧= 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖 Calcular: b) 3w − 5𝑧 3𝑤 − 5𝑧 = 15 − 12𝑖 − 10 + 15𝑖 15 − 10 + −12𝑖 − 15𝑖 = 5 − 27𝑖 3𝑤 = 3 5 − 4𝑖 = 15 − 12𝑖 5𝑧 = 5 2 + 3𝑖 = 10 + 15𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 27. Ejemplo 3(c). Sean 𝑧= 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖 Calcular: c) 𝑧 · 𝑤 10 −8𝑖 +15𝑖 −12𝑖2 = 𝑧 · 𝑤 = 2 + 3𝑖 · (5 − 4𝑖) = 2 5 + 2 −4𝑖 + 3𝑖 5 + 3𝑖 −4𝑖 = 10 +7𝑖 +(−12) −1 = 22 + 7𝑖 Ing. Ignacio Dávila Ríos
- 28. Instituto Tecnológico deSaltillo Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos Enero 2013 idavila15@hotmail.com