Este documento describe cuatro medidas comunes de dispersión: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación. Explica que las medidas de dispersión cuantifican qué tan separados están los valores de una distribución de una medida central como el promedio. Luego procede a definir cada medida y describir sus propiedades y utilidad en el análisis estadístico.

1. Republica bolivariana de Venezuela
Instituto politécnico universitario “Santiago Marino”
Sede Barcelona
Ingeniería Industrial
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Bachiller:
Argianis Rojas
CI.23897037
Profesor:
Pedro Beltrán
Barcelona, diciembre 2014

2. Medidas de dispersión
Describen como se dispersan los datos de una variable a lo largo de
su distribución. Las Medidas de Dispersión son: el Rango, la
Desviación Estándar y la Varianza.
La Dispersión permite analizar cómo se dispersan los valores de una
variable de tipo intervalo/razón de menor a mayor y la forma
gráfica que estos valores presentan.
Características de las medidas de dispersión
• Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la
separación de los valores de una distribución.
• Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o
menor separación de los valores de la muestra, respecto de las
medidas de centralización que hayamos calculado.
• A estas cantidades o coeficientes, les llamamos: MEDIDAS DE
DISPERSIÓN, pudiendo ser absolutas o relativas

3. Al calcular una medida de centralización como es la media
aritmética, resulta necesario acompañarla de otra medida que
indique el grado de dispersión, del resto de valores de la
distribución, respecto de esta media.
Uso de las medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos indican si los datos están
próximos entre sí o sí están dispersos, es decir, nos indican
cuán esparcidos se encuentran los datos.
Estas medidas de dispersión nos permiten apreciar la distancia
que existe entre los datos a un cierto valor central e identificar
la concentración de los mismos en un cierto sector de la
distribución, es decir, permiten estimar cuán dispersas están
dos o más distribuciones de datos.
Una medida de dispersión puede utilizarse para evaluar la
confiabilidad de dos o más promedios.

4. 1. RANGO
Se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el
menor de la distribución,. Lo notaremos como R X
Rango= ( Xmax – Xmin)
Características
• Solo suministra información de los extremos de la variable
Informa sobre la distancia entre el mínimo y el máximo valor
observado
• Se limita su uso a una información inicial
Rx
Xmin Xmax

5. Utilidad del rango en estadística:
Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto
mayor es el rango, más dispersos están los datos de un
conjunto.
2. VARIANZA
Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de
los valores de la variable con respecto de la media de la
distribución. Responde a la expresión
2
x X n
n
S
i i
2
 (  )

Propiedades
• Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o
distinta de 0. Será 0 solamente cuando
x x i 

6. • Si tenemos varias distribuciones con la misma media y
conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la
varianza total.
• Si a todos los valores de la variable se le suma una
constante la varianza no se modifica.:
x X n
n
S
 i  i

2
2
( )
• Si todos los valores de la variable se multiplican por una
constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de
dicha constante.
Si a xi’ = xi • k tendremos (sabiendo que
)
X '  X ·k
2
2 2 2
2
i i i i i
S i 
x X n
( ' ' ) [( ) ( ' )] ( )
S
n
x k X k n
n
x X n
n


  



  
2 2
2 2 2 2
·
k x X n i i i
k x X
( ) ( )
k S
n
n





 

7. • Si en una distribución obtenemos una serie de subconjuntos
disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la
varianza de cada uno de los subconjuntos mediante la expresión
N S
n
S
i i
x


2
2
Utilidad de la varianza en estadística
Lo que hace la varianza es establecer la variabilidad de la variable
aleatoria. Es importante tener en cuenta que, en ciertos casos, es
preferible emplear otras medidas de dispersión ante las
características de las distribuciones.

8. 3. DESVIACIONES TÍPICAS
La desviación típica o standard, es la raíz cuadrada, con signo
positivo, de la varianza. Se representa por S, y tiene la siguiente
expresión:
2
x X n
N
S S
i i
2
(  )
   

Si operamos, podemos obtener la siguiente expresión, que es mucho
más sencilla de operar, y obtenemos menos error de redondeo:
2
2 2
2
x X n
( )
X
x n
n
n
S
i i i i
 


 
Propiedades de la desviación típica
A su vez la desviación típica, también tiene una serie de propiedades
que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación
típica es la raíz cuadrada de la varianza)

9. • La desviación típica es siempre un valor no negativo S será
siempre 0 por definición. Cuando S = 0 X = xi (para todo
i).
• Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña
• Si a todos los valores de la variable se le suma una misma
constante la desviación típica no varía
• Si a todos los valores de la variable se multiplican por una
misma constante, la desviación típica queda multiplicada por el
valor absoluto de dicha constante.
Utilidad de la desviación típica en estadística
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de
fluctuación de los datos respecto a su punto central o media
La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico
que representa el promedio de diferencia que hay entre los
datos y la media.

10. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada
de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
푆 = √푆2
4. COEFICIENTE DE VARIACION
Es una medida de la dispersión relativa de un conjunto de datos, que
se obtiene dividiendo la desviación estándar del conjunto entre su
media aritmética y se expresa generalmente en términos
porcentuales.
Propiedades del coeficiente de variación
• El coeficiente de variación no posee unidades.
• El coeficiente de variación es típicamente menor que uno. Sin
embargo, en ciertas distribuciones de probabilidad puede ser 1 o
mayor que 1.

11. • Para su mejor interpretación se expresa como porcentaje.
• Depende de la desviación típica, y en mayor medida de la media
aritmética, dado que cuando ésta es 0 o muy próxima a este valor
el C.V. pierde significado, ya que puede dar valores muy grandes,
que no necesariamente implican dispersión de datos.
• Puesto que tanto la desviación estándar como la media se miden en
las unidades originales, el CV es una medida independiente de las
unidades de medición.
Utilidad del coeficiente de variación en estadística
Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a
distintos sistemas de unidades de medida. Por ejemplo, kilogramos y
centímetros.
Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos obtenidos por dos
o más personas distintas.
Determinar si cierta media es consistente con cierta varianza