Este documento presenta conceptos básicos sobre medidas de dispersión estadísticas como media, varianza, desviación estándar y covarianza. Explica cómo calcular e interpretar estas medidas a través de un ejemplo sobre las notas de dos estudiantes que compiten por una beca. Al calcular las medidas se determina que el estudiante Pablo tiene las notas menos dispersas y por lo tanto merece la beca.

1. Mauricio Rúa Flórez
Docente matemáticas y física
I.E Luis Carlos Galán
Sarmiento
Itagúi-2017
Medidas de dispersión

2. Indicaciones generales
Apreciado estudiante, cordial saludo.
En estos apuntes estudiarás los elementos básicos de las
medidas de dispersión elementales en estadística, encontrarás
para cada una de ellas ejemplos que permitirán entenderlas
completamente.
De antemano te felicito por aceptar este reto de formación
autodidacta.

3. CONCEPTOS BÁSICOS
Población Muestra
Es el conjunto de personas, características,
eventos, de los cuales se desea hacer un
estudio estadístico
Algunos ejemplos
El total de población de Colombia
El total de estudiantes de la I.E Luis Carlos
Galán
El total de personas que asisten a un concierto
una noche.
Corresponde a algunos elementos de la
población, elegidos al azar para que la muestra
sea representativa de la población.
La muestra es un subconjunto de la población
Algunos ejemplos
La selección de algunas personas de Colombia
para preguntar su intención de voto por
presidente.
La selección de algunas personas de la I.E para
preguntar por el promedio de notas del
periodo 1.
La selección de algunas personas para
preguntar si le gustó o no el concierto.

4. Tipos de variables
Cuantitativas
(cantidad)
Cualitativas
(características)
Característica numérica de un individuo de
una población o muestra
Algunos ejemplos
La edad de los estudiantes de un grupo
El valor de las facturas de servicio publico de
las viviendas de un barrio.
La cantidad de personas que viven en los
hogares de tu barrio.
Características no numéricas de un
individuo, población o muestra
Algunos ejemplos
El tipo de sangre de un grupo de estudiantes
(A+, O+, etc)
La elección en los hogares de la compañía que
prestará el servicio de televisión (Telmex,
Claro, Une…etc)
El gusto por un genero musical particular entre
los habitantes de un barrio. (salsa, rock,
bachata… etc)
CONCEPTOS BÁSICOS

5. Felicitaciones
Ahora con los conceptos fundamentales claros aprenderemos a calcular e
interpretar las medidas de tendencia central y dispersión.
s2x sx sxyത𝑋
Media Varianza Desviación estándar Covarianza
Estos parámetros los calcularemos e interpretaremos con un ejemplo

6. Quien ganará la beca?
En una institución educativa al estudiante con el
mejor promedio en sus notas, se le entrega una
beca en la universidad que el estudiante elija.
Los dos mejores estudiantes obtuvieron las
siguientes notas definitivas.
Se debe elegir uno solo de ellos, quien ganará la
beca?

7. Media o promedio ( ഥ𝑿 )
La media o promedio 𝑿 se
determina como la sumatoria
de todos los datos, dividido
entre la cantidad total de ellos.
ത𝑋 =
σ𝒊=𝟏
𝑵
𝑿𝒊
𝑵
La expresión σ𝒊=𝟏
𝑵
𝑿𝒊, significa
sumatoria.
Cada 𝑿𝒊 es un dato, por
ejemplo, 𝑿 𝟏, es el dato
número 1, 𝑿 𝟐, es el dato
número 2, y así sucesivamente
hasta llegar al ultimo dato.
Veamos nuevamente las notas de cada estudiante
en la tabla y ubicados en una recta numérica.
Calculemos la media o promedio de cada
estudiante..

8. Media de la notas de Pablo
ത𝑋 =
𝟔,𝟐+𝟔,𝟖+𝟓,𝟖+𝟔,𝟒
𝟒
= 6,3
Media de las notas de Soledad
ത𝑋 =
𝟔,𝟗+𝟓,𝟎+𝟕,𝟎+𝟔,𝟑
𝟒
= 6,3
Ambos estudiantes tienen la misma media, quien
merece la beca entonces?
La media o promedio 𝑿 se
determina como la sumatoria
de todos los datos, dividido
entre la cantidad total de ellos.
ത𝑋 =
σ𝒊=𝟏
𝑵
𝑿𝒊
𝑵
La expresión σ𝒊=𝟏
𝑵
𝑿𝒊, significa
sumatoria.
Cada 𝑿𝒊 es un dato, por
ejemplo, 𝑿 𝟏, es el dato
número 1, 𝑿 𝟐, es el dato
número 2, y así sucesivamente
hasta llegar al ultimo dato.
Media o promedio ( ഥ𝑿 )

9. Varianza 𝜎 𝑥
2
La varianza es la media o
promedio del cuadrado de las
desviaciones de cada dato con
respecto a la media
𝜎 𝑥
2
=
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2
𝑁
A cada dato 𝑿𝒊 se le resta la
media ഥ𝑿, se eleva al cuadrado el
resultado, todos los resultados se
suman y se divide entre el total
de datos
Como ambos estudiantes tienen la misma media, se puede utilizar
la varianza para determinar el grado de separación de los datos con
respecto a la media.
Varianza de Pablo
𝜎𝑥
2
=
(𝟔,𝟐−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟔,𝟖−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟓,𝟖−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟔,𝟒−𝟔,𝟑) 𝟐
𝟒
= 0,13
Varianza de soledad
𝜎𝑥
2
=
(𝟔,𝟗−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟓,𝟎−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟕,𝟎−𝟔,𝟑) 𝟐+(𝟔,𝟑−𝟔,𝟑) 𝟐
𝟒
= 0,62
Con la varianza se determina el grado de dispersión (separación)
de los datos con relación a la media.
Cual de los datos son mas dispersos ?
Quien merece la beca?

10. Desviación estándar 𝜎 𝑥
La desviación estándar expresa el
grado de dispersión de los datos con
respecto a la media, entre mas
cercano a 0 su valor, indica que los
datos son menos dispersos.
𝜎 𝑥 =
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2
𝑁
La desviación estándar es la raíz
cuadrada de la varianza
Otra medida de dispersión que permite ver el grado de
separación de los datos con respecto a la media es la desviación
estándar. Determinemos la desviación estándar para el
ejemplo.
Desviación estándar notas de Pablo
𝜎 𝑥 =
(𝟔, 𝟐 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟔, 𝟖 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟓, 𝟖 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟔, 𝟒 − 𝟔, 𝟑) 𝟐
𝟒
= 0,36
Desviación estándar notas de Soledad
𝜎 𝑥 =
(𝟔, 𝟗 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟓, 𝟎 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟕, 𝟎 − 𝟔, 𝟑) 𝟐+(𝟔, 𝟑 − 𝟔, 𝟑) 𝟐
𝟒
= 0,79
La desviación estándar de las notas de Pablo (0,36) es menor
que la desviación estándar de las notas de Soledad (0,79), es
decir, las notas de Pablo están menos dispersas o separadas de
la media, que las notas de Soledad.
¿Finalmente a quien se le debe entregar la beca?

11. Covarianza 𝜎𝑥𝒚
La covarianza es el grado de variación
conjunta de dos variables estadísticas
(x, y) con respecto a sus medias
𝜎𝑥𝑦 =
σ𝑖=1
𝑁
𝑋𝑖 − ത𝑋 . (𝑌𝑖 − ത𝑌)
𝑁
La covarianza es la media del
producto del cuadrado de las
diferencias de los datos con relación
a su respectiva media.
Con la varianza y desviación estándar ya calculada es
posible concluir que el estudiante mas apto para recibir
la beca es Pablo, debido a que su desviación estándar es
menor, lo que significa que sus notas son menos
dispersas.
Sin embargo, para efectos prácticos que mas adelante
cobrará sentido se determinará la covarianza de las notas
de Pablo (X) y las notas de Soledad (Y)

12. Covarianza 𝜎 𝑥𝒚
La covarianza es el grado de variación
conjunta de dos variables estadísticas
(x, y) con respecto a sus medias
𝜎𝑥𝑦 =
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2
. (𝑌𝑖 − ത𝑌)2
𝑁
𝜎𝑥𝑦 =
(6,2 − 6,3)2
. (6,9 − 6,3)2
+(6,8 − 6,3)2
. (5,0 − 6,3)2
+(5,8 − 6,3)2
. (7,0 − 6,3)2
+(6,4 − 6,3)2
. (6,3 − 6,3)2
4
𝜎𝑥𝑦 = 0,14
Has notado lo dispendioso que son estos cálculos?. Es por eso que para su cálculo se
utilice por ejemplo hojas de cálculo como Microsoft Excel. Lo que realmente interesa
es que interpretes los resultados a la luz del problema planteado.

13. Resúmen de expresiones para el cálculo de
medidas de dispersión
ത𝑋
s2x
sx
sxy 𝜎 𝑥𝑦 =
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2. (𝑌𝑖 − ത𝑌)2
𝑁
𝜎 𝑥 =
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2
𝑁
𝜎 𝑥
2 =
σ𝑖=1
𝑁
(𝑋𝑖 − ത𝑋)2
𝑁
ത𝑋 =
σ𝒊=𝟏
𝑵
𝑿𝒊
𝑵Media
Varianza
Desviación
estandar
Covarianza