aaaaa

1. PRÁCTICA I: Magnitudes Físicas. Unidades y dimensiones.
Estimación de valores e Incertidumbres: Determinación de la
resistencia interna de una batería.
Ángeles Marrero Díaz y Alicia Tejera Cruz
Alumnos
Objetivos:
 Conocer el concepto de magnitud física, los sistemas de unidades y la ecuación de
dimensiones.
 Saber realizar conversión de unidades.
 Conocer la diferencia entre precisión y exactitud.
 Identificar el número de cifras significativas de un valor, conocer las reglas del
redondeo y expresar adecuadamente un número según el valor de la incertidumbre
asociada al mismo.
 Aplicar reglas sencillas para estimar el número de cifras significativas en los
resultados de operaciones sencillas.
 Estimación de la incertidumbre en magnitudes determinadas indirectamente.
 Aplicar estos conceptos en un ejercicio donde se determina la fuerza electromotriz y
la resistencia interna de una batería.
Introducción teórica
1.- MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES
De todas las cualidades que pueden observarse, se denominan magnitudes físicas
a aquellas que se pueden medir objetivamente, utilizando un valor patrón de la misma
magnitud para indicar su valor. Por ejemplo, la belleza no sería una magnitud física ya
que no se le puede asignar un valor objetivo. Sin embargo, la longitud sería una
magnitud física ya que cualquier observador estaría de acuerdo con otro en que
determinado cuerpo es más largo que otro.

2. Unidades
Para determinar el valor de una magnitud física debe compararse con cierto
valor unitario de la misma. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntos debe
utilizarse una medida patrón, supongamos el metro, de forma que si la distancia entre
estos dos puntos es 5 veces el valor del metros decimos que están distanciados 5 metros.
Por tanto, es indispensable expresar cualquier magnitud física como su valor seguido de
las unidades adecuadas ( d=5m).
Muchas de las magnitudes físicas pueden expresarse en función de otras
magnitudes, a las que se denominan magnitudes fundamentales. Normalmente se toman
como magnitudes fundamentales: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la
cantidad de sustancia, la cantidad de corriente y la intensidad luminosa.
La asignación de las unidades patrón para cada una de las magnitudes
fundamentales da origen a los diferentes sistemas de unidades. Nosotros utilizaremos el
Sistema Internacional de Unidades, SI, que toma como unidades fundamentales las
que aparecen en la tabla 1. En ocasiones la magnitud a medir es mucho mayor o mucho
menor que su unidad patrón y entonces se utilizan prefijos para indicar la unidad. Los
más comunes aparecen en la Tabla 2
Magnitud Unidad Símbolo
longitud metro m
masa kilogramo kg
tiempo segundo s
temperatura Kelvin K
cantidad de sustancia mol mol
corriente eléctrica Amperio A
intensidad luminosa candela cd
Tabla 1: Unidades fundamentales, SI
Múltiplo Prefijo Símbolo
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 hecto h
101 deca da
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro 
10-9 nano n
10-12 pico p
Tabla 2: Prefijos para potencias de 10

3. Aunque las unidades fundamentales son las que aparecen en la Tabla 1, hay
algunas magnitudes cuyas unidades tienen nombre propio, aún cuando se puedan
expresar en función de estas magnitudes fundamentales. Por ejemplo, la unidad de
fuerza en el SI es el Newton (N), cuya relación con las unidades de la tabla 1 es:
1N=1kg m s-2.
Operar con magnitudes físicas. Conversión de unidades
Cuando se realizan operaciones algebraicas con magnitudes físicas, estas
operaciones afectan tanto al valor de la magnitud como a sus unidades, y se opera con
las unidades como con cualquier otra magnitud algebraica.
Por ejemplo, sea un rectángulo de 5 cm de largo por 2 cm de ancho. Su
superficie será     2
cm10cm2cm5ALS  , de donde operando con los valores y sus
unidades se obtiene una nueva magnitud física, la superficie, con sus unidades
correspondientes cm2.
Esta propiedad se aplica para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo,
sabemos que un coche circula a 80 km/h y queremos expresar su velocidad en m/s.
Como 1 km son 103 m y 1 h son 3600 s, se verifica que:
s
m
2.22
s3600
m10
80
h
km
80v
3

El caso inverso sería un coche que circula a 30 m/s del que se quiere conocer su
velocidad en km/h. En este caso,
h
km
108
h
km
10360030
h
km10
30
s
m
30v
h
3600
1
s1s3600h1
km10km
10
1
m1m10km1
3
3600
1
3
3
3
3












Dimensiones. Ecuación de Dimensiones
Encontrar las dimensiones de una magnitud es expresar dicha magnitud en
función de las magnitudes fundamentales. La dimensión de las magnitudes
fundamentales es:
Magnitud Dimensión
longitud L
masa M
tiempo T

4. La relación entre magnitud no fundamental y las magnitudes fundamentales es la
denominada ecuación de dimensiones. Para obtener la ecuación de dimensiones de
cierta magnitud deben seguir ciertos pasos.
1. Las magnitudes de las que se quiere obtener su dimensión se escriben entre
corchetes.
2. En la expresión final de la ecuación de dimensiones sólo pueden aparecer
dimensiones de magnitudes fundamentales.
3. Los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas son adimensionales.
4. Los ángulos y las constantes matemáticas son adimensionales.
5. Las magnitudes adimensionales tienen dimensión 1.
6. Las dimensiones de las constantes físicas se pueden deducir a partir de las
unidades en las que se expresan.
Así, la ecuación de dimensiones de la fuerza es       2
MLTamamF 
 . Por
otro lado, supongamos que queremos conocer las dimensiones de la constante de
amortiguamiento, , que aparece en la expresión de la amplitud del movimiento
amortiguado: t
oeAA 
 . Como el exponente ha de ser adimensional:
 
      
  1
T
Ttt
1t 






La ecuación de dimensiones es muy útil porque puede ayudar a identificar
relaciones incorrectas entre magnitudes físicas, ya que las relaciones han de ser
dimensionalmente coherentes, esto es:
1. A ambos lados de una igualdad las dimensiones deben ser las mismas.
2. Todos los sumandos de una expresión han de tener las mismas dimensiones.
2.- ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA
En la Física, y en la Ciencias experimentales en general, es imprescindible el
proceso de medición. Desde el momento que se determina experimentalmente el valor
de una magnitud, existe cierta incertidumbre asociada a la medida. Esta incertidumbre
depende tanto de la habilidad del experimentador como de la precisión de los aparatos

5. utilizados y es fundamental su estimación para tener una idea de la bondad de la
medida. Ninguna medición es exacta y cuando se determina experimentalmente el valor
de una magnitud, su expresión debe contener: el valor obtenido, la precisión estimada
de la medida y las unidades en las que está expresada.
Precisión y exactitud
Hay que distinguir entre precisión y exactitud. Un ejemplo habitual para
diferenciar estos concepto es el de un jugador da dardos. Cuando todos sus
lanzamientos están muy cercanos entre sí, pero alejados del centro de la diana, se diría
que tiene buena precisión, pero poca exactitud. Cuando sus lanzamientos están
separados entre sí y además alejados del centro de la diana, tiene poca precisión y poca
exactitud. Ahora bien, si sus lanzamientos están cercanos entre sí y además en el centro
de la diana, tiene buena precisión y buena exactitud. Es decir, con la precisión
obtenemos al repetir las medidas valores muy parecidos, esto no indica que sea el valor
correcto (por ejemplo porque el aparato esté mal calibrado). Ya hemos indicado que
ninguna medida va a ser exacta, es decir, no podremos dar el valor verdadero de la
medida, daremos un valor con un rango de incertidumbre y el valor verdadero debe
estar dentro de ese intervalo si nuestro experimento se ha desarrollado cuidadosamente.
Si pretendemos medir la longitud de una tabla, podremos ser más precisos con
una regla de milímetros que con una de centímetros. Con la primera podríamos decir
que la longitud de la tabla está entre 52 cm y 53 cm, estimando por la cercanía a 52, una
longitud de 52.2 cm. Con la segunda puedes afinar más la medida y decir que está entre
52.2 y 52.3, estimando una longitud de 52.25 cm. En ambas lecturas, se añade a los
dígitos conocidos con exactitud, un dígito más que ha sido estimado. La medida con la
segunda regla es más precisa que con la primera.
Cifras significativas
La precisión se indica con el número de cifras significativas, que son los dígitos
que se conocen con certeza más un dígito afectado de incertidumbre. Para identificar el
número de cifras significativas en valores dados, existen una serie de reglas:
51 52 53 51 52 53

6. 1. En los números que no contienen ceros todas sus cifras son significativas
(3.1428 cinco cifras significativas)
2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos (7.053 cuatro
cifras significativas)
3. Los ceros a la izquierda del primer dígito no son significativos ya que sólo
sirven para fijar la posición del punto decimal (0.0056 dos cifras
significativas)
4. En un número con ceros a la derecha del punto decimal los ceros son cifras
significativas (43.00 cuatro cifras significativas)
5. En números decimales, los ceros a la derecha de la última cifra diferente de
cero son significativos (0.00200 tres cifras significativas)
6. En un número sin punto decimal, que termine en uno o más ceros, estos
pueden ser significativos o no. Para evitar confusiones es aconsejable
expresar los números en notación científica, donde todas las cifras son
significativas (3600 no se sabe cuántas cifras significativas tiene, sin
embargo, expresado como 3.60103 sabemos que tiene tres cifras
significativas)
Redondeo
Al estimar el valor de una magnitud puede ser necesario redondear el valor para
expresarlo de acuerdo a las cifras significativas que indica su incertidumbre. Por ello es
necesario conocer las reglas del redondeo:
1. Si el primer dígito que se va a eliminar es menor que cinco, simplemente se
elimina ese dígito y todos los que le siguen (32.647 se redondea a tres cifras
significativas como 32.6)
2. Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que cinco o es cinco
seguido de dígitos distintos de cero, todos los dígitos siguientes se eliminan y
se aumenta una unidad el valor del último dígito que se conserva (454.3598
se redondea a cuatro cifras significativas como 454.4)
3. Si el primer dígito a eliminar es 5 y va seguido sólo de ceros o bien no va
seguido de ningún otro dígito, se aplica la siguiente regla. Si el último dígito
a conservar es par, su valor no cambia y simplemente se eliminan el 5 y los
ceros siguientes. Si el último dígito a conservar es par, su valor se aumenta

7. en una unidad. (263.2500 se redondea a cuatro cifras significativas como
263.2; 63.350 se redondea a tres cifras significativas como 63.4)
Cifras significativas en cantidades medidas
Al realizar determinaciones experimentales de magnitudes los resultados han de
expresarse con las cifras significativas adecuadas. Podemos distinguir dos casos
distintos, el de magnitudes determinadas directamente en el laboratorio y el de
magnitudes indirectas obtenidas a partir de su relación con magnitudes medidas en el
laboratorio.
Además de la determinación de incertidumbres debidas a las limitaciones
impuestas por el instrumento de medida, y que puede ser determinado con una medida,
se puede hacer una análisis estadístico del error cometido a partir de la repetición del
número de medidas. Esta análisis será obviado en esta práctica ya que será tratado
detalladamente en la asignatura de estadística.
a) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas directamente.
Normalmente los instrumentos de medida indican cuál es su precisión. En caso
contrario hay dos criterios, bien se toma como precisión la cantidad más pequeña que
puedan medir, bien la mitad de esta cantidad. Así, por ejemplo, en el caso de una regla
de milímetro, la cantidad más pequeña que puede medir es 0.1 cm. En el primer caso la
precisión de la regla se tomaría como 0.1cm, mientras que el segundo la precisión sería
de 0.05 cm. Con nuestro criterio de cifras significativas, elegiremos el segundo caso
para la asignación de precisión en aparatos en los que no se indique la misma.
Una vez que se sabe la precisión del aparato, todas las medidas obtenidas con el
mismo deben expresarse como
valor de la medida  precisión del aparato (unidades)
Para expresar adecuadamente este valor, la precisión sólo debe tener una cifra
significativa, y el valor debe tener el último dígito en la misma posición que la precisión
del aparato correctamente expresada. Así, que nos dicen que la longitud de un tablón es
de 86.7935 cm con una precisión de 0.01267 cm debemos redondear la precisión a una
sola cifra significativa, esto es 0.01 cm. Ahora debemos redondear la longitud de la

8. tabla de forma que tenga el último dígito en la misma posición que la cifra significativa
de la precisión, esto es 86.79 cm. De forma que la expresión correcta de la medida es:
L=86.790.01 (cm)
El resto de cifras no tiene sentido ya que están afectadas de error.
b) Determinación de incertidumbres en magnitudes determinadas
indirectamente.
En este caso se quiere determinar cómo afecta a la precisión de ciertas
magnitudes su relación con magnitud obtenidas directamente en el laboratorio. Por
ejemplo, supongamos que queremos determinar la velocidad de caída de un objeto que
se mueve con velocidad constante a partir de la determinación del espacio que recorre y
el tiempo que invierte en ese recorrido. Las magnitudes medidas directamente son la
altura, h, y el tiempo, t, y la relación entre éstas y la velocidad, v, es v=x/t.
Para determinar el error asociado a la magnitud determinada indirectamente, se
realiza la siguiente operación. Supongamos una magnitud q=q(r,s,t) de la que se
pretende obtener su valor a partir de la magnitudes r, s y t medidas directemente y de las
que se conoce su incertidumbre, r, s y t, respectivamente. La incertidumbre que q,
q, se obtiene de la siguiente manera:
t
t
q
s
s
q
r
r
q
q 









de forma que el valor de q sería el obtenido en la relación al sustituir los valores de r, s
y t, con la precisión dada por la expresión anterior.
En el ejemplo de la velocidad, la relación es v=x/t y supongamos que las
medidas de la altura y el tiempo dan, respectivamente, x=25.30.1 (cm) y
t=10.0340.001 (s). La precisión de la velocidad será:
 
102100010
03410
325
10
03410
1
t
t
x
x
t
1
x
x
v
x
x
v
v 22
..
.
.
.
.









que escrita con una cifra significativa vale: v=0.1 (cm/s). El valor de la velocidad
obtenida a partir de los datos del laboratorio es  scm52142
03410
325
t
x
v /.
.
.
 , por
lo que el resultado, expresado correctamente es  scm1052v /..  .

9. Existen algunas reglas para no tener que realizar continuamente las derivadas
parciales. Así para las operaciones siguientes los criterios son los que se muestran a
continuación:
Multiplicación y división: La magnitud calculada debe tener el mismo número
de cifras significativas que el valor de la variable multiplicada o dividida con menor
número de cifras significativas. (3.625·2.36=8.555 debe redondearse a tres cifras
significativas, que es el menor número de cifras significativas de entre las dos
magnitudes que se multiplican, así el resultado es 8.56)
Suma y resta: La magnitud que se deriva a partir de estas operaciones no puede
dígitos más allá de la posición del último dígito común a todos los números sumados o
restados. ( 34.5+10+36.7=81.2 y el último dígito común a todos los sumando es la
unidad, por lo tanto debe redondearse el resultado, quedando 81)
Incertidumbre porcentual
Se calcula como: 100
q
q
100
estimadovalor
breincertudum
q 

 (%) y da cuenta de la
calidad de la medida. Una medida aceptable suele ser aquella con una incertidumbre
porcentual inferior al 10%
Parte Práctica:
A) MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES Y DIMENSIONES
1.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes magnitudes no son magnitudes fundamentales en el
Sistema Internacional de medidas?
a) masa b)tiempo c) fuerza d)temperatura e)presión
2.- La constante universal de los gases vale
Kmol
J
138
Kmol
latm
0820
Kmol
cal
991R ... 
Utiliza esta igual para encontrar los siguientes factores de conversión:
1J=________cal 1 atm l=_______J 1cal =________atm l

10. 3.-Escribe las siguientes expresiones con notación científica y sin utilizar prefijos :
15nC=_______C 3MW=_______W 4.6km=______m 56pF=______F
4.-Expresa los siguientes valores utilizando los prefijos de la tabla 2:
4·10-12C=_______ 0,003 m=______ 7·10-6F=________
5.- En las siguientes ecuaciones x representa una distancia, t un tiempo y v una
velocidad. Realizar el análisis de dimensiones de cada ecuación y determinar la
unidades de cada constante para que las expresiones sean dimensionalmente correctas
así como sus unidades en el sistema internacional de medidas.
a) x=C1 sen(C2 t2) [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___
b) x=½C1 t2 [CI]=_______; unid(C1)=______;
c) v=C1 e-C2 t [CI]=_______; unid(C1)=______; [C2]=______; unid(C2)=___
d) v=0.5 C1 x [CI]=_______; unid(C1)=______;
B) ESTIMACIÓN DE VALORES E INCERTIDUMBRE ASOCIADA
1.-En la siguiente tabla se muestran una serie de medidas obtenidas en el laboratorio.
Expresar cada una de ellas correctamente indicando el número de cifras significativas.
Medida obtenida Expresión correcta Nº de cifras sig. de la medida
5698  0.56
0.459  0.063
186342  3620.3
32.92  0.096
0.035  0.001
258  32
693.2  0.003
1.69853  0.0388
548  120
0.003659 0.000064

11. 2.- Realizar los siguientes cálculos redondeando al número apropiado de cifras
significativas y expresando el resultado en notación científica
(1.14)·(9.99·104)=_____________ (2.78·10-8)-(5.31·10-9)=________________
27.6 + (5.99·102)=_____________ 2·3.141592·0.76=__________________
4/3 ·(1,1)3=________________ (2,0)5/(3.141592654)=_________________
3.-Se han determinado en el laboratorio los valores de la resistencia interna de una
batería, r, y la intensidad que recorre el circuito, I. Además se determinaron las
incertidumbres asociadas a dichas magnitudes, de forma que las medidas dieron como
resultado: I=0.960.01 (A) y r=0.610.02 (). Sabiendo que la potencia disipada por la
resistencia interna de la batería se puede expresar como P = I r, calcula la expresión
general para la determinación de la incertidumbre de P, en función de I, I, r y r.
Obtén también el valor de la potencia disipada en el caso medido en el laboratorio así
como la incertidumbre asociada.
4.-Tras hacer varias medidas en el laboratorio para las magnitudes a y b se obtienen los
siguientes valores:
a = 49  3 b = 35  1
a)Calcular la incertidumbre porcentual asociada a dichas magnitudes.
b) Las magnitudes r y q están relacionadas con a y b de la siguiente forma:
r a b q = a -b  ; . Calcular la incertidumbre relativa de estas nuevas magnitudes y
discutir si la estimación de las mismas se ve afectada de la misma manera.
c) Otras magnitudes s y t están relacionadas con a y b así: s= a.b t = a / b; .
Calcular el error relativo de s y t y discutir si la estimación de las mismas se ve afectada
de la misma manera. Calcular también el error absoluto de cada una de ellas.

12. 5.- Sea la función z cos x . En el laboratorio se estima un valor de x en:x  27 1º º .
¿Cuál es la incertidumbre en la estimación de z?
6.- Suma la siguiente lista de números, a continuación omite en todos ellos la última
cifra y súmalos de nuevo, por último redondea todos los números a dos cifras según las
reglas estudiadas y vuelve a sumarlos. Compara y discute los resultados.
2 342 2 359 2 367 2 373 2 351 2 362 2 368 2 374 2 356 2 363. . . . . . . . . .
7.- Sean los números x=8.5637 e y=1.72, cuyas cifras son todas significativas. Escribe
los resultados de las siguientes operaciones con todas sus cifras significativas:
x+y ; xy ; y