Descargado 22 veces
![• “Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto
de una matriz triangular inferior y su traspuesta”
• La descomposición de cholesky, se basa en el hecho de que una matriz simétrica
se descompone así:
• [A]=[L][L]T
• Es decir, los factores triangulares resultantes son la transpuesta uno de otro.
• Los términos de la ecuación se desarrollan al multiplicar e igualar entre si ambos
lados. El resultado se expresa en forma simple mediante relaciones de recurrencia.
Para el renglón k-ésimo.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
𝑙 𝑘𝑖 =
𝑎 𝑘𝑖−σ 𝑗=𝑙
𝑖−1
𝑙 𝑖𝑗 𝑙 𝑘𝑗
𝑙 𝑖𝑖
para i=1,2,…,k-1
𝑙 𝑘𝑘 = 𝑎 𝑘𝑘 − σ 𝑗=𝑙
𝑖−1
𝑙 𝑘𝑗
2](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-6-320.jpg)
![• Matriz Cuadrada Simétrica A
• Componentes son números reales.
• Positiva definida
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
𝑎11 > 0,
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
> 0
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑁
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑁
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑁
> 0
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
×
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
Una Matriz Definida Positiva
es aquella para la cual el
producto {x}T [A]{x} es mayor
a cero , para todo vector {x}
distinto de cero.](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-7-320.jpg)
![DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
[A]=[L][L]T b = [L]c c= 𝑥[L]T
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑁
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑁
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑁
𝐿 =
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙 𝑛1 𝑙 𝑛2 𝑙 𝑛𝑁
𝐿 𝑇
=
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙 𝑛𝑁](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-8-320.jpg)
![Ejecute a Mano la Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente:
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
[A]=[L][L]T](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-12-320.jpg)
![Ejecute a Mano la Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente:
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑙11 = 𝑎11 = 8 = 2.82843
𝑙21 =
𝑎12
𝑙11
=
20
2.82843
= 7.07106
𝑙31 =
𝑎13
𝑙11
=
15
2.82843
= 5.3033
𝑙 𝑘𝑘 = 𝑎 𝑘𝑘 − σ 𝑗=1
𝑘−1
𝑙 𝑘𝑗
2
𝑙 𝑘𝑖 =
𝑎 𝑘𝑖−σ 𝑗=1
𝑖−1
𝑙 𝑖𝑗 𝑙 𝑘𝑗
𝑙 𝑖𝑖
para i=1,2,…,k-1
Recordemos:](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-13-320.jpg)
![Ejecute a Mano la Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente:
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑎21 = (𝑙21) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 =
𝑎21
𝑙11
=
20
2.82843
= 7.07106
𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustitutir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21
2
= 80 − 7.07106 2 = 5.47724
𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustitui𝑟 𝑙23 =
𝑎23 − 𝑙21 𝑙31
𝑙22
=
50 − 7.07106 5.3033
5.47724
= 2.28218](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-14-320.jpg)
![Ejecute a Mano la Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente:
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑎31 = (𝑙31) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡𝑖𝑟 𝑙31 =
𝑎31
𝑙11
=
15
2.82843
= 5.3033
𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustitu𝑖𝑟 𝑙32 =
𝑎32 − 𝑙31 𝑙21
𝑙22
=
50 − 5.3033 7.07106
5.47724
= 2.28218
𝑎33 = 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31
2
− 𝑙32
2
= 60 − (5.3033)2−(2.28218)2= 5.16398](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-15-320.jpg)
![• MATRIZ DEFINIDA POSITIVA
𝑥1 𝑥2 𝑥3
8 20 15
20 80 50
15 50 60
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3
20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3
15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3
(8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3) 𝑥1 + (20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3) 𝑥2+(15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3) 𝑥3
8𝑥1
2 +40𝑥1 𝑥2 +30𝑥1 𝑥3 + 80𝑥2
2 +100𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3
2
Sustitución
Una Matriz Definida Positiva
es aquella para la cual el
producto {x}T [A]{x} es mayor
a cero , para todo vector {x}
distinto de cero.
8𝑥1
2 + 20𝑥1 𝑥2 + 15𝑥1 𝑥3+ 20𝑥1 𝑥2 + 80𝑥2
2 + 50𝑥2 𝑥3+15𝑥1 𝑥3 + 50𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3
2
8(15.2407)2 +40 15.2407 1.37038 +30(15.2407)(−3.28888) + 80(1.37038)2+100 1.37038 −3.2888 + 60(−3.28888)2
RESULTADOS:
X1=15.2407
X2=1.37038
X3=-3.28888
= 𝟏𝟓𝟑𝟖. 𝟒𝟔](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-19-320.jpg)
![[A]=[L][L]T
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
APLICACIÓN INGENIERIL](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-23-320.jpg)
![𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
APLICACIÓN INGENIERIL
𝑎11 = 𝑙11 𝑙11 = 𝑙11
2
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙11 = 𝑎11 = 30 = 5.47723
𝑎12 = (𝑙11) 𝑙21 + 0 𝑙22 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 =
𝑎12
𝑙11
=
−20
30
= −3.65148
𝑎13 = 𝑙11 𝑙31 + 0𝑙32 + 0𝑙33 sustitu𝑖𝑟 𝑙31 =
𝑎13
𝑙11
=
0
30
= 0](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-24-320.jpg)
![[A]=[L][L]T
𝑎21 = (𝑙21) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 =
𝑎21
𝑙11
=
−20
30
= −3.65148
𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustituir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21
2
= 30 − −3.65148 2 = 4.08249
𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustituir 𝑙23 =
𝑎23 − 𝑙21 𝑙31
𝑙22
=
−10 − −3.65148 0
4.08249
= −2.44949
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
APLICACIÓN INGENIERIL](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-25-320.jpg)
![[A]=[L][L]T
𝑎31 = (𝑙31) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙31 =
𝑎31
𝑙11
=
0
30
= 0
𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustituir 𝑙32 =
𝑎32 − 𝑙31 𝑙21
𝑙22
=
−10 − 0 −3.65148
4.08249
= −2.44949
𝑎33 = 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31
2
− 𝑙32
2
= 10 − (0)2−(−2.44949)2= 2
𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
APLICACIÓN INGENIERIL](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-26-320.jpg)
![• MATRIZ DEFINIDA POSITIVA
𝑥1 𝑥2 𝑥3
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
30𝑥1 − 20𝑥2
−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3
−10𝑥2 + 10𝑥3
(30𝑥1 − 20𝑥2) 𝑥1 + (−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3) 𝑥2+(−10𝑥2 + 10𝑥3) 𝑥3
30𝑥1
2 − 20𝑥1 𝑥2 −20𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2
2 − 10𝑥2 𝑥3 − 10𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3
2
30𝑥1
2 − 40𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2
2 − 20𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3
2
Sustitución
30(7.35699)2 − 40 7.35699 (10.05459) + 30(10.0545)2 − 20(10.0545)(12.5065) + 10(12.5065)2 = 746.881
RESULTADOS:
X1=7.35699
X2=10.0545
X3=12.5065
Una Matriz Definida Positiva
es aquella para la cual el
producto {x}T [A]{x} es mayor
a cero , para todo vector {x}
distinto de cero.](https://image.slidesharecdn.com/metododecholesky-190512060831/85/Metodo-de-cholesky-31-320.jpg)
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- 14. Ejecute a Manola Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente: APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO 𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 = 8 20 15 20 80 50 15 50 60 = 8 0 0 20 80 0 15 50 60 × 8 20 15 0 80 50 0 0 60 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 × 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙32 0 0 𝑙33 [A]=[L][L]T 𝑎21 = (𝑙21) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 = 𝑎21 𝑙11 = 20 2.82843 = 7.07106 𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustitutir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21 2 = 80 − 7.07106 2 = 5.47724 𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustitui𝑟 𝑙23 = 𝑎23 − 𝑙21 𝑙31 𝑙22 = 50 − 7.07106 5.3033 5.47724 = 2.28218
- 15. Ejecute a Manola Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente: APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO 𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 = 8 20 15 20 80 50 15 50 60 = 8 0 0 20 80 0 15 50 60 × 8 20 15 0 80 50 0 0 60 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 × 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙32 0 0 𝑙33 [A]=[L][L]T 𝑎31 = (𝑙31) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡𝑖𝑟 𝑙31 = 𝑎31 𝑙11 = 15 2.82843 = 5.3033 𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustitu𝑖𝑟 𝑙32 = 𝑎32 − 𝑙31 𝑙21 𝑙22 = 50 − 5.3033 7.07106 5.47724 = 2.28218 𝑎33 = 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31 2 − 𝑙32 2 = 60 − (5.3033)2−(2.28218)2= 5.16398
- 16. APLICACIÓN NUMERICA DELMÉTODO 𝐿 = 2.82843 7.07106 5.3033 7.07106 5.47724 2.28218 5.3033 2.28218 5.16298 𝐿 𝐿 𝑇 = 2.82843 0 0 7.07106 5.47724 0 5.3033 2.28218 5.16298 2.82843 7.07106 5.3033 0 5.47724 2.28218 0 0 5.16298 𝐿 = 2.82843 0 0 7.07106 5.47724 0 5.3033 2.28218 5.16298 × 𝑐1 𝑐2 𝑐3 = 100 250 100 b = Lc Se resuelve el sistema de ecuaciones 2.82843𝑐1 = 100 → 𝑐1 = 100 2.82843 = 35.3553 7.07106𝑐1 + 5.47724𝑐2 = 250 → 𝑐2 = 250−7.07106(35.3553) 5.47724 = 0.000101 5.3033𝑐1 − 2.28218𝑐2 + 5.16298𝑐3 = 100 → 𝑐3 = 100 − 5.3033 35.3553 − 2.28218 0.000101 5.15298 = −16.9805
- 17. APLICACIÓN NUMERICA DELMÉTODO 𝐿 𝐿 𝑇 = 2.82843 0 0 7.07106 5.47724 0 5.3033 2.28218 5.16298 2.82843 7.07106 5.3033 0 5.47724 2.28218 0 0 5.16298 𝐿 𝑇 = 2.82843 7.07106 5.3033 0 5.47724 2.28218 0 0 5.16298 × 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 35.3553 0.000101 −16.9804 Se resuelve el sistema de ecuaciones 5.16298𝑥3 = −16.9804 → 𝑥3 = −16.9804 5.16298 = −3.28888 5.47724𝑥2 + 2.28218𝑥3 = 0.000101 → 𝑥2 = 0.000101−2.28218(−3.28888) 5.47724 = 1.37038 2.82843𝑥1 + 7.07106𝑥2 + 5.3033𝑥3 = 35.3553 → 𝑥1 = 35.3553 − 7.07106 1.37038 − 5.3033 −3.28888 2.82843 = 15.2407 c= XLT RESULTADOS: X1=15.2407 X2=1.37038 X3=-3.28888
- 18.
- 19. • MATRIZ DEFINIDAPOSITIVA 𝑥1 𝑥2 𝑥3 8 20 15 20 80 50 15 50 60 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3 20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3 15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3 (8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3) 𝑥1 + (20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3) 𝑥2+(15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3) 𝑥3 8𝑥1 2 +40𝑥1 𝑥2 +30𝑥1 𝑥3 + 80𝑥2 2 +100𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3 2 Sustitución Una Matriz Definida Positiva es aquella para la cual el producto {x}T [A]{x} es mayor a cero , para todo vector {x} distinto de cero. 8𝑥1 2 + 20𝑥1 𝑥2 + 15𝑥1 𝑥3+ 20𝑥1 𝑥2 + 80𝑥2 2 + 50𝑥2 𝑥3+15𝑥1 𝑥3 + 50𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3 2 8(15.2407)2 +40 15.2407 1.37038 +30(15.2407)(−3.28888) + 80(1.37038)2+100 1.37038 −3.2888 + 60(−3.28888)2 RESULTADOS: X1=15.2407 X2=1.37038 X3=-3.28888 = 𝟏𝟓𝟑𝟖. 𝟒𝟔
- 20. SEMBLANZA DEL AUTOR DESCRIPCIÓNDEL MÉTODO APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO APLICACIÓN INGENIERIL LIMITACIONESYVENTAJAS BIBLIOGRAFIAS 1 2 6 5 4 3
- 21. APLICACIÓN INGENIERIL El siguientesistema de ecuaciones lineales surge al aplicar un análisis de fuerzas para un sistema compuesto de tres masas suspendidas verticalmente por una serie de resortes antes de la extensión y compresión de dichos resortes: Calcule el desplazamiento (x) si m1=2 kg, m2= 3 kg, m3=2.5 kg y k= 10 kg/s2. Note que la matriz de coeficientes resultante es simétrica, use el método de solución más ad hoc a este tipo de matrices. Dato extra: g=9.81 m/s2 Con los datos proporcionados en el problema podemos sustituir algunos valores y como resultado obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 3𝑘𝑥1 − 2𝑘𝑥2 = 𝑚1 𝑔 −2𝑘𝑥1 + 3𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥3 = 𝑚2 𝑔 −𝑘𝑥2 + 𝑘𝑥3 = 𝑚3 𝑔 30𝑥1 − 20𝑥2 = 19.62 −20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3 = 29.43 −10𝑥2 + 10𝑥3 = 24.525
- 22. LA MATRIZ ESSIMETRICA SUS COMPONENTES SON NUMEROS REALES 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 × 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 19.62 29.43 24.525 D = 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 30 −20 −20 30 0 −10 = 9000 + 0 + 0 − 0 + 3000 + 4000 = 2000 > 0 D > 0 Aplicar Método APLICACIÓN INGENIERIL
- 23. [A]=[L][L]T 𝐴 = 𝐿𝐿 𝑇 = 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 = 30 0 0 −20 30 0 0 −10 10 × 30 −20 0 0 30 −10 0 0 10 APLICACIÓN INGENIERIL
- 24. 𝐴 = 𝐿𝐿 𝑇 = 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 = 30 0 0 −20 30 0 0 −10 10 × 30 −20 0 0 30 −10 0 0 10 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 × 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙32 0 0 𝑙33 [A]=[L][L]T APLICACIÓN INGENIERIL 𝑎11 = 𝑙11 𝑙11 = 𝑙11 2 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙11 = 𝑎11 = 30 = 5.47723 𝑎12 = (𝑙11) 𝑙21 + 0 𝑙22 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 = 𝑎12 𝑙11 = −20 30 = −3.65148 𝑎13 = 𝑙11 𝑙31 + 0𝑙32 + 0𝑙33 sustitu𝑖𝑟 𝑙31 = 𝑎13 𝑙11 = 0 30 = 0
- 25. [A]=[L][L]T 𝑎21 = (𝑙21)𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 = 𝑎21 𝑙11 = −20 30 = −3.65148 𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustituir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21 2 = 30 − −3.65148 2 = 4.08249 𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustituir 𝑙23 = 𝑎23 − 𝑙21 𝑙31 𝑙22 = −10 − −3.65148 0 4.08249 = −2.44949 𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 = 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 = 30 0 0 −20 30 0 0 −10 10 × 30 −20 0 0 30 −10 0 0 10 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 × 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙32 0 0 𝑙33 APLICACIÓN INGENIERIL
- 26. [A]=[L][L]T 𝑎31 = (𝑙31)𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙31 = 𝑎31 𝑙11 = 0 30 = 0 𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustituir 𝑙32 = 𝑎32 − 𝑙31 𝑙21 𝑙22 = −10 − 0 −3.65148 4.08249 = −2.44949 𝑎33 = 𝑙31 2 + 𝑙32 2 + 𝑙33 2 sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31 2 − 𝑙32 2 = 10 − (0)2−(−2.44949)2= 2 𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 = 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 = 30 0 0 −20 30 0 0 −10 10 × 30 −20 0 0 30 −10 0 0 10 = 𝑙11 0 0 𝑙21 𝑙22 0 𝑙31 𝑙32 𝑙33 × 𝑙11 𝑙21 𝑙31 0 𝑙22 𝑙32 0 0 𝑙33 APLICACIÓN INGENIERIL
- 27. 𝐿 = 5.47723 −3.651480 −3.65148 4.08249 −2.44949 0 −2.44949 2 𝐿 𝐿 𝑇 = 5.47723 0 0 −3.65148 4.08249 0 0 −2.44949 2 5.47723 −3.65148 0 0 4.08249 −2.44949 0 0 2 𝐿 = 5.47723 0 0 −3.65148 4.08249 0 0 −2.44949 2 × 𝑐1 𝑐2 𝑐3 = 19.62 29.43 24.525 b = Lc Se resuelve el sistema de ecuaciones 5.47723𝑐1 = 19.62 → 𝑐1 = 19.62 5.47723 = 3.5821 -3.65148𝑐1 + 4.08249𝑐2 = 29.43 → 𝑐2 = 29.43+3.65148 (3.5821) 4.08249 = 10.4128 0𝑐1 − 2.44949𝑐2 + 2𝑐3 = 24.545 → 𝑐3 = 24.52 + 2.44949 10.4128 2 = 25.013 APLICACIÓN INGENIERIL
- 28. 𝐿 𝑇 = 5.47723 −3.651480 0 4.08249 −2.44949 0 0 2 × 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 3.5821 10.4128 25.013 Se resuelve el sistema de ecuaciones 2𝑥3 = 25.013 → 𝑥3 = 25.013 2 = 12.5065 4.08249𝑥2 − 2.44949𝑥3 = 10.4128 → 𝑥2 = 10.4128+2.44949 12.5065 4.08249 = 10.0545 5.47723𝑥1 − 3.65148𝑥2 + 0𝑥3 = 3.5821 → 𝑥1 = 3.5821 + 3.65148 10.0545 + 0 12.5065 5.47723 = 7.35699 c= XLT RESULTADOS: X1=7.35699 X2=10.0545 X3=12.5065 𝐿 𝐿 𝑇 = 5.47723 0 0 −3.65148 4.08249 0 0 −2.44949 2 5.47723 −3.65148 0 0 4.08249 −2.44949 0 0 2 APLICACIÓN INGENIERIL 5.47723
- 29. APLICACIÓN INGENIERIL 30𝑥1 −20𝑥2 = 19.62 −20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3 = 29.43 −10𝑥2 + 10𝑥3 = 24.525 RESULTADOS: X1=7.35699 X2=10.0545 X3=12.5065 COMPROBACION 30(7.35699) − 20(10.0545) = 19.6197 −20 7.35699 + 30 10.0545 − 10 12.5065 = 29.4302 −10(10.0545) + 10(12.5065) = 24.52 SUSTITUCION
- 30.
- 31. • MATRIZ DEFINIDAPOSITIVA 𝑥1 𝑥2 𝑥3 30 −20 0 −20 30 −10 0 −10 10 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 30𝑥1 − 20𝑥2 −20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3 −10𝑥2 + 10𝑥3 (30𝑥1 − 20𝑥2) 𝑥1 + (−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3) 𝑥2+(−10𝑥2 + 10𝑥3) 𝑥3 30𝑥1 2 − 20𝑥1 𝑥2 −20𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2 2 − 10𝑥2 𝑥3 − 10𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3 2 30𝑥1 2 − 40𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2 2 − 20𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3 2 Sustitución 30(7.35699)2 − 40 7.35699 (10.05459) + 30(10.0545)2 − 20(10.0545)(12.5065) + 10(12.5065)2 = 746.881 RESULTADOS: X1=7.35699 X2=10.0545 X3=12.5065 Una Matriz Definida Positiva es aquella para la cual el producto {x}T [A]{x} es mayor a cero , para todo vector {x} distinto de cero.
- 32. APLICACIÓN INGENIERIL X1 7.3569 metros9 X2 10.0545metros X3 12.5065 metros DATOS: K=10 kg/s2 g=9.81 m/s2 M1=2 kg M2=3 kgM3=2.5 kg
- 33. SEMBLANZA DEL AUTOR DESCRIPCIÓNDEL MÉTODO APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO APLICACIÓN INGENIERIL LIMITACIONESYVENTAJAS BIBLIOGRAFIAS 1 2 6 5 4 3
- 34. LIMITACIONESYVENTAJAS Ventajas Limitaciones 1. Es unmétodo directo, sencillo y preciso de resolución para sistemas “especiales” (en éste caso por la propiedad simétrica) sin necesidad de recurrir a los otros métodos iterativos. 2. Computacionalmente tiene la ventaja de ser un método con pocas operaciones, lo que agiliza la devolución de resultados. 1. Es aplicable a un numero limitado de sistemas de ecuaciones ya que su aplicación únicamente es posible si cumple todos los criterios antes mencionados: • Es simétrica • Son números Reales • Es definida positiva Ejemplo especifico, no se pudo aplicar al primer problema ingenieril por no ser simétrica
- 35. SEMBLANZA DEL AUTOR DESCRIPCIÓNDEL MÉTODO APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO APLICACIÓN INGENIERIL LIMITACIONESYVENTAJAS BIBLIOGRAFIAS 1 2 6 5 4 3
- 36. BIBLIOGRAFIAS Steven C. Chapra,Raymond P. Canale (2015). Métodos numéricos para ingenieros (Séptima edición ed.). México: McGraw-Hill. Conte, S. D., & Boor, C. d. (1980). Elementary numerical analysis (Tercera Edición ed.). Estados Unidos de América: McGraw-Hill. La vie et les travaux d'André Louis Cholesky par C. Brezinski, M. Gross-Cholesky, http://www.sabix.org/bulletin/b39/vie.html