Metodo de cholesky

MÉTODO DE CHOLESKI
M.C. RAÚL DEL ÁNGEL SANTOS SERENA

SEMBLANZA DEL AUTOR
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
APLICACIÓN NUMERICA DEL MÉTODO
APLICACIÓN INGENIERIL
LIMITACIONESYVENTAJAS
BIBLIOGRAFIAS
1
2
6
5
4
3

¿QUIEN ES ANDRÉ-LOUIS CHOLESKY?
SEMBLANZA DEL AUTOR
André-Louis Cholesky (15 de octubre de 1875 - 31 de agosto
de 1918) fue un matemático francés nacido en Montguyon,
Francia. Estudió en la École polytechnique y Trabajó como
cartógrafo y geodésico y entre otras aportaciones a la ciencia
matemática sobresale la descomposición de Cholesky
(descubierta para ayudarle en su profesión). Sirvió en el
ejército francés como oficial de ingeniería y murió en 1918 en
el norte de Francia de las heridas recibidas en el campo de
batalla y uno de sus compañeros publicó, después de su
muerte, el conocido como método Cholesky, pero no pudo
disfrutar de esa popularidad, pues hasta 1948 no se
publicaron artículos sobre la estabilidad del método.
“una aguda inteligencia y una gran facilidad para el
trabajo matemático, con espíritu de indagación e ideas
originales”.

• “Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto
de una matriz triangular inferior y su traspuesta”
• La descomposición de cholesky, se basa en el hecho de que una matriz simétrica
se descompone así:
• [A]=[L][L]T
• Es decir, los factores triangulares resultantes son la transpuesta uno de otro.
• Los términos de la ecuación se desarrollan al multiplicar e igualar entre si ambos
lados. El resultado se expresa en forma simple mediante relaciones de recurrencia.
Para el renglón k-ésimo.
𝑙 𝑘𝑖 =
𝑎 𝑘𝑖−σ 𝑗=𝑙
𝑖−1
𝑙 𝑖𝑗 𝑙 𝑘𝑗
𝑙 𝑖𝑖
para i=1,2,…,k-1
𝑙 𝑘𝑘 = 𝑎 𝑘𝑘 − σ 𝑗=𝑙
𝑖−1
𝑙 𝑘𝑗
2

• Matriz Cuadrada Simétrica A
• Componentes son números reales.
• Positiva definida
𝑎11 > 0,
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
> 0
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑁
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑁
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑁
> 0
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
×
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
Una Matriz Definida Positiva
es aquella para la cual el
producto {x}T [A]{x} es mayor
a cero , para todo vector {x}
distinto de cero.

[A]=[L][L]T b = [L]c c= 𝑥[L]T
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑁
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑁
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑁
𝐿 =
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙 𝑛1 𝑙 𝑛2 𝑙 𝑛𝑁
𝐿 𝑇
=
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙 𝑛𝑁

Problema 11.6 Pagina 250, Capitulo 11 (Matrices Especiales y método de Gauss-Seidel), Métodos Numéricos para
ingeniero, Steven C. Chapra.
Ejecute a Mano la Descomposición de Cholesky del sistema simétrico siguiente:
8 20 15
20 80 50
15 50 60
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
100
250
100
A x b=

Problema 11.6 Pagina 250, Capitulo 11 (Matrices Especiales y método de Gauss-Seidel), Métodos Numéricos para
ingeniero, Steven C. Chapra.
8 20 15
20 80 50
15 50 60
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
100
250
100
LA MATRIZ ES SIMETRICA
SUS COMPONENTES SON
NUMEROS REALES

𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇
=
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
[A]=[L][L]T

𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑙11 = 𝑎11 = 8 = 2.82843
𝑙21 =
𝑎12
𝑙11
=
20
2.82843
= 7.07106
𝑙31 =
𝑎13
𝑙11
=
15
2.82843
= 5.3033
𝑙 𝑘𝑘 = 𝑎 𝑘𝑘 − σ 𝑗=1
𝑘−1
𝑙 𝑘𝑗
2
𝑙 𝑘𝑖 =
𝑎 𝑘𝑖−σ 𝑗=1
𝑖−1
𝑙 𝑖𝑗 𝑙 𝑘𝑗
𝑙 𝑖𝑖
para i=1,2,…,k-1
Recordemos:

𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑎21 = (𝑙21) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 =
𝑎21
𝑙11
=
20
2.82843
= 7.07106
𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustitutir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21
2
= 80 − 7.07106 2 = 5.47724
𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustitui𝑟 𝑙23 =
𝑎23 − 𝑙21 𝑙31
𝑙22
=
50 − 7.07106 5.3033
5.47724
= 2.28218

𝐴 = 𝐿 𝐿 𝑇 =
8 20 15
20 80 50
15 50 60
=
8 0 0
20 80 0
15 50 60
×
8 20 15
0 80 50
0 0 60
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑎31 = (𝑙31) 𝑙11 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡𝑖𝑟 𝑙31 =
𝑎31
𝑙11
=
15
2.82843
= 5.3033
𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustitu𝑖𝑟 𝑙32 =
𝑎32 − 𝑙31 𝑙21
𝑙22
=
50 − 5.3033 7.07106
5.47724
= 2.28218
𝑎33 = 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31
2
− 𝑙32
2
= 60 − (5.3033)2−(2.28218)2= 5.16398

𝐿 =
2.82843 7.07106 5.3033
7.07106 5.47724 2.28218
5.3033 2.28218 5.16298
𝐿 𝐿 𝑇 =
2.82843 0 0
7.07106 5.47724 0
5.3033 2.28218 5.16298
2.82843 7.07106 5.3033
0 5.47724 2.28218
0 0 5.16298
𝐿 =
2.82843 0 0
7.07106 5.47724 0
5.3033 2.28218 5.16298
×
𝑐1
𝑐2
𝑐3
=
100
250
100
b = Lc
Se resuelve el sistema de ecuaciones
2.82843𝑐1 = 100 → 𝑐1 =
100
2.82843
= 35.3553
7.07106𝑐1 + 5.47724𝑐2 = 250 → 𝑐2 =
250−7.07106(35.3553)
5.47724
= 0.000101
5.3033𝑐1 − 2.28218𝑐2 + 5.16298𝑐3 = 100 → 𝑐3 =
100 − 5.3033 35.3553 − 2.28218 0.000101
5.15298
= −16.9805

𝐿 𝐿 𝑇 =
2.82843 0 0
7.07106 5.47724 0
5.3033 2.28218 5.16298
2.82843 7.07106 5.3033
0 5.47724 2.28218
0 0 5.16298
𝐿 𝑇
=
2.82843 7.07106 5.3033
0 5.47724 2.28218
0 0 5.16298
×
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
35.3553
0.000101
−16.9804
5.16298𝑥3 = −16.9804 → 𝑥3 =
−16.9804
5.16298
= −3.28888
5.47724𝑥2 + 2.28218𝑥3 = 0.000101 → 𝑥2 =
0.000101−2.28218(−3.28888)
5.47724
= 1.37038
2.82843𝑥1 + 7.07106𝑥2 + 5.3033𝑥3 = 35.3553 → 𝑥1 =
35.3553 − 7.07106 1.37038 − 5.3033 −3.28888
2.82843
= 15.2407
c= XLT
RESULTADOS:
X1=15.2407
X2=1.37038
X3=-3.28888

RESULTADOS:
X1=15.2407
X2=1.37038
X3=-3.28888

• MATRIZ DEFINIDA POSITIVA
𝑥1 𝑥2 𝑥3
8 20 15
20 80 50
15 50 60
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3
20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3
15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3
(8𝑥1 + 20𝑥2 + 15𝑥3) 𝑥1 + (20𝑥1 + 80𝑥2 + 50𝑥3) 𝑥2+(15𝑥1 + 50𝑥2 + 60𝑥3) 𝑥3
8𝑥1
2 +40𝑥1 𝑥2 +30𝑥1 𝑥3 + 80𝑥2
2 +100𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3
2
Sustitución
distinto de cero.
8𝑥1
2 + 20𝑥1 𝑥2 + 15𝑥1 𝑥3+ 20𝑥1 𝑥2 + 80𝑥2
2 + 50𝑥2 𝑥3+15𝑥1 𝑥3 + 50𝑥2 𝑥3 + 60𝑥3
2
8(15.2407)2 +40 15.2407 1.37038 +30(15.2407)(−3.28888) + 80(1.37038)2+100 1.37038 −3.2888 + 60(−3.28888)2
RESULTADOS:
X1=15.2407
X2=1.37038
X3=-3.28888
= 𝟏𝟓𝟑𝟖. 𝟒𝟔

El siguiente sistema de ecuaciones lineales surge al aplicar un análisis de fuerzas para un sistema compuesto de
tres masas suspendidas verticalmente por una serie de resortes antes de la extensión y compresión de dichos
resortes:
Calcule el desplazamiento (x) si m1=2 kg, m2= 3 kg, m3=2.5 kg y k= 10 kg/s2. Note que la matriz de coeficientes
resultante es simétrica, use el método de solución más ad hoc a este tipo de matrices. Dato extra: g=9.81 m/s2
Con los datos proporcionados en el problema podemos sustituir algunos valores y como resultado
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
3𝑘𝑥1 − 2𝑘𝑥2 = 𝑚1 𝑔
−2𝑘𝑥1 + 3𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥3 = 𝑚2 𝑔
−𝑘𝑥2 + 𝑘𝑥3 = 𝑚3 𝑔
30𝑥1 − 20𝑥2 = 19.62
−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3 = 29.43
−10𝑥2 + 10𝑥3 = 24.525

LA MATRIZ ES SIMETRICA
SUS COMPONENTES SON
NUMEROS REALES
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
×
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
19.62
29.43
24.525
D =
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
30 −20
−20 30
0 −10
= 9000 + 0 + 0 − 0 + 3000 + 4000 = 2000 > 0
D > 0
Aplicar Método

[A]=[L][L]T
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10

=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33
[A]=[L][L]T
𝑎11 = 𝑙11 𝑙11 = 𝑙11
2
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙11 = 𝑎11 = 30 = 5.47723
𝑎12 = (𝑙11) 𝑙21 + 0 𝑙22 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙21 =
𝑎12
𝑙11
=
−20
30
= −3.65148
𝑎13 = 𝑙11 𝑙31 + 0𝑙32 + 0𝑙33 sustitu𝑖𝑟 𝑙31 =
𝑎13
𝑙11
=
0
30
= 0

[A]=[L][L]T
𝑎21
𝑙11
=
−20
30
= −3.65148
𝑎22 = (𝑙21)(𝑙21) + (𝑙22)(𝑙22) sustituir 𝑙22 = 𝑎22 − 𝑙21
2
= 30 − −3.65148 2 = 4.08249
𝑎23 = (𝑙21)(𝑙31) + (𝑙22)(𝑙32) sustituir 𝑙23 =
𝑎23 − 𝑙21 𝑙31
𝑙22
=
−10 − −3.65148 0
4.08249
= −2.44949
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33

[A]=[L][L]T
𝑎31
𝑙11
=
0
30
= 0
𝑎32 = (𝑙31)(𝑙21) + (𝑙32)(𝑙22) sustituir 𝑙32 =
𝑎32 − 𝑙31 𝑙21
𝑙22
=
−10 − 0 −3.65148
4.08249
= −2.44949
𝑎33 = 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
sustituir 𝑙33 = 𝑎33 − 𝑙31
2
− 𝑙32
2
= 10 − (0)2−(−2.44949)2= 2
=
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
=
30 0 0
−20 30 0
0 −10 10
×
30 −20 0
0 30 −10
0 0 10
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
×
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙32
0 0 𝑙33

𝐿 =
5.47723 −3.65148 0
−3.65148 4.08249 −2.44949
0 −2.44949 2
𝐿 𝐿 𝑇 =
5.47723 0 0
−3.65148 4.08249 0
0 −2.44949 2
5.47723 −3.65148 0
0 4.08249 −2.44949
0 0 2
𝐿 =
5.47723 0 0
−3.65148 4.08249 0
0 −2.44949 2
×
𝑐1
𝑐2
𝑐3
=
19.62
29.43
24.525
b = Lc
5.47723𝑐1 = 19.62 → 𝑐1 =
19.62
5.47723
= 3.5821
-3.65148𝑐1 + 4.08249𝑐2 = 29.43 → 𝑐2 =
29.43+3.65148 (3.5821)
4.08249
= 10.4128
0𝑐1 − 2.44949𝑐2 + 2𝑐3 = 24.545 → 𝑐3 =
24.52 + 2.44949 10.4128
2
= 25.013

𝐿 𝑇
=
5.47723 −3.65148 0
0 4.08249 −2.44949
0 0 2
×
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
3.5821
10.4128
25.013
2𝑥3 = 25.013 → 𝑥3 =
25.013
2
= 12.5065
4.08249𝑥2 − 2.44949𝑥3 = 10.4128 → 𝑥2 =
10.4128+2.44949 12.5065
4.08249
= 10.0545
5.47723𝑥1 − 3.65148𝑥2 + 0𝑥3 = 3.5821 → 𝑥1 =
3.5821 + 3.65148 10.0545 + 0 12.5065
5.47723
= 7.35699
c= XLT
RESULTADOS:
X1=7.35699
X2=10.0545
X3=12.5065
𝐿 𝐿 𝑇 =
5.47723 0 0
−3.65148 4.08249 0
0 −2.44949 2
5.47723 −3.65148 0
0 4.08249 −2.44949
0 0 2
5.47723

30𝑥1 − 20𝑥2 = 19.62
−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3 = 29.43
−10𝑥2 + 10𝑥3 = 24.525
RESULTADOS:
X1=7.35699
X2=10.0545
X3=12.5065
COMPROBACION
30(7.35699) − 20(10.0545) = 19.6197
−20 7.35699 + 30 10.0545 − 10 12.5065 = 29.4302
−10(10.0545) + 10(12.5065) = 24.52
SUSTITUCION

RESULTADOS:
X1=7.35699
X2=10.0545
X3=12.5065

• MATRIZ DEFINIDA POSITIVA
𝑥1 𝑥2 𝑥3
30 −20 0
−20 30 −10
0 −10 10
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
30𝑥1 − 20𝑥2
−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3
−10𝑥2 + 10𝑥3
(30𝑥1 − 20𝑥2) 𝑥1 + (−20𝑥1 + 30𝑥2 − 10𝑥3) 𝑥2+(−10𝑥2 + 10𝑥3) 𝑥3
30𝑥1
2 − 20𝑥1 𝑥2 −20𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2
2 − 10𝑥2 𝑥3 − 10𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3
2
30𝑥1
2 − 40𝑥1 𝑥2 + 30𝑥2
2 − 20𝑥2 𝑥3 + 10𝑥3
2
Sustitución
30(7.35699)2 − 40 7.35699 (10.05459) + 30(10.0545)2 − 20(10.0545)(12.5065) + 10(12.5065)2 = 746.881
RESULTADOS:
X1=7.35699
X2=10.0545
X3=12.5065
distinto de cero.

X1
7.3569 metros9
X2
10.0545 metros
X3
12.5065 metros
DATOS:
K=10 kg/s2
g=9.81 m/s2
M1=2 kg
M2=3 kgM3=2.5 kg

LIMITACIONESYVENTAJAS
Ventajas
Limitaciones
1. Es un método directo, sencillo
y preciso de resolución para
sistemas “especiales” (en éste
caso por la propiedad simétrica)
sin necesidad de recurrir a los
otros métodos iterativos.
2. Computacionalmente tiene la
ventaja de ser un método con
pocas operaciones, lo que
agiliza la devolución de
resultados.
1. Es aplicable a un numero
limitado de sistemas de
ecuaciones ya que su aplicación
únicamente es posible si cumple
todos los criterios antes
mencionados:
• Es simétrica
• Son números Reales
• Es definida positiva
Ejemplo especifico, no se pudo
aplicar al primer problema
ingenieril por no ser simétrica

BIBLIOGRAFIAS
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale (2015). Métodos numéricos para ingenieros (Séptima
edición ed.). México: McGraw-Hill.
Conte, S. D., & Boor, C. d. (1980). Elementary numerical analysis (Tercera Edición ed.). Estados
Unidos de América: McGraw-Hill.
La vie et les travaux d'André Louis Cholesky par C. Brezinski, M. Gross-Cholesky,
http://www.sabix.org/bulletin/b39/vie.html

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