Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, el método de descomposición LU y el método iterativo de Jacobi. Además, explica cómo aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar la precisión de los métodos. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos utilizando cada uno de los métodos.

1. 
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN BARCELONA
PROFESOR: PEDRO BELTRÁN AUTOR: CORNIVEL MARÍA, 23,734,548
ANÁLISIS NUMÉRICO S1
BARCELONA, JULIO DE 2019

2. 
 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m
ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya solución es un
conjunto de valores para las incógnitas con el que se satisfacen
todas las ecuaciones. Se asume que los elementos que
componen las ecuaciones están definidos en los números reales
y que siempre hay la misma cantidad de ecuaciones que de
incógnitas. En consecuencia, el problema consiste en buscar la
única solución al sistema, si existe.
 Los métodos numéricos que se trabajarán para la solución de
un sistema de ecuaciones lineales se clasifican en dos tipos:
Directos e iterativos.
INTRODUCCIÓN

3. 
 En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así
debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo
del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.
 Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss
cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del
sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la
matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
 El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación
hasta obtener una matriz diagonal.
Método de eliminación de Gauss.

4. 
Método de eliminación de Gauss (Ejemplo)

5. 
Método de eliminación de Gauss (Ejemplo)
Continuación

6. 
Resolver numéricamente sistema de ecuaciones lineales
utilizando el método de eliminación de Gauss.

7. 
Resolver numéricamente sistema de ecuaciones lineales
utilizando el método de eliminación de Gauss

8. 
Resolver numéricamente sistema de ecuaciones lineales
utilizando el método de eliminación de Gauss

9. 
 Es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de
ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del
sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener
ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al
coeficiente situado en la misma fila de la matriz.
Eliminación de Gauss-Jordan

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de Gauss-Jordán

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de Gauss-Jordán

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de Gauss-Jordán

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de Gauss-Jordán

14. 
 En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés
Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el
producto de una matriz triangular inferior y una superior.
 Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta
algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la
diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario
premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de
permutación.
 Existe un segundo método llamado factorización con pivote. Esta
descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas
de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.
Método de la descomposición LU

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Método de la descomposición LU

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Método de la descomposición LU

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de la descomposición LU.

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de la descomposición LU

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de la descomposición LU.

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Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones lineales
utilizando el método de la descomposición LU.

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 Una técnica que se desarrolla para combatir los errores de truncamiento por
ceros en la diagonal o los errores de redondeo por números cercanos a cero es la
técnica de pivoteo parcial, esta técnica consiste en ubicar en la fila pivote el
termino de mayor magnitud de tal forma que al realizar la división por dicho
termino no se incurre en la violación de división por números cercanos a cero ni
la división por cero.
 Se define entonces como:
 En cada etapa k se busca el mayor de los elementos de la columna k, que
ocupan posiciones mayores o iguales que k, ocupe la posición akk, donde
k<=i<=n. después se realiza el intercambio de filas. El proceso como tal es
idéntico a eliminación gaussiana simple solo que antes de calcular los
multiplicadores se realiza el pivoteo si es necesario. Al realizar el pivoteo se
obtienen valores lo más pequeños posibles para los multiplicadores reduciendo
así el error de redondeo.
Aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos
numéricos estudiados.

22. 
 Para realizar este método se tiene el siguiente procedimiento:
 Se debe construir launa matriz de coeficientes y el vector con los
términos independientes, correspondientes al sistema, y se crea una
matriz llamada la matriz aumentada.
 Se busca el número mayor (en valor absoluto) en cada la columna
correspondiente a la etapa y se procede a un cambio de filas para
ubicar el mayor elegido en la posición correspondiente a la etapa.
 Una vez ubicado el número mayor, se procede al cálculo de los
multiplicadores correspondientes a la etapa.
 Con los multiplicadores hallados en cada etapa, se procede al cálculo
de las nuevas filas de la matriz aumentada.
 Una vez se tiene la matriz aumentada en la forma triangular superior,
se procede a realizar una sustitución regresiva, para el cálculo de las
variables.
Aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos
numérico estudiados

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Aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos
numérico estudiados

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 Eliminación de Gauss con Pivoteo Parcial:
 Este método está basado en el método de eliminación de Gauss sin Pivoteo. A
diferencia del método de eliminación simple, este método tiene la capacidad de
intercambiar filas de la matriz, para lograr que el valor de los multiplicadores
sean pequeños, haciendo que el elemento en la diagonal sea mayor que todos
los elementos debajo de este. Al final de este método, se obtiene una matriz
triangular superior, que finalmente se resuelve con el método de despeje
regresivo.
Aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos
numérico estudiados

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Aplicar la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos
numérico estudiados

26. 
 El método de Jacobi es un método iterativo que toma un vector inicial para
hallar aproximaciones nuevas cada iteración y estas nuevas aproximaciones son
usadas en la siguiente.
 Pasos a seguir:
 Organizar el sistema de ecuaciones en forma matricial.
 Se elige un vector para darle valores iniciales a las incógnitas de las ecuaciones.
Este vector será la primera aproximación para el método iterativo.
 El método comienza a hacer ciclos cambiando la aproximación del vector
solución hasta que se cumpla alguno de los criterios de parada.
 Para iniciar los métodos iterativos, la matriz debe cumplir ciertos parámetros
para poder entrar a los ciclos. La matriz se debe partir en tres. Una con la
diagonal (D), otra con los términos por debajo de la diagonal con signos
contrarios (L) y otra con los términos por encima de la diagonal con signos
contrarios (U).
Método iterativo de Jacobi

27. 
Método iterativo de Jacobi

28. 
Método iterativo de Jacobi

29. 
Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones
lineales por el método iterativo de Jacobi.

30. 
 A través de esta investigación he podido adentrarme en los
métodos de solución de ecuaciones algebraicas que modelan
problemas reales de la ingeniería.
 Se analizó e implementó el método de Gauss, el método de
Gauss Jordan, el método de la descomposición Lu, la técnica de
pivoteo parcial y por ultimo el método iterativo de Jacobi. A
través de sistemas equivalentes es posible llegar a su solución.
 El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los
más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de
aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis
estructural, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal así como en la aproximación de problemas
no lineales de análisis numérico.
Conclusión

31. 
 https://www.youtube.com/watch?v=SxT5Sbn8odE
 https://www.youtube.com/watch?v=ZtMdsFXiFYQ
 https://www.youtube.com/watch?v=kH1t2ewNURw
 https://www.youtube.com/watch?v=Q6BdR45uo7I
 https://www.youtube.com/watch?v=h_8vdIX4V3U
Anexos

32. 
 https://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/matematicas-primer-
curso-grado-ciencia-tecnologia-
alimentos/bloques/bloque3/ejercicios/tema3_metodo_gauss_resuelto
s.pdf
 https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan
 https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales#M%
C3%A9todo_de_Gauss
 https://numericalmethods2014.wordpress.com/sistemas-de-
ecuaciones-lineales-3/
 https://sites.google.com/site/procesosnumericoseafit20142/solucion-
de-sistemas-de-ecuaciones-lineales/jacobi
Bibliografía